高中数学 一对一-高中数学解题方法 下
.
高中导数知识点归纳
一、基本概念
1. 导数的定义: 设
x
0
是函数
y?f(x)
定义域的一点,如果自变量
x
在
x
0
处有增量
?x
,则函数值
y
也引
起相应的
增量
?y?f
(
x
0
??x
)
?
f
(
x
0
)
;比值
平均变化率;如果极限
lim<
br>?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
称为函数
y?f(x)
在点
x
0
到
x
0
??x
之
间的
?
?x?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)<
br>?y
存在,则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导,
并
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
把这个极限叫做y?f(x)
在
x
0
处的导数。
f
?
x?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
2
导数的几何意义:(求函数在某点处的切线方程)
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义就是曲线
y?f(x)
在点
(x
0<
br>,f(x))
处的切线的斜率,也
就是说,曲线
y?f(x)
在点P
(
x
0
,
f
(
x
))
处的
切线的斜率是
f
'
(x
0
)
,切线方程为
y?y<
br>0
?f
'
(x)(x?x
0
).
3.基本常见函数的导数:
n
①
C
?
?0;
(C为常数)
②
x
??
?
?nx
xx
n?1
;
③
(sinx)
?
?cosx
;
④
(cosx)
?
??sinx
;
⑤
(
e
)
?
?e
;
⑥
(a)
?
?alna
;
xx
⑦
?
lnx
?
?
?
11
;
⑧
?
log
a
x
?
?
?log
a
e
.
xx
二、导数的运算
1.导数的四则运算:
法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
??
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
??
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:
?
f
?
x
?
?g?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?<
br>g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
??
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:
(
Cf
(<
br>x
))
?Cf
(
x
).
(
C
为常数
)
''
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的
积,再除以
?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
分母的平方:
?
g
?
x
?
?0
?
。
?
?
?
2
?
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
?
2.复合函数的导数
精品
.
形如
y?f[
?
(x)]
的函数称为复合函数。法则:
f
?
[
?
(x)]?f
?
(
?
)*
?
?
(x)
.
精品
.
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
(1)设函数
y?f(x)
在某个区间
(a,b)
可导,
如果
f
(x)
?0
,则
f(x)
在此区间上为增函数;
如果
f
(x)?0
,则
f(x)
在此区间上为减函数。 <
br>(2)如果在某区间内恒有
f
(x)?0
,则
f(x)
为常函
数。
2.函数的极点与极值:当函数
f(x)
在点
x
0
处
连续时,
①如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)<
br>>0,右侧
f
'
(x)
<0,那么
f(x
0
)
是极大值;
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'(x)
<0,右侧
f
'
(x)
>0,那么
f(x
0
)
是极小值.
3.函数的最值:
一般地,在区间
[a,b]
上连续的函数
f(x)
在
[a,b]
上必有最大值与最小值。函数<
br>'
'
'
值点处取得。
f(x)
在区间
[a
,b]上的最值
只可能在区间端点及极
求函数
f(x)
在区间
[a,
b]上最值
的一般步骤:①求函数
f(x)
的导数,令导数
f
(x
)
?
0
解出
'
方程的跟②在区间
[a,b]
列出
x
,
f
(
x
),
f
(
x
)
的表格,求出极值及
f(a)、f(b)
的值;③比较端点及极
'
值点处的函数值的大小,从而得出函数的最值
4.相关结论总结:
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
四、例题插播
例1:函数
f
(
x
)
?x?ax?
3
x?
9,
已知
f(x)在x??3
时取得极值,则
a
= ( )
32
A.2
B.3
C.4 D.5
2
[解析]:∵
f
(
x
)
?
3
x?
2
ax?
3
,又
f(x)在x
??3
时取得极值∴
f(?3)?30?6a?0
则
a
=5
例2. 已知函数
f
(
x
)
?x?bx?ax?d
的图像过点P(0,2),且在点M
(?1,f(?1))
处的切线方程
32
为
6x?y?7?0
.(Ⅰ)求函数
y?f(x)
的解析式;(Ⅱ)求函数<
br>y?f(x)
的单调区间.
答案:(Ⅰ)解析式是
f
(
x
)
?x?
3
x?
3
x?
2.
3
2
(Ⅱ)在
(1?2,1?2)
内是减函数,在
(1?2,??)
内
是增函数.
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精品
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