(周)高中数学基础知识练习题

高中数学基础知识练习题
一、集合和命题
(问题索引：枚举法写出集合；元 素与集合关系；集合运算；命题的互写；充要条件的判断；子集
与推出关系)
1、已知集合< br>A?
?
xx?
?
?
2?
，x、n?Z
?，试用枚举法写出集合A．
1?n
?
2、已知集合
B??m?1，m< br>2
?3
，
1?B
，则实数m的值是．

3．已知集合
M?
?
0,2,4
?
，请写出满足条件的所有集合M：．
4、已知集合
A?
?
xax?1?0，a?R
?
，
B?xx
2
?1?0，x?R
，且
A?B
，则
a
的值是 < br>5、已知集合
A?
?
x,xy,x?y
?
，
B?0, x,y
，且
A?B
，则实数
x、y
的值分别是．
6、已知 全集
U?R
，
A?
?
x|?1?x?3，x?R
?
，
B?
?
x|x?2a?3或x?a?2，a??5
?
，且
??
??
??
A?(C
U
B)?A
，则实数
a的取值范围是。
7、(1)已知命题A“若
a?0
，则
ab?0
?
a、b?R
?
”
则A的逆命题：；
(2)已知命题B“若
x?2
或
x?3
，则
x?5x?6?0
”
则B的否命题和逆否命题：．
8．已知命题“若
a?0
且
b?0< br>，则
a?b?0
”．
否命题：．
逆否命题：．
9、已知
?
:x?2,
?
:x??2
，则
?
是
?< br>的条件．
10、已知
a、b?R
，则“
a?b
”是“
a?b
”的（ ）．
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件
22
22
2
二、不等式
(问题索引：不等式的基本性质；作差比较法证明不等式；一元二次不等式的解；分式不等式的解；
绝 对值不等式的解；基本不等式及其应用)
1、以下三个条件：（1）
b?0?a
；（ 2）
0?a?b
；（3）
a?b?0
，其中能使不等式
立的序号是＿ ＿＿＿＿；
1 41
11
?
成
ab

2 、已知
a,b,c,d?
R
，且
a?b,c?d
，则下列结论中正确 的是（ ）
（A）
a?c?b?d
（B）
a?c?b?d
（ C）
ac?bd
（D）
3、若
a?b?0
，则下列不等式中不成立的 是（ ）
（A）
ab
?

dc
1111
?
（B）
?
（C）
a?b
（D）
a
2
?b< br>2

aba?ba
4、用差比较法判断大小
(1) 比较
a
2
?b
2
???
c
2
?d
2
?< br>与
?
ac?bd
?
的大小，答；
2
a
2< br>b
2
?
与
a?b
的大小，答； (2)
a?0,b? 0,a?b
，①比较
ba
（3）已知
a?b?0
，比较
a? b与ab?ab
的大小；答；
(4)比较
a?2b
与
b
?
a?b
?
的大小；答。
22
3322
(5) 若
m?n,x?m?mn,y?nm?n
，则
x,y
的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿。 < br>5、已知集合
A?x2x?a?0,x?R,B?xx?2x?3?0
，若
A? B
，则实数
a
的取值范
围是。
6、若
ax?bx?c?0
的解集为
?
2,4
?
，则
cx?bx?a?0
的解 集是。
22
4334
??
?
2
?
7、对
x?R
时，不等式
?
a?2
?
x?2
?
a?2?
x?4?0
恒成立，则实数
a
的取值范围是。
2
8 、解关于
x
的不等式（1）
a
?
ax?1
?
?x? 1
；（2）
x?a?a
2
?
2
?
x?a
3
?0
。
9、求下列分式不等式的解集：
(1)
x?12?x
?0
的解集是；(2)
?0
的解集是；
x?12x?1
x
2
?2x3
1
?
(3)不等式< br>?1
的解集是；(4)不等式的解集是；
x?1x?1
x
11
?2x?5?
的解集是；
x?3x?3
ax?1
?1
?
a?1
?
的解集是。 (6)关于
x
的不等式
x?1
(5)不等式
x?2?
10、 求下列绝对值不等式的解集：
(1)不等式
3x?2?1
的解集是；(2)
x
?2?3
的解集是
x?1
2 41

(3)
1?x
??
?
1?x
?
?0
的解集是；( 4)若
2x?1
?
2x?1
，则
x
的取值范围是；
2x?12x?1
2
的解集为；(6) 不等式
x?|x|?2?0
的解集为；
|?
3x?13x?1
x? 22?x
(5)不等式
|
11、不等式
|x?1|?|x?2|?k
对于任意的
x?R
恒成立，则实数
k
的取值范围是＿＿＿＿。
12、利用基本不等式解决下列问题：
?
（1）已知
x,y?R
， 且
x?y?a
（
a
是常数，
a?R
），则
(xy)
max
?
(
x?
，
y?
时，等号成立)；
?
（2）已知
a,b?R
，且
ab?S
（
S?R
，
S
是常数），则
(a?b)
min
=。
（3）已知x,y?R
，且
x?2y?1
，求
xy
的取值范围；
（4）已知
0?x?2
，求当
x
为何值时，
x
?
5 ?2x
?
的值最大。
(5)函数
y?2?3x?
(6)代数式x?
2
?
?
?
4
?
x?0
?
的最大值是。
x
1
?1
的取值范围是。
2
x?1
1
(7)已知
x?R
，且
x?0
，则
x?
的取值 范围是___________。
x
a?ba
2
?b
2
； ab；；
13、已知
a,b?R
，用符号“
?
”对代数式：进行排序 ，有
11
22
?
ab
?
2
(使等号成立的条件是)。

【中档题】
已知
f
?
x
?
?ax?2
，且不等式
|f(x)|?6
的解集是
?
?1,2
?
，求不等式
x
??
的解集。
f
?
x
?


三、函数的基本性质
(问题索引：函数关系的判断；函数的定义域；函数关系的建 立；函数的运算；函数的奇偶性；函
数的单调性；函数的最值；二分法求函数的零点)
1、判 断下列函数中，函数
f
?
x
?
与
g
?
x< br>?
是否表示同一函数：
3 41

（1）
f
?
x
?
?x,g
?
x
?
?
2
（ 2）
f
?
x
?
?x,g
?
x
?
?
?
x
?
；
2
2
（3）
f
?
x
?
?x,g
?
x
?
?x
；
x
2
；
x
2
?1
（4）
f
?
x
?
?x,x?
?
?1,1
?
,g
?
x
???x,x?
?
?1,1
?
； （5）
y?
与
y?x?1
；
x?1
（6）
y?x
2
?1
与
y?
3
x
3
?1
； （7）
f
?
x
?
?x
2
?2x?1
与g
?
t
?
?t
2
?2t?1
。
2、求下列函数的定义域：
2x?1
2x
x
2
?4
(1)
y?(x?1)?
；（2）
y?
；（3）
y?
。
x?1?1
x?2x?3
x?2
3、(1)已知某等腰三角形的周长为
40m
，腰长为
xm
，底边长
ym
，试用解读式将
y表示成
x
的
函数，并写出函数的定义域。
(2)设
a?
?
x,x?1
?
,b?
?
?x,m?2
?
，其中
x?R
，函数
f
?
x
?
?a?b
（
m
为实数常数），若
f
?
x
?
是偶函数，求
f< br>?
x
?
的函数解读式。
4、直接写出下列函数的值域：
k
(k?0)
； (3)
y?ax
2
?bx?c(a?0)
；
x
1
2
(4)
y?ax?bx?c(a?0)
； (5)
y?x?(x?0，x?R)
。
x
1
2
5、(1) 已知
f
?
x
?
?2x,g
?
x
?
?
，则
f
?
x
?
?g
?
x
??
，（
x?
）；
x
(1)
y?kx?b(k?0)
； (2)
y?
(2)已知
f
?
x
?
?
（
x?
）；
x?1 ,g
?
x
?
??x?1?1
，则
f
?
x< br>?
?g
?
x
?
?
，
1?x
2
,g(x)?x
2
，则
y?f(x)g(x)
的定义域是。 (3)已知
f(x)?
x
6、判断下列函数的奇偶性：
（1）
y?x?x
； （2）
f
?
x
??
23
x
2
?1?1?x
2
； （3）
f
?
x
?
?
11
；
?
2
x
?12
1?x
2
1?x
（4）
f
?x
?
?lnx?x?1
； （5）
f
?
x
?
?
； （6）
y?log
2
；
x?2?2
1?x
?
2
?
x1
?x?2
。
x
2?12
1
7、(1)已知
f
?
x
?< br>?a?
x
是奇函数，则实数
a?
；
2?1
x
?ax?2
是
R
上的偶函数，则实数
a?
。 (2)若函数
f
?
x
?
?
x
2?1
（7）
y?
8、(1)若
f
?
x
?
?ax?bx?cx?8
，且f
?
?
?
?
?7
，则
f
53
?
?
?
?
。
4 41

(2)已知y?f
?
x
?
是定义域为
R
的奇函数，且
x? 0
时，
f
?
x
?
?x?x?
2
1
?1
，当
x?R
时，写
x
出
y?f
?
x< br>?
的函数解读式。
9、写出下列函数的单调区间：
(1)函数
y??x?5
的单调减区间是；
(2)若函数
f
?
x
?
?x
2
?2x?3
，则
y?f
?
x
?
的单调增区间是；
(3)函数
f
?
x
?
?x?
a
?
a?0
?
的单调递增区间是，单调递减区间 是；
x
(4)函数
y?xx?1?1
的单调递增区间是。
10、 已知
y?x?2mx?3m?1
在
[2,??)
上单调增加，则实数
m
的取值范围是。
11、求下列函数的最值：
(1)
y?2x?1?x?2
的最小值；
(2)
y?2
x?1
22
?4
x
的最大值是； < br>2
(3)已知函数
f
?
x
?
?x?2x,x?
?
?1,m
?
，求
f
?
x
?
的最大值和 最小值；
4
,x?
?
1,4
?
的最大值和最小值； 2x?1
1
(5)若
x?1
，则
y?2x?
的最小值是 ；
x?1
(4)求
y?x?
t
2
?2t?2
?< br>1
?
(6)若
t?
?
0,
?
，则
y ?3?
的最值是。
4
t
??
，
是否有零点？答；若有，则他有几个零点，答。 12、 判断函数
f(x)??x?sinx在[?11]
*
13、已知函数
f(x) ?x?x
，问是否存在
n?N
，使
f(n)?1000
成立，答(存 在或不存在)。
3





四、幂函数、指数函数和对数函数
(问题索引：幂函数的性质与图像；指数函数的图像与性质 ；对数的运算；反函数；对数函数的图
像与性质；指数方程；对数方程)
1．若幂函数过点
?
2,
?
，则幂函数的解读式是。
5 41
?
?
1
?
4
?

2．（1）已 知
f
?
x
?
?x
是偶函数，且在
?
0,? ?
?
上递减，
?
?A?
?
?1,?2,?
?
?
?
11
?
,3,
?
，则
f
?
x
?
?
。
23
?
（2）若
f
?
x
?
?x
是奇函数，且在
?
??,0
?
上递增，< br>?
?A?
?
?1,?2,?
?
?
?
11?
,3,
?
，则
f
?
x
?
?
。
23
?
3．函数
f
?
x
?
??1?< br>4．函数
y?
1
的对称中心是，对称轴是。
x?1
b?x< br>?
a?b?0
?
的图像的对称中心是
?
?1,?1
?
，则实数
a
与
b
满足的条件是。
a?x
1
的大致图像，并写出它的单调增区间；
1?x
5．作出函 数
f
?
x
?
?
单调减区间；最大值最小值。
6． （1）
f
?
x
?
?a?b
?
a?0,a?1
?
的图像不过第二象限，则
a
与
b
?
b?R
?< br>满足的条件是。
x
（2）
y?a
?
a?0,a?1
?
在
?
1,2
?
上的最大值比最小值大
x
a
，则
a?
。
2
?
1
?
（3）
y???
?
2
?
x?1
的单调递增区间是。
7、填空题：
a?0,a?1,M,N?R
?

（1）
lo g
a
1?
；
log
a
a?
；
a
l og
a
N
??
?
；
（2）
log
aM?log
a
N?
；
log
a
M?log
a< br>N?
；
（3）
log
a
b?
（换成以
c< br>为底的对数，
c?0
且
c?1
）。
n
n
（ 4）
log
a
M?
；
log
a
n
M?。
8、求下列函数的反函数：
（1）
y??x?2x
?
x? 1
?
；（2）
y?x?1
?
x?0
?
；（3）y?
22
x?1
；（4）
y?x?1
；
2x?1
（5）
y?2
x?1
?2
。
9、已知< br>f
?
x
?
?
a?x
?1?1
的反函数为f
?
x
?
，若
f
?
2
?
?1
，则实数
a?
；
x?a?1
x?2
10、函数
f
?
x
?
?5?a
11、函数
f
?
x
?
?
?
a?0,a?1
?
的反函数的图像必经过定点；
1?ax
?
1
?
a?0,x??
??
的图像关于
y ?x
对称，则
a?
；
1?ax
?
a
?
?1
12．已知
f
?
x
?
?log
2
?< br>x?a
?
的图像过点
?
8,2
?
，则
f6 41
?
x
?
?
。

13.（1 ）函数
y?log
1
?
x?2
?
的定义域是。
2
2
（2）函数
y?lgx?2x?a
的单调减区间是。
（3）函数
y?lgax?x?a
的定义域为
R
，则实数
a
的取值范围是。
（4）若函数
y?lgax?x?a
的值域为
R
， 则实数
a
的取值范围是。
14. 函数
f
?
x
?
?log
a
x
?
a?0,a?1
?
在
?< br>a,2a
?
上的最大值与最小值之比为3，则实数
a?
。
15. 解下列方程：
2
xx
（1）
4?2?6?0
（2）
log
3
x?10?1?log
3
x

x
x?1
（3）
log
3
9?4?1?x
（4）
log
4
12?2?
??
?
2
?
?
2
?
??
??
??
1
?x

2
【中档题】
1.已知函数
f
?
x
?
? log
?
?
2m?1?mx
?
?
?
a?0,a?1
?
是奇函数，定义域为区间
D
，
x?1
?
a< br>?
（1）求实数
m
的值，并写出区间
D
。
（2）若 底数
a?1
，试判断函数
y?f
?
x
?
在定义域< br>D
内的单调性，并说明理由。
2.已知
f
?
x
?< br>?log
2
1?x
?
4
mx
?
?
1
x
?
?
?
x?R
?
是偶函数。
1
2
（1）求实常数
m
的值；（2）
k
为实常数，解关于
x
的不等式：
fx?k?f3x?1
。

????
x
2
?2x?a
,x?
?
1,??
?
， 3.已知函数f
?
x
?
?
x
（1）若
a?
1
，求
f
?
x
?
的最小值。
2
（2）若对任意< br>x?
?
1,??
?
,f
?
x
?
?0
恒成立，试求实数
a
的取值范围。

a?2
x
?
a??1,a为常数
?
4.已知函数
f
?
x
?
?
1?2
x
（1）求函数
f?
x
?
的值域；（2）若对任意
x?
?
0,2010< br>?
，不等式
f
?
x
?
?1
恒成立，求满足条 件的
最小正数整数
a
。

7 41

五、三角比
（问题索引：终边相同角；弧长和扇形面积；任意角三角比定义；三角 恒等式；诱导公式；两角
和与差的正弦、余弦、正切；辅助角公式；倍角公式；万能置换；正弦定理；余 弦定理；解斜三
角形。）
1．（1）若角
?
与角
?
的终边 相同，则角
?
与角
?
的关系是；
（2）
1??
（弧度制）；(3)1弧度=（度）。
2．（1）某扇形的弧 长为
l?43
，面积
S?83
，则圆心角
?
?
；
2
?
，半径为3，则弧长=；面积=；
3
2
3. （1） 已知点
P
?
?3,y
?
在角
?
的终边上，且
sin
?
??
，则
y?
。
3
（2）已知扇形的 圆心角为
（2）点
P(?4m，3m)(m?0)
在角
?
的终边上， 则
2sin
?
?cos
?
?
。
（3）已知角?
的终边过点
P?8m,?6cos60
，且
cos
?
??
4. 已知角
?
的终边与单位圆交点的坐标是
A
?
?< br>?
?
?
4
，则实数
m?
。
5
?< br>34
?
?
,
?
，将
?
的终边绕坐标原点逆时 针转动
30
得
?
55
?
到
?
角，则
?
的终边与单位圆交点的坐标是。
5. 函数
f
?
x
?
?
sinxcosxtanx
??
的值域是。
sinxcosxt anx
sin
2
?
?2sin
?
cos
?
sin
?
?2cos
?
?
； 6. 已知
?2
，则 （1）
22
sin
?
?2cos
?
3sin
??cos
?
（2）
sin
?
cos
?
?
。
7. 已知
sin
?
?cos
?
?t
，用< br>t
表示下列代数式：
（1）
sin
?
cos
?
?
； （2）
sin
?
?cos
?
?
；
（3）
sin
3
?
?cos
3
?
?
； （4）
sin
3
?
?cos
3
?
?
。
n
8. 已知
sin
?
?cos
?
?1
，
n?N
，则
sin
?
?cos
n
?
的取值 范围是。
?
?
1
??
?
?
sin
????cos
9. （1）已知
?
，则
??
?
?
?
?
。
4
?
5
??
4
?
8 41

1
?
?
??
?
?
cos?
?
??si n
（2）已知，则
?
?
?
?
?
。
??< br>3
?
3
??
6
?
10.已知
sin
?
?
?3
?
?
?
1
，则
4
co s
?
?
?
?
?
cos
?
?
?2< br>?
?
??
。
cos
?
?
cos
?
?
?
?
?
?1
?
cos
?
??2
?
?
cos
?
?
?3
?
?
?cos
?
?
?
?
11.化简：
cos
??
?4
?
?
cos
2
?
?
?
?
?
sin
2
?
?
?7
?
?
?< br>。 （1）
2
sin
?
?
?4
?
?
sin
?
5
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?
（2）
3sin
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?2
，则
tan
?
?
。
4sin
?
?
?
?
?cos
?
9
?
?
?
?
?
5< br>?
?
3
?
7
?
?
?
?
?< br>?
，则
sin
?
?
?
?
?
。
?
6
?
4
?
6
?
12. （1）已知sin
?
3
?
??
3
?
???
??
2
sin
?
?
?sin?
?
???
sin
?
?
?
?
tan
?
2
??
2
???
2
?
?
。
cos
?
是方程
2x
2
?x?2?0
的根，（2）则
?
?
??< br>?
?
2
cos
?
?
?
?
cos?
?
?
?
cot
?
2
?
?
?
?
?
2
??
2
?
13.化简下列各式
（ 1）
cos20cos
?
?20
（2）
cos
?
?
?
?
?
?
?
?cos70
?
sin
?
?20
?
?
。
??
?
?
5
?
12
?
????
?
??
?
?
cos?
??cos?
?
?????
cos
?
?
?< br>?
?
。
6
????
12
??
3
?
（3）
cos
??
?
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
sin?
。
4
?
4
?
4
?
4
?
111
,cos
?
?
?
?
?
? ?
，则
cos
?
?
。
714
11
（5） 已知
?
,
?
为锐角，且
cos
?
?
??
?
?,sin
?
?
?
?
?
?
，则
cos2
?
?
；
sin2
?
?
。
714
（4）已知
?
,
?
为锐角，且
cos
?
?
14.把下列式子化为
Asin
?
x?
?
?
的形式：
（1）
cos
?
?3sin
?
?
；（2）
13
sin
?
?cos
?
?
；
22
（3）
cosx?sinx?
； （4）
2cosx?2sinx?
。
9 41

15.（ 1）已知
?
?
?
?
?
0,
?
?
?
?
35
?
?
?
?
，
?
?
?
?
?
?,0
?
，且
cos
?
?
?
?
?
?,sin
?
?
?
?
?
? ?
，则
2
?
513
?
2
?
tan2
?
?
。
（2）已知
sin
?
?
23
?
?
??
?
?
,cos
?
??,
?
?
?
,
?
?
,
?
?
?
,
?
?
，则
sin
?
?
?
?
?
?< br>；
34
?
2
??
2
?
cos
?< br>?
?
?
?
?
，
?
?
?
是象 限角。
16.已知
tan
?
?3
，则
sin2
?
?
，
cos2
?
?
。
17. 已知
?< br>?
?
111?cos2
?
?
3
?
?
,2
?
?
，则
??
。
2
222
??
3
，则
A?
。
?
18.（1）
?ABC
中，若
a?1,C?60,c?
（2）
?AB C
中，若
a?6,b?3?1,C?45
，则
c?
，
A?< br>，
B?
。
（3）
?ABC
中，若
acosA?bcosB
，则此三角形是 三角形。
（4）
?ABC
中，若
sin2A?sin2B
， 则此三角形是 三角形。


【中档题】
1.已知
sin
?
?
cos2x
?
?
?
5
?x
?
?,0?x?
，求的值。
?
4134
??
??
cos< br>?
?x
?
?
4
?

六．三角函数
（问题索引：三角函数的奇偶性、三角函数的最值、三角函数的单调性、周期性、五点作图法、
图像平移 、反三角函数、最简三角方程）
1.（1）函数
y?3sin(?x?
?
3
)
的单调递增区间是。
（2）
y?sinx?cosx
在
?
0,2
?
?
内的单调递减区间是。
（3）
y?2sin x?6cosx?3
，则
y
max
?
；
y
min< br>?
。
2. 下列既是
?
0,
2
?
?
?
?
上的增函数，又是以
?
为周期的偶函数的是。
?
2
?
10 41

2
（A）
y?sin2x
（B）
y?sinx
（C）
y?cos2x
（D）
y?e
sin2x

3. 判断下列函数的奇偶性
（1）
y?sinx?cosx
； （2）
y?sinx
；（3）
y?asinxcosx
?
a?R
?
；
（4）
y?sinx?cosx
； （5）
y?xsinx
。
4.求符合下列条件的
?
（只要写出一个即可）
（1）
y?2 sin
?
2x?
?
?
是偶函数，则
?
?
； （2）
y?2sin
?
2x?
?
?
是奇函数，则
?
?
；
（3）
y?cos
?
x?
?
?是奇函数，则
?
?
；（4）
y?cos
?
x?
?
?
是偶函数，则
?
?
。
5.用五点法作出下列函数在一个周期内的简图：
（1）
y?2sin
?< br>2x?
?
?
?
?
1
?
??
（2）< br>y?cos
?
3x?
?
。
?
；
3
?
26
??
6.
y?2sin
?
2x?
7.填空：
?
?
?
?
?
的一个对称中心是；一条对称轴是。
4
?
（1）由
y?sinx
的图像得到
y?sin
?
2x?
?
?
?
?
?
的图像，需先再。
3
?
（2）由
y?2cos
?
2x?
?
?
?
?
?
??
?
的图像平移得到
y?2sin
?
2x ?
?
的图像，需向 平移个单位。
6
?
3
??
（3）由
y?sinx?cosx
的图像平移得到
y?
?
??
2cos
?
x?
?
的图像，需向 平移个单位。
3
??
8.如图所示是函数
y?Asin(
?
x?
?)(A?0，
?
?0)
的图像，请你根据图中的信息写出该图像
的一个函 数解读式。

9.（1）已知
arcsin
?
2x?1
?
??
?
3
，则
x
的取值范围是。
11 41

（2）已知
arccos
?
x?1
?
?5
?
，则
x
的取值范围是。
6
(3)函数
y ?arcsinx
2
?x
的定义域是，值域是。
10.解下列方程：
（1）
2sinx?1?0
（2）
sinx?cosx??1

?
（3）
2sin5x?15?3?0
则锐角
x?
。 ??
??
（4）
cos
?
?
cosx
?
?0,x?
?
0,
?
3
?
?
的解集是。
?
?
2
?
【中档题】
2
已知
f
?
x
?
?2sinxcosx?2cosx?3
?
x?R
?
。
（1）求函数
f
?
x
?
的最小正周期和单调减 区间；（2）作出函数在
?
0,
?
?
上的简图。



七．数列与数学归纳法
（问题索引：数列的单调性；写出给定项的一个 通项公式；等差数列、等比数列的通项公式与前
n项和公式、等差中项和等比中项；数学归纳法；猜想与 论证；数列极限；无穷等比数列各项的
和）
1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。
（1）
2,6, 12,20,?
；（2）
2,0,2,0,2,0,?
；（3）
7,77,7 77,7777,?
；
（4）
0.4,0.44,0.444,0.4444,?< br>；（5）
5,0,?5,0,5,0,?5,0,?
；
（6）
1,1 ,2,2,3,3,4,4,?
；(7)
3,5,9,17,33,
x
(x?
2x+1
。
2、(1)已知函数
f(x)=
1
，x?R)
，数列
{
a
n
}
满足
2
ì
?< br>2n
-
3(n
?
3)
a
n
=
?(n?N
*
)，则a
4
í
?
?
?
f( a
n-1
)(n
>
3)
。
2*
(2)已知数列< br>{
a
n
}
的通项公式
a
n
=n-an(n? N)
，若
{
a
n
}
是递增数列，则实数
a
的取值范围
是．
12 41

A.(??，-3)B.(??,3)C.(0，2]D.(?3，3)
3、（1）已知数列
?
a
n
?
是等差数列，
a
3
?18,a
7
?3
，则
a
25
=；
*
（2）已知等差数列
?
a
n
?
满足
a
p< br>?q,a
q
?p
（
p?q,p,q?N
），则
ap?q
?
；
S
p?q
?
。(3) 数列
?a
n
?
中，
a
1
?1,a
n?1
?a
n
?
n
1
，则
a
n
=。
n?1
??
4、（1）在等比数列
?
a
n
?
中，已知a
4
?3,a
7
??81
，则
a
18
=；
n
（2）在等比数列
?
a
n
?
中，若其前< br>n
项和
S
n
?3?a
，则
a
2011
=。
10*
(3)已知数列
{
a
n
}
是等 比数列，且
a
4
=3，a
7
=-81，a
m
=-3 (m?N),
则m=．
5、已知
a、b
是两个不相等的正实数，若
P是a与b的等差中项，
Q(Q>0)是
a与b
的等比中项，则
P_____ ____Q(填>、常、、<或=)
．


6、已知数列
{
a
n
}
是各项都为正数的等差数列、
{
b
n
}< br>是各项都为正数的等比数列，且
n?N
，现
*
给出下列命题：
(1)数列
{
2
}
是等比数列；(2) 数列
{
lgb
n
}
是等差数列；
a
n
(3) 数列
{
a
n
+
(4) 数列
n
lgb
n
}
和
{
a
n
-lgb
n
}
都是等差数列；
a
n
n
2
}
和
{
b
{
b赘2
a
n
}
都是等比数列；
其中真命题的序号是．
*
7、已知等差数列
{
a
n
}
中，等式
(m-n)a
m+n
=ma< br>m
-na
n
(m、n?N)
恒成立．运用类比思想方
法，可知 ，在等比数列
{
b
n
}
中，与此类似的等式恒成立．
2< br>2a
n
8、已知数列
{
a
n
}
满足
a
n+1
=
若该数列既是等差数列，又是等比数列，则
a
n
= ．
(n?N
*
)
，
a
n
-5
9、( 1)用数学归纳法证明
11113
?????
的过程中，由
k
增加到
k?1
时，不等式左
n?1n?22n24
1
1111
（B ）+（C）－（D）以上
2
?
k?1
?
2k?12k?22k?12 k?2
边的变化是增加（ ）（A）
13 41

都不对
(2)用数学归纳法证明“
1?a?a???a
所得为（ ）
（A） 1（B）
1?a
（C）
1?a?a
（D）
1?a?a?a

(3) 用数学归纳法证明
223
2n?1
1?a
n?2
?
?
a?1
?
” 在验证
n?1
时，左边计算
1?a
111113
++L++>(n澄2，n
n+1n+2n+n-1n+n24
N
*
)
的过程中，当
n=k
时，记不等式左边为A；当
n= k+1
时，记所要证明的不等式左边为B，若B=A+Q，则Q
应为．
A .
1
1111
+-
B. C. D．A、B、C都不对
2(k+1)
2k+12k+22k+12k+2
10、设< br>f
?
n
?
?1?
111
，则
f
?< br>n?1
?
?f
?
n
?
?
。
????
232n


11、运用归纳猜想方法或递推法解答下列各题：
(1)已知数列
{
an
}
满足
a
1
=1，a
n+1
=a
n
+
1
(n?N
*
)，则a
n
n(n+1)
．
(2)已知数列
{
a
n
}
满足
a
1< br>=a(a?R且a为常数)，na
n+1
(n+1)a
n
(n?N*
)，则a
n
．
*
(3)已知数列
{
an
}
满足
a
1
=1，a
2
=4，且a
n+2
=a
n+1
-a
n
(n?N)
，运用归纳猜想思想方 法，
可知
a
2011
=
．
（4）数列
?
a
n
?
中，
a
1
?5,
a
n?1
n
?
，则
a
n
?
。
a
n
n?1
*
（5）已知数列
{a
n
}
满足
a
1?1,a
2
?1,a
n?1
?|a
n
?a
n? 1
|(n?2,n?N)
，则
a
2011
?
___
*
（6）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
? 1,a
2
?3,a
n?1
?|a
n
?a
n?1|(n?2,n?N)
，则
a
2011
?
___
3n
2
+n+2
100
12、(1) 计算
lim
＝；
n
2n
2
-100n+25
(2)
lim(
n??
147
???
222
n?1n?1n ?1
?
3n?2
)?
；
2
n?1
a
1< br>?a
2
??a
n
?
；
n??
a?a
n100
?a
101
?
(3) 等比数列
{a
n
}
的公比
q?1
，首项
a
1
?b?0
，则
lim
14 41

n
(4) 数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?(1?2x)
，若
lima
n
存在，则实数
x
取值范围是；
n??
11
n?1
1
1??????1
??
2n?1
53n?1
??
2
222
(5)lim
?
2
?
2
???
（6）
lim
=；
?
=；
2
n??
n
n??
111
n
nn
??
?1??
2
???
?
?1
?n
333
1
13、(1)已知等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?
n
?a
，则 该数列各项的和=。
3
(2)化简：
0.16?0.016?0.0016???
。
( 3)设
S
n
是无穷等比数列的前
n
项和，若
limS
n
?
n??
1
，则首项
a
1
的取值范围是。
4



【中档题】
1、已知各项为正数的数列
?
a
n
?
的前n项的和为
S
n
，且满足
S
n
?(
(1)求
a
n
；
a
n
?1
2
)(n?N
*
)
。
2
?
a
n
(n为奇数)
?
n*
(2)记
f (n)?
?
n
，
c
n
?f(2?4)(n?N)
， 求
?
c
n
?
的前n项和
T
n
；
f()(n为偶数)
?
?2
(3)已知
m?n?3k(m?n，m、n、k? N)
，且
S
m
?S
n
?
?
S
k< br>恒成立，试求实数
?
的最大值。
*
2、
在数列
?
a
n
?
中，若
a
1
?3，a
n?1?
a
n
?tanb
n
(
n?N
*
) ．
(1)证明
a
3
?tan
2
1?a
n
?1
a
n
(n?N
*
)
，数列
?
b
n
?
满足
0?b
n
?
?
，且
2
?
；
12
(2)求数列
?
b
n
?
的通项 公式
b
n
；
(3)记
S
n
为数列
?b
n
?
的前n项和，试问是否存在实数
?
，使得对任意的
n?N
，不等式
*
(?1)
n
S
n
?
n
?b
n
恒成立？若存在，求出
?
的值；若不存在，请说明理由。

15 41

八．平面向量的坐标表示 < br>（问题索引：向量的坐标表示及其运算；向量的数量积、向量的夹角；向量的投影；向量的平行
与 垂直的条件；平面向量的分解定理；向量的应用）
1、(1) 已知点
A(?1,5)
和向量
a?(2,3)
，若
AB?3a
，求点
B
的坐标是 。
(2)已知向量
OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)
，且
A,B,C
三点共线，则实数
k
=。
2、已知
a?( 1,2),b?(?3,2)
，若
(ka?b)(a?3b)
，则实数
k=。
3、(1)已知
?ABC
的顶点
A(?1,?2),B(2,3) ,C(?7,8)
，则
?ABC
的重心
G
的坐标是。
(2) 已知点
A(?7,2),B(2,?5)
，点
P
在
AB
所在直线上，且
AP??7PB
，则点
P
的坐标是。
4、（1）已知向量
a
与
b
的夹角为
?
，且
sin
?
?
3
,|a|?5
，则
a
在
b
的方向上的投影是 ；
5
（2）在
Rt?ABC
中，
?ACB? 90
，
|AC|?3
，则
AC?AB
=。
(3)已知|a|?2,|b|?3,a
与
b
的夹角为
30
，
|a ?b|
=；
（4）已知
a?(1,?1),b?(2,1)
，若
m a?b
与
a?mb
垂直，则实数
m
=。
5、(1)已知向 量
a?(?2,1)
，则与
a
垂直的单位向量坐标为。
(2) 已知
?ABC
是边长为2的正三角形，则
AB?BC?BC?CA?CA?A B?
。
?
?
?
?
（3）
a
与
b
的夹角为60°，则
a
在
b
方向上的投影=__________
?
?
?
?
?
?
?
?
（4）
a
、
b
是非零向量，若
|a?b|?|a?b|
，则
a
与
b
的夹角=______
6、(1)已知
OA,OB ,OC
三个向量中，任何两个向量的夹角是
120?
，且
|OA|?|OB| ?|OC|
，则
OA?OB?OC?
_________。
(2) 已知< br>a?(t,3),b?(1,?2)
，若
a
与
b
的夹角为钝角 ，则实数
t
的取值范围是。
7、若向量
e
1
与
e
2
不平行，
a?3e
1
?2e
2
,b?e
1
?me
2
，又若
a
与
b
共线，则实数
m ?
。
8、已知
P
)
P
1
(3,1),P
2
(?1,3)
，且
OP
1
,P
2
,P
3
三点共线，O是坐标原点，若
3
?(5,0
，
16 41

m?
，
n?
。
OP
3
?mOP
1
?nOP
2
，则

九．矩阵和行列式初步
（问题索引：线性方程组的系数矩阵和增广矩阵；二阶行列式；二元一 次线性方程组的解；三阶
行列式：按对角线展开、按行或列展开；三元一次方程组的解）
?
x??3,
?
m06
?
1、 若关于x, y的二元一次线性方程组的增广矩阵为
?
，且该方程组的解为
?
?
03ny?4.
???
则
mn
的值为．
y
?
112
?
x
2、 若关于x, y的二元一次线性方程组的增广矩阵为
?
=．
?
，则
01?2??
3、系数矩阵为
?
?
x
??
1
?
?
12
?
，且解为
??
?
??
的一个二元一次线性 方程组是。
?
?
y
??
1
?
?
21?
2x1
?x
2
?1
x
中含
x
3的项的系数是。
x
4、函数
f
?
x
?
??x
1
a?111
5、若行列式
a?102?3
，则实数
a?< br>。
a
6、方程
03
lgx2?lgx
1lgx
?0
的解是
7、方程组
?
?
?
x?y?1
有唯一解， 则实数λ的取值范围是____。
?
x?
?
y?
?
?x?y?z?6,
?
8、用行列式解三元一次方程组
?
3x?y?2z? 7,

?
5x?2y?2z?15.
?


十．算法初步
（问题索引：
明确算法意义，体会算法思想；理解程序框图的逻辑结构 ：顺序结构、条
件结构、循环结构
）

17 41

1、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是( )
A．4B．5 C．6 D．7
开始
k?0,?S?0
S<100
是
否
S?S+2
S
输出
k
结束
k?k?1

2、(1)下图是一个算法的程序框图，已知
a
1
?1
，输出结果b=10，则
a
2
?
．
(2)下图是一个算法的程序框图，则输出的
k
的值是．

(1) ( 2)
3、某算法的流程图如右下图所示，则该算法输出的n值是．






4、下图所示的程序流程图输出
I
的结果是______________．



18 41
开始
n←1
n←n+1
2
n
＞n
2

是
输出
n
结束
否

开始


S←1
I←3
是
S > 100

5 、下面是用区间二分法求方程
2sinx?x?1?0
在
[0，1]
内的一个 近似解(误差不超过0.001)的算
法框图，如图2所示，则判断框内空白处应填入，才能得到需要的 解．







十一．坐标平面上的直线
（问题索引：直线的点方向式方程、点法式方程；直线的倾角、斜率 ；直线的点斜式方程、一般
式方程；两直线的位置关系；两直线的夹角；点到直线的距离）

19 41

1、直线
l
经过点
A(?3,1)和 点B(4,?2)
，则
(1)直线l的点方向式方程是；(2)直线l的点法向式方程是。
2、已知点
A(?1,2)和点B(3,4)
，则线段AB的垂直平分线l的点法向式 方程是．
3、已知直线
l
过点
A(1,2)
、
B(3,1 )
，则
l
的方向向量=；法向量=；
斜率=；倾斜角=。
?
4、直线l过点（－1，－2），方向向量
d
=（－1、－1），则直线l的点斜式方程为_____。
5、已知b是常数，（1）直线y=kx+b可表示斜率存在的直线，且恒过定点_____；
（2）直线x=my+b（m∈R）可表示斜率不为零的直线，且恒过定点_____。
6、 （1）写出直线
3x?4y?5?0
的一个法向量；一个方向向量；斜率；倾斜角。
（2）直线方程
ax?by?c?0
(b?0)
的一个法向量；一个方向向量；斜率； 倾斜角。
(3) 直线
ax?y?4a?2?0(a?0)
在
y
轴 上的截距是它在
x
轴上的截距的4倍，则实数
a?
．
7、下列说法正确的是． < br>(1)若直线l的倾斜角为
?
，则
0?
?
?
?
；
(2)若直线l的一个方向向量为
d?(u,v)
，则直线l的斜率
k ?
22
v
；
u
(3)若直线l的方程为
ax?by?c? 0(a?b?0)
，则直线l的一个法向量为
n?(a,b)
．
A .(1)(2) B. (1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
8、已知直线
3x?y?0
与直线
kx?y?1? 0
的夹角为
60
，则实数k= .

9、已知直线l
:y? kx?1
与两点
A(?1,5)、B(4,?2)
，若直线l与线段AB相交，则实数 k的取值
范围是．
10、直线l与直线
l
1
:x?3y?3?0
的夹角为


2
11、（1）直线
l
1
:ax?y?2?0
和
l
2
:x?(2?a)y?a?4?0
，且
l
1
l
2
，则
a?
；
?
，且经过点
(3,23)
，则直线
l
的直线方程是 3
（2）直线
l
1
:mx?4y?2?0
和
l
2
:2x?5y?n?0
，且
l
1
?l
2
，垂足为
(1,p)
，则
m?n?p?
。
【中档题】
2
1、
已知直线
l
1
:x?my?6?0,l
2
:(m?2) x?3my?2m?0.
讨论当实数m为何值时，
20 41

(1)
l
1
与l
2
相交； (2)l
1
l
2
； (3)l
1
与l
2
重合.


2、当实数
m
为何值时，三条直线“
l
1
:4x?y?4?0
，
l2
:mx?y?0
，
l
3
:2x?3my?4?0
”< br>不能构成三角形．

3、 已知直线
l:ax?by?c?0(a?b?0 )
，点
P(x
0
，y
0
)
是直线l外一点，记点P 到直线l的
距离d，求证
d?
22
|ax
0
?by
0
?c|
a?b
22
。


十二．圆锥曲线
（问题索引：曲线与方程；圆的方程；椭圆的规范方程及其性质；双曲线的规范方程及其性质；
抛物线的规范方程及其性质；直线与圆锥曲线的综合应用）

1、点P（1，2）既在曲线f(x,y)?0
上，又在曲线
x?ay?
?
f(x,y)?5(
?
?R)
上，则实数
22
a
________。
2、已 知平面内动点M到点
F(?,0)
和直线
2x?1?0
的距离相等，则点M的 轨迹方程是。
3、已知“曲线C上的点的坐标都满足方程
f(x,y)?0
”是正确 的，给出如下命题：
（1）不是曲线C上的点的坐标都不满足方程
f(x,y)?0
；
（2）坐标满足方程
f(x,y)?0
的点都在曲线C上；
（3）曲线C是方程
f(x,y)?0
的曲线； （4）方程
f(x,y)?0
的曲线不一定是C。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿（把你认为正确的代号都填上）。
4、曲线
C:(x?1)?(y?2)?xy?1
关于(1) x轴对称的曲线方程为；(2) y轴对称的曲线方程为；
(3)直线
y?x
对称的曲线方程为；(4)直线
y??x
对称的曲线方程为；
5、(1) 直线l过点
(?1,2)
且与圆
(x?1)?y?4
相切，则直线l的方程是=。
(2)已知
P( 3,4)
、
Q(?5,6)
两点，则以
PQ
为直径的圆的方程是=。
(3)已知a是实数，则方程
x?y?ax?y?3?0
所表示的曲线可能是=。
22
22
22
1
2
21 41

(4)以点
P(1，?2)
为圆心，且与直线
l
：
3x?4y?1? 0
相切的圆的方程是 ．
(5)直线
y?2x
被圆
x?y?4x?0
所截得线段的长为 ．
(6)已知集合
M?
?
(x，y)|y?kx?1
?
，N? (x，y)|y?1?(x?2)
2
，且
M?N??
，
则实数
k
的取值范围是 ．
(7)如果实数
x、y
满足等式
(x?4) ?y?4
，那么
22
22
22
??
y
的最大值是 ．
x
(8)若圆
x?y?8x?10y?16?0
上有三个点到直线
2x?y?b?0
的距离相等，则实数
b
的值是=。
6、已知圆
C
1
：
x?y?2x?2y?1?0
与圆
C
2
：< br>x?y?6x?2y?m?0
，则(1)两圆外切时，
实数
m
=；(2 )两圆内切时，实数
m
=。
7、(1)动点P（x,y）满足
(x?2)? y?(x?2)?y?2m(m?0)
,则动点P的轨迹可能是
______________ __；
(2)已知椭圆焦点
F
1
(?2,0),F
2
(2 ,0)
，点P(
0，5
)在椭圆上，则椭圆的规范方程是；
2222
2222
2)
，则椭圆的规范方程是 ； (3)椭圆的长轴长为< br>42
，且过点
(?2，
(4)曲线
2x?3y?1
的焦点坐标 是______________；_
22
x
2
y
2
?? 1
（m>0,m≠4）恒有交点，则实数m的取值范围是_____ 8、(1)若直线y=kx+1与
4m
(2) 已知点
A(?2,0)
、B(2,0)
两点，
P
是坐标平面上的动点，且
|PA|?|PB|?6
，
O
是坐标原
点，则
|PO|
的取值范围是.
x
2
?y
2
?1
的两个焦点，点
P
在椭圆上。 9、 已知
F
1
、
F
2
是椭圆
10
（1）若PF
1
?PF
2
，则这样的点
P
的个数是个；
（2）若
?F
1
PF
2
是钝角，这样的点
P
有个 ，点
P
的横坐标的取值范围是；
（3）若
?F
1
PF2
是锐角，这样的点
P
有个，则点
P
的横坐标的取值范围是。
10、(1)双曲线
16x?9y?1
的顶点坐标；焦点坐标；渐近线方程。
(2)动点P（x,y）满足
22
(x?3)
2
?y
2< br>?(x?3)
2
?y
2
?2m(m?0)
，则动点P的轨迹可 能是
22 41

_____；
(3)点
F
1< br>(?3,0),F
2
(3,0)
，若满足条件：
|MF
1|?|MF
2
|?2m?1
的动点
M
的轨迹是椭圆，满足条件
||NF
1
|?|NF
2
||?2m?1
的动点N
的轨迹是双曲线，则实数
m
的取值范围是；
（4）已知双曲线过点< br>P(4,?1)
，它的一条渐近线的方程是
y??
1
x
，求双 曲线的方程；
2
x
2
y
2
?1(a?0)
的一条 渐近线方程为
3x?2y?0
，（5）已知左右焦点分别为
F
1
,F
2
的双曲线
2
?
a9
P
是双曲线上一点。若
|PF
1
|?3
，则
|PF
2
|?
。
x
2
y
2
??1
的焦距长是
23
，那么实数
m
的值是 ． (6)如果双曲线
m?12?m
x
2
y
2
??1
表示双曲线”的 11．“
k?9
”是“方程
9?kk?4< br>（
A
）充分不必要条件．（
B
）必要不充分条件．（
C
）充要条件．（
D
）非充分非必要条件．
12、(1)
双曲线C过点(2 ，3)，且其中一条渐近线是
y??3x
，则双曲线C的规范方程是．
(2)双曲线 的一条渐近线方程为
3y?2x?0
，若双曲线过点
(2,1)
，则双曲线方 程为；若双曲线
的一个焦点是
(26,0)
，则双曲线方程为。
13、(1 )在平面直角坐标系内，到点
A(1,1)
和直线
l:x?2y?3?0
的距 离相等的点的轨迹是（ ）
（A）直线 （B）抛物线 （C）椭圆 （D）双曲线
(2)抛物线
y??2x
的焦点坐标是．
(3)直线
y?x?1
被抛物线
y?8x
所截得线段的中点坐标是．
(4)若过点
(0，?1)
的直线l与抛物线
y?2x
有且只有一个 交点，则这样的直线l共有
条． A 1 B 2 C 3 D 4

14、(1)已知点
A(3,2)
，
F
为抛物线
y?4x
的焦点，若点
F
在抛物线上运动， 当
|PA|?|PF|
的
最小值时点
P
的坐标是。
2
2
2
2
?2)
，则抛物线的规范方程是； (2)已知抛物线过点
A(4，
(3)已知点
A(4，m)
在抛物线< br>y?2px(p?0)
上，且点A到抛物线焦点的距离为8，则抛物
线的规范方程为。
23 41
2

【中档题】
1、已知点P是直角坐标平面
xoy
上的动点，
A(a，、0)A
?
(?a，0)(a?0)是两个定点，过P点作直
线
AA
?
的垂线，垂足为D．若
|PD |?k|AD||A
?
D|
(其中k是不为零的常数)，求动点P的轨迹．
22


2、
已知直线l：
y?ax?1
与双曲线 C：
3x
2
?y
2
?1
相交于A、B两点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)当实数a取何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．

3、已知抛物线
y?4x
，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．
(1 )若直线l与抛物线交于两点A、B，且
OM?AB
(O是坐标原点，M是垂足)，求动点M的 轨
迹方程；
(2)若C、D两点在抛物线
y?4x
上，且满足
OC ?OD??4
，求证直线CD必过定点，并求出定
点的坐标．

4、已知点
P
是直角坐标平面内的动点，点
P
到直线
x??
2
2
p
?1
(
p
是正常数)的距离为
d
1
， 到点
2
p
F(，0)
的距离为
d
2
，且
d
1
?d
2
?
1．
2
(1)求动点P所在曲线C的方程；
(2)直线
l
过点F且与曲 线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线
l
1
:x??
对应的垂足分 别为
M、N
，求证
FM?FN
=
0
；
2
S
2
(3)记
S
1
?S
?FAM
，
S2
?S
?FMN
，
S
3
?S
?FBN
(A、B、
M、N
是(2)中的点)，
?
?
，求
?
的
S
1
S
3
p
的垂线，
2
值．
5、已知点
P
是直角坐标平面内的动点，点
P
到直线
l
1< br>：x??2
的距离为
d
1
，到点
F(?1，0)
的距
离为
d
2
，且
d
2
2
．
?
d
1
2
(1)求动点P所在曲线C的方程；
(2)直线
l
过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直
线
l
1
:x??2
的垂线，对应的垂足分别为
M、N
，试 判断点F与以线段
MN
为直径的圆的位置关
24 41

系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；
(3)记
S
1
?S
?FAM
，
S
2
?S
?FMN
，
S
3
?S
?FBN
(A、B、
M、N
是(2)中的点)，问是 否存在实数
?
，
2
使
S
2
?
?
S
1
S
3
成立．若存在，求出
?
的值；若不存在，请说明理由 ．
a
2
进一步思考问题：若上述问题中直线
l
1
:x??
、点
F(?c，0)
、曲线C：
c
2
x
2
y
2
22
S?
?
S
1
S
3
成立的
?
的值仍保持不变．请给出你的，则使等式
??1(a?b?0，c?a?b)
2
22
ab
判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．


十三．复数
（问题索引：复数的概念；复数的相等；复数的坐标表示、向量表示；复数的模及 其几何意义；
复数的共轭、加减乘除运算；复数的开方；实系数一元二次方程）

1、若复数
z?a?bi(a、b?R)
是虚数，则a、b应满足的条件是.
A.a?0,b?0B.a?0,b?0
C.a?0,b?RD.b?0,a?R
< br>22
2、(1)已知
z
1
、z
2
?C
且都是 非零复数，若
z
1
?z
2
?0
，则
z
1< br>?
；
z
2
?
(写出满足条件一组即可)；
(2) 已知
x?y?
?
2xy?6
?
i?0
?
x,y?R
?
,则
x?y
的值是；
22
(3) 已知
OA? (5,?1),OB?(3,2)
，则
AB
在复平面上所对应的复数是.
A.5?iB.3?2iC.2?3iD.?2?3i

Imz
1
? Imz
2
?0
，则
z
1
、z
2
在复平面上 的对应点 (4)若复数
z
1
、z
2
满足：
Rez1
?Rez
2
?0，
Z
1
、Z
2

A．关于实轴对称 B．关于虚轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线
y??x
对称
3、已知复平面上的点
Z
对应的复数 为
z?x?yi
(i是虚数单位，
x、y?R
)，当
|z?2i|? |z?2i?|
时，则点
4
Z
所在曲线的方程是．
4、(1)已知 复数
z?|2?3i|?3i
，则
|z|
=．(2)已知复数
z?3 ?4i?12i
,则
z
=；
(3)复数
z?3?ai
?
a?R
?
,若
z?5
,则
a
的取值范围是；
25 41

(4)设
a,b?C
,且
ab ?2ai?2bi?1?0
,若
b?0
,则复数
a
=；

(5)复数
z
满足
z?i?3?4i,z
对应点Z,则点Z 的轨迹是 ( )。
A
.直线
B
.两条直线
C
.圆
D
.椭圆
5、(1)计算
1?i?________
(i是虚数单位，以下同)
．
1?i
(4?3i)
2
(3?i)
2
(2) 填空
z?
，则|
z
| =_____；
6
(1?i)
(3) 解方程
z(1?i)?2
，则z=；若 复数
z
同时满足
z?z?2i
，
z?iz
，则
z?
。

6、(1)已知
z?x?yi
(x,y?R)
，且z?1?i?1
，则
z?2?3i
的取值范围是。
(2)已知
f(z)?1?z
，
z
1
?2?3i
，
z
2
?5?i
，则
f(z
1
?z
2
)
=。
(3) 已知
z?1
，
1?z?1
，则
z
=；
(4)
已知复数
z
满足
(1?2i)z?3?4i
，则< br>z
=。

7．
?3?4i
的平方根是。
8、已知< br>z
满足
z?z?(1?2i)z?(1?2i)z?3
，则
z

=。
9、已知复数
z
满足条件
z?1
，则
2z2
?z?1
的最大值=，最小值=。
10、已知
z?x?yi
(x,y?R)
，则分别满足下列条件的点
z(x,y)
的轨迹是。
（1）
z?1?2
；（2）
z?z
1
?r
；（3）
z?z
1
?z?z
2
；
（4）
z?z?a(z?z)?b?0
(a,b?R,a?b?0)

（5）
z?a
+
z?a?3a
(a?0)
；（6）
z?a ?z?a?a
(a?0)
。

2
11、（1）在复数集内解方程
x?x?1?0
，
x
=；

2
（2）在复数集中，把下列各式分解成一次因式的积 ：
2
①
2x?4x?5
=
；
2
②
x?4
=
；
③
x?y
=。

44
26 41

（3）已知
2i?1
是关于
x
的方程
x
2
?ax ?b?0
的一个根，则实数
a,b
的值分别是。
(4)已知方程
x
2
?mx?2?0
(m?R)
的两根为
?
,
?，若
?
?
?
?2
，则
m
=。
12、 若
?
,
?
是方程
x
2
?x?1?0
的两根 ，则
?
?
?
?
，
2
33
1
??
1
?
?
。
13、(1)已知
x
1
?2?3i
是关于
x
的方程
px?qx?1?0
(q,q?R)的一个根，
则方程的另一个根为，
p
=，
q
=
。 < br>(2)已知关于
x
的方程
x
2
?2x?m?0
(m? R)
的两根为
?
,
?
，且
?
?
?
?1
，则实数
m
=。

【中档题】
1、已知关于
x
的实系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
有两个虚数根x
1
、
x
2
，若
|x
1
?x
2
|?2
，且
2?ai?c?1?i
，求方程的根
x
1、
x
2
．
2、已知关于
x
的方程
x?px? 1?0(p?R)
的两个根为
x
1
和
x
2
，且|x
1
|?|x
2
|?3
，求
p
的值。 2
3、设关于
x
的实系数方程
x?ax?b?0
的两根依次为< br>?
,
?
，关于
x
的实系数方程
2
x
2
?bx?a?0
的两个实根依次为
?
?1,
?
?1
，求
?
,
?
的值。
4、已知虚数
z
满足：
|2z?5|?|z?10|
。
（1）求
|z|
；
（2）是否存在实数
m
，使
z m
?
为实数？若存在，求出
m
的值，不存在说明理由；
mz
（3）若
(1?2i)z
在复平面上对应点在第一、三象限的角平分线上，求复数
z
。
十四．空间直线与平面
（问题索引：平面的基本性质；直线与直线的位置关系； 直线与平面的位置关系；平面与平面的
位置关系）

1、给出下列四个命题：
（1）空间三点确定一个平面；(2)两个不同的平面不可能有两条(或以上)不同的公共直线；
(3)两两相交的三条直线必在同一平面内；（4）两两平行的三条直线必在同一平面内；
（5）四边相等的空间四边形一定是菱形；（6）在空间中，有三个角是直角的四边形一定是矩形。
27 41

其中错误命题序号是。
2、给出下列命题：
（1）一直线与两个平面
?
,
?
所成的角相等，则此两平面平行；
（2）若平面
?
平行于平面
?
，则平面
?
内任意一 直线都与平面
?
平行；
（3）若一条直线上有两个点到平面
?
的距 离相等，则该直线与平面
?
平行；
（4）若平面
?
上有三个不共线 的点到平面
?
的距离相等，则
??
；
（5）分别在两个平行平面内的两直线的位置关系是平行或异面。
其中正确的命题序号是。
3、设
m,n
是两条不同的直线，
?
,
?
,
?
是三个不同的平面，给出下列四个命题：
（1）若
m?
?
,n
?
，则
m?n
； （2）若
?

?
,
?

?
,m?
?< br>，则
m?
?
；
（3）若
m
?
,n
?
，则
mn
； （ 4）若
m?
?
,m?
?
，则
?

?
。
其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿＿（把你认为正确的都填上）；
4、有下列四个命题 (
a、b为不同的直线，
?
、
?
、
?
为不同的平面
)：
①若
a
?
，b?
?
，则a?b；
② 若
ab，
??
，a?
?
，则b?
?
；
< br>③若
?
?
?
，
?
?
?
，则
?
?
?
；
④
a
?
，a
?
，则??
．
其中正确命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号都填写上)．
5 、已知
a、b、c为三条不同的直线，
?
、
?
是两个不同的平面，给出下列三个命题：
①若
ab，则a与c所成的角和b与c所成的角相等；

②若
ab，则a与平面
?
所成的角和b与平面
?
所成的角相 等；

③若
?
则a与平面
?
所成的角和a与平面
?
所成的角相等
．
?
，
则正确命题的个数是
（
A
）0． （
B
）1． （
C
）2． （
D
）3．
6、已知
a、b
是两条异面直线，则下述命题正确的是
（
A
）
a、b
的公垂线不一定只有一条．
（
B
）过直线a有且仅有一个平面
?
与b平行．
（
C
）存在一个平面与
a、b
都垂直．
（
D
）过空间任意一点P必可作一条直线与
a、b
都相交．
7、判断题正确与错误：
(1)若平面
α
上的无数条直线与平面
β
平行，则
α||β
。
28 41

(2)若平面
α
上有不共线的三点到平面
β
的距离相等，则
α||β
。
(3)若平面
γ
与平面
α、β
都相交，且两条交线平行，则
α||β
。
8、平面
?
∥
平面
?
的一个充分条件是( )。
Ａ．存在一条直线
a，a||α，a||β

Ｂ．存在一条直线
a，a?
?
，a∥
?

Ｃ．存在 两条平行直线
a，b，a?
?
，b?
?
，a∥
?
， b∥
?

Ｄ．存在两条异面直线
a，b，a?
?
，b??
，a∥
?
，b∥
?

9、已知两条直线
m, n
，两个平面
?
,
?
，给出下面四个命题：
①
m n,m?
?
?n?
?
②
?

?
,m?
?
,n?
?
?mn

③
mn,m
?
?n
?
④
?

?
,mn,m?
?
?n?
?

其中正确命题的序号是。
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
10、已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是。
A.m??,n??,m
∥
?
，n∥
?
?
?
∥?

B.
?
∥
?
，
m?
?
, n?
?
，
?
m∥n
C.m⊥
?
，
m⊥n
?
n∥
?

D.n∥m，n⊥
?
?
m⊥
?

【中档题】 1、在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D1
中，
AB?2a
，
BC?BB
1
?a
。
（1）用反证法证明
AB
1
与
BC
1
是异面直线；
（2）求异面直线
AB
1
与
BC
1
所成角的大小。





29 41
A
D
B
C

D
1
C
1
B
1
A
1