2020人教A版数学必修二 2.1.2

第二章 2.1 2.1.2

A级 基础巩固
一、选择题
1．异面直线是指( D )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴
A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是
相交的情况，∴ B应排除．
对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.

2．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，与对角线AC
1
异面的棱有( C )
A．3条
C．6条
B．4条
D．8条
[解析] 与AC
1
异面的棱有：A
1
D
1
，A
1
B
1
，DD
1
，CD，BC，BB1
共6条．
3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( D )
A．a∥c
C．a、c相交
B．a、c是异面直线
D．a、c平行或相交或异面
[解析] 例如在正方体ABCD－A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，取AB，CD所在直线分别为a，c，B1
C
1
所在直线为b，满足条件要求，此时a∥c；又取AB，BC所在直线分别 为a，c，DD
1
，所在
直线为b，也满足题设要求，此时a与c相交；又取AB，C C
1
所在直线分别为a，c，A
1
D
1
所在直线为b，则此 时，a与c异面．故选D.
4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为( D )
A．1条
C．3条
B．2条
D．0条或1条
[解析] 以如图所示的正方体ABCD－A
1
B
1
C
1< br>D
1
为例．

令A
1
B
1
所在直线为直线l，过l外的两点A、B可以作一条直线与l平行，过l外的 两点
B、C不能作直线与l平行，故选D.
5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、 BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF
与CD所成的角为( A )
A．30°
C．60°
B．45°
D．90°
[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中 ∠EFH＝90°，
HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，
故选A.

6．下列结论中，正确的结论有( B )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)
相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个
C．3个
[解析] ②④是正确的．
二、填空题
AEAH
7 ．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝
ABAD
1CFCG1
＝，＝＝，则四边形EFGH形状为_梯形__.
2CBCD3
B．2个
D．4个

[解析] 如右图
AEAH1
在△ABD中，∵＝＝，
ABAD2
1
∴EH∥BD且EH＝BD.
2
CFCG1
在△BCD中，∵＝＝，
CBCD3
1
∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH>FG，
3
∴四边形EFGH为梯形．
8．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D ′中，M、N分别为CD、AD的中点，
则MN与A′C′的位置关系是_平行__.

[解析] 如图所示，MN
又∵ACA′C′，
∴MN
1
A′C′.
2
1
AC，
2
三、解答题
9．在平行六面体ABCD－A
1
B
1C
1
D
1
中，M、N、P分别是CC
1
、B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点．
求证：∠NMP＝∠BA
1
D.

[解析] 如图，连接CB1
、CD
1
，∵CDA
1
B
1
，

∴四边形A
1
B
1
CD是平行四边形，
∴A
1
D∥B
1
C.
∵M、N分别是CC
1
、B
1
C
1
的中点，
∴MN∥B
1
C，∴MN∥A
1
D.
∵BCA
1
D
1
，∴四边形A
1
BCD
1
是平行四边形，∴A
1
B∥CD
1
.
∵M、P分别是CC
1
、C1
D
1
的中点，∴MP∥CD
1
，
∴MP∥A
1
B，
∴∠NMP和∠BA
1
D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP＝∠BA
1
D.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列说法中正确的是( B )
A．若两直线无公共点，则两直线平行
B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行
C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线
D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线
[解析] 对于A，空间两直线无公共点， 则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；
对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该 点的直线是相交直线，故C不
正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图 的三棱锥A－BCD
中，l
1
与l
2
为异面直线，BC与AC均与l
1
，l
2
相交，但BC与AC也相交，故D不正确．

2．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四
边形是( D )
A．梯形
C．平行四边形
B．矩形
D．正方形
[解析] ∵E、F、G、H分别为中点，如图．

∴FGEH
1
BD，
2

HGEF
1
AC，
2
又∵BD⊥AC且BD＝AC，
∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形．
3．点E、F分别是三棱锥P－A BC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则
异面直线AB与PC所成的角为( D )
A．60°
C．30°
B．45°
D．90°
11
AB，GFPC，则∠EGF(或
22
[解析] 如图，取PB的中点G ，连结EG、FG，则EG
11
其补角)即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝AB ＝3，FG＝PC＝4，EF＝5，所以
22
∠EGF＝90°.

4．如 图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的
中点，并且异面 直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于( A )

A．5
C．8
B．6
D．10
[解析] 如图，取AD的中点P，连 接PM、PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即
11
异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.
22

二、填空题
5．如图正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，与AD
1
异面且与AD
1
所成的角为 90°的面对角线(面
对角线是指正方体各个面上的对角线)共有_1_条．

[解析] 与AD
1
异面的面对角线分别为： A
1
C
1
、B
1
C、BD、BA
1
、C< br>1
D，其中只有B
1
C和
AD
1
所成的角为90°.

6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为_①②__.
[解析] 把正方体平面展开图还原到原来的正方 体，如图所示，EF与MN是异面直线，
AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．

7．已知a，b是两条异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系是_相交或异面__.
[解析] 两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．若a，b是两条异面直线，
直线c ∥a，则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行．要说明这一点采用
反证法比较简单．具 体过程如下．
∵a，b是两条异面直线，直线c∥a，过b上任意一点可作与a平行的直线c，此时c
与b相交．另外c与b不可能平行，理由如下．
若c∥b，则由c∥a，得a∥b，这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．
三、解答题
8．已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边 BC上的高，DF
是△BCD的边BC上的中线，求证：AE与DF是异面直线．
[解析] 由已知，得E、F不重合．
设△BCD所在平面为α，
则DF?α，A?α，E∈α，E?DF，
∴AE与DF异面．
9．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻

折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点， 求证：四边形EFGH
为平行四边形．
[解析] ∵梯形ABCD中，AB∥CD，
E、F分别为BC、AD的中点，
1
∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)，
2
又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.
∵G、H分别为AD′、BC′的中点，

11
∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，
22
∴GHEF，∴四边形EFGH为平行四边形．