最新北师大版高中数学必修一函数的单调性教案(精品教学设计)

函数的单调性



设计老师：贵溪市实验中学 郑美兰
教学年级：高一年级课程
学科： 数学
版本：（北师大版）高一（必修1）
【三维目标】
1.知识与技能
(1)了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函数、
单调区间这两个概念的大致意思, 并能根据函数的图象指出
单调性、写出单调区间。
(2)启发学生能够发现问题和提出问题， 培养学生分析问
题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力。
(3)通过对气温变化图进行 观察——猜想——推理——
证明，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
2.过程与方法：
(1)引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单
调增函数、单调减函数的概念；
美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！

(2)能运用函数单调性概念解 决简单的问题；使学生体会
特殊到一般，简单到复杂，具体到抽象的研究方法；
(3)渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析
问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使
学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生 善于观察、
勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
【教学重点】函数的单调性及其几何意义．
【教学重点】利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调
性．
【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习．
【教学手段】 计算机、投影仪．
【教学过程】

一、创设情境，引入课题
下图是贵溪市08年9月1日一天24小时内气温随时间变
化的曲线图




引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．
美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！

问题1： 怎样描述气温随时间增大的变化情况？
问题2： 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间
的增大气温逐渐升高”这一特征？
教师指出：在 生活中，我们关心很多数据的变化规律，了
解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
例如：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量
的变化，函数值是变大还是变小．
〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．
二、思考交流，形成概念
问题1:画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x+2 （2）f(x) = -x+2 （3）f(x) = x
从上面的观察分析，能得出什么结论？（学生动手画图并讨
论）
学生回答后教师归纳 ：从上面的观察分析可以看出：不同的
函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化
趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反
映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重 要性质——函
数的单调性（引出课题）。
问题2: y = x的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号
语言来描述这种“上升”呢？
美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！
2
2

学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
（1）函数y = x在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析
式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1
，x
2
，当x
1
＜
x
2
时，都有x
1
＜x
2
. 即函数值随着自变量的增大而增大，那
么我们称这个函数在这个区间是递增的。
问题3:从函数图象上可以看到，y= x的图象在y轴左侧是
下降的，类比函数在某个区间递 增的定义，你能概括出函数
在某个区间递减的定义吗？
注意：
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数
的局部性质；
2必须是对 于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，
总有f(x
1
)2
) ．
（2）函数的单调性，单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那 么就
说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫
做y=f(x)的单调区 间.
（3）单调函数
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们< br>分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数.
通过判断题，强调三点
①单调 性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域
美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！
2
22
2

和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数 在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函
数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数 根
本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间(a,b),(c,d)上都 是递增（或
减）的，一般不能认为函数在整个定义域上是增（或减）函
数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
〖设计意图〗通过几何直观，引导学生 关注图象所反映
出的特征，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在
图象上的表现．
三、概念应用，发展思维.
根据函数图象说明函数的单调性．
例1 画出函数f(x)=3x+2的图像，判断它的单调性，并加以
证明.
例2画出反比例函数 的图象．
1 这个函数的定义域是什么？
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
方法总结：判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般
步骤：
① 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！

② 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调
性）．四、巩固练习, 深化理解.
证明:函数在（1，+∞）上为增函数．
（学生到黑板上练习，让其它学生批改）
五、归纳小结, 提高认识.
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程
中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1、函数单调性的定义．
2、判断、证明函数单调性的方法：图象、定义.
六、作业布置，课后思考.
1、作业布置： P39 A组 3，4，5
2、课后思考：
（1）若定义在R上的单调减函数满足


取值范围吗？
，你知道它的
美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！

（2）二次函数在［0，＋∞）是增函数，你能确定字
母

的值吗？
美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！

美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！