高中数学常见题型解法归纳-函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法

高中数学常见题型解法归纳-函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法
【知识要点】
一、判断函数单调性的方法
判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像
1、定义法 用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设
③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等 ）；④判断
的定义下结论.
2、复合函数分析法
设，，都是单调函数，则在上也是 单调函数，
，且；②作差，求；
的正负符号；⑤根据函数单调性
其单调性由“同增异减 ”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性
相反，复合函数为减 函数.如下表：

增
增
减
减
3、导数判断法
设
在区间
4、图像法
一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数 的图像，在某个区间
函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.
，从左到右，逐渐上升，则
在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则
增
减
增
减

增
减
减
增

上为增函数（减函数）.
二、证明函数的单调性的方法
证明函数的单调 性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，
所以图像法只能 用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.

三、求函数的单调区间
求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像
1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.
2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函 数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复
合函数的单调性确定函数的单调性.
3、导数法:先求函数的定义域
函数的递增（减）区间 .
4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.
四、一些重要的有用的结论
，然后求导，再解不等式 ,分别和求交集，得
1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数
的单调性相减，如函数.
、和；偶函数在其对称区间上
2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减 函数+减函数是减函数.其他的如增函数增函数
不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘 积函数不是增函数.
3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”.
4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问
题.
5、在多个单调区间之间不能用“或”和“
.不要写成
【方法讲评】
方法一
使用情景
①取值，设
解题步骤
定义法
一般适用于结构较简单的函数.
，且；②作差，求；③变形（合并
的正负符号；⑤根据函数
.
”连接，只能 用逗号隔开.如函数的增区间为
同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断
单调性的定义下结 论.
【例1】证明函数在区间是增函数.

【点评】（1）本题就 是利用定义判断函数单调性的典型例题，其中关键是第三步变形，多利用因式分解
等知识,但是一定要变 形到最后能判断它的符号为止.（2）有些同学在判断
利用到
号.
，且，一般情况 下是有问题的，必须利用这些条件你才能确定
的符号时，没有
符
【反馈检测1】讨论函 数


【例2】已知函数的定义域是
，且当
（1）求证
【解 析】
是偶函数；（2）
时
在
在上的单调性.
的一切实数，对定义域内的任意
，.
，都有
上时增函数；（3）解不等式


.

【点评】（1）本题是对抽象函数的单调性的判断和证明，其实和具体的函数的单调性的判断和证明的
方法本质上是一样的.区别在于一个有解析式，一个没有.所以在变形和判断
要大一些，主要是 充分利用已知条件进行变形.(2)本题第2问的关键是对
件“，且当时”，所以可以这样拆，
的符号时，难度
的变形，要充分利用已知条
.（3）对于抽象函数的问题，常用赋值法解答， 即根据解题的需要，
给已知条件中的等式的变量赋恰当的值.
【反馈检测2】已知是定义在区 间上的奇函数，且，若时，
有.（1）解不等式
恒成立，求实数的取值范围.



方法二
使用情景
解题步骤
【例3】已知函数
（1）讨论函数
（2）设
的单调性；
.如果对任意，
（2）若对所有
导数法
一般使用于结构较复杂的函数.
先求函数的定义域，再求导

，再判断的符号，最后下结论.
，求的取值范围.

（2）不妨假设
，
等价于 ，
，而＜-1，由（1）知在（0，+∞）单调减少，从而

①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即.
从而
故的取值范围为.

【点评】（1）函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导 数求函数的定义域也必须先考虑函
数的定义域.（2）对于参数的问题注意分类讨论和分离参数,第1问 利用了分类讨论的数学思想，第2问利
用了分离参数的方法. 分类讨论和分离参数是处理参数问题很常用的两种重要方法.
【反馈检测3】已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；

（2）设
实数取值范围.
【例4】 设函数
当时，若对任意，存在，使，求
，，求函数的单调区间与极值.

【点评】对于三角函数，也可以利用求导的方法求函数的单调区间和极值，它们的方法是一样的.
【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形
,
等距离的一点
的顶点及的 中点处，已知
与
．
，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形
处建造一个污 水处理厂，并铺设排污管道
的区域上（含边界），且
，设排污管道的总长为
（1）按下 列要求写出函数关系式：
①设
②设(
，将
) ，将
表示成的函数关系式；
表示成的函数关系式．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

【反馈检测5】函数
满足不等式
A．

【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数
，
（A）

方法三
使用情景
解题步骤
合函数的单调性确定函数的单调性.
【例5】【
2017
课标
II
，文
8
】函数
A. B. C. D.

的单调递增区间是（）

复合函数分析法
较简单的复合函数.
先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复

，则a，b，c的大小关系为（）
（B） （C） （D）

在R上是增函数，.若，
的导函数，对，都有成立，若，则
的的范围是（）
B． C． D．

【点评】（1）函数的问题， 不管是具体函数，还是抽象的函数，都要注意“定义域优先”的原则.所以
求函数的单调区间，首先必须 求函数的定义域. （2）分解函数时，要把函数分解成一些初等函数,才能比
较熟练地写出这些内层函数的单调性.
【反馈检测7】 已知函数，在轴
右侧的第一个最高点的横坐标为.

(1 )求；(2)若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来
的最大值及单 调递减区间．

的4倍，纵坐标不变，得到函数
方法四
使用情景
解题步骤
的图象，求函数
图像法
函数的图像比较容易画出.
一 般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上
升，则函数在这 个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.
【例6】求函数的单调区间.

【点评】函数的同种单调区间之间一般不用“
【反馈检测8】 已知函数
（1）求函数的解析式；（2）若=2，求的值；
”连接，一般用“，”隔开.

（3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.




高中数学常见题型解法归纳
函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案

【反馈检测1答案】当时，原函数是增函数；当时，原函数是减函数.

【反馈检测2答案】（1）
【反馈检测2详细解析】
；（2）




【反馈检测3答案】（1）当时，函数在单调递减，单调递增；当时，
恒 成立，此时，函数在单调递减；当时，函数在单
调递减，单调递增，单调递减. （2）.
【反馈检测3详细解析】(1)，

所以
令
（1）当时，
，函数

，当
.
,函数单调递减；当
单调递增.

（2）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，
有
又
当
当
时，
时，
，又已知存在

，使，所以，，（※）
与（※）矛盾；
也与（※）矛盾；
当时，.

综上，实数的取值范围是.
【反馈检测4答案】(1) ；.
(2) 点 位于线段 的中垂线上，且距离 边km处.

（2）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=
时，
【反馈检测5答案】C

.这时点位于线段 的中垂线上，且距离边处.
【反馈检测5详细解析】设
∴
即
【反馈检测6答案】C
在定义域上单调递增，不等式
，选C.
即，

【反馈检测7答案】（1）
单调递减区间．

；（ 2）函数取得最大值，
，
为函数的
【反馈检测7详细解析】(1)

.

，将代入可得
(2)由(1)得.经过题设的变化得到的函数

，

当时，函数取得最大值.令
即]，为函数的单调递减区间．
【反馈检测8答案】（1）； （2）或；
（3）函数的单调减区间为
【反馈检测8详细解析】
单调增区间为.

所以函数的单调减区间为







单调增区间为