微积分基础练习题

微积分基础 练习题
导数基本公式：
（c）′=0
积分基本公式：
?
0dx
=c
a-1
（x）′=ax
a
x
a
?1
?
xdx
=
xlna

a
（a）′= alna(a>0且a≠1)
（e
x
）′= e
x

（log
a
x
）′=
（lnx）′=
xx
a
x
?
adx
=
lna
+c(a>0且a≠ 1)
x
x
x
edx
=e+c
?
1
( a>0且a≠1)
xlna

1

x
1
?
x
dx?lnx?c

（sinx）′=cosx
（cosx）′=- sinx
?
sinxdx??cosx?c

?
cosxdx??sinx?c

1
?
cos
2
x
dx?tanx?c

1
?
sin
2
x
dx??cotx?c

1

cos
2
x
1
（cotx）′=
sin
2
x
（tanx）′=

一、单项选择题
1.设函数y=xsinx,则该函数是（ ）。
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
2.当x→+∞时，下列变量为无穷小量的是（ ）。
A.
sinx

x
(1+x)
1

x
x
D.
1?x

3.若函数
f(x)
在点x
0
处可导，则（ ）是错误的。
A.函数
f(x)
在点x
0
处有定义 B.函数
f(x)
在点x
0
处连续

C.函数
f(x)
在点x
0
处可微
f(x)
=A,但A≠
f(x
0
)

4.若
f(x)?x?x(x?0)
,则
f(x)dx?
（ ）。
3
2
A.
x?x
2
?c
B.
x?x?c

2
2
3
C.
x?x?c

1
2
2
D.
x?x
2
+c
23
3
5.下列微分方程串为可分离变量方程的是（）
dydy
?ln(x?y)
B.
?e
y?x

dxdx
dydy
?e
x
?e
y
D.
?ln(x?y)
C.
dxdx
A.
二、填空题
2
6.若函数
f(x?2)?x?4x?7
，则
f(x)
=
7.若函数
f(x)?
?
?
x2?2,x?0
在x?0处连 续，则k?

?
k,x?0
2
8.函数
y? 2(x?1)
的单调增加区间是
9.
?
??
e
0
2x
dx
=
3
10.微分方程
?
y
??
?
?4xy
( 4)
?y
5
sinx
的阶数为
三、计算题
11.计算极限
lim
x?2
x
2
?4
。
2
x?3x?2
12.设
y?2
x
?cosx,求dy.

?x
13.计算不定积分
xedx
。
?
14.计算定积分
1
?
1
x1?lnx
dx
.
e
3
15.某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最
省 ？

微积分基础 练习题参考答案

单项选择题
1.B 2.A 3. D 4.C 5.B
二、填空题
6.
x?3

7.2
8.
?
?1,??
?

9.
2
1

2
10.4
三、计算题
11.解：原式=
lim
x ?2
(x?2)(x?2)x?2
?
lim
?4

(x?2)(x?1)
x?2
x?1
1
2x
12.解 ：
y
?
?2
x
ln2?sinx?
dy?(2
x< br>ln2?
sinx
)dx

2x
?x?x?x
13.解：
xe?xdx??xe?x?edx??xe?e?c

??
e
3
e
3
e
3
11
14.解：
?
dx?
?
d(1?lnx)?21?lnx?2

1
x1?lnx
1
1?lnx
1
四、应用题
15.解：设容器的底半径为
r
,高为
h
，则其表面积为
S
，由已知
V
，则其表面积为

2
?
r
2V
22

S?2
?
r?2
?
rh?2
?
r?

r
2V

S
?
?4
?
r?
2

r
V??
r
2
h,于是h?
令
S
?
?0
,解 得唯一驻点
r?
3
VV
，由实际问题可知，当
r?
3
时可使用料最省，此时
2
?
2
?

h?
3
4V
?
，即当容器的底半径与高分别为
3
V4V
与
3
时，用料最省。
2
?
?