江苏省高中数学知识点体系框架超全超完美教学内容

第
一
部
分
集
合
与
简
易逻
辑
集
合
(1)空集是任何非空集合的真子集；
集合元素的特性
有限集
集合的分类
无限集
空集φ
集合的表示
确定性、互异性 、无序性
(2)A
?
A；(3)则A
?
B则A
?
B 或A
?
B；
?
(4)若A
?
B，B
?
C， 则A
?
C；
(5)含有n个元素的集合有2
n
个子集，
有2
n
?
1
个真子集；
(6)
?
，
?
的区别：
?
表示元素与集合关系，
?
表示集合与集合关系；
(7)a 与
?
a
?
区别：一般地，a表示元素，
列举法、特征性质描述法、V een图法
真子集
集合的基本关系
子集
几何相等
交集
p?q
集合的基本运算
并集
p?q
补集
互逆
原命题：若p，则q.
性质
?
a
?
表示只有一个元素a的集合；
?
0??
(8)
?
0
??
，
?
?
，
?
区别：，
?
?
表示集合，
?
表示空集，
??
?
0
?
，
?
?
?
?
?.
(1)A
?
A
?
A，A
?
A
?A，
A
?
?
?
A，A
?
?
?
?
；
(2)A
?
B
?
A
?
A
?< br>B，
A
?
B
?
A
?
B
?
A ，
A
?
B
?
A
?
或B
?
?
A
?
B；
数轴、Veen图、
函数图象
逆命题：若q，则p.四种命题
互否
否命题：若?p，则?q.
互为逆否互否
C
U?
C
U
A
?
?
A；
(3)A
?
?
C
U
A
?
?
U；A
?
?
C< br>U
A
?
?
?
；
(4)C
U
?
A
?
B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
；
上一页
基本逻辑
退出
联结词
或?
且?
非?
p?q
?p
?
或?q
?
互逆
逆否命题：若?q，则?p.
(5)分配律：A
??
B
?
C
?
?
?
A
?
B?
?
?
A
?
C
?
；
A
??
B
?
C
?
?
?
A
?
B?
?
?
A
?
C
?
；
p?q
( 6)结合律：A
?
?
B
?
C
?
?
?
A
?
B
?
?
C；
A
?
?
B?
C
?
?
?
A
?
B
?
?C
；
量词
全称量词
存在量词
全称命题
存在命题
否
定
若p:?x?M，p
?
x
?
；则?p:?x
0
?M，?p
?
x
0
?
若p:?x
0
?M， p
?
x
0
?
；则?p:?x?M，?p
?
x
?
映
A中元素在B中都有唯一的象；可一对一
（一一映射），也可多对一，但不可一 对多
定义
函数的概念
表示
第
二
部
分
映射
、
函
数
、
导
数
、
定
积分
与
微
积
分
列表法
解析法
图象法
使解 析式有意义及实际意义
射
定义域
三要素
区间
对应关系
值域< br>常用换元法求解析式
观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、
重要不等式、 三角法、图象法、线性规划等
单调性
奇偶性
周期性
对称性
1.求单调 区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。
2.复合函数单调性：同增异减。
1.先看定义 域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x).
2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f(0)=0.
3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立。
f (x+T)=f (x)；周期为T的奇函数有：f (T)=f (T2)= f (0)=0.
二次 函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、
线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。
正（反）比例函数、
一次（二次）函数
指数函数与对数函数
幂函数
定义、图象 、
性质和应用
函数的
基本性质
函
数
函数常见的
几种 变换
基本初等函数
分段函数
复合函数
抽象函数
函数与方程
函 数的应用
最值
平移变换、对称变换
翻折变换、伸缩变换
三角函数
单调 性：同增异减
赋值法，典型的函数
零点
建立函数模型
求根法、二分法、图象法 ；一元二次方程根的分布
退出
上一页

函数的平均变化率函数的瞬时变化 率
运动的瞬时速度
曲线的切线的斜率
f
?
x
?
与< br>f
?
x
0
?
的区别
v
t
?S
'
，a
t
?v
t
'
第
二
部
分< br>映
射
、
函
数
、
导
数
导
数< br>导数概念
运动的平均速度
曲线的割线的斜率
k?f
?
x
0
?
'
000
?
sinx
?
?
cosx ；
?
cosx
?
??
sinx；
?
x
n< br>?
?
nx
n
?
1
；c
?
0
?
c为常数
?
；
基本初等函数求导
?
logx
?< br>?
a
1
?
lnx
?
?
1
；
?
a
x
?
?
a
x
ln
a；
?e
x
?
?
e
x
.
；
xlnax
导数概念
设
f
?
x
?
，
g
?
x
?
是可导的，则有：
(1)
?
f
?
x
?< br>?
g
?
x
?
?
?
f
?
x< br>?
?
g
?
x
?
导数的四则运算法则
简单复合 函数的导数
函数的单调性研究
函数的极值与最值
?
f
?
x< br>?
?
f
?
x
?
g
?
x
?< br>?
f
?
x
?
g
?
x
?
(2 )
?
f
?
x
?
?
g
?
x
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?
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f
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x
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g
?
x
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f
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x
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g
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x
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(3)
?
?
?
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g
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x
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?2
?
g
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x
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?
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f
?g
?
x
??
?
?f
?
u
?
? u
?
x
?
'
''
f
'
?
x
?
?
0
?f
?
x
?
在该区间递增，f
'
?
x
?
?
0
?f
?
x
?
在该区间递减
.
1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点；
2.闭区间 一定有最值，开区间不一定有最值。
1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的
切 线不一定只一条，要设切点坐标。
一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；
3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。
导数应用曲线的切线
变速运动的速度< br>生活中最优化问题
第
三
部
分
三
角
函
数
与
平
面
向
量
正角、负角、零角
象限角
角
任意角与弧度制；
单位圆
轴线角
终边相同的角
区别第一象限角、锐角 、小于90
0
的角
弧度制定义1弧度的角
三角函数线
①角度与弧度互 化；②特殊角的弧度数；
③弧长公式、扇形面积公式
任意角三角函数定义
三
角
函
数
同角三角函数的关系
任意角的三角函数
诱导公式
和（差 ）角公式
二倍角公式
平方关系、商的关系
奇变偶不变，符号看象限
公式正用、 逆用、变形
及“1”的代换
化简、求值、证明（恒等式）
描点法（五点作图法）
正弦函数y=sinx
余弦函数y=cosx
三角函数的图象
正切函数y=tanx
y=Asin（ωx+φ）+b
性质
定义域、值域
单调性、奇偶性、周期性< br>对称性
最值
作图象
几何作图法
对称轴（正切函数
除外）经过函 数图
象的最高（或低）
点且垂直x轴的直线
对称中心是正余弦函
数图象的零点 ，正切
函数的对称中心为
k
?
( ，0)（k∈Z）
2
上一页
退出
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩 后平移不同；
②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意
?
的符号） ；
?
2k?1
?
?
?2
?
，对称中心为(
2
?
k
?
?
?
④最小正周期T＝；⑤对称轴x＝， b)（k∈Z）.
?
2
?
?
三角函数模型的简单应用生活中、建筑学 中、航海中、物理学中等

第
三
部
分
三角
函
数
与
平
面
向
量
正弦定理
abc
???
2R及变式
sinAsinBsinC
适用范围：①已知两角和 任一边，解三角形；
②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
a
?
b
?
c
?
2bccosA
222
解的个数是一个？
两个？还 是无解？
b
2
?
a
2
?
c
2
?< br>2accosB
推论
：
求角
余弦定理
c
2
?
a
2
?
b
2
?
2abcosC
解三角形< br>面积
适用范围：①已知三边，解三角形；②已知两
边和它们的夹角，解三角形。
S
?
ABC
?
?
11
ah
?
absinC
22
实际应用
向量的概念
线性运算
a
?
b
?
c
??
p
?
p
?
a
??
p?
b
??
p
?
c
?
?
其中p
?
?
2
??
abc
?
R是外接圆半径
?
?
4R
1
?
?
a
?
b
?
c
?
?
r
?
r
是内切圆半径
?
2
零向量与单 位向量
加、减、数乘
表示
几何意义及运算律
（1）解三角形时，三条边和三个角中“知三求二”。
（2）解三角形应用题步骤：
先准确理解题意，然后画出
示意图，再合理选择定理求
解。尤其理解有关名词，如
坡角、坡比、仰角和俯角、
方位 角、方向角等。
?
a?
?
x
2
?x
1
?< br>2
?
?
y
2
?y
1
?
2
平 面向量
上一页
平面向量基本定理
数量积
几何意义
???
p< br>?
xe
1
?
ye
2
投影
夹角公式
退 出
共线（平行）
垂直
向量的应用
?
?
?
?
?
a
?
b
b
在
a
方向上的投影为
b
cos
?
?
?
a
?
?
?
?
a< br>?
b
设
a
与
b
夹角为
?
,则cos
?
?
?
?
a
?
b
共线与垂直
?< br>?
?
??
?
ab?b1?
?
0a?x
1y
2
?x
2
y
1
?0a?0
??
?< br>?
?
?
a?b?a?b?
0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?
0
在平面（解析）几何中的应用 ；在物理（力向量、速度向量）中应用
解析法：a
n
=f(n)
数列的定义< br>表示
图象法
列表法
一
般
数
列
通项公式
概念
递推公式
a
n
与s
n
的关系
通项公式
特
殊
数
列
等差数列
求和公式
性质
等比数列
判断
数列是特殊的函数
第
四
部
分
数
列
数
列
?
S
1
，n
?
1
a
n
?
?
?
S
n
?
S
n
?
1
，n
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2
a
1
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1
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q
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a
1
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a
n
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q
nn
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1
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S
n
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na
1
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q< br>?
1时
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；
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q?1
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S
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na
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d
1
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q1
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q
22
2
n
a
n
?a
1
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n?1?
d?a
m
?
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d
a
n
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a
1
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a
m
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q
n
?
m
a
m
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a
n
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a
p
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a
q
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2am
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n
a
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1
?a
n
?常数
2
a
m
?
a
n
?
a
p
?
a
q
?
a
m
?
n
a
n
?
1
?常数
a
n
2
q≠0，a
n
≠0
①< br>常见递推类型
及方法
逐差累加法
2a
n
?
1
?
a
n
?
a
n
?
2
等差中项：
等 比中项：
a
2
n?1
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
逐商累积法
?
q
?
构造等比数列< br>?
a
n
?
?
p
?
1
??
a
②
n
?1
?f
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n
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a
n
a
n
?1
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pa
n
?
q
③
?< br>a
n
?
a
n?2
④
pa
n?1
a< br>n
?
a
n
?
a
n?1
n
构造等差数 列
化为
11
??
p
a
n
?
1
a< br>n
⑤
a
n
?1
?pa
n
?q
上一页
a
n
?
1
pa
n
??
n
?
1
?
1转化为
③
q
n
qq
公式法：应用等差、等 比数列的前n项和公式
倒序相加法
自然数的乘方和公式：
nn
11
k
?
n
?
n
?
1
?
；k
2
?
n
?
n
?
1
??
2n
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1?
??
k
?
1k
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1
26
2
n
?
1
?
k
3
?
?
n
?
n
?
1
?
?
?
k
?
1
?
2
?
退出常见的求和方法
数列应用
分组求和法
裂项相消法
错 位相减法

基本性质
不等关系与不等式
比较大小问题
求解范围问题
一元二次不等式及其解法
借助二次函数图象，
利用三个“二次”间的关系
作差或作商
第
五
部
分
不
等
式
不< br>等
式
二元一次不等式（组）与平面区域
可行域
简单的线性规划问题目标函数
应用题
最值
变形
一次函数
z=ax+b
y?
b
z
?
构造斜率：
x
?
a
构造距离
z?
几何意义：z是直线
ax+by-z=0在x轴截距
的a倍，y轴上截距 的
b倍.
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
基本不等式
a
?
b
ab
?
2
和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值.“一正二定三相等”
2aba
?
b a
2
?b
2
?
ab
??
a
?
b2 2
一元一次:
ax>b
分a>0,a<0,a=0(b≥0,b<0)讨论
分 a>0,a<0,Δ>0,
Δ
=0,
Δ
<0讨论
x
系数 化为正，“穿根法”，奇穿偶不穿
f
?
x
?
f
?
x
?
?0?
f
?
x
?
?
g
?
x
?
?0;?0?f
?
x
?
?g
?
x< br>?
?0
且
g
?
x
?
?0
g
?
x
?
g
?
x
?
一元二次不等式
ax2
+bx+c>0(a≠0)
上一页
解不等式
退出
解不等式组< br>一元高次不等式
?
x
?
x
1
??
x
?
x
2
?
???
?
x
?
x
n?
?0
?
?0
?
分式不等式
f
?
x< br>?
?
g
?
x
?
??
g
?
x
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f
?
x
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?
g
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x
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f
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x
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g
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x
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?
f
?
x
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?
g
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x
?
或f
?
x
?
??
g
?
x
?
f
?
x
?
?
g
?
x
?
?
f
?
x
?
?
g
?
x
?
22绝对值不等式
指数对数不等式
利用性质转化为代数不等式，
底数a的讨论
形如x
?
a
?
x
?
b
?
c，可分段讨论或 用
绝对值几何意义求解.
第
六
部
分
立
体
几
何
与
空
间
向
量
结构
柱、锥、台、球的结构 特征
简单组合体的结构特征
空间几何体
三视图
直观图
表（侧）
面积体积
点与线
点与面
三视图
长对正，高平齐，宽相等
S
圆台
?
?
?
r
'2
?
r
2
?r
'
l
?
rl
?
；
V
圆台
?
1
'
s
?
s
'
s
?
s
?
h；
3
4
S
球
?
4
?
R
2
；V
球
?
?
R
3
；
3
直观图（ 斜二侧画法）
??
平行投影和中心投影
?或?
点在直线上或点不在直线上，< br>点在面内或点不在面内，
共面直线
异面直线
相交
线在面外
线在 面内
相交
相交
平行
?或?
只有一个公共点
没有公共点
只有一个公共点
没有公共点
平面三公
理及推论
线与线
l?
?
?A
空间点、直
线、平面的
位置关系
线与面
平行
l?
?
l
?
面与面
平行
?
?
?
? l
?

?
线线
平行
线线
垂直
线面
平 行
面面
平行
面面
垂直
平行关系的
相互转化
垂直关系 的
相互转化
线面
垂直

第
六
部分
立
体
几
何
与
空
间
向
量异面直线所成的角
范围；
?
0,90
?
00
空间的角< br>直线与平面所成的角
范围；
0
?
0,90
?
000
二面角
点到平面的距离
范围；
?
0,180
?
相互之间的转化
空间的距离
直线与平面所成的距离
平行平面之间的距离
?< br>?
a
?
b
cos
?
?
?
?
;
a
?
b
??
a
?
n
sin
?< br>?
??
;
a
?
n
??
n
1
?
n
2
cos
?
?
??
;
n
1< br>?
n
2
??
a
?
n
d
?
?
.
n
A
l
θ
a’
a
b
θ
?
?
n
a
?
O
?
2
?
?
1
B
C
A
异面直线所成的角直线与平面所成的角
cos
?< br>2
?cos
?
1
?cos
?
B
C
二 面角垂线法垂面法
O
D
射影法
第
六
部
分
立
体
几
何
与
空
间
向
量
共线向量定理
空间向量的
加减运算
空间向量的
空间向量
及其运算
数乘运算
空间向量
基本定理
平行与垂
直的条件
向量夹角
共面 向量
定理
?
?
?
?
a

b
?
a
?
?
b
?
?
?
R
?
或
??
OP
?
OA
?
ta
?
t
?
R
，
a
为
l
方向向量
?
?
?
?< br>??
?
??
p与a，b共面
?
p
?
xa?
yba，b不共线
??
?
或AP
?
xAB
?
yAC或OP
?
OA
?
xAB
?
yAC
?
xOA
?
yOB
?
zOC
?
其中x
?y
?
z
?1
?
?
??
?
???
空间任一向量p
?
xa
?
yb
?
zca，b，c不共面< br>?
推论：设OABC是不共面四点，则对任一点P有
OP?xOA?yOB?zOC?
x
，
y
，
z?R
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
ab?b?
?
a a?0,
?
?R;a?b?a?b?0
?
?
a
?
b
?
?
cosa,b
?
?
?
?
?
坐 标表示
?
a
?
b
空间向量的
数量积运算
空间向量的
空
间
向
量
与
立
体
几
何
立 体几何中
的向量方法
??
坐标运算
向量距离
直线的方向向量与法向量
向量法证两直线平行与垂直
求空间角
求空间距离
AB?
?
n
?
MP
点到平面的距离：d
?
?
n
?
?< br>n为平面
?
的法向量，
?
??
?
M
?
?
,P
?
?
?
??
线面距、面面距都可转化为点面距.< br>?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
z
2
?z
1
?
?
?
a
?
b
1.求异面直线的夹角
?
:cos
?
?< br>?
?
a
?
b
?
?
a，b为方向向量；
??
a
?
n
2.直线与平面的夹角
?
:cos
?
?
??
a
?
n
??
?
a为直线方向向量， n为平面法向量
?
；
??
n
1
?
n
23.二面角
?
:cos
?
?
??
n
1
?
n
2
??
?
n
1
，n
2
为两平 面法向量
?
.
AB?
2
222
2
?
x??

倾斜角与斜率
倾斜角α［0
0
，180< br>0
）和斜率k=tanα的变化
点斜式：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
第
七
部
分
解
析< br>几
何
直
线
的
方
程
斜截式：
y?kx ?b
直线方程
两点式：
截距式：
y
?
y
1
x
?
x
1
?
x
1
?
x
2
,y
1
?
y
2
?
?
y
2
?
y
1
x
2
?
x
1
xy
??1
?
a?0,b?0
?
ab
Ax?By?C?0
?
AB?0?
一般式：
两直线平行
平面内两条
位置关系
两直线相交
两直线斜交
两直线重合
点点距
点线距
线线距
P
1
P
2
?
注意（1）截距可
正，可负，也可
为0；（2）方程
各 种形式的变化
和适用范围.
k
1
?k
2
，且b
1< br>?b
2
.或A
1
B
2
?A
2
B1
且A
1
C
3
?A
2
C
1
.
两直线垂直
k
1
?k
2
??
1
或A
1
A
2
?B
1
B
2
?
0.
k< br>1
?k
2
或A
1
B
2
?A
2
B
1
.
k
1
?k
2
，且b
1
? b
2
.或A
1
B
2
?A
2
B
1< br>且A
1
C
3
?A
2
C
1
.
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
.
A
2
?
B2
C
1
?
C
2
A
2
?
B2
距离
d
?
d
?
Ax
0
?
B y
0
?
C
两直线夹角
tan
?
?
0
90
0
?
?
k
1
?
k
2
AB< br>?
A
2
B
1
?
?
?
0，
?
?
12
.
?
?
1
?
k
1
k
2
A
1
A
2
?
B
1
B
2
?
AA
?
BB
?
0
?
1212
?
?
第
七
部
分
解
析
几
何
圆
的
方
程
标准方程：
以AB为直径圆方程：
圆的方程
（x-a）
2
+（y-b）
2
=r
2
一般方程：
x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0(D
2
+E
2< br>-4F>0)
?
x?x
1
??
x?x
2
?< br>?
?
y?y
1
??
y?y
2
?
?0
二元二次方程
Ax
2
?
Bxy
?
Cy
2< br>?
Dx
?
Ey
?
F
?
0
表示圆的充 要条件是：
2
2
点在圆内
?d?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
2
点和圆的
位置关系
2
点在圆上
?d?r?
?
x0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
? r
22
2
点在圆外
?d?r?
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
22A
?
C
?
0
?
?
B
?
0?
?
D
2
?
E
2
?
4F
?< br>0
?
相离
直线和圆的
位置关系
相切
相交
相离
圆和圆的位
置关系
相切
相交
空间直角坐标系
??0，或d? r
??0，或d?r
??0，或d?r
弦长公式：代数法：AB
?
1
?
k
2
x
1
?
x
2
?
1
?
k
2
?
x
1
?
x
2
?
2
?
4x
1
x
2
几何法：AB
?
2r
2
?
d
2
(1)利用两圆方程组解的个数是0，1，2；
(2)r
1
?
r
2
?
d
?
r
1
?
r
2
?
相交；
d
?
r
1
?
r
2
?
外切；d
?
r
1
?
r
2
?
内切；
d
?
r
1
?
r
2
?
外离；0
?
d
?
r
1
?
r
2
?
内含.
空间两点间距离、中点坐标公式