高中数学联赛中数论难吗-湖北省高中数学竞赛二等奖
1.1.1 柱、锥、台、球的的结构特征
练习一
一、 选择题
1、 下列命题中,正确命题的个数是( )
(1)桌面是平面;(2)一个平面长2米,
宽3米;(3)用平行四边形表示平面,只能画出平面的一部
分;(4)空间图形是由空间的点、线、面
所构成。
A 、 1 B、 2
C、 3
D、 4
2、下列说法正确的是( )
A、
水平放置的平面是大小确定的平行四边形
B、
平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围来的部分
C、
100个平面重叠在一起比10个平面重叠在一起厚
D、 平面是光滑的,向四周无限延展的面
3、下列说法中表示平面的是( )
A、 水面 B、
屏面
C、 版面 D、 铅垂面
4、
下列说法中正确的是( )
A、 棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B、
棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C、 棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高
D、 棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
5、长方体的
三条棱长分别是AA
=1,AB=2,AD=4,则从A点出发,沿长方体的表面到C
的最短距离是(
A、 5 B、 7
C、
29
D、
37
6、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( )
A、 三棱锥
B、 四棱锥
C、 五棱锥 D、 六棱锥]
)
7、过球面上两点可能作出球的大圆( )
A、 0个或1个
B、 有且仅有1个
C、 无数个 D、 一个或无数个
8、一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积为( )
A、 10
B、 20
C、 40 D、 15
二、填空题
9、用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是
----------
------
条。
10、正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2,则它
的斜高是
------------
。
11、一个圆柱的轴截面面积为
Q,则它的侧面面积是
----------------
。
12、若
圆锥的侧面面积是其底面面积的2倍,则这个圆锥的母线与底面所成的角为
-------------
---
,圆锥的侧面
展开图扇形的圆心角为
----------------
。
13、在赤道上,东经140与西经130的海面上有两点A、B,则A、B两点的球
面距离是多少海里
---------------
。
(1海里是球心角1所对大圆的
弧长)。
三、解答题
14、一个正三棱柱的底面边长是4,高是6,过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶
点作截面,求这
截面的面积。
15、圆锥底面半径是6,轴截面顶角是直角,过两条母线的截面截去底面圆周的
00
1
,求截面面积。
6
答案:
一、选择题
1、B; 2、D; 3、D; 4、A;5、A;6、D;7、D;8、B
二、填空题
9、6
10、
73
6
00
11、Q
12、60,180
13、5400
三、解答题
14、解:如图,正三
棱柱ABC—ABC,符合题意的截面为ABC,在R
t
ABB中,AB=4,BB=6
∴AB=
=2
13
在等腰ABC中,BO=
AOBC,∴
AO=
=
A
B
2
?BB
2
=
4
2
?6
2
1
?4
=2
2
A
B
2
?BO
2
?
213
?
2
?2
2
=4
3
∴S
ABC
=
11
BC·AO=·4·4
3
=8
3
22
∴这截面的面积为8
3
15、解:由题意知:SA=SB=SC=6
2
,
∠BOC=
2
?
?
=,∴OB=OC=BC=6。
6
3
∴SD=
72?9
=3
7
<
br>∴S
SCB
=
1
·6·3
7
=9
7
2
解题提示: 通过解三角形可使问题自然获解。
1.1.2
简单组合体的结构特征
练习一
一、 选择题
1、平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念。
其中正确命题的个数是(
)
A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个
2、在空间中,下列说法中正确的是( )
A、 一个点运动形成直线
B、
直线平行移动形成平面或曲面
C、 直线绕定点运动形成锥面
D、
矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
3、在四面体中,平行于一组相对棱,并平分其余各棱的截面的形状是( )
A、
等边三角形 B、 等腰梯形
C、 长方体 D 、 正方形
4、在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( )
A、 1个
B、 2个
C、 3个 D、 4个
5、设有三个命题:
甲:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体
乙:底面是矩形的平行六面体是长方体
丙:直四棱柱是直平行六面体
以上命题中,真命题的个数是( )
A、 0个 B、 1个
C、 2个 D、 3个
6、边长为5c
m的长方形EFGH是圆柱的轴截面,则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是( )
A、
10cm B、 5
2
cm
C、
5
?
?1
cm D、
7、半径为5的球,截得一条直线的线段长为8,则球心到直线的距离是( )
A、
29
B、 2
C、 2
2
D、 3
二、填空题
8、、空间中构成几何体的基本元素是
------------
、
--------------
、
-----
----------------
。
9、、用六根长度相等的火柴,最多搭成<
br>----------------
个正三角形。
10、下列关于四棱柱的四个命题:
①
若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②
若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,
则该四棱柱为直四棱柱;③
若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④ 若四棱柱的四条对角
线两两相等,则该四棱柱为直四
棱柱。其中真命题的序号是
----------------
。
11、能否不通过
拉伸把球面切割为平面图形
-----------------
(填能、否)
三、解答题
12、圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底在圆周上有一点A,
求一个动点P自A出发在
侧面上绕一周到A点的最短距离。
13、已知棱棱锥的底面积是150cm,平行于底面的一个截面面积是54cm,截得棱台的高为12
cm,求棱锥
的高。
22
5
?
2
?4
cm
2
14、如图,侧棱长为2
3
的正三棱锥V—ABC中, AVB=BVC=CVA
=40,过A作截面AEF,求截面三角形AEF周长的最小值。
15、从北京(靠近北纬40,东经120,以
下经纬度均取近似值)飞往南非首都约翰内斯堡(南纬30,东
经30)有两条航空线可选择:
甲航空线:从北京沿纬度弧向西飞到土耳其首都安卡拉(北纬40,东经30),然后向南飞到目的地;
乙航空线:从北京向南飞到澳大利亚的珀斯(南纬30,东经120),然后向西飞到目的地。
请问:哪一条航空线最短?(地球视为半径R=6370km的球)
00
0
0
0
000
0
(提示:把北京、约翰内斯堡、安卡拉、珀斯分别看作球面上的
A、B、C、D四点,则甲航程为A、C
?
之和,乙航程是A、D两地间的球面距离
?
AC
与C、B两地间的球面距离
BC
AD
加上两地间的纬度长
?
D、B两地间的纬度线长。)
答案:
一、选择题
1、A;2、B;3、D;4、D;5、B;6、C;7、D
二、填空题
8、点、线、面。
9、4
10、②④
11、不能
三、解答题
12、解:如图,
扇形SAA
1
为圆锥的
侧面展开图,AA
1
即为所求的最短路程。已
0
ASA
1
=
120,在等腰三角形SAA
1
中可求得:AA
1
=3
3
r
。
知SA=SA
1
=3r,
13、导析:本题主要考查平行于
底面的截面的性质,即棱锥被平行于底面的平面所截,该截面面积与底面
面积之比等于截得小锥的高与原
锥的高的比的平方。
解:不妨高是三棱锥。设棱锥的高为h,
?
h?12
?
54
∵
??
=
150
?
h
?
∴
h=30(cm)
2
14、解:将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面
展开平铺在一个平面上,如图。线段AA
1
的长为所求三角形
AEF周长的最小值,取
AA
1
的中点D,则VDAA
1
,
AVD=60,可求AD=3,则AA
1
=6。
15、解:设球心为O,O
1
、O
2
分别是北纬40圆与南纬30圆的圆心,则
∠AO
1
C=∠DO
2
B=120-30=90
000<
br>00
0
AC
=从而
?
??
0
·O
1
C=Rcos40,
22
?
=
?
·O
2
B=
?
Rcos30
0
=
3
?
R,
BD
4
22
?
?
=R·∠COB=R(40+30)
CB
·
180
=
7
R,
18
?
?
AD
= R·∠AOD=R(40+30)·
180
=
7
R
18
?
AC
+
CB
故甲航程为s
1
=
?
=
7?
0
R cos40+R,
18
2
?
+
?
AD
=
故乙航程为s
2
=
BD
3
7
?
R+R
4
18
由cos40<cos30,知s
1
<s
2
,所以甲航
空线较短。
00
1.2.1 空间几何体的三视图
练习一
一、 选择题
1、关于三视图,判断正确的是( )
A、
物体的三视图唯一确定物体
B、 物体唯一确定它的三视图
C、
俯视图和左视图的宽相等
D、 商品房广告使用的三视图的主视图一定是正面的投影
2、 下列说法正确的是( )
A、 作图时,虚线通常表达的是不可见轮廓线
B、 视图中,主视图反映的是物体的长和高,左视图反映的是长和宽,而俯视图反映的是高和宽
C、 在三视图中,仅有点的两个面上的投影,不能确定点的空间位置
D、
用2:1的比例绘图时,这是缩小的比例
3、一个几何体由几个相同的小正方体组合而成,
它的主视图、左视图、俯视图如图所示,则这个组合体
包含的小正方体的个数是( )
A、 7 B、 6
C、
4 D、 5
4、一个物体的三视图如图所示,则该物体形状的名称为( )
A、 三棱柱 B、 四棱柱
C、 圆柱
D、 圆锥
二、填空题
5、对于一个几何体的三视图要证主视图与左视图一样
________,主视图和俯视图一样________,俯视图和
左视图一样________.
6、对于正投影,垂直于投射面的直线或线段的正投影是
------------
---------
。
7、一个几何体的三视图是全等的平面图形,这样的几何体
可能是
------------
。(写出符合的一种几何体即可)
8、
如果一个几何体的视图之一是三角形,那么这个几何体可能是
--------------
。
(写出两个几何体即可)。
三、做图
9、画出下面几何体的三视图。
10、据下面三视图,想象物体的原形。
11、画出下面几何体的三视图。
12、画出下面几何体的三视图
13、画出下面几何体的三视图
14、已知某几何体的主视图,左视图和俯视图,求作此几何体。
主视图 左视图
15、已知某几何体,求作此几何体的主视图,左视图和俯视图。
答案:
一、选择题
1、C;2、A;3、C;4、B
二、填空题
5、高 长 宽
俯视图
6、点
7、球或正方体
8、三棱锥;圆锥
三、做图
9、 解:
1
0、解:由几何体的三视图知道:本题图的几何体是一个简单组合体,上部是个圆柱,下部是个正四棱柱。
且圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切。
11、解:
评述:本题主要考查三视图的画法。
12、解:三视图如下
13、解:
如图
主视图
左视图 俯视图
14、解:
如图
15、
主视图 左视图 俯视图
1.2.1 空间几何体的三视图
练习二
一、 选择题
1、若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形,俯视图是圆,则这个几何体可能是( )
A、 圆柱 B、 三棱柱
C、 圆锥 D、
球体
2、若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形,俯视图是圆,则这个几何体可能是( )
A、 圆柱 B、 三棱柱
C、 圆锥 D、 球体
3、甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边,桌上一张纸上写着数字“9”
,甲说他看到
的是“6”,乙说他看到的是“ ”,丙说他看到的是“
”,丁说他看到的是“9”,则下列说
法正确的是( )
A、甲在丁的对面,乙在甲的左边,丙在丁的右边
B、丙在乙的对面,丙的左边是甲,右边是乙
C、甲在乙的对面,甲的右边是丙,左边是丁
D、甲在丁的对面,乙在甲的右边,丙在丁的右边
二、填空题
4、一个
几何体的三视图是全等的平面图形,这样的几何体可能是
------------------
。(写出符合的一种几何体即
可)。
5、对于一个几何体的三视图要保证主视图
和左视图一样
---------------
,主视图和俯视图一样
-------
--------
,俯视图
和左视图一样
-------------------<
br>。
6、对于正投影,垂直于投射面的直线或线段的正投影是
-------
--------------
。
三、做图
7、画出下图所示几何体的三视图。
8、如图
体图形的视图。
9、如图是由
几个小立方块所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数,
请画出这个几
何体的主视图、左视图。
四、判断题
10、两条平行的直线的水平放置直观图仍然是相等线段。( )
是一些立体图形的视图,
但是观察的方向不同,试说明下列图是哪一种立
11、两条长度相等的线段水平放置的直
观图仍是相等线段。( )
12、正视图、侧视图、俯视图相同的几何体只有球。( )
五、解答题
13、下图(1)、(2)、(3)中哪一幅是主视图?
14、已知某几何体,求做其主视图,左视图,俯视图
15、已知某几何体,求做其主视图,左视图,俯视图
答案:
一、选择题
1、C;2、C;3、D
二、填空题
4、球或正方体。
5、高;长;宽。
6、点
三、做图
7、解:上图为一个圆锥与一个圆台的组合体按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状。三视图如下
解题提示:三视图的训练有助于我们空间想象力的培养和
今后应用数学知识解决工程建设、机械制造
及日常生活中的问题。
8、解:从柱、锥、台、球和三视图各方面全面考虑。
(1) 可能为球、圆柱。如图。
(2)可能为棱锥、圆锥、棱柱。如图。
(3)可能为四棱锥,如下图。
解题提示:由示图到立
体图是培养我们立体感的又一种方法,它又是工人
操作的过程,在作题时,要认真想象立体图的样子,再
仔细分析三视图。
9、解:
四、
10、对
11、错
12、错
五、解答题
13、(2)
14、
主视图 左视图
俯视图
15、
主视图
左视图 俯视图
1.2.2 空间几何体的直观图
练习一
一、 选择题
1、水平放置的
?ABC
有一边在水平线上
,他的直观图是正
?A
1
B
1
C
1
,则
?
ABC
是(
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形
D、任意三角形
)
2、已知一个正方形的直观图是一个
平行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的面积是( )
A、 16
B、 64
C、 16或64 D、 都不对
3、已知正方形ABCD的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是(
)
A、6cm B、8cm
C、
(2?32)cm
D、
(2?23)cm
4、一个三角形斜二测画法画出来是一个正三角形,边长为2,则此三角形的面积是( )
A、 2
6
B、 4
6
C、
3
D、 都不对
5、用斜二测画法做出一个三角形的直观图,其直观图的面积是原三角形面积的( )
A、
6、已知ABC的平面直观图
?A
B
C
是的边长为a的正三角形,那么原ABC的面积为( )
A、
二、填空题
7、斜二测画法画圆,得到直观图的形状是
-------------
------
。
8、根据斜二测画法的规则画直观图时,把ox,oy,oz轴画成对应的ox,oy,oz,使∠xo
y=
-----------------
,
∠xo
z=
-----------------
。
9、用斜二测画法作直观图
时,原图中平行且相等的线段,在直观图中对应的两条线段____________。
10、用斜二测画法画各边长为2cm的正三角形的直观图的面积为___________.
11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为
45
,腰和底
均为1的等腰梯形,那么原平面
图形的面积是( )
三、解答题
12、画出一个正三棱台的直观图(尺寸为上、下底面边长为1cm、2cm、高2cm)。
0
22
1
B、2
C、 D、
24
2
3
2
3
2
6
2
a
B、
a
C、
a
D、
6a
2
242
13、画正五边形的直观图。
14、如图为一个平面图形的直观图,请画出它的实际形状。
15、画出一个正三棱台的直观图(尺寸为上、下底面边长为1cm、2cm、高2cm)。
答案:
一、选择题
1、C;2、C;3、B;4、C;5、B;6、C
二、填空题
7、椭圆
8、45(或135),90
9、平行且相等
10、
000
6
2
cm
4
11、
2?2
三、解答题
12、解:略
提示:正确利用斜二测画法作出空间图形时要注意画法的法则。
13、解:(1)建立如图(
1)所示的直角坐标系xoy,再建立如图(2)所示的坐标系xoy,使∠xoy=45;
(2)在
图(1)中作BGx轴于G,EHx轴于H,在坐标系xoy中作OH=OH,OG=OG,OA=
CD
x轴且CD=CD。
(3)在平面xoy中,过G作GB=
0
1
OF,过F作
2
1
1
BG
,过H作HEy轴,且HE=HE,连结AB、BC、DE、EA得
22
五边形ABCDE,则
其为正五边形ABCDE的平面直观图。
14、解:在图中建立如图所示的坐标系xAy,再建立一个直角坐标系,如图所示。
在x轴上截取线段AB=AB,在y轴上截取线段AD,使AD=2AD。
过B作BCAD,
过D作DCAB,使BC与DC交于点C,则四边形ABCD即为ABCD
的实际图形。
15、解:(略)
正确利用斜二测画法作出空间图形时要注意画法规则。
1.2.2 空间几何体的直观图
练习二
一、 选择题
1、
已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图
?ABC
的面积为( ) A、
3
2
3
2
6
2
6
2
a<
br> B、
a
C、
a
D、
a
48816
2、水平放置的ABC有一边在水平线上,它的
直观图是正ABC,则ABC是( )
A、 锐角三角形 B、 直角三角形
C、 钝角三角形 D、 任意三角形
3、如图的正方形OABC的
边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )
A、 6cm B、 8cm
C、
(2+3
2
)cm
D 、 (2+2
3
)cm
4、已知ABC的平面直观图是边长为a的正三角形,那么原ABC的
A、
面积是( )
3
2
3
2
a B、
a
24
C、
6
22
a
D、
6
a
2
5、下列说法中正确的是( )
A、
互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B、 梯形的直观图可能是平行四边形
C、 矩形的直观图可能是梯形
D、 正方形的直观图可能是平行四边形
6、在原来的图形中,两条线段平行且相等,则在直观图中对应的两条线段( )
A、
平行且相等 B、 平行不相等
C、 相等不平行
D、 既不平行也不相等
7、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图的面积是原三角形面积的(
)倍
A、
1
B、 2
2
2
D、
2
2
C、
8、水平放置ABC,有一边在水平线上,它的斜二测画法直观图是正三角形ABC,则ABC是(
)
A、 锐角三角形 B、 直角三角形
C、 钝角三角形 D、
任意三角形
二、填空题
9、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角
为45,腰和上底均为1的等腰梯形,则这个原平
面图形的面积是
-------------
------
。
0
10、用斜二测画法画各边长为2cm
的正三角形的直观图的面积为
------------------
。
11、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
45
0
,腰和上底为1的
等腰梯形,则这个原平
面图形的面积是____________________________.
12、关于直角AOB在定平面内的正投影有如下判断:① 可能是0角;②
可能是锐角;③ 可能是直角;
④ 可能是钝角;⑤
可能是180的角。其中正确判断的序号是
----------------
。
三、解答题
13、画出正方形的中心投影图。
14、画出一个锐角为45的平行四边形的直观图。
15已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图ABC的面积。
答案:
一、选择题
0
0
0
1、D;2、C;3、B;4、C;5、D;6、
A;7、A;8、C
二、填空题
9、2+
2
10、
6
4
cm
2
11、
2?2
12、①②③④⑤
三、解答题
13、解:如图所示为正方形的中心投影图。
解题提示:中心投影法的线一定要交于一点,以表示点光源,如本题中的点O。
14、解:略
15、解:如图(1)、(2)所示的实际图形和直观图,由(2)知,A
B
=AB=a,O
C
=
1
2
OC
=
3
2
6
1
4
a,在图(2)中作CD⊥
AB于D
,则C
D
=
2
OC=
8
a,∴
S
?A
B
C
<
br>=
2
A
B
·C
D
=
1
2
·a·
6
8
a
=
6
2
16
a。
解题提示:本例是求直观图的面积,因此
应在直观图中求解,需求直观图的底
和高,然后利用三角形的面积求解。
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
练习一
一、 选择题
1、将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了( )
A、
6 a
2
B、 12 a
2
C、 18
a
2
D、 24 a
2
2、侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a,则该三棱锥的全面积是( )
A、
3?3
2
3
a B、 a
2
4
4
3?3
2
6?3
2
a D、 a
24
C、
3、棱锥的高为16,底面积为512,平行于底面的截面积为50,则截面与底面之间的距离为(
)
A、 25 B、 11
C、 10
D、 5
4、已知一个直平行六面体的底面是面积等于Q的菱形,两个对角面面积
分别是M和N,则这个平行六面体
的体积是( )
A、
1
2
MNQ
B、
MNQ
1
2
C、
2MNQ
D、
2MNQ
5、正四棱锥的底面面积为Q,侧面积为S,则它的体积为( )
A、
11
Q
S
B、
32
1
2
Q
?
S
2
?Q
2
?
Q
?
S
2
?Q
2
?
C、
S
?
S
2
?Q
2
?
D、
1
6
6、正棱锥的高和底面边长都缩小原来的
1
,则它的体
积是原来的( )
2
A、
11
B、
48
1
1
D、
16
32
C、
7、直三棱柱ABC——A
1
B
1
C
1
的体积为V,已知点P、Q分别为AA
1
、CC<
br>1
上的点,而且满足AP=C
1
Q,则四棱锥
B—APQC的体积是(
)
A、
11
V B、 V
23
12
V D、 V
43
C、
二、填空题
8、已知正六棱台的上、下底面边长分别是2和4,高是2,则这个棱台的侧面积是_____ 。
9、底面边长分别为a,b的一个直平行六面体的侧面积是(a+b)c,则它的高为
---------------------
。
10、正六棱柱的高为5cm,最长的对角线
为13cm,它的全面积为
-----------------
。
11、三棱锥的五条棱长都是5,另一条棱长是6,则它的体积是
-------------
。
三、解答题
12、右图中的图形是一个正方体,H、F、G分别是棱AB、AD、AA
1
的中点。现在沿三角形GFH所在平面锯掉一个角,问锯掉的
这块的体积是原正方体体积的几分之几?
13、直平行六
面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为
Q
1
,Q
2
,求直平行六
面体的侧面积
14、如图,一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内
放一个半径为r
的铁球,并向容器内注水,使水面恰在此时好
与铁球相切,将球取出后,容器内的水深是多少?
15、如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,P
D=a,PA=PC=
2
a,且PD是四棱锥的高。
(1)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径。
(2)求四棱锥外接球的半径。
答案:
一、选择题
1、B;2、A;3、B;4、D;5、D;6、B;7、B
二、填空题
8、18
7
9、
c
2
2
10、
3633?5cm
??
11、
5
39
2
3
三、解答题 <
br>12、解:设正方体的棱长为a,则正方体的体积为a,锯掉的这个角是以三角形AGF为底面、H为顶点
的
一个三棱锥。其体积为V=
111111
1
3
S
AFG<
br>·AH= ··a·a·a =a,
332222
48
1
。
48
∴所锯掉的这个角的体积是原正方体体积的
13、解:设底面边长为a,侧棱长为l,两条面对角线的长分别为c,d,则
?
cl?Q
1
...........(1)
?
?
dl?Q
2
...........(2)
?
?
1
2
1
2
(c)?(d)?a
2
.........(3)
?
2
?
2
由(1)得
c?
Q
1
Q
,由(2)得
d?
2
代入(3)得
l
l
(
Q
1
2
Q<
br>2
2
)?()?a
2
2l2l
222
2
∴
Q
1
?Q
2
?4la
2la?Q
1
?Q
2
S
侧
?4al?2Q
1
?Q
2
思维启示
:(1)此题需要大胆假设,为列方程方便,可以将对角线设出,但设而不解。(2)需大胆消元,整体代
入,三个方程四个未知数,不能将其一一解出,这里需要将a与l的乘积看做一个整体进行计算。
1
4、解:如图,由题意,轴截面PAB为正三角形,故当球在容器内时,水深为3r,水面半径为
3r,容
器内水的体积就是V=V
棱锥
-V
球
=
?(
3
r)·3r-
?
r=
?
r
233
2222
1
3
4
3
5
3
将球取出后,设容器中水
的深度为h,则水面半径为
33
1
2
h,此时容器内水的体积为V=
?
(h)·h=
33
3
1
3
h
9
由V=V,得h=
3
15r
。即铁球取出后水深为
3
15r
。
15、证明:(1)设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设
球心为S,连结SA、SB、SC、SD、
SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R。 <
br>V
P——ABCD
=
11
·S
ABCD
·PD=·a
·a·a
33
=
1
3
11
2
a,S
PA
D
= S
PDC
=·a·a=a,
322
2
2
1
·a·
2
a=a
2
2
S
PAB
=
S
PBC
=
S
ABCD
=a。
2
V
P—ABCD
= V
S—PDA
+
V
S——PDC
+ V
S-ABCD
+ V
S—PAB
+
V
S—PBC
,
1
3
1
a=R(S
PAD
+ S
PDC
+
S
PAB
+ S
PBC
+ S
ABCD
),
33
1
3
11
2
1
2
2
2
a=R(a
+a+a+
2
3322
2
22
a+a),
2
1
2
1
3
R(2+
2
)a=a, 33
∴R=
a
2?2
=
2?22
2a=(1-
2
)a
∴球的最大半径为(1-
2
2
)a
(2)设PB的中点为F,
∵ 在R
t
PDB中,FP=FB=FD,
在R
t
PAB中,FA=FP=FB,
在R
t
PBC中,FP=FB=FC,
∴FP=FB=FA=FC=FD。
∴F为四棱锥外接球的球心。
则FP为外接球的半径
∵FB=
1
3
2
PB,∴FB=
2
a。
∴四棱锥的外接球的半径为
3
2
a。
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
练习二
一、 选择题
1
、底面是菱形的直棱柱,它的对角线的长分别9和15,高是15,则这个棱柱的侧面积是(
A、
130 B、 140
C、 150 D、
160
2、正三棱台上、下底面边长分别是a和2a,棱台的高为
33
6
a
,则正三棱台的侧面积为(
A 、a
2
B、
1
2
a
2
C、
9
2
a
2
D、
3
2
a
2
3、正四棱锥底面外接圆半径为10cm,斜高为12cm,下面数据正确的是( )
A、高
h?211cm
B、 侧棱长 l=12cm
C、 侧面积
s?602cm
2
)
)
D、 对角面面积
s?1094cm
4、已知正面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H,设四面体E
FGH的表面积为T,
则
2
T
=( )
S
A、
C、
14
B、
99
11
D、
43
5、若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(
)
A、
C、
6、一个正四棱台两底面边长分别为m,n,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为(
)
A、
C、
7、正六棱台的两底面的边长分别为a和2a,高为a,则它的体积是( )
A、
3
B、
2
3
2
2
3
D、
mnmn
B、
m?nm?n
m?nm?n
D、
mnmn
2121
3
33
3
a
B、
a
22
73
3
a
2
C、 7
3
a
3
D、
二、填空题
8、一个长方体的长、宽、高之比是1:2:3,全面积为88cm<
br>2
,则它的体积是
---------------
。
9、正六棱锥的底面边长为a,高为
3
a
,求这个正六棱锥的全
面积和侧棱长
-----------------------------------
。
2
10、一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为
15,那么这个三棱锥的体积是
-----------------
。
三、解答题
11、设正三棱锥S---
ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高为SO=3 .求此正三棱锥的全面积.
12、如图所示,三棱锥的顶点为P,PA、PB、PC为三条侧棱,且 PA、
PB、PC两两互相垂直,又PA=2,PB=3,PC=4,求三棱锥P—
ABC的体积为V。
13、已知三
棱台ABC—A
1
B
1
C
1
中,AB:A
1
B
1
=1:2,则三棱锥A
1
—ABC,B—A
1
B1
C,C—A
1
B
1
C
1
的体积之比是
多大。
1
4、斜三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面ABC为正三角
形,AB=a,AA
1
=A
1
B=A
1
C=2a,求这个三棱柱的体积。
15、在正四棱台A
BCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,A
1
B
1
=a,AB=b(a>b) ,设
O
1
为底面A<
br>1
B
1
C
1
D
1
的中心,且棱台的侧面积等
于
四棱锥O
1
--ABCD的侧面积,求棱台的高,并讨论此题是否总有解?
答案:
一、选择题
1、D;2、C;3、D;4、A;5、A;6、B;7、D
二、填空题
8、48 cm
3
9、S
93
全<
br>=
2
a
2
,侧棱长l=
13
2
a
10、9
三、解答题
11、解:设正三棱锥的底面边长为a,斜高为
h
?
过O作OEAB ,SEAB,则SE=
h
?
S
侧
=2
S
底
∴
1<
br>2
.3a.h
?
?
3
2
4
a.2
∴
a?3h
?
SOOE
∴
SO
2
?OE
2
?SE
2
∴
3
2
?(
3
6
?3h
?
)
2
?h<
br>?
2
∴
h
?
=
23
a=
3h
?
=6
∴
S
底
=
3
4
a
2
=
3
4
?6
2
=
93
S
侧
=2
S
底
=18
3
S全
=
S
侧
+
S
底
=9
3
+1
8
3
=27
3
思维启示:将基本量转化到正三棱锥的三个直角三角形中去求解
12、
解:V=
1111
sh=S
PAC
·PB=··2·3·4=4
3
332
思维启示:三棱锥又称为四面体,它的每一个面都可当作底面来处理,这种方法叫做体积转移法(
或称等
积法)。
13、解:设棱台的高为h
1
,S
AB
C
=S,则
S
?A
1
B
1
C
1
=
4S,
∵
V
A
1
——ABC
=
11
S
ABC
·h=S h
33
S
?A
1
B
1
C
1
·h=
V
C——A
1
B
1
C
1
=
又V
台
=
1
3
4
S h
3
17
h(S+4S+2S)= S h
33
∴
V
B——A
1
B
1
C
=
V
台
-
V
A
1
——ABC
-
V
C
——A
1
B
1
C
1
=
7412
S
h- S h-S h= S h
3333
∴ 体积比为1:2:4
14、解:如图,由AA
1
=A
1
B=A
1
C=2
a,可以证明A
1
在平面ABC上的射影O为正ABC的中心。
在ABC中,AO=
3
22
AD=·AB
2
33
=
3
a。
3
在R
t
A<
br>1
OA,A
1
O=
=
(2a)
2
?(
AA
1
2
?AO
2
33
3
2
a,
a)
=
3
3
S<
br>ABC
=
3
2
3
2
33
a,V
棱柱
=a·a
443
=
11
3
a。
4
15、解:过高OO
1
和AD的中点E作棱锥和棱台的截面,得棱台的斜高
EE
1
和棱锥的斜高EO
1
,设OO
1
=h,则 S
1
棱锥侧
=
2
?4b?EO
1
=2b·E
O
1
S
1
棱台侧
=
2
(4a?4b)E
E
1
1
?
2
(a?
1
)?2(a?b).EE1
依题意得S
b
棱锥侧
=S
棱台侧
且OE=
2
,O
1
E
1
=
a
2
得2b·EO
1
=2(a+b)EE
1
EE
1
2
=h
2
+
(
a?b
2
)
2
, E
O
1
2
=h
2
+
(
b
2
)
2
将其代入上式得
2
b
2
(h
2
+
b
4
)=(a+b)
2
?
?
?
h
2
?(
a?b
2
)
2
?
?
?
解此关于h的方程有:
h=
1a(2b
2
?a
2
)
2a?2b
,当且仅当2b
2
>a
2
,即
2b?a
时,才有解。
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