高中数学平面向量课件-高中数学必修二向量的知识笔记
(必修二)第二章 点、直线、平面之间的位置关系
一、
知识网络
二、高考考点
1、空间直线,空间直线与平面,空间两个平
面的平行与垂直的判定或性质.其中,线面垂直
是历年高考试题涉及的内容.
2、上述平
行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用;求角;求距离等.其中,
三垂线定理及其逆定理
的应用尤为重要.
3、解答题循着先证明后计算的原则,融推理于计算之中,主要考察学生综合运
用知识的能
力,其中,突出考察模型法等数学方法,注重考察转化与化归思想;立体问题平面化;几何问
题代数化.
三、知识要点
(一)空间直线
1、空间两条直线的位置关系
(1)相交直线——有且仅有一个公共点;
(2)平行直线——在同一个平面内,没有
公共点;
(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.
2、平行直线
(1)公理4(平行直线的传递性):平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示:
设a,b,c为直线,
(2)空间等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这
两个角相等.
推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直
角)相等.
3、异面直线 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
(2)有关概念:
(ⅰ)设直线a,b为异面直线,经过空间任意一点O作直线a',b',并使
a'a,b'
b,则把a'和b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
特例:如果两条异面直线所成角是直角,则说这两条异面直线互相垂直.
认知:设
为异面直线a,b所成的角,则 .
(ⅱ)和两条异面直线都垂直相交的直线(存在且唯一),叫做两条异面直线的公垂线.
(ⅲ)两
条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条
异面直线的距离.
(二)空间直线与平面
直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面内——直线与平面有无数个公共点;
(2)直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点;
(3)直线和平面平行——
直线与平面没有公共点.
其中,直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.
1、直线与平面平行
(1)定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,则说这条直线和这个平面平行,此为证明
直线与平面
平行的原始依据.
(2)判定:判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那
么这条直线
和这个平面平行.
认知:应用此定理证题的三个环节:指出 .
(
3)性质:性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,
那么这条直
线和交线平行.
2、直线与平面垂直
(1)定义:如果直线l和平面
内的任何一条直线都垂直,则说直线l和平面 互相垂
直,记作l⊥ .
(2)判定:
判定定理1:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个
平面.
判定定理2:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
符
号表示: .
(3)性质
性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. 符号表示:
(4)概念
(ⅰ)点到平面的距离:从平面外一点引这个平面的垂线,则这个点和垂足间的距离叫
做
这个点到这个平面的距离.
(ⅱ)直线和平面的距离:当一条直线和一个平面平行时,
这条直线上任意一点到这个平
面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.
(三)空间两个平面
1、两个平面的位置关系
(1)定义:如果两个平面没有公共点,则说这两个平面互相平行.
(2)两个平面的位置关系
(ⅰ)两个平面平行——没有公共点; (ⅱ)两个平面相交
——有一条公共直线.
2、两个平面平行
(1)判定
判定定理1:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
判定定理2:(线面垂直性质定理):垂直于同一条直线的两个平面平行.
(2)性质
性质定理1:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
性质定理2(定义的推论):如果两个平面平行,那么其中一个平面内的所有直线都平行于
另一个平面.
3、有关概念
(1)和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个平行平面的公垂线,
它夹在这两个平行平
面间的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段.
(2)两个平行平面的公垂线段都相等. (3)公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距
离.
4、认知:
两平面平行的判定定理的特征:线面平行 面面平行,或线线平行
面面平行;
两平面平行的性质定理的特征:面面平行 线面平行,或面面平行 线线平行.
它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.
四、经典例题
例1、在正方体 中,E、F、G、H分别为棱BC、 、 、
的中点,求证:
(1) ; (2)
分析:线面平行或面面平行的证明,一般是运用相应的判定
定理.为此,需要在有关平面内
寻找相关直线的平行线.寻找平行线的平面几何方法主要有:
(ⅰ)构造平行四边形; (ⅱ)构造三角形中位线或三角形中的成比例线段; (ⅲ)
构造梯形
例2、已知平面
分析:已知直线与平面平行,必
然要利用线面平行的性质或定义,一般是利用线面平行性
质定理.为此,已知直线
,需要经过直线n作平面 ,进而推出na.本题证
明由此展开.
例3、在正三棱柱 中,E是AC中点,
(1)求证: ; (2)求证: ;
(3)若 .
分析:注意到正三棱柱的特性
(1)利用上述特性构造三角形,构造平行四边形或构造面面平行,不同的构造产生出不同
的证法;
(2)注意到正三棱柱的侧面与底面垂直,又这里BE⊥AC,问题易证.
(3)注意到
, 的垂线易作,故考虑运用三垂线定理
构造二面角的平面角.
例4、已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB
于E,过E作EF⊥
SC交SC于F.
(1)求证:AF⊥SC;
(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.
分析:
(1)注意到AF与
SC在同一个平面内,证明AF⊥SC首选三垂线定理逆定理.为此,从已
知的线面垂直切入,从寻找它
们所在平面SAC的垂线突破.
(2)仿(1),从寻找平面SAD的垂线切入或突破.
例5、已知P是△ABC所在平面外
一点,且PA⊥平面ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC
的垂心,求证:OQ⊥平面PBC.
分析:循着证明线面垂直问题的基本思路,从已知的线面垂直切入,去构造有关直线的垂
面.
例6、在立体图形P-ABC中,已知PA=PB,CB⊥平面PAB,M为PC的中点,N在棱
AB上
,试问,当点N在棱AB的什么位置上时有MN⊥AB?
分析:对于在限定的垂直关系下确定点或
直线的位置问题,一般思路是“先构造后定位”为
此,首先需要立足于已知垂面,从已知的线线垂直或线
面垂直入手,去寻找有关平面的新的垂
线.
五、高考真题
(一)选择题
1,设
为两个不同的平面,l,m为两条不同的直线,且 ,有如下的两
个命题:
①若 ;②若
那么( )
A、①是真命题,②是假命题; B、①是假命题,②是真命题;
C、①②都是真命题; D、
①②都是假命题.
2、已知m,n是两条不重合的直线,
是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
① ②
③
④若m,n是异面直线,
其中真命题是( )
A、①和②
B、①和③ C、③和④ D、
①和④
3,设
为平面,m,n,l为直线,则m⊥ 的一个充分条件是( )
4、对于不重合的两个平面 ,给定下列条件:
①存在平面 ,使得 都垂直于 ; ②存在平面 ,使得 都平行于 ;
③ 内有不共线三点到
的距离相等; ④存在异面直线l,m,使得
;
其中可以判定 平行的条件有(
)
A、1个 B、2个 C、3个
D、4个
(二)填空题
1、已知m,n是不同的直线,
是不重合的平面,给出下列命题:
①若 ②若
③若
④m,n是两条异面直线,若
上面的命题中,真命题的序号是
(写出所有真命题的序号)
2、在正方体 中,过对角线 的一个平面交 于E,交
于
F,则
①四边形 一定是平行四边形; ②四边形 有可能是正方形;
③四边形 在底面ABCD的投影一定是正方形; ④平面 有可能垂直于
平面
以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号)
(三)解答题(1,2,3必做)(4题选做)
1、如图1,已知ABCD是上下底面边长分别为2和6,高为 的等腰梯形,将它沿对称轴
折成
直二面角,如图2.
(1)证明: ;
(2)求二面角 的大小.
2在四面体P-
ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB= .F是线段PB上一点,
,点E在线段AB上,且EF⊥PB.
(1)证明:PB⊥平面CEF; (2)求:二面角B-
CE-F的大小.
3、如图,直二面角D-AB-
E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥
平面ACE.
(1)求证:AE⊥平面BCE; (2)求二面角B-AC-E的大小;
(3)求点D到平面ACE的距离.
4、如图,在长方体
中, ,AB
=2,点E在棱AB上移动. (1)证明: ;
(2)当E为AB中点时,求点E到平面 的距离;
(3)AE等于何值时,二面角 的大小为
.