166-高中数学选修系列2 选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案2

精品教学网
§3 微积分基本定理与定积分计算

一、目标预览
1.理解并能熟练运用微积分基本定理.
2.掌握定积分的常用计算方法.
3.了解定积分与不等式的常用证明方法.
4.了解定积分相关知识的综合应用.
二、概念入门
设
f?R[a,b]
，称函数
?(x)?
b
?
x
a
f(t)dt
(x?[a,b])
为函数
f(x)
在
[a,b]
上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：
?(x)?
?
f(t)dt
.
x
注（i）由
(R)
积分的性质，
?(x)
的定义有意义.
（ii）由
(R)
积分的性质易证
?(x)?C[a,b]
.
三、主要事实
1.微积分基本定理
若
f?C[a,b]
，则?
?
(x)?f(x)(x?[a,b])
，即
d
x
f(t)dt?f(x)
，
x?[a,b]
.
dx
?
a
注（i）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得.
（ii）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理
如下的等价表述：
若< br>f?C[a,b]
，而且
F
?
(x)?f(x)(x?[a,b])< br>，则
?
x
a
f(t)dt?F(x)?F(a)
(x?[a,b])
.
(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积
分、微分与积分的内在联系.
（iv）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限

41

精品教学网
积分求导公式：
若
f?C[a,b]
，
?
(x)
、
?
(x)
在
[c,d]
上 可微而且
?
([c,d])
、
?
([c,d])?[a,b]
，则
d

?
(x)
(
?
f(t)dt)?f (
?
(x))
?
?
(x)?f(
?
(x))
?
?
(x)

dx

?
(x)

2.第二积分中值定理
（1）（旁内（Bonnet，1819-1892[法]）型第二积 分中值定理）
若
f?R[a,b]
，而且
g(x)
是
[a, b]
上非负递减（相应地递增）函
数，则存在
?
?[a,b]
使得
（相应地）
?
b
a

f(x)g(x)dx?g(a)
?

?
a
f(x)dx
?f(b)
?
g(x)dx

?
b
（2）（Werierstrass型第二积分中值定理）若
f?R[a,b]
，
g(x)
是
[a,b]
上的单调函数，则存在
?
?[a,b ]
使得
?
b
a
f(x)g(x)dx?g(a)
?
f(x)dx?g(b)
?
f(x)dx
.
a
?

?
b
证（1）令
F(x)?
?
x
a
f(t)dt
(x?[a,b])
，利用
g
的可积性得
n
x
i
||T||?0
i?1
n
x
i?1
?
b
a
f(x)g(x)dx?lim?g(x< br>i?1
)
?
||T||?0
i?1
f(x)dx
< br>?lim?g(x
i?1
)(F(x
i
)?F(x
i?1))

再由
?g(x
i?1
)(F(x< br>i
)?F(x
i?1
))

n
i?1
n?1
i?1
??F(x
i
)[g(x
i?1
)?g(x
i
)]?F(b)g(x
n?1
)

42

精品教学网
及
g
的单调减小性，可得
F
min
g(a)?
?
f(x)g(x)dx?F
max
g(a)< br>
a
b
再由连续函数的介值性即得.
（2）当
g< br>为单调递减（增）时，对
h(x)?g(x)?g(b)(?g(x)

?g(a))
应用（1）即得.
3.定积分的计算
（1）（牛顿——莱布 尼兹公式）若
f?R[a,b]
，
F?C[a,b]
而
且除有限个点 外有
F
?
(x)?f(x)
，那么有
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
.
注（i）牛顿——莱布屁兹公式简称
N?L
—公式，它是微积
分的核心定理 ，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立
得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼 在19世纪中叶
给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.
（ii）证明可由
(R)
积分的定义（分点包括例外点）及微分中
值定理（作用在
F
上）可推得 .
（2）（定积分换元积分法）如果
?
(t)
在
[
?,
?
]
上有连续导数，
?
(
?
)?a
，
?
(
?
)?b
，
?
([
?
,< br>?
])?[a,b]
，
f?C[a,b]
，那么
有
?
b
a
f(x)dx?
?
f(
?
(t))
?
?
(t)dt


?

?
注（i）定积分换元积分公式由复合函数微分法及
N?L
公式
可 得，而且
?
?
(t)?C[a,b]
可减弱为
?
?
?R[
?
,
?
]
.进一步，定积分
换元积分公式中的
f?C[a,b]
可减弱为
f?R[a,b]
，但
?
的条件
稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：
若
f?R[a,b]
，
?
:[
?
,
?
]?[a,b]
是一一映射而且还满足?
(
?
)?a
，
?
(
?
)?b
，
?
?
(t)?R[
?
,
?
]
，那么有

43

精品教学网
b
?
?
a
f(x)dx?
?
f(
?
(t ))
?
?
(t)dt
.

?
（ii）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的
直接应用.但使用 时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，
但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的 符号）.
（iii）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这
里可以不加变动地 直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采
用原来的积分变量）.
（3）（分部积分法）如果
u
、
v
具有连续的导数，那么有
?
b
a
u(x)v
?
(x)dx?
?
u(x)dv(x)

a
b
?u(x)v(x)|
b
a
?
?v(x)du(x)
.
a
b
注（i）分部积分可由乘积微分法则及
N?L
公式直接证之.
（ii）分 部积分公式可连续使用
n
次，即利用数学归纳法及
分部积分公式可得下面的命题：
若
u
、
v
具有
n?1
阶连续导数，那么有
?
b
a
u(x)v
(n?1)
(x)dx

n?1
?[u(x)v
(n)
(x)?u
?
(x)v
(n?1)
(x)?
?
?(?1)
n
u
(n)
( x)v(x)]|
b
a

?(?1)
?
b
a
u
(n?1)
(x)v(x)dx
(n?1,2,3,?)
.
4.定积分计算中常用的几个公式
（1）若
f?C[a,b]
，则
?
b
a
f(x)dx?
?
f(a?b?x)dx

a
b
?
?a a
1
b
[f(x)?f(a?b?x)]dx
.
?
a
2
（2）若
f?C[?a,a]
，则
?
44

a
f(x)dx?
?
(f(x)?f(?x))dx

0

精品教学网
a
?
?
2
?
0
f(x)dx, f
为偶函数

?
?
?
f
为奇函数
?
0
，
1
（3）若
f(x)
是 以
T
为周期的周期函数，则
?a?R
有
?
a?T
a
f(x)dx?
?
T
0
f(x)dx?
?

T2
?T2
f(x)dx

（4）若
f?C[0,1]
，则
?
2
0

??
f(sinx)dx?
?
2
0
f(cosx)dx
.

（5）若
f?C[?1,1]
，则
?

?
0
xf(sinx)dx?
?
证（1）令
x?a?b?t
可得.
（2）令
x??t
得
2
?

?
?
0
xf(sinx)dx?
?
?
a
2
0
f(sinx)dx
.
?
0
a
f(x)dx?
?
f(?t)dt
.
0
a?T
（3）令
x?t?T
得
于是有
?
T

f(x)dx?
?
f(t?T)dt?
?
f(t)dt
，< br> 0 0
a a
?
a?T
a
f(x)dx?
?
T
a
f(x)dx?
?
a?T
T
f(x)dx?
?
T
0
f(x)dx
，
π2 T
T
得
f(x)dx?
?
f(x)dx
.
0
2
?
-
π
2
（4）令
x?
?
2?t
可得.
再令
a??
（5）令
x?
?
?t
可得
?
及

?
0
xf(sinx)dx?
?
?
2

?
0
f(sint)dt?
?
tf(sint)dt

0

?
?
?


?
f(sinx)dx?
?
2
0

?
f(sint)dt
.
5.带积分余项的泰勒公式
若
f(x)
在
[a,b]
上具有
n?1
阶连续导数，那么
?x ,x
0
?[a,b]

45

精品教学网
有
f
(k)
(x
0
)
1
x
f(x)??(x?x
0
)
k
?
?
f
(n?1)< br>(t)(x?t)
n
dt
，
k?0
k!n!
x
0
1
x
(n?1)
(t)(x?t)
n
dt
，称此为泰勒公式的积分余 即
R
n
(x)?
?
f
n!
x
0
n
项.
f
(k)
(t)
(x?t)
n
（常数变易法）注（i）令
F(t)?f(x)??
，
k?0
k !
对
F
?
(t)
分别应用
N?L
公式及分部积分公 式即获得积分余项公式
n
的证明.
（ii）对积分余项应用第一积分中值定理（< br>g(t)?(x?t)
n
在
积分区间
[x
0
,x]< br>（或
[x,x
0
]
上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余
项：
1
f
(n?1)
(
?
)(x?x
0
)n?1

(n?1)!
（其中
?
?x
0
??
(x?x
0
),0?
?
?1
）.
R
n
(x)?
（iii）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：
1< br>(n?1)
f(
?
)(x?
?
)
n
(x?x
0
)

n!
1
?f
(n?1)
(x
0
?
?
(x?x
0
))(1?
?
)
n< br>(x?x
0
)
n?1
(0?
?
?1)

n!
R
n
(x)?
四、例题选讲
1.定积分计算例题选.
例1 求下列定积分
（1）
（4）
?
2
0
1
2
（2）（3）
x4?xdx

?
2
sintcostdt

?
2

?
1
0
0
1?x
2
dx

e ln2
ln(1?x)
2?2x
dx
（5） （6）
xlnxdx1?edx

?
0
1?x
2
?
0
?
0
46

精品教学网
（7）
?
4
2
sin
2
x
dx
（8）
?
?
dx

x
-
1?e
ln( 9?x)?ln(3?x)
4
ln(9?x)
1

?
4< br>1
?
x?
x
?
（9）
?
1
?
1?x?
?
edx


x
?
2
?
3
1
2
18
222
2
2
解（1）
??
?
4?xd(4?x)??(4?x)|
0
?
.
0
3
?
3
?
2

11
23
2< br>（2）
??
?
2
costdcost??cost|
0
?
.
0
33
?
?

11
?2
2
（3）令
x?sint
，（3）
?
?
2< br>costdt?(t?sin2t)|
0
?

0
224
2
（4）令
x?tant
，（4）
?

?
4
0

?
ln(1?tant)dt

?

cosx?sinx2sin(x?(
?
4))
?< br>?
4
lndx?
?
4
lndx
.
0 0
cosxcosx
??

?
?
令
x??t
得
?
4
lnsin(x?)dx?
?
4
lncos tdt
，于是有
0 0
4
4
?
1
?
4
（4）
?ln2?x|
0
?ln2
.
28
e
1
e
1
33e
?lnxd(x)?(xlnx|?x
2
dx)
（5）
1
??
1
3
1
3
1
???(2e
3
?1)

9
?
（6）
??
?
ln2
0
2< br>e
2x
?1d(e
?x
)??e
x
e
2x< br>?1|
ln
0

?
?
（7）利用
ln2
e
x
e
2x
?1
0
b
dx
?
?
??
3
?ln(2?3)

2
?
a
1
b
f(x)dx?
?
[f(x)?f(b?a?x)]dx
得
2
a
47

精品教学网
（7）
?
1
4
dx?1

2
?
2
（8）利用
（8）
?
（9）
?
?
a
-a
f(x)dx?
?
[f(x)?f(?x)]dx
得
0
a
?
4
0

?
sin
2xdx?
x?
1
x
?
8
2
?
1

4
x?
1
x
?
2
1

2
edx??
?
1
xde
例2 （1）求
I
n
?
?
2
0


?
2
sin
2
xdx

3
2
|
2
?e
.
1
2
2
2
5
1
?
(2m)!!
?
?
??
?（2）证明Wallis公式：
lim
.
m??
2n?1
?< br>(2m?1)!!
?
2
??
?
解（1）
I
n
??sin
n?1
xcosx|?(n?1)
?
2
sin< br>(n?2)
xcos
2
xdx

2
0
0

?
?(n?1)I
n?2
?(n?1)I
n
，
?
(2m?1)!!
?
,n?2m,m?1,2,
?
?
(2m )!!2
n?1
?

I
n
?J
n?2
?< br>?
?
?
n
?
(2m)!!
,n?2m?1,m?0, 1,2,
?
?
?
(2m?1)!!
证（2）由
?
2
0

?
sin
2n?1
xdx?
?
2
sin
0

?
2m
xdx?
?
2
sin
2m? 1
xdx
得
0

?
(2m)!!(2m?1)!!
?
(2m?2)!!
???
，
(2m?1)!!(2m)!!2(2m?1)!!
由此可得
?
(2m)! !
?
1
?
?
(2m)!!
?
1
?
A
m
?
?
??
?
(2m?1)!!
?
2m ?12
?
?
?
(2m?1)!!
?
?
?
2 m
?B
m

????
1
?
?
A
m
?

0 ?B
m
?A
m
?
，
0??A
m
?B
m
?A
m
，
2m4m2
22
48

精品教学网
因此
limA
m
?
m??
?
2
.
例3 利用定积分求下列极限
n
1
1
n
i?1
??
（1）
lim?sin
?
a?

b
?
（2）
lim?
22
n??
n
i?1
n??
i?1
n
??
n?i
?1
n
1
n
1
i< br>??
i
??
?
（3）
lim?
?
n?
??
sin
?
?
（4）
lim
n??
n??
i?1
i
lnn
?1< br>i
n
??
n
??
1
（5）
lim
n
(n?1)(n?2)
?
(n?n)

n??
n
1
解（1）
?
?
sin(a?bx)dx?cosa?cos(a?b)
0
1
1
n
1dx
（2）
?lim? ?
?
?ln(1?2)
.
0
22
n??
n< br>i?1
1?(in)1?x
i
（3）由
n?n??n?1
可得
n
1
1
n
i2
（3）
?lim?sin
?
?
?
sin
?
xdx?

0
n??
n
i?1
n
?
1

111（4）由
?
?
i
1
dx?(i?1,2,
?
)
可得
i?1

i?1
xi
n
1

ln(n?1)???1?lnn
.
i?1
i
1
n
1
??1
. 因此
?lim
n??
lnn
i?1
i
1
（5）令
a
n< br>?
n
(n?1)(n?2)?(n?n)

n
11
n
lna
n
?ln?[?ln(n?i)]

nn
i?1
1
n
1
n
?
i
???(ln(n?i)?lnn)??ln
?
1?
?

n
i?1
n
i?1
?
n
?

49

精品教学网
4
?
?
ln(1?x)dx?ln
.
0
e
4
因此
lima
n
?
.
n??
e
1
2.微积分基本定理应用例题选
例4 设
f(x)?
?
x
0
(
?
sint
1
1?u
2
du)dt
，试求
f
??
(x)
.
解 应用微积分基本定理两次可得
f
??
(x) ?cosx1?sin
4
x
.
例5 确定常数
a
、
b
、
c (?0)
使得
ln(1? t
3
)
?1
lim(
?
dt)(ax?sinx)?c.
x?0
b
t
x
ln(1?t
3
)
dt?0
可推得
b?0
，由罗比塔法则及解 由
lim
?
x?0
b
t
1
33
ln(1?x)~x (x?0)
可推得
a?1
，接着易求得
c?
.
2
?
例6 若
f(x)
存在，
f(0)?0
，
x
F(x)?
?
t
n?1
f(x
n
? t
n
)dt
，
0
F(x)
试求
lim
2n
.
x?0
x
1
x
n
nn
解 令
u?x?t
，则
F(x)?
?
f(u)du
，
n
0
F(x)1x
n?1
f(x
n
)1
lim
2n
?lim?f
?
(0)
.
2n?1
x?0
x
x?0
2n2n
x
x
1
2
例7 设
f
连续，
f(1)?1
，
?
tf(2x?t)dt?arctanx
.
0
2
2
试求：
?
f(x)dx
.
1
x
解 令
2x?t?u
，则
于是有
?
x
0
tf(2x?t)dt??
?
(2x?u)f(u)du

2x
x
2x
?
50

2x
x
f(u)du?
?
uf(u)du?
2x
x
1
arctanx
2
.
2

精品教学网
两边关于
x
求导得
2
?
再令
x?1
可得
2
2x
x
f(u)du?
3
.
?
1
4
例8 试求可微函数
f(x)
使得
f(u)du?
x
?xf(x)

4
1?x
?
xt
1
f(u)du?t
?
f(u)du?x
?
f(u)du
.
1
x t
解 先关于
x
求导得
tf(xt)?tf(x)?
t
1
?
1
t
1
f(u)du
令
x?1
得
再关于
t
求导得
tf(t)?tf(u)?
?
f(u)du

f(t)?tf
?
(t)?f(1)?f(t)
.
因而
f
?
(t)?f(1)t
，因而
f(t)?f(1)lnt?c
.
3.积分中值定理应用例题选
例9 设
f
在
[0,1]
上可微，而且
f(0)?0
，
0?f
?
(x)?1
（
x?[0,1]
）.证明：
F
?
(x)?0
，由
F(0 )?0
得
F(x)?0(x?[0,1])
，于是有
F(1)?1
.
例10 设
f
?
(x)
在
[0,1]
上连续，而 且
f(0)?0
，
f(1)?1
.证
1
1
明：
?
|f
?
(x)?f(x)|dx?
.
0
e
证
f
?
(x)?x(1?x)sin
2n
x
，
f
?
(0)?0
，
f
?
(1)?0
，
f(x)

在
x?1
处取最大值，因而有
?
证 令
F(x)?(
?

(
1
0
x
f(x)dx)
2
?
?
f
3
(x)dx
.
1
0
f(t)dt)
2
?
?
f
3
(t)dt
，则由条件可得
0
0
x
f(x)?f(1)?
?
(t?t
2
)sin2n
tdt

0
1

51

精品教学网
?
?
(t?t
2
)t
2n
dt?
0
1
1
.
(2n?2)(2n?3)
证
?
?
?
1
0
1
|f
?
(x)?f(x)|dx?
?
|e
x
(e
?x
f(x))
?
|dx

0
1
0
1
0
|(e
?x
f(x))
?
|dx? |
?
(e
?x
f(x))
?
dx| ?1e

例11 设
f(x)?
?
x
0
(t?t
2
)sin
2n
tdt (n?N
?
)
.证明：
f(x)?1(2n?2)(2n?3)
，
?x?0

例12 设
f(x)
在
[a,b]
上二阶可导，而且
f
??
( x)?0
.证明：
1
b
f(b)?f(a)
?
a?b
?
；
?f(x)dx?
?
?
a
2
?
2
?< br>b?a
（ii）又若
f(x)?0(x?[a,b])
，则
2
b
f(t)dt?f(x) (x?[a,b])
.
?
a
b?a
a?b
??
a?b
??
a ?b
??
?
证（i）由
f(x)?f
?
?fx?
? ????
及
2
??
2
??
2
??
b
?
a?b
?
1
b
?
a?b
?
得
x?dx?0f(x)dx?f
????
，再由
?
a
?
?
a
2
?
b?a
?
)
2
?
b?x
?
f(b)?f(a
?
x?a
f(x)?
?
b?a
?
?(x?a)?f(a)

b?ab?ab?a
??
1
b
f(b)?f(a)
f(x)dx?
得 .
?
a
b?a2
（ii）
?x?[a,b]
，
f (x)?f(t)?f
?
(t)(x?t)
，积分后得
（i）
f< br>?
(b?a)f(x)?
?
f(t)dt?
?
f
?< br>(t)(x?t)dt

a a
b b
?2
?< br>f(t)dt?(x?t)f(t)|?2
?
f(t)dt
.
a a
b
b
a
b
例13 设
f(x)
在[a,b]
上具有二阶连续函数，证明；存在
?
?(a,b)
使得
52

精品教学网
c?
a?b
处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及
2
例14 设
f(x)?C[a,b]
而且
?
a?b< br>?
1
3
f(x)dx?(b?a)f
??
?(b?a)f??
(
?
)
.
?
a
?
2
?
24
x
证 令
F(x)?
?
f(t)dt
，分别求得
F(a)
，
F(b)
，在
b
a
连续函数的介值定理即得.
b b
?
a
xf(x)dx?0 (k?0,1,?,n?1)
，
?
x
n
f(x)dx?c
.
n
a
k
2(n?1)
c

n?1
x?[a,b]
(b?a)
n
b
?
a?b
?
证 由条件
c?
?
?
x?
?
f(x)dx
，
a
2
??
n
b
2(n?1)a?b
n
(b?a)
n?1
若
|f(x)| ?
导
c
，则由
?
|x?|dx?
nn?1
a
2
(b?a)2(n?1)
出
c?c
矛盾！
例15 设
f?C[a,b]
，
g
在
[a,b]
上单调而且可微.证 明：存
在
?
?[a,b]
使得
证明：
max|f(x)| ?
?
b
a
f(x)g(x)dx?g(a)
?
f( x)dx?g(b)
?
f(x)dx
.
a
?

?
b
证 令
F(x)?
定理可得
?
x
a
f(t)dt
，由微积分基本定理及第一积分中值
b
?
b
a
f(x)g(x)dx?
?
g(x)dF(x)

a
?g(b)F(b)?
?
f(x)g
?
(x)dx


?
b
?g(b)F(b)?F(
?
)(g(b)?g(a))

?g(a)F(
?
)?g(b)(F(b)?F(
?
))
.

53

精品教学网
例16 证明下列极限
（1）若
f?C[0,1]
，则
lim
?
h?0
h
?
f(x)dx?f(0)
.
?
0
h
2
?x
2
2
1
（2）若
f?R[a,b]
，则
lim
?
??
a
?
b
f(x)sin
?
xdx?0
.
1
x
tsintdt?0
（3）
lim
?
x???
x
0
（4）若
f?R[0,2
?
]
，则
lim
?
2
?
n??
0
f(x)|sinnx|dx?
?
?
2
2
?
0
f(x)dx
.
（5）若
f
是以
T
为周期的连续函数，则
1
x
1
T
f(t)dt?f(t)dt
.
?
0
x???
x
?
0
T
f(x)?A
，则
?b?a?0
有 （6）若
f?C[0,b]
而且
lim
x?0
?
bn
f(x)b
lim
?
dx?Aln
.
n??
an
xa
1
h
?
f(x)dx?f(0))
证（1）
lim(
?
2
h?0
0
h?x
2
2
1
h
?lim(
?
2
(f(x)?f(0))dx)

h?0
0
h?x
2
1
h
?lim(
?
2
(f(x)?f(0))dx

h?0

?
h?x
2

?
h
?
?
(f(x)?f(0))dx)?0
.
0
h
2
?x
2
x
i
（2）由
|
?
f(x)sin
?
xdx|

lim
x
i?1
?
?
x
i
x
i?1
|f(x)?f(x
i
)|dx?|f(x
i
)| |
?
2

x
i
x
i?1
sin
?
xdx|

?
（其中
|f(x)| ?M
）及
(R)
可积的第二充要条件可得.
54

?< br>?
i
(f)?x
i
?M?

精品教学网
（3）由第二积分中值定理得，存在
?
?(0,x)
使得
1
x
x
tsintdt| ? |
x
?
0
x
再令
x???
即得.
|
（4）
?
?

x
sintdt| ?
2
x
，
?
2
?
0
f(x)|sinnx|dx??
?
k
2
?
n
k?1
2
?
n
??f(
?k
)
?
k?1
n
|sinnx|dx?
k
2
?
n
k?1
2
?
k?1

n
n
n
f(x)|sinnx|dx

4
?f(
?
k
)

k
n
?1
22
?
n
2
2
?< br>???f(
?
k
)?
?
f(x)dx
.
?
n
k?1
?
0
x
x
T（5）
?
(x)?
?
f(t)dt?
?
f(t)dt< br>是以
T
为周期的连续函
0
T
0
数，从而有界，由此即得.
（6）由第一积分中值存在
?
n
?(an,bn)
使得
bn
?
an
令
n??
即得.
f(x)b
dx?f(
?
n
)ln
.
xa
例17 设
f
在
[0,??)
上单调递增，而且?b?0
，
f(x)?

1
x
R[0,b]
.若
lim
?
f(t)dt?A
，则
limf(x)?A
.
x???
x???
x
0
证 若不然，
?
?
0
?0
，
?n
，
?x
n
?n
使 得
|f(x
n
)?A| ?
?
0
，
此时分两种情形：
（i）若存在
N
使得
f(x
N
)?A?
?
0
，则
1
x
f(t)dt)

x???
x
?
0
1
x
N
1
x
?lim(
?
f(t)dt?
?f(t)dt)?A?
?
0
.
x???
x
0
x
x
N
（ii）
?n
，
f(x
n< br>)?A??
?
0
，则
?x?[0,??)
有
f(x) ?A

lim(

55

精品教学网
?
?
0
，于是
1
x
f(t)dt?A?
?
0
.
?
0
x
1
x
上述的（i）、（ii）与
lim
?
f(t)dt?A
矛盾.
x??
x
0
例18 设
f
?
(x)?C[a,b]
，令
k
x
k
?
a
?
(b
?
a) (k
?
0,1,2,
?
,n)
，
n
b
b?a
n
r(n)??f(x
k
)?
?
f(x)dx.
a
n
k?1
b?a
(f(b)?f(a))
. 证明：
limnr(n)?
n??
2
证 令
m
k
?inff
?
(x)
，
M
k
?supf
?
(x)
，则由
x??
k
x??
k
r(n)??
?
于是有
n
x
k
k?1
x
k?1
(b?a)
2
n
(b?a)
?m?r(n)??M
k

k
2 n
2
k?1
2n
2
k?1
b?a
b
b?a
?
f(x)dx?(f(b)?f(a))
.
?
a
22
(f(x
k
)?f(x))dx??
?
n
x
k
k?1
x
k?1
2
n
f
?
(
?
k
)(x
k
?x)dx

n(r(n)?
五、思考与讨论
1.若
f(x)
在区间
I
上有原函数，是否必有
N?L
公式成立？
1
?
2
?
xsin
2
,x?0
提示：考虑
F(x)?
?

x
?
x?0
?
0,
2.若
f?R[a,b]
，
f
是否必有原函数？
3.若< br>f?R[a,b]
，而且
F(x)?
F
?
(x)?f(x)< br>？
4.若
f
在
I
上不
(R)
可积，
f(x)
的原函数在
I
上是否必不存
在？
56

?
x
a
f(t)dt
是否必有

精品教学网
5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必
为奇函数？
六、基础题训练
1.计算下列定积分
?
（3）
?
（1）
dx
（4）
?
arcsinxdx

0
e
x
?e
?x
0
?

e
cos
?
dx
（6）
?
|lnx|dx
（5）
?
2
0
sin
?
?cos
?
1e

?
4
x
dx
（8）
?
1?sinxdx
（7）
?
1
0
2?4x
?
10
4

?
sin

sinx
x?cos
10
x
2
dx
（10）
?
?
（9）
?
dx

0
4?sinx?cosx
-
1?e
x
2
?

sin
?
x
3
（11）
?
?
dx
（
?
为实数）

cos
?
?sin
?
x
6
?

x
（12）
?
4
dx

0
(sinx?cosx)
2
1
1
1
2
? 1?x
?
f(x)dx
.试求
?
f(x)dx
. 2.设
f(x)?
0
0
1?x
2
3.设
f(3x?1)?xe
2
2
0
1

?
cos
5
xsin2xdx
（2）
?
x
2
a
2
?x
2
dx

0
1
a
x2
,试求
?
1
0
f(x)dx
.
4.设
f(x)?e
?x
，试求
5.
f(x)?
x

?
sint
dt
.试求
?
0
?
?t
?
0
f(x)dx
.

?
6.设
f(
?
)?2
，
?
(f(x)?f
??
(x))sinxdx
.试求：
f
?
(0)
.
0
?
1
0
f
?
(x)f
??
(x)dx
.
7.求下列极限
（1）
lim

1
x
2
costdt
（2）
lim
x?0
x
?
0
x???
(
?
e
t
dt)
2
x
2
?
0
x
0
edt
57
2t
2

精品教学网
（3）
lim
?
x?0
?
x
2
0
sintdt
x
3
（4）
lim
x?0
?
sinx
0
sint
2
dt
x
3

8.设
f(x)?
?
g(x)
dt
1?t
2
0
，
g(x)?
?
cosx
0
(1?sin(t
2
))dt
.试
求
f
?(
?
2)
（答案：
?1
）.
x
9.设< br>f
?
(x)
连续而且
f(0)?0
，
f
?< br>(0)?0
.求
k
使得
?
lim
x?0
0
(x
2
?t
2
)f(t)dt
x
k
?c ?0
.
（答案：
k?4
）
sinx
?
0
x
dx?0
（提示：分段，换元）.
11.设
f
?(x)
在
[a,b]
上连续，而且
f(a)?f(b)?0
.证 明：
1
b
|f(x)| ?
?
|f
?
(t)|dt
,
?x?[a,b]
.
2
a
12.设
f(x)
在
[a,b]
上单调增加.证明：
b
a?b
b
?
a
xf(x)dx?
2
?
a
f(x)dx
.
a?ba?b
))(x?)?0
）. （提示：
(f(x)?f(
22
10.证明：
2
?
七、提高性习题
13.求下列积分（
n
为正整数）
?
（3）
?
（1）
58

4
0

?
tan
2n
xdx
（2）
?
(1?x
2
)
n
dx

1
2
?
0
sin
n
xdx
（4）
?
cos
n
xsin
n
xdx

0
?

2
0
14.求下列极限

精品教学网
n1
n
i
lim?tan
?
（1）
lim?
2
（2）
n??
k?1
n? k
2
n??
n
i?1
4n
n
1
n
（3）
lim
32
?i
（4）
lim?n?i?1n?i

n??
i?1
n??
n
i?1
n
n
i
?1in
（5）
lim?(n?in )2
（6）
lim?(1?in)sin
2
?

n? ?
i?1
n??
i?1
n
（答案：（1）.
?
4< br>；（2）.
2ln2
?
；（3）
23
；（4）.（2）；
n
（5）.
1ln2
；（6）
5
?
6
）
15.设
f?R[a,b]
而且
f(x)?0
，令
f
i
证明：
(n)
?f(a?i
b?a
)
.
n
1
n
(n)
1
b
f(x)dx
（1）
lim?f
i
?
?
a
n??
n
i?1
b?a
1
b
lnf(x)dx
(n)(n)(n)
b?a
?
a
（ 2）
limf
1
f
2
?f
n
?e

n??
（3）
limn(?
n??
n
1
f
ii?1
?1
)?(b?a)(
?
(n)
b
a
dx
?1
)
.
f(x)
x
16.求下列极限
（1）
lim
n??
n
?
n?1
|sint|dt
e
?
0
dx
（2）
lim

n
x???x
x
x
（3）
lim
x???
0
?
x
(t?[t])dt
.
（答案：（1）.
0< br>；（2）.
2
?
；（3）.
12
）.
17.证明下列极限：
（1）若
f
?
(x)
在
[ 0,1]
上连续，则
lim
（2）若
f?R[1,e]
不变号，则
1?
1
n
e
n??
0
?
1
nx
n
f(x)dx?f(1)
.
limn
?
n??
1
f(x)dx?
?
n
1
f(x)
dx

x
（3）若
f?C[a,b]
，则

59

精品教学网
nx?1
lim
?
n??
nx
f(tn)dt?f(x) (x?[a,b])

x???
（4）若
f?C[0,??)
而且< br>limf(x)?A
，则
1
x
f(t)dt?A
.
x???
x
?
0
n
（提示：（1）利用分部积分；（2）令
x?t
，再用第一积分中
值定理；（3）令
u?tn
，再利用积分中值定理；（4）分段估计）.
1 8.设
f
?
(x)?C[0,1]
，
x?[0,1]
.证明 ：
n
kln2
lim?(f(x?
2
)?f(x))?f
?
(x)
.
n??
k?1
2
n?k
2
1
19.设
f(x)
在
R
上无穷次可微，
n
为自然数 ，
x
0
?R
1
.证明：
lim
d
n?
f(x)?f(x
0
)
?
f
(n?1)
(x
0
)
??
.
lim?
?
x?x
0
dx
n
?
x?x
0
n?1
??
20.设
f,g?C[?a,a]
，
g(x)
为偶数且对于
?x?[?a,a]
，有
f(x)?f(?x)?A
.证明：
?
计算
I?
a
?

?
-a
f(x)g(x)dx?A
?
g(x)dx
,并由此
0
a
2
?
?
2
|sinx|arctane
x
dx
（答案：
?
2
）.
21.设
f(x)
为连续函数.证明下述等式：
a
2
dx
a
a
2
dx
?
?
f(x?)
（1）
?
f(x?
2
)
1
xx
x
x
1
4 4
2xlnx2xdx
dx?ln2
?
f(?)
（2）
?
f(?)
.
1 1
x2xx2x
2
2
（提示：（1）令
x?t
，再令
u?at
（分段）；（2）令
x?4t
）.
x
lnt
dt
，
x?(0,??)
.试求
f(1x)?f(x)
. 22.设
f(x)?
?
1
1?t
1
2
（答案：
lnx
）.
2
a
2
60

精品教学网
lnt
2
dt
在
[e,e]
上的最大值.
?
e
t
2
?2t?1
（答案：
ln(1?e) ?(e(1?e))
）.
23.试求函数
I(x)?
x
24.设
f(x)
连续，而且
?
2
0

?
?
x
0
tf(x?t)dt?1?cosx
.试 求
f(x)dx
（答案：
1
）.
25.设
f
?< br>(x)
在
[0,??)
上存在，
f(0)?0
，
g( x)
为
f(x)
的反
函数而且
?
f(x)
0
（答案：.
g(t)dt?x
2
e
x
.试求：
f(x)
(x?1)e
x
?c
）
26.设
f?C(R
1
)
而且
f(x?y)?f(x)?f(y)?xy(x?y)

(
?x,y?R
1
).试求
f(x)
（答案：
27.设f?C[0,
?
]
而且
?

?
1
?f(1)x?x
3
3?c
）.
3

?
0
0
f(x)dx?0
，
?
f(x)c osxdx?0
.
证明：
f(x)
在
[0,
?
]< br>中至少有两个零点.
（提示：令
F(x)?
?
x
0
f(t)dt
，利用分部积分）.
28.设
f?C[a,b]
而且不恒为常数，而且
f(a)?f(b)?minf(x)
.
x?[a,b]
证明：存在
?
?(a,b)
使得
?

?
a
f(x)dx?(
?
?a)f(
?
)
.
（提示：令
F(t)?(t?a)f(t)?
t?[a,b]
?
t
a
f(x)dx
，
f(t
0
)?maxf(t)< br>，则
F(t
0
)?0
，
F(b)?0
）.
29.设
?
?C[a,b]
，
f
??
(x)
存在而 且非负.证明：
1
a
1
a
f(
?
(t))dt?f(
?
?
(t)dt)
.
a
?
0
a
0
1
a
x?f(x)dx
处的一阶泰展开式）. （提示：利用
f(x)
在
0
?
0
a

61

精品教学网
30.设
f
??
(x)?C[0,1]
.证明：
?
1
0
|f(x)|dx?max{
?
|f
?
(x)|dx,|
?
f
?
(x)dx|}
.
0 0
1 1
（提示：分
f(x)
变号与不变号两种情形考虑）.
31.设
f
?
(x)?C[a,b]
.证明
b
1
b
|f(x)dx|?
?
|f
?
(x)| dx?max|f(x)|
.
?
a a
x?[a,b]
b? a
32.设
f
?
(x)?C[0,a]
而且
f(0)?0< br>，
M?max|f
?
(x)|
.证
x?[a,b]
a
M
2
a
.（提示：利用 明：
|
?
f(x)dx| ?
0
2
a a
a
f(x)dx?(x?a)f(x)|?
0
??
(x?a)f
?
(x)dx
）
0 0
33.设
f(x)
在
[0,2]
上二阶可导，
|f
?
(x)| ?M
（
0?x? 2
）
而且
f(1)?0
.证明：
|
?
2
0
f(x)dx| ?M3
.
a?b
)?0
，M?max|f
??
(x)|
.
x?[a,b]
2
（提 示：利用
f(x)
在
x?1
处的泰勒展开式）.
34.设
f
??
(x)?C[a,b]
且
f(
证明：
|
b
M
(b?a)
3
.
?
a
24
（提 示：利用
f(x)
在
x
0
?(a?b)2
处的一阶泰展开式 ）.
x
n
35.设
f(x)?
?
(1?t)ln(1 ?nt)dt
，
x?0
.证明：
f(x)?
.
0
6
（提示：
f(x)
在
x?1
处取最大值）.
f(x)dx| ?
36.设
f?C[0,1]
而且非负，
f
?
(x)?1?2
（提示：令
F(x)?1?2
37.设
f
(2n)
f(x)?1?x (x?[0,1])
.
?
x
0
f(t)dt
.证明：
?
x
0
f(t)dt
）.
(x)?C[a,b]
而且
|f
(2n)
(x)| ?M
，
f
(i)
(a)?

62

精品教学网
f
(i)
(b)?0 (i?0,1,2,
?
,n?1)
.证明：
a
(n!)
2
|
?
f(x)dx| ?M(b?a)
2n?1
.
0
(2n)!(2n?1)!
（提 示：令
g(x)?(x?a)
n
(x?b)
n
，再利用分部积分公式 及
换元公式）.
38.设
f(x)?C[a,b]
不恒为零而且满足0?f(x)?M
.证
b b b
(
明：
?
a
f(x)dx)?(
?
f(x)dx)?(
?
a
22
a
M
2
(b?a)
4
f(x)dx)?
.
12
2
（提示：利用函数单调性）.
39.设
f(x)?C[a, b]
而且
f(x)?
明：
f(x)?0 (x?[a,b])
.
x
?
x
a
f(t)dt (x?[a,b])
.证
f(t)dt
，则
(e
?x
F( x))
?
?0
）.
a
1
f(x)
?A
（常 40.设
f(x)
连续，
?
(x)?
?
f(xt)dt
而且
lim
0
x?0
x
数）.试求
?
?
(x)
，并讨论
?
?
(x)
在
x?0
处的连续性.
（提示：令
F(x)?
?< br>（答案：
?
?
(x)?(xf(x)?
?
?
?
(0)
）.
41.设
f
?
(x)?C[0,??)
而且
lim(f(x)?f
?
(x))?0
.证明：
x???
l imf(x)?0
.
x???
?
x
0
f(t)d tx
2
，
lim
?
?
(x)?A2

x? 0
（提示：令
F(x)?f(x)?f
?
(x)
，则
ex
F(x)?(e
x
f(x))
?
，
再由
?< br> x
x
0
e
t
F(t)dt?e
x
f (x)?e
x
0
f(x
0
)
及积分中值定理可得）.

63