江苏职业高中数学 试卷及答案-高中数学概率题及详解百度文库
直线、平面垂直的性质
【学习目标】
1.掌握直线与平面垂直的性质定理,并能解决有关问题;
2.掌握两个平面垂直的性质定理,并能解决有关问题;
3.能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言:一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言:
l?
?
,m?
?
?l?m
图形语言:
2.性质定理
文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言:
l?
?
,m?
?
?lm
图形语言:
3.直线与平面垂直的其他性质
(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。
(2)若
l?
?
于
A
,
AP?l
,则
AP?
?<
br>。
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面。
要点诠释:
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽,通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相<
br>互转化。
要点二、平面与平面垂直的性质
1.性质定理
文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言:
?
?
?
,
?
图形语言:
?
?m,l?
?
,l?m?l?
?
1
要点诠释:
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和
方法,在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到。这
种线面垂直与面面垂直间的相互转化,是我们
立体几何中求解(证)问题的重要思想方法。
2.平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。
要点三、垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,
转化的纽带是对应的定义、判定定理和性
质定理,具体的转化关系如下图所示:
在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,早从结论探求所需的关系,从而架起条
件与结论
的桥梁.
垂直间的关系可按下面的口诀记忆:
线面垂直的关键,定义来证最常见,
判定定理也常用,它的意义要记清.
平面之内两直线,两线交于一个点,
面外还有一条线,垂直两线是条件.
面面垂直要证好,原有图中去寻找,
若是这样还不好,辅助线面是个宝.
先作交线的垂线,面面转为线和面,
再证一步线和线,面面垂直即可见.
借助辅助线和面,加的时候不能乱,
以某性质为基础,不能主观凭臆断,
判断线和面垂直,线垂面中两交线.
两线垂直同一面,相互平行共伸展,
两面垂直同一线,一面平行另一面.
要让面和面垂直,面过另面一垂线,
面面垂直成直角,线面垂直记心间.
【典型例题】
类型一:直线与平面垂直的性质
例1.设a,b为异面直线,AB是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线)。
(1)若a,b都平行于平面
?
,求证:AB⊥
?
;
(2
)若a,b分别垂直于平面
?
,
?
,且
??
?c
,
求证:AB∥c。
【思路点拨】(1)依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥
?
,可先证明线与线的平行。(2)由于此时
垂直的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB
∥c。
证明:(1)如图(1),在
?
内任取一点P,设直线a与点P确定的平面与
平面
?
的
2
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