高中数学选修1-2知识点整理复习资料(内含多套整理资料及例题)

高中数学选修1-2知识点总结
第一章 统计案例

1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x< br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?< br>b?
n
2
其中，
?
2
x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?注意：线性回归直线经过定点
(x,y)
.
2．相关系数（判定两个变量线性相 关性）：
r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n

?
(x
i?1
n
i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1
注： ⑴
r
>0时，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；
⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近于0时，两个变量之间几
乎不存在线性相关关系。
3.条件概率
对于任何两个 事件A和B，在已知B发生的条件下，A发生的概率称为B发生时A发生的
P（AB）
条件概率 . 记为P(A|B) , 其公式为P(A|B)＝
P（A）
4相互独立事件
(1)一般地，对于两个事件A，B，如果_ P(AB)＝P(A)P(B) ，则称A、B相互独立．
(2)如果A
1
，A
2
，…，A

n相互独立，则有P(A
1
A
2
…A
n
)＝_ P(A
1
)P(A
2
)…P(A
n
).
－－－－
(3)如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．

5．独立性检验（分类变量关系）：
(1)2×2列联表
设
A,B
为两个变量，每一个变量都可以取两
个值，变量
A:A
1
,A
2< br>?A
1
;
变量
B:B
1
,B
2
?B
1
;

通过观察得到右表所示数据：
并将形如此表的表格称为2×2列联表．
(2)独立性检验
根据2×2列联表中的数据判断两个变量A，
B是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．
(3) 统计量χ2的计算公式
n（ad－bc）
2
χ2=

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
1

1．(2015·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x万元
销售额y万元
4
49
2
26
3
39
5
54
^^^^
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据 此模型预报广告费用为6万元时销售额为
( )．
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
－
4＋2＋3＋5
7
－
49＋26＋39＋54
解析 ∵x＝＝，y＝＝42，
424
7
^^^－－^^
又y＝bx＋a必过(x ，y)，∴42＝×9.4＋a，∴a＝9.1.
2
^
∴线性回归方程为y＝9.4x＋9.1.
^
∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
答案 B
2．(2015·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高xcm
儿子身高ycm
174
175
176
175
176
176
176
177
178
177
则y对x的线性回归方程为 ( )．
^^
A.y＝x－1 B.y＝x＋1
1
^^
C.y＝88＋x D.y＝176
2
－
174＋176＋176＋176＋178
解析 因为x＝＝176，
5
－
175＋175＋176＋177＋177
y＝＝176，
5
－－
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(x，y)，
所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.
答案 C
3．(2 015·陕西)设(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，…，(x
n
，y
n
)是变量x和y的n个
2

样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论 中正
确的是( )．
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
－－
D．直线l过点(x，y)
解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的
绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A、B错误．C中n
为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误．根据回
归直线方程一定经过样本中心点可知D正确，所以选D.
答案 D
4．(2015 ·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李
某月1号到5号 每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
命中率y
1
0.4
2
0.5
3
0.6
4
0.6
5
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用 线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6
小时篮球的投篮命中率为________．
解析 小李这5天的平均投篮命中率
－
0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4
y＝＝0.5，
5
－ ^^
可求得小李这5天的平均打篮球时间x＝3.根据表中数据可求得b＝0.01，a＝
^
0.47，故回归直线方程为y＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的
投篮命中率约为0.53.
答案 0.5 0.53
5．(2015·辽宁)调查 了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调
查显示年收入x与年饮 食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方
^
程：y＝0.254x＋ 0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增
加________万 元．
解析 由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.
答案 0.254
3

6．(2015·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
需求量(万吨)
2002
236
2004
246
2006
257
2008
276
2016
286
^^^
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．
解 (1)由所给 数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为
此对数据预处理如下：
年份－2006
需求量－257
－4
－21
－2
－11
0
0
2
19
4
29
－－
对预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2.
^
?－4?×?－ 21?＋?－2?×?－11?＋2×19＋4×29－5×0×3.2
260
^－－
b＝＝＝6.5，a＝y－bx＝3.
22222
40
?－4?＋?－2?＋2＋4 －5×0
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
^^^
y－257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2，
^
即y＝6.5(x－2 006)＋260.2. ①
(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为
6．5×(2016－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)． < br>7．(2016·新课标全国)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该< br>地区调查了500位老年人，结果如下：
性 别

是否需要志愿者
需要
不需要
男
40
160
女
30
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3) 根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助
的老年人的 比例？
说明理由．
附：
4

P(K
2
≥k)
k
n?ad－bc?
2
K＝
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
2
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
解 (1) 调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮
70
助的 老年人的比例的估计值为＝14%.
500
500×?40×270－30×160?
2
(2)K＝≈9.967.
70×300×200×430
2
由于9. 967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据
能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此
在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两
层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
8．(2016·辽宁)为了比较注射 A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，
将这200只家兔随机地分成两组， 每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下
表1和表2分别是注射药物A和药物B后的 试验结果．(疱疹面积单位：mm
2
)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
频数
[60,65)
30
[65,70)
40
[70,75)
20
[75,80)
10
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
频数
[60,65)
10
[65,70)
25
[70,75)
20
[75,80)
30
[80,85)
15
(1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
5

(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认 为“注射药物A后的疱疹面积与注
射药物B后的疱疹面积有差异”．
表3：

注射药物A
注射药物B
总计
n?ad－bc?
2
附：K＝
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
2
疱疹面积小于
70 mm
2

a＝
c＝

b＝
d＝
疱疹面积不
小于70 mm
2

总计



n＝


P(K
2
≥k)
k
解 (1)
0.100
2.706
0.050
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.001
10.828

6

从频率分布直方图中可以看 出注射药物A后皮肤疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射
药物B后皮肤疱疹面积的中位数在70 至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于
注射药物B后疱疹面积的中位数．
(2)表3：

注射药物A
注射药物B
总计
2
疱疹面积
小于70 mm
2

a＝70
c＝35
105
疱疹面积不
小于70 mm
2

b＝30
d＝65
95
总计
100
100
n＝200
200×?70×65－35×30?
2
K＝≈24.56.
100×100×105×95
由于K
2
＞10.828，所以有99.9% 的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱
疹面积有差异”．
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
一、基础知识梳理
１．回归直线： 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，
这条直线叫作回归直线。
求回归直线方程的一般步骤：作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断 两个量是否具有线性相关
关系），若存在线性相关关系→②求回归系数 →③写出回归直线方程 ，并利用回归直线方程进行预
测说明.
2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.
③由经验确定回归方程的类型.
④按一定规则估计回归方程中的参数 （最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.
7

3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤：
（1）提出问题；（2）收集数据；（3）分析整理数据；（4）进行预测或决策。
4.残差变量 的主要来源：
（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的， 通常我们并不知道真实模型到底是什
么）所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述 与 之 间的关系，但是现在却用线
性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。这种由于模型近似所引起的误差 包含在 中。
（2）忽略了某些因素的影响。影响变量 的因素不只变量 一个，可能还包含其他许多 因素（例
如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长 环境
等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在 中。
（3）观测误差。由于测量工具等原因，得到的 的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是
确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在
中。上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。
二、例题选讲
例1：研究某灌溉渠道水的流速 与水深 之间的关系，测得一组数据如下：
水深
流速
（1）求 对


1.40
1.70
1.50
1.79
1.60
1.88
1.70
1.95
1.80
2.03
1.90
2.10
2.00
2.16
2.10
2.21
的回归直线方程；
时水的流速是多少？ （2）预测水深为1.95
分析：本题考查如何求 回归直线的方程，可先把有关数据用散点图表示出来，若这些点大致分布在通
过散点图中心的一条直线附 近，说明这两个变量线性相关，从而可利用我们学过的最小二乘估计思想
及计算公式求得线性回归直线方 程。
解：
（1）由于问题中要求根据水深预报水的流速，因此选取水深为解释变量，流速为 预报变量，作散点
图：
8

由图容易看出， 与 之间有近似的线性关系，或者说，可以用一个回归直线方程
来反映这种关系。由计算器求得 。
对 的回归直线方程为 。
（2）由（1）中求出的回归直线方程，把 代入，易得
。
计算结果表示，当水深为 时可以预测渠水的流速为 。
评注：建立回归模型的一般步骤：
（1）确定研究对象，明确两个变量即解释变量和预报变量；
（2）画出散点图，观察它们之间的关系；
（3）由经验确定回归方程类型（若呈线性关系，选用线性回归方程）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
（5）得出结果后分析残差图是 否有异常（个别数据对应残差过大，或残差出现不随机的规律性，等
等），若存在异常，则检查数据是否 有误，或模型是否合适等。
例2：1993年到2002年中国的国内生产总值(GDP)的数据如下：
9

年份
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
GDP
34634.4
46759.4
58478.1
67884.6
74462.6
78345.2
82067.5
89468.1
97314.8
104790.6
(1)作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么。
(2)建立年份为解释变量，GDP为预报变量的回归模型，并计算残差。
(3)根据你得到 的模型，预报2003年的GDP，并查阅资料，看看你的预报与实际GDP的误差是多少。
(4)你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由。
解：(1)由表中数据制作的散点图如下：

从散点图中可以看出GDP值与年份近线呈线性关系；
(2)用y
t
表示GDP值，t表示年份，根据截距和斜率的最小二乘计算公式，
得：
从而得线性回归方程：
残差计算结果见下表：
GDP值与年份线性拟合残差表


10

年份
残差
年份
残差
1993
-6422.269
1998
1328.685
1994
-1489.238
1999
-2140.984
1995
3037.493
2000
-1932.353
1996
5252.024
2001
-1277.622
1997
4638.055
2002
-993.791
(3 )2003年的GDP预报值为112976.360，根据国家统计局2004年统计，2003年实际GDP 值为117251.9，
所以预报与实际相-4275.540；
(4)上面建立的回归方程 的R
2
=0.974，说明年份能够解释约97%的GDP值变化，因此所建立的模型能
够很好地刻画GDP和年份的关系。
说明： 关于2003年的GDP的值来源，不同的渠道可能会有所不同。
例3：如下表所示，某地区一段时间 内观察到的大于或等于某震级x的地震个数为N，试建立回归方
程表述二者之间的关系。
震级
地震数
震级
地震数
3
28381
5.2
746
3.2
20380
5.4
604
3.4
14795
5.6
435
3.6
10695
5.8
274
3.8
7641
6
206
4
5502
6.2
148
4.2
3842
6.4
98
4.4
2698
6.6
57
4.6
1919
6.8
41
4.8
1356
7
25
5.0
973


解：由表中数据得散点图如下：

从散点图中可以看出，震级x与大于该震 级的地震次数N之间不呈线性相关关系，随着x的减少，
所考察的地震数N近似地以指数形式增长.
做变换y=lgN，
得到的数据如下表所示：
x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5
11

y
x
y
4.453
5.2
2.873
4.309
5.4
2.781
4.170
5.6
2.638
4.029
5.8
2.438
3.883
6
2.314
3.741
6.2
2.170
3.585
6.4
1.991
3.431
6.6
1.756
3.283
6.8
1.613
3.132
7
1.398
2.988


x和y的散点图如下：

从这个散点图中可以看出x和y之间有很强的线性相差性，因此可以用线性回归模型拟合它们 之间的
关系。根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得：
故线性回归方程为：
相关 指数R
2
≈0.997，说明x可以解释y的99.7%的变化。因此，可以用回归方程
描述x和y之间的关系。
例4：电容器充电后，电压达到
规律公式
,然后开始放电，由经验知道，此后电压
时的电压
随时间 变化的
表示，观测得时间 如下表所示：


试求电压
0
100
1
75
2
55
3
40
4
30
5
20
6
15
7
10
8
10
9
5
10
5
对时间 的回归方程。
分析：由于两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量 之间的关系，
我们可通过对数变换把指数关系变为线性关系，通过线性回归模型来建立
方程。
与 之间的非线性回归
12

解：对 两边取自然对数得

由所给数据可得


其散点图为：
，令 ,即 。
0
4.6
1
4.3
2
4.0
3
3.9
4
3.4
5
2.9
6
2.7
7
2.3
8
2.3
9
1.6
10
1.6

由散点图可知 与 具有线性相关关系，可用
（最小二乘法），
。 所以， 。
来表示。经计算得：
， 即
评注：一般地，有些非线性回归模型通过变换可以转化为线性回归模型，即借助于线性回归模型研究
呈 非线性回归关系的两个变量之间的关系：
（1）如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选用线性回归模型来建模；
（2） 如果散点图中的点的分布在一个曲线状带形区域，要先对变量作适当的变换，再利用线性回归
模型来建模 。
本周练习：
1.对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用的方法是（ ）
A．回归分析 B.相关系数分析 C.残差分析 D.相关指数分析
13

2.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（ ）
A．预报变量在 轴上，解释变量在 轴上
B.解释变量在 轴上，预报变量在 轴上
轴上 C.可以选择两个变量中任意一个变量在
D.可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上
3.两个变量相关性越强，相关系数 （ ）
A．越接近于0 B.越接近于1 C.越接近于－1 D.绝对值越接近1
4.若散点图中所有样本点都在一条直线上，解释变量与预报变量的相关系数为（ ） A．0
B.1 C.－1 D.－1或1
5.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：
年龄（岁）
身高（
3
94.8
4
104.2
5
108.7
6
117.8
7
124.3
8
130.8
9
139.0
由此她建立了身高与年龄的回归模型
则下面的叙述正确的是（ ）
A.她儿子1 0岁时的身高一定是145.83
B.她儿子10岁时的身高在145.83
C.她儿子10岁 时的身高在145.83
D.她儿子10岁时的身高在145.83

，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，
以上
左右
以下
6.两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中，
B. C. D.
的系数 （ ） A.
7.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0，则（ ）
14

A.样本点都在回归直线上 B.样本点都集中在回归直线附近
C.样本点比较分散 D.不存在规律
8.在建立两个变量 与 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数 如下，
其中拟合最好的模型是（ ）
A.模型1的相关指数 为0.98 B.模型2的相关指数 为0.80
C.模型3的相关指数 为0.50 D.模型4的相关指数 为0.25
9.相关指数 ＝ 。
10.某农场对单位面积化肥用量 和水稻相应产量 的关系作了统计，得到数据如下：


如果 与
15
330
20
345
25
365
30
405
35
445
40
450
45
455
时 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为
） 水稻的产量大约是多少？（精确到
11.假设美国10家最大的工业公司提供了以下数据：
公司
通用汽车
福特
埃克森
IBM
通用电气
美孚
菲利普·莫利斯
克莱斯勒
杜邦
德士古
销售总额经x
1
百万美元
126974
96933
86656
63438
55264
50976
39069
36156
35209
32416
利润x
2
百万美元
4224
3835
3510
3758
3939
1809
2946
359
2480
2413
（1）作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；
15

(2) 建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；
(3) 你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由。
参考答案：
A B D B C A A A
9．
10.由于问题中要求根据单位面积化肥用量预 报水稻相应的产量，因此选取单位面积的化肥用量为解
释变量，相应水稻的产量为预报变量，作散点图：

由图容易看出， 与 之间有近似的线性关系，或者说，可以用一个回归直线方程
来反映这种关系。由计算器求得
对 的回归直线方程为
代入
。
时水稻的产量大约是
（ *）。
。
由（*）中求出的回归直线方程，把
易得
计算结果表示，当单位面积化肥用量为
11．
.
(1)将销售总额作为横轴，利润作为纵轴，根据表中数据绘制散点图如下：
16

由于散点图中的样本点基本上在一个带形区域分布，猜想销售总额与利润之间呈现线性相关关系；
(2)由最小二乘法的计算公式，得：
则线性回归方程为：
其残差值计算结果见下表：
销售总额
利润
残差
销售总额
利润
残差
126974
4224
-361.034
50976
1809
-830.486

96933
3835
19.015
39069
2946
611.334
86656
3510
-42.894
36156
359
-1901.09
63438
3758
799.487
35209
2480
244.150
55264
3939
1189.742
32416
2413
248.650
(3)对于(2)中所建立的线性回归方程，相关指数为R
2
≈0.457，说明在线性回归模型中销售总额只能解
释利润变化的46%，所以线性回归模型不能很 好地刻画销售总额和利润之间的关系。
说明：此题也可以建立对数模型或二次回归模型等，只要计算和分析合理，就算正确。






1.2独立性检验的基本思想及其初步应用
17

本周题目：独立性检验的基本思想及其初步应用
本周重点： （1）通过对实际问题的分析探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步
应用.；了解独立性检验的常用方法：三维柱形图和二维条形图，及其K?（或R?）的大小关系.
（2）通过典型案例的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。
（3）理解独立性检验的基本思想及实施步骤，能运用自己所学的知识对具体案例进行检验.
本周难点：
（1）了解独立性检验的基本思想；
（2）了解随机变量 的含义， 太大认为两个分类变量是有关系的；
（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.
本周内容：
一、基础知识梳理
1.独立性检验
利用随机变量
独立性检验。
来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系” 的方法称为两个分类变量的
2.判断结论成立的可能性的步骤：
（1）通过三维柱形图和二维 条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法
精确地给出所得结论的可靠程度。
（2）可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。
二、例题选讲
例1.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：

吸烟
不吸烟
患病
43
13
不患病
162
121
合计
205
134
18

合计
56 283 339
试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？
分析：最理想的解决办法是向所有5 0岁以上的人作调查，然后对所得到的数据进行统计处理，但这
花费的代价太大，实际上是行不通的，3 39人相对于全体50岁以上的人，只是一个小部分，已学过
总体和样本的关系，当用样本平均数，样本 方差去估计总体相应的数字特征时，由于抽样的随机性，
结果并不唯一。现在情况类似，我们用部分对全 体作推断，推断可能正确，也可能错误。如果抽取的
339个调查对象中很多人是吸烟但没患慢性气管炎 ，而虽不吸烟因身体体质差而患慢性气管炎，能够
得出什么结论呢？我们有95%（或99%）的把握说 事件 与事件 有关，是指推断犯错误的可能
性为5%（或1%），这也常常说成是“以95%（或99 %）的概率”是一样的。
解：根据列联表中的数据，得

因为
。
，所以我们有99%的把握说：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关。
评注：对两个分类变量进行独立性检验，要对样本的选取背景、时间等因素进行分析。
例2．甲乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：
班级与成绩列联表

甲班
乙班
总计
优秀
10
7
17
不优秀
35
38
73
总计
45
45
90
画出列联表的条形图，并通过图形判断成 绩与班级是否有关；利用列联表的独立性检验估计，认为“成
绩与班级有关系”犯错误的概率是多少
解：列联表的条形图如图所示：

19

由图及 表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”；由表中数据计算得K
2
的观察值为k≈0.65 3>0.455。
由下表中数据
P（K
2
≥k）
k
0.50
0.455
0.40
0.708
0.25
1.323
0.15
2.072
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
得：P(K
2
≥0.455)≈0.50，
从而有50%的把握认为“成绩 与班级有关系”，即断言“成绩优秀与班级有关系”犯错误的概率为0.5。
评注：
（ 1）画出条形图后，从图形上判断两个分类变量之间是否有关系。这里通过图形的直观感觉的结果
可能会 出错。
（2）计算得到K
2
的观测值比较小，所以没有理由说明“成绩优秀与班级有 关系”。这与反证法也有类
似的地方，在使用反证法证明结论时，假设结论不成立的条件下如果没有推出 矛盾，并不能说明结论
成立也不能说明结论不成立。在独立性检验中，在假设“成绩优秀与班级没有关系 ”的情况下，计算得
到的K
2
的值比较小，且P(K
2
≥0.653 )≈0.42，说明事件(K
2
≥0.653)不是一个小概率事件，这个事件的发
生 不足以说明“成绩优秀与班级没有关系”，即没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”。这里没有推出
小 概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾。
例3．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联列表：
药物效果与动物试验列联表

服用药
没服用药
总计
请问能有多大把握认为药物有效？
解： 假设“服药情况与是否患病之间没有关系”，则K< br>2
的值应比较小；如果K
2
的值很大，则说明很
可能“服药情况与是否 患病之间有关系”。由题目中所给数据计算，得K
2
的观测值为k≈6.110，而
P (K
2
≥5.024)≈0.025，所以有97.5%的把握认为“服药情况与是否患病之间 有关系”，即大约有97.5%的
把握认为药物有效。
例4．在一次恶劣气候的飞行航程 中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，根据此资料你是否
认为在恶劣气候中男人比女人更容易晕 机？

男人
女人
合计
分析：这是一个
晕机
24
8
32
不晕机
31
26
57
合计
55
34
89
患病
10
20
30
未患病
45
30
75
总计
55
50
105
列联表的独立性检验问题，根据列联表的数据求解。
20

解：由条件中数据，计算得：
，
因为 ，所以我们没有理由说晕机是否跟男女性别有关，尽管这次航班中男人晕机的
比例
机。
比女人晕机的比例 高，但我们不能认为在恶劣的气候飞行中男人比女人更容易晕
评注：在使用 统计量作 列联表的独立性 检验时，要求表中的4个数据大于等于5，为此，
在选取样本的容量时一定要注意这一点，本例中的4个 数据都大于5，且满足这一要求的。 本周
练习：
1．在一次独立性检验中，其把握性超过了99%，则随机变量
B．5.024 C．7.897 D．3.841
2．把两个分类变量的频数列出，称为（ ）
的可能值为（ ） A．6.635
A．三维柱形图 B．二维条形图 C．列联表 D．独立性检验
3．由列联表


43
13
56

162
121
283
合计
205
134
339


合计
则随机变量 的值为 。
4．某大学希望研究性别与职称之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？
答： 。
5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了该选修课的一些学生情况，具体数据如下表：
21

男
女
非统计专业
13
7
统计专业
10
20
为了检验主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
。
因为 ，所以断定主修统计专业与性别有关系。这种判断出错的可能性
为 。
6 ．在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要
的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，
另 外33人主要的休闲方式是运动。
（1）根据以上数据建立一个 的列联表；
（2）检验性别与休闲方式是否有关系。
7． 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别 的关系，得到下面的数据表。试问能以多大把握认
为婴儿的性别与出生的时间有关系。
出生时间
性别
男婴
女婴
合计
晚上
24
8
32
白天
31
26
57
合计
55
34
89
参考答案： 1．C 2．C 3．7.469 4．女教授人数，男教授人数，女副教授人数，男副
教授人数（或高级职称中女性的 人数，高级职称中男性的人数，中级职称中女性的人数，中级职称中
男性的人数。） 5．5%（或0.05） 6．答案： （1） 的列联表：

女
男
合计
看电视
43
21
64
运动
27
33
60
合计
70
54
124
（2）假设休闲方式与性别无关，计算 ；
22

因为 ，所以有理由认为假设休闲方式与性别无关是不合理的，即我们有97.5%的把 握
认为休闲方式与性别无关。
7．由所给数据计算得K
2
的观测值为k≈3.689，而由
P（K
2
≥k）
k
0.50 0.40 0.25
1.323
0.15
2.072
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
7.879
0.001
10.828 0.455 0.708 2.706 3.841 5.024 6.635
知P(K
2
≥2.706)=0.10
所以有90%的把握认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”。






2.1合情推理与演绎推理

编稿：周尚达 审稿：张扬 责编：严春梅
学习目标：
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；
2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.
重点：
用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题.
难点：
用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。
学习策略：

①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势
②合 情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例，经过分析、概括、
发现规律的 归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共
同点是，结论往往超 出前提所控制的范围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法.也
正因为结论超出了前提的管辖 范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.
③演绎推理所得的结论完全蕴含于 前提之中，所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法.只
要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真 实的.
知识要点梳理

知识点一：推理的概念
根据一个或几个已知事实(或 假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推
理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事 实(或假设)叫做前提，一部分是由
已知推出的判断，叫做结论．
知识点二：合情推理
根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践
的结果、个人的经验和直觉等 ，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的
推理过程。其中归纳推理和类比推理是 最常见的合情推理。
1.归纳推理
（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的
推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简 称归纳）。
23

（2）一般模式：部分整体，个体一般
（3）一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；
③检验猜想.
（4）归纳推理的结论可真可假
归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的
个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、
个别的事 实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然
的，而是或然的， 所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.
2.类比推理
（1）定义：由两类对象具有某 些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也
具有这些特征的推理称为类比推理（简称 类比）.
（2）一般模式：特殊特殊
（3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比 对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选
择恰当的类比对象.
（4）一般步骤：
①找出两类对象之间的相似性或一致性；
②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；
③检验猜想.
（5）类比推理的结论可真可假
类比推理中的两类对象是具有某 些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如
果类比的相似性越多，相似的性质与推测 的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结
论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是 正确的。
知识点三：演绎推理

（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑 法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，
叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式
① 大前提——已知的一般原理；
② 小前提——所研究的特殊情况；
③ 结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.
（3）用集合的观点理解“三段论”
若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质
（4）演绎推理的结论一定正确
演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提 及推理形式正确，那么结论一定是正确
的，它是完全可靠的推理。
规律方法指导

合情推理与演绎推理的区别与联系

（1）从推理模式看：
①归纳推理是由特殊到一般的推理．
24

②类比推理是由特殊到特殊的推理．
③演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）从推理的结论看：
①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。
②演绎推理所得的结论一定正确。
（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者 有差异；从二者在认识事物的过程中
所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推 理的结论需要演绎推理的验
证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推 理的正确性，合情
推理可以为演绎推理提供方向和思路.
经典例题透析

类型一：归纳推理

1．用推理的形式表示数列
思路点拨：依题意，表示数列
的前项和
的前项和，即
的归纳过程.
.为此，我们先
与的对应关系式. 解析：对
，
，
，
.观察可得，数列{S
n
}的前五项都等
于1到相应序号的自然数之和的平方 ，由此猜想数列的前项和
根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出
数列的前项 和分别进行计算：
，
.
总结升华：
①本题是由部 分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，
是典型的归纳推理.
②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数
学研究的基本方法之一
③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归 纳猜想数列的前项
和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系 . ④
虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知
功能，对于数学的发现却是十分有用的.
25

举一反三：
【变式1】用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前项和的归纳过程. < br>【答案】对等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算：
；
；
；
；
；
： 观察可得，前项 和等于序号的平方，由此可猜想
【变式2】设
结果所具有的性质，并用
【答案】


，
.
∵43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都为质数
由此猜想，为任何正整数时，
验证：当时，
都是质数.
，为合数，
，
，计算
验证猜想的结论是否正确.

.
的值，同时归纳
因此猜想的结论不正确.
26

【变式3】在数列
达式.
中，a1=1，且，计算a2、a3、a4，并猜想的表
解析：，，， 猜想：.
2 ．平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不
共点的直线把平 面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？
思路点拨：可通过画当 直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数
中发现规律，再归纳出结论.
解析：设平面被n条直线分成
当n=1时，S
1
=1+1=2；
当n=2时，S
2
=1+1+2=4；
当n=3时，S
3
=1+1+2+3=7；
部分，则：
，从
当n=4时，S
4
=1+1+2+3+4=11. 据此猜想，得
举一反三：
.
【变式1】平面中有n个圆，每两个圆都相交于两点， 每三个圆都无公共点，它们将平面分成
块区域，有

【变式2】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形
，，，……，则的表达式是___________.【答案】

（1）数一数，每 个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？（2）
推断一个平面图形的顶点 数
【答案】
（1）各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：
27

，边数，区域数之间的关系.

平面图形
a
b
c
d
顶点数（
3
8
6
10
)
边数(
3
12
9
15
) 区域数(
2
6
5
7
)
（2）观察：3+2－3=2；8+6－12=2 ；6+5－9=2；10+7－15=2.通过观察发现，它们的顶点数
边数、区域数之间的关系为：.
、
类型二：类比推理

3．在三角形中有下面的性质：
(1)三角形的两边之和大于第三边；
(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；
(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；
(4)三角形的面积，（为三角形的三边长，为三角形的内切圆半径)．
请类比写出四面体的有关性质．
思路点拨：利用三角形的性质，通过观察四面体的结构，比较 二者的内在联系，从而类比出四面
体的相似命题，提出猜想．
解析：
(1) 四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2) 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的四分之一，且平行于第四个面；
(3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心；
(4) 四面体的体积，(为四面体的四个面的面积，为
四面体的内切球半径).
总结升华：
1. 把平面几何的问题类比立体几何的问题，常常有如下规律：
(1)平面中的点类比为空间中的线；
(2)平面中的线类比为空间中的面；
(3)平面中的区域类比为空间中的空间区域；
(4)平面中的面积类比成空间中的体积．
2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系.即进行类比的对象
必须具有某些类似特征，并且已知其中一类对象的某些已知特征，否则会使类比成为“乱比”，
对两个 “风马牛不相及”的事物，没有可比性，也没有类比的价值.可从不同角度选择类比对象，
28

但要强调类比的原则是根据当前问题的需要.
3．类比推理是数学 教学中经常采用的推理形式，如向量的运算性质与实数的运算性质的类比，
立体几何中的许多定理性质与 平面几何中的有关定理、性质的类比等.
举一反三：
【变式1】在平面几何中有命题“正三 角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正
四面体中类似的命题是什么？
【答案】类似的命题为“正四面体内任意一点到四个面的距离之和是一个定值”. 平面几何中的命题可用面积法证明其正确性，即该点与正三角形三个顶点连结所得到的3个小三角
形面 积和等于正三角形的面积. 由此类比可得到启发，可用体积法证明正四面体中这个类似的命
题.
【变式2】在中，若，则，请在立体几何中，给出类似
的四面体性质.
【答案】考虑 到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体
，且三个面与面所成的二 面角分别是，，， 类比直角三角形的性
质猜想四面体的性质.如图所示，在
于是把结论类比到 四面体
中，
中， 若三个侧面
，，,
、、
.
两两互相垂直且分别与底面所成的角为
则
.

【变式3】已知等差数列
①通项
②若
③若
④，，，则
，则
构成等差数列.
.


的公差为，前项和有如下性质：
29

类比上述性质，在 等比数列
【答案】在等比数列
①通项：
②若
③若
④，
中，写出相类似的性质.
中，公比为，前项和为

，则
，则
，构成等比数列.


【变式4】在△ABC 中，若BC⊥AC，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆半径.将此结
论拓展到空间，可得出的正 确结论是：在四面体S—ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，
SC=c，则 四面体S—ABC的外接球半径R=________.
【答案】
类型三：演绎推理

4．已知：在空间四边形中，、分别为、的中点，用三段论证明 ：
∥平面
连结
而
∴
、
是
证明：
∵三角形两边中点的连线是三角形的中位线…………大前提
分别两边、的中点，……小前提
的中位线.………………………………结论
∵三角形的中位线平行于第三边………………大前提
而是的中位线，………………小前提
30

∴∥.………………………………结论
∵平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行………大前提
EF在平面
所以
外，在平面内，且∥，……小前提
∥平面.………………………………………………结论
总结升华：①三段论是演绎推理的一般 模式，其中大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的
特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出 的判断.
②演绎推理是由一般到特殊的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所 以
其前提和结论之间的联系是必然的.因此在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然
正确.
③归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理 ，
类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情
推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的
结论一 定正确.
举一反三：【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：
证明：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，…………大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，…………………………小前提
所以菱形是正多边形.………………………………………………结论
（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？
【答案】上述推理的形式 正确，但大前提是错误的（因为所有边长都相等，内角也相等的凸多边
形才是正多边形），所以所得的结 论是错误的.
【变式2】写出三角形内角和定理的证明，并指出每一步推理的大前提和小前提.
已知：中，求证：.

【答案】延长到，得的外角，过点在内作∥
∵若两直线平行，则同位角相等、内错角相等，………… 大前提
而
∴
由平角是
∥，…………………………………………小前提
.………………………………结论
，…………………………………………大前提
31

而
∴
＝是一个平角，………………小前提
……………………………结论
【变式3】如图2-1-8所示，D，E，F分别是BC，CA ，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求证：
ED=AF.
【答案】（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD=∠A，（小前提）所以，DF∥EA.（结论）
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）
DE∥BA且DF∥EA，（小前提）
所以，四边形AFDE为平行四边形.（结论）
（3）平行四边形的对边相等（大前提）
ED和AF为平行四边形的对边，（小前提）
所以，ED=AF.（结论）
上面的证明通常简略地表述为：
四边形AFDE是平行四边形
【变式4】用三段论证明函数
证明：设，则，

ED=AF.
在（－∞，+∞）上是增函数.


因为
所以，即
，
.
在上是增函数. 于是根据“三段论”，得
32

法二：
即在（－∞，+∞）上
. 当时，有
恒成立.所以
恒成立，
在（－∞，+∞）上是增函数．
【变式5 】函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f (3.5)
的大小关系是___________.
【答案】∵函数y＝f（x）在（0，2 ）上是增函数，由0＜x+2＜2得-2＜x＜0∴函数y=f(x+2) 在
（-2，0）上是增函数，又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数
由图象可得f(2.5)＞f(1)＞f(3.5).
学习成果测评

基础达标：

1．下列关于归纳推理的说法中错误的是（ ）
A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B．归纳推理是由特殊到一般的一种推理过程
C．归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识过程
2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然
是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
3．数列3，8，15，___，35，48，… 根据数列的特点，在横线“___”上，应填写的数字是（ ）
A．２０ B．２４ C．２８ D．３０
4．由集合
个数为（ ）
A． B． C． D．D．
，，，…子集的个数归纳出集合的子集的
5．三角形的面积为、 、为三角形三边长，为三角形内切圆的半径.
利用类比推理可以得出四面体的体积为（ ）
A．
B．
33

C．
切球的半径）
、、、分别为四面体的四个面面积，为四面体内< br>D．
6．函数在
为四面体的高）
上是增函数，函数是偶函数，则f(1),f (2.5),f(3.5)
的大小关系是___________.
7．在某报《自测健康状 况》的报导中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数
据的特点，用适当的数填入表中 “ ”处.
年龄（岁）
收缩压（水银柱毫米）
舒张压（水银柱毫米）
8．设数列满足
可能为
30 35 40 45 50 55 60 65
145
88
110 115 120 125 130 135
70 73
，
75 78
，则
80 83
＝_________，＝___ _____，
___________，由此，可猜测＝___________（用表示）. 9．从
中得出的一般性结论是_____________.
10．若数列中则.
11．若
12．判断下列推理是否正确.
，则____________.
（1）如果不买彩票，那么就不能中奖.因为你买了彩票，所以你一定中奖；
（2）因为正方 形的对角线互相平分且相等，所以，若一个四边形的对角线互相平分且相等，则
四边形是正方形；
（3）因为
（4）因为
，所以
，所以
；
.
13．找出圆与球相似的性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质.
①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；
②与圆心距离相等的两弦相等；
34

③圆的周长
④圆的面积
是直径）；
.
14．找出三角形与四面体相似的性质，并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质.
15．证明函数在内是增函数．
能力提升：

16．已知函数，定义域为
，猜想
A． B．
，，对任意，有
的表达式为（ ）
C．
…，
D．
，则
D．
17．设
（ ）
A． B． C．
18．设平面内有
若用
示）.
条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，
；当时__________（用表表示这条直线交点的个数，则
19．由图1有面积关系：，则由图2有体积关系：________.

20．在等差数列中,若,则有等式
中，若
(,
)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列
成立.
,则有等式___________
35

21．如图所示，图(1)中有五条线段
个图形中有线段的条数为 .
，图(2)、图(3)见下图，由此猜想第

22．证明：函数的值恒为正数.
综合探究：

23．数一数下图中的凸多面体的面数、顶点数和棱数，然后归纳推理得出它们之间的关
系.
参考答案：

基础达标：

1．A 2．C 3．B 4．C 5．C
6．f(2.5)＞f(1)＞f(3.5).
解析：∵函数y＝f（ x）在（0，2）上是增函数，由0＜x+2＜2得-2＜x＜0∴函数y=f(x+2) 在
（-2，0）上是增函数，又∵函数y=f(x+2)是偶函数， ∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数
由图象可得f(2.5)＞f(1)＞f(3.5).
7．140,85.
8．3；4；5；
解析：由，得

；
36

由
由
由此猜想
9．
10．
，得
，得
.
；
，

；解析：前项共使用了个奇数，由第个到第个
奇数的和组成，即
解析：

12．（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确.
11．；
而
13．解析：二者相似的性质有：①圆是平面上到一定点的距离等于定长的点的集合；球面是空间
中到一 定点的距离等于定长的点的集合.②圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间
中封闭的曲面所 围成的对称图形.通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质：
圆
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦
球
球心与截面圆（不经过球心的截面圆）的圆
心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等
圆的周长
圆的面积
是直径）
与球心距离相等的两个截面圆的面积相等
球的表面积
球的体积

14．解析：二者的相似性有：①三角形是平面内数目最少的基本元素（直线）围成的最简单的封
闭图形 ；四面体是空间中数目最少的基本元素（平面）围成的最简单的封闭几何体.
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形；四面体可
以看 作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形.通过与三角形的有关性质
类比，可以推 测四面体的有关性质：
三角形 四面体
37

三角形两边之和大于第三边. 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面
的面积.
三角形的三条内角平分线交于一点，且这 个四面体的六个二面角的平分面交于一点，且
点是三角形内切圆的圆心. 这个点是四面体内切球的球心.
三角形的中位线等于第三边的一半，且平行四面体的中位面（以任意三 条棱的中点为顶
于第三边. 点的三角形）的面积等于第四个面的面积的
，且平行于第四个面.
15．证明：
所以在
.当时，有
内是增函数
，所以.
能力提升：
16．C
解析：由
所以，
，
根据
17．B
解析：，


故可猜测是以4为周期的函数，有

所以
，猜想的表达式为：.


18．
38

解析：，

可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数.猜测得出
，有，
.
19．
20．
解析：等差数列

(
中
, ).
, 此处用了：
。
而
故
的前一项为，
成立.
若等比数列
且
21．
中,对于
,所以
, 则有
(, ).
，
的前一项为
解析：图（1）中有5条线段，图（2）中有
条线段.
条线段，图（3）中有条线
段，故可猜想第（）个图形中有
22．证明：
①当时，
时，
②当时，
.
其各项均为正数，
，
. 右边代数式中三项均为正数，
39

③当时，
.综上所述，对任意都有

成立.
综合
其右边代数式中三项均为正数，
探究：

23．解析：各多面体的面数
多面体
三棱锥
四棱锥
三棱柱
五棱锥
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
、顶点数
面数（
4
5
5
6
6
8
7
7
9
、棱数如下表所示.
）
棱数（
6
8
9
10
12
12
15
15
16
） ）
顶点数（
4
5
6
6
8
6
10
10
9
观察：4+4―6=2；5+5 ―8=2；5+6-9=2；6+6―10=2；6+8―12=2；8+6―12=2；
7+10―15=2；9+9－16=2；发现，它们的顶点数
.





、棱数及面数有共同的关系式：
2.2直接证明与间接证明

编稿：周尚达 审稿：张扬 责编：严春梅
目标认知

学习目标：

1．结 合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，了解间接证明
的一种基本方法 ：反证法；
2．了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.
重点：

40

根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、 特点，选择适当的证明方法或把不
同的证明方法结合使用.
难点：
根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.
学习策 略
分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位，是解决数学问题的重要思想方法。当
所证命题 的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证的命题与相应定义、定
理、公理有直接联 系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来
使用。反证法解题的实质是 否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要
找对、找全.它适合证明“存在性问 题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等
字样的数学问题.
知识要点梳理

知识点一：直接证明

1、综合法
（1） 定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的
推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
（2）综合法的的基本思路：执因索果综 合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条
件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发 ，通过推导得出结论.
（3）综合法的思维框图：用
等，
表示已知条件，为定义、定 理、公理
表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）
2、分析法
（1）定义：一般地，从需要证 明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命
题成立的充分条件，直至所寻求的充分条 件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由
已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证 明方法，叫做分析法.
（2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法 ”.它是从要证明的
结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要 证明的结论
归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
（3） 分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，
所要证明的结论，则用分析法 证明可用框图表示为：
（结论）
（逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）
（4）分析法的格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。
知识点二：间接证明

反证法
（1）定义：一般地，首先假设要证明的 命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，
41

已知的 定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的
事实等矛盾的结 论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做
反证法.
（2）反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论
的反面 成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、
已知条件、临时 假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定
是正确的.
（3）反证法的基本思路：“假设——矛盾——肯定”
①分清命题的条件和结论．
②做出与命题结论相矛盾的假设．
③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．
④断定产生矛盾结果的 原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命
题为真．
（4）用反证法证明命题“若则”，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：

（5）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.
规律方法指导

1.用反证法证明数学命题的一般步骤：

①反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；
②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.
2.适合使用反证法的数学问题：

①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条 件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问
题、唯一性问题”等；
②如果从正面证明，需要 分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少
的几种情形.比如带有“至少有一 个”或“至多有一个”等字样的数学问题.
经典例题透析

类型一：综合法

1．如图，设在四面体
求证：垂
中，
直于
，
所在
，
的
是
平
的中点.
面.
42

思路点拨：要证
与垂直.
、
,而
于是< br>由此可知垂直于
因为
是
是
、
,而
所在的平面. 、
斜边上的中线，所以
的公共边，所以
，因此∴，
又因为
垂直于 所在的平面，只需在所在的平面内找到两条相交直线
解析：连
总结升华：这是一例典型的综合法 证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考： （1）
由已知
由
是斜边上的 中线，推出
和已知条件，推出三个三角形全等，记为
，记为（已知）
；
，记为
推出
（已知）
，记为
（结论）.
；
（结论）. 这
； （2）
（3）由三个三角形全等，推出
（4） 由
个证明步骤用符号表示就是
举一反三：
【变式1】求证：.
【答案】待 证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相
同，由此可联想到公 式，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.∵
，∴左边
43

∵， ∴
.
【变式2】在锐角三角形ABC中，求证： 【答
案】∵在锐角三角形ABC中，，∴，∵在内正弦函数单
调递增，∴,即

同理，，∴
类型二：分析法

2．求证：
思路点拨：由于本题所给 的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困
难.这时，可从结论出发，逐步反 推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到
，
一：分析法
要证
只需证 明
两边平方得
所以只需证明
两边平方得
法二：综合法
，即，∵
，
成立，
，
，也可用综合法证明. 法
，
恒成立，∴原不等式得证.
∵
，∴
，
.
，
∴

.∴
44
.即原不等式成立.

总结升华：
1．在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路， 分析一下要证明结论成立需要
怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找 使当前命题成立的充
分条件的方法.
2．综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合 法的证题思路并不容易想到，因此，在
一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法 书写证明过程.
举一反三：
【变式1】求证：
【答案】∵
∴要证
两边展开得
恒成立， ∴
【变式2】求证：
【答案】
法一：要证
只需证明
即
∴< br>法二：∵
∴
【变式3】若

求证：.
，∵恒成立，
成立.
∴
成立，
，即只需证明
、、

均为正数
，
，所以只需证明
成立.

即， ∵
成立，只需证明
即
，
【答案】由，得，即
， （*）另一方面，要证
即证，
45

即证
. ∵上式与(*)式相同.所以，命题成立.
，
化简，得
类型三：反证法

3．设二次函数中的、、均为奇数，求证：方程
无整数根.
思路点拨：由于要证明的 结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，
所以可考虑用反证法.对于本题可 通过奇偶数分析得出结论.
证明：假设方程
因为为奇数，所以
又为奇数，所以
有整数根，则
与
成立，所以
都必须为奇数.因为已知、
.
为奇数，也为奇数，且
为偶数，这与为奇数矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
总 结升华：反证法适宜证明“存在性”、“唯一性”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字
样的数学 问题.
举一反三：
【变式1】若
证：
都为实数，且，，， 求
中至少有一个大于0.
都不大于0，则，，，所以 【答案】假设
又

. 因为
，所以
矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
【变式2】设函数
任意都有
在
.
内都有，且


，
，所以
，，
，这与
恒成立，求证：对
46

【答案】假设“对任意
，∴
都有”不成立，则，有成立， ∵
又∵
题成立.
【变式3】已知：
【答案】假设
因为，所以
，求证
，则

这与矛盾，所以假设不成立，原命
成立，所以
，所以，这与
.
矛盾，
所以假设不成立，原命题成立.
学习成果测评

基础达标：

1．要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ）
A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．归纳法
2．设
A．
,
B． C．
,则的大小关系是( )
D．
3．已知函数
是大小关系为（ ）
A．
4．
A．
5．如果
6．已知
B．
，，则
C． D．
至少有一个负实根的充要条件是（ ）
B．
都是正数，且
都是正数，
C．
，求证：
，且，求证：
D．
．
．
或
7．用反证法证明：如果

，那么
47
．

能力提升：

8．已知a
3
＋b
3
=2,求证：a+b≤2.
9．已知a,b是正实数，求证：.
综合探究：

10．求证：正弦函数没有比小的正周期.
参考答案：

基础达标：
1．B
2．C解析：假设
∴
,即
.
. ,∴,
,显然不成立,∴
3．A解析：∴
∴．又函数是减函数，∴．
4．C解析：（1）当时，，符合题意；（2）当时，要使方 程有一正一负根，
只需，即；要使方程有两个负根，只需解得
＝
．综上可知，．
5．证明：因为
＝
即
，又因为
。
且，所以

，
6．证明：要证原式成立，则只需要证明
（＊）即证明
所以（＊）式可变形为

， 即只需要证明
．因为
，因为
，
即
48
都是正数，所

以要证原式成立，只需证明
以原不等式得证．
因为对于一切，显然成立．所
7．证明：假设，则．容易看出，下面证明
．因为，所以，即，从 而，变形得综
上得，这与已知条件矛盾。因此，假设不成立，即原命题成立．
能力提升：

8．证明：假设a+b＞2,则b＞2-a，∴b
3
＞ (2-a)
3
∴a
3
＋b
3
＞a
3
＋(2 -a)
3
=8-12a+6a
2
=6(a-1)
2
+2≥2 ,与已
知矛盾，∴a+b≤2
9．证法一：分析法
要证
即证
，只要证
，即证

.显然成立，
所以
证法二：综合法

（当且仅当a=b时取等号），
所以
综合探究：

10．证明：假 设T是正弦函数的周期则对任意实数x都有
假设最小正周期，故
令x=0,得即
。从而 对任意实数x都应有
这与


矛盾。因此,原命题成立.
49

3.1数系的扩充与复数的引入

编稿：周尚达 审稿：张扬 责编：严春梅
目标认知

学习目标：

1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；
2.了解复数的代数表示法及其几何意义；
3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
重点：
复数的概念，复数的代数运算及数系的扩充
难点：
对概念的准确理解复数的几种不同的表示
知识要点梳理

知识点一：复数的基本概念

1．虚数单位:（1）它的平方等于，即；
的一个根，方程的另一（2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程
个根是；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4）的周期性：
2. 概念形如（
，，，（
（
）.
）；其中：叫复数）的数叫复数，记作：
的实部，叫复数的虚部.
说明：这里
3．复数的分类
容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.
（）
表示；复数集与其它数集之间的关系：4．复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母

5．复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数
当且仅当

（），
时，复数是实数；
50

当且仅当
当且仅当
当且仅 当
时，复数
且时，复数
时，复数
叫做虚数；
叫做纯虚数；
就是实数0.
6．复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实 部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：
如果
（1）
，那么

.特别地: . 说明：
（2）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（3）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
（4）一般地，两个复数只 能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以
比较大小；也只有当两个复数全是 实数时才能比较大小.
6．共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共 轭复数.复数
的共轭复数记作：
1．复数的代数形式:
把复数表示成
2．四则运算
设，（a，b，c，d∈R）



的形式，叫做复数的代数形式.
（）.
知识点二：复数的代数表示法及其四则运算


注意：复数除法通常上下同乘分母的共轭复数.
知识点三：复数的几何意义

1．复平面、实轴、虚轴：
复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做
轴叫做实轴，
51

复平面，也叫高斯平面，轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数集C和复平面内所有的 点所成的集合是一一对应关系，即复数
面内的点
复平
每一个复数有复平面内唯一的一个 点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，
有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义， 也就是复数的另一种表示方法，即几
何表示方法.
2．复数的几何表示
（1）坐 标表示:在复平面内以点
（2）向量表示:以原点
量的长度叫做复数
为起点，点
表示复数
为终点的向量
.即
（）；
表示复数. 向
. 的模，记作
理解：
（1）向量与点以及复数一一对应；
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
3．复数加减法的几何意义：
如果复数
对角线
复数的差
、分别对应 于向量
就是
、，那么以、为两边作平行四边形
表示的向量
，
表示的向 量的和所对应的向量.对角线就是两个
所对应的向量.
规律方法指导

1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；
2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；
3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；
4.复数问题实数化是解决复 数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和
两个复数相等的充要条件.
经典例题透析

类型一：复数的有关概念

1．已知复数，试求实数a分别取什么值时，z分
52

别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
思路点拨：根据复数z为实 数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充
要条件可分别求出相应的a值.
解析：（1）当z为实数时，有
为实数.
，∴当时，z
（2）当z为虚数时 ，有
∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数.
，∴当a∈（－
（3）当z为纯虚数时，有
∴不存在实数a使z为纯虚数.

总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为与.
①求解第（1）小题时，仅注重虚 部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小
题将出现增解；
②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；
③求解第（3）小题时，既要考虑实 数为0(当然也要考虑分母不为0)，还需虚部不为0，两者缺
一不可.
举一反三：
【变式1】设复数z=a+bi（a、b∈R），则z为纯虚数的必要不充分条件是（ ）
A．a=0 B．a=0且b≠0 C．a≠0且b=0 D．a≠0且b≠0 < br>【答案】A；由纯虚数概念可知：a=0且b≠0是复数z=a+bi（a、b∈R）为纯虚数的充要条件 .
而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.
【变式2】若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A.1 B.2 C.1或2 D.-1
【答案】B；∵
式3】如果复数
是纯虚数，∴
是实数，则实数m=（ ）
D．
且，即. 【变
A．1 B．－1 C．
【答案】B；
【变式4】求当实数取何值时，复数分别是：
53

（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.
【答案】（1）当
（2）当即
即
且
或时，复数为实数；
时，复数为虚数；
（3）当即时，复数为纯虚数.
类型二：复数的代数形式的四则运算

2. 计算：(1)； (2)
(3)
解析：(1)∵
; (4)
，∴

，

，同理可得：当时，
当
当
当
时，
时，
时，
，

，

(2)
(3)
54

(4)



总结升华：熟练运用常见结论：
1）的“周期性”（）
2）
3）
举一反三：
【变式1】计算：
（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)
（2）
（3）
（4） ；

55

【答案】（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6― 1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i) =(3―
3)+(―7―4)i=―11i.
（2）
（3）
（4）



【变式2】复数
（Ａ）
( )
（Ｄ）



（Ｂ） （Ｃ）
【答案】A；
【变式3】复数等于( )
D. A. i B. -i C.
【答案】A；，故选A
【变式4】复数等于( )
A.8 B.－8 C.8i D.－8i
【答案】D；.
类型三：复数相等的充要条件

3．已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x―1)+(3―y)i=y―i，求x、y.
思路点拨：因x∈R，y是纯虚数，所以可设y=bi（b∈R且b≠0），代入原式，由复数相等的充
要条件可得方程组，解之即得所求结果.
解析：∵y是纯虚数，可设y=bi（b∈R，且b≠0）， 则(2x―1)+(3―y)i＝(2x―1)+(3―bi )i＝（2x
－1+b）+3i，y―i =bi－i=（b－1）i
由(2x―1)+(3―y)i=y―i得（2x―1+b）+ 3i=（b―1）i，由复数相等的充要条件得
56

，∴
总结升华：
1. 复数定义：“形如（
，.
）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，
求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题 化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研
究.这是解决复数问题的常用方法.
2．复数相等 是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi与c+di（a，b，c，d∈R）相等
的充要条 件是a=c且b=d，可得到两个实数等式.
3．注意左式中的3―y并非是(2x―1)+(3―y )i的虚部，同样，在右边的y―i中y也并非是实部.
举一反三：
【变式1】设x、y为实数，且
【答案】由
即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，
即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0
得
故
∴

【变式2】若z∈C且(3+z)i=1(i为虚数单位)，则z=____.
【答案】设z=a+bi(a,b∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得 b=-1且a=-3，即z=-3-i.
【变式3】设复数满足
A． B．
，则
C．
（ ）
D．
【答案】，故选C.
类型四：共轭复数

4．求证：复数z为实数的充要条件是
思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念
解析：设

（a，b∈R），则
57

充分性：
必要性：
综上 ，复数z为实数的充要条件为
举一反三：
【变式1】
案】
，复数

与复数



的共轭复数相等，求x，y. 【答

【变式2】若复数z同时满足
【答案】―1+i
【变式3】已知复数z=1+i，求实数a、b使
【答案】∵z=1+i，∴

∵a、b都是实数，
，

，

（i为虚数单位），则z=________.
.
∴由得
两式相加，整理得a
2
+6a+8=0
解得a
1
=―2，a
2
=―4，
对应得b
1
=－1，b
2
=2.
∴所求实数为a=―2，b=―1或a=－4，b=2.
类型五：复数的模的概念

5．已知数z满足z+|z|=2+8i，求复数z.
法一：设z=a+bi（a，b∈R），则，代入方程得.
∴，解得 ∴z=－15+8i
，即|z|
2
=68法二：原式可化为：z=2－|z|+8i ，∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部.于是
58

－4|z| +|z|
2
，∴|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=－15+8i.
举一反三：
【变式】已知z=1+i，a，b为实数.
（1）若，求；
（2）若
【答案】
（1）
，求a，b的值.
∴
（2）∵ ∴
∴
类型六：复数的几何意义

6．已知复 数（m∈R）在复平面上对应的点为Z，求实
数m取什么值时，点Z（1）在实轴上；（2）在虚轴上； （3）在第一象限.
思路点拨：根据点Z的位置确定复数z实部与虚部取值情况.
解析：（1）点Z在实轴上，即复数z为实数，由
∴当时，点Z在实轴上.
∴

（2）点Z在虚轴上，即复数z为纯虚数或0，故
当时，点Z在虚轴上.
（3）点Z在第一象限，
即复数z的实部虚部均大于0由 ，
解得m＜―1或m＞3
∴当m＜―1或m＞3时，点Z在第一象限.
终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.
举一反三：
【变式1】在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
59

【答案】∵
【变式2】已知复数
的取值范围.
，∴，，故相应的点在第四象限，选D.
()，若所对应的点在第四象限，求
【答案】∵
的取值范围为.
∴，解得. ∴
【变式3】已知是复数，
数的取值范围.
【答案】设(
和均为实数，且复数对应的点在第一象限，求实
)，∴，由题意得，
，由题意得， ∴
∵
，∴实数的取值范围是.
，根据已知条 件有，解得
【变式4】已知复数z对应的点在第一象限的角平分线上，求复数
点的轨迹方程.
在复平面上对应的
【答案】设z=a+ai（a＞0）则 令
，消a得x
2
－y
2
=2（）.
学习成果测评

基础达标：

1．复数的虚部为（ ）
60

A．3 B．―3 C．2 D．―2
2．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．复数（ ）
A．2 B．－2 C． D．
4．=（ ）
A． B． C． D．
5．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
6．设a是实数，且是实数，则a=（ ）
A． B．1 C． D．2
7．若复数z=(a
2
―2a)+(a
2
―a ―2)i对应的点在虚轴上，则（ ）
A．a≠2或a≠－1 B．a≠2且a≠－1 C．a=2或a=0 D．a=0
8. 在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．设a＞1，复数z满足(1+ai)z=i+a，则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
B. C. D.
61

A.

11．设z的共轭复数是，
12．已知
,，则＝___________.
___________.13．设(其中 ，其中是虚数单位，那么实数
表示z
1
的共轭复数)，已知z
2
的实 部是，则z
2
的虚部为___________.
14．给出下列命题：①若z∈C ，则z
2
≥0；②若a，b∈R，则a+i＞b+i；③a∈R，则(a+1)i是纯
虚数；④若复数z满足方程
为正确的所有命题的序号）
15．计算：
，则.其中正确的命题是________.（写出你认
（1）
（2）

（3）
是 16．m（m∈R）取什么值时，复数
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
17．设复 数（）和复平面上的点Z（a，b）对应，a、b必须满足什么条件，
才能使点Z位于：
（1）实轴上；
（2）虚轴上（不含原点）；
（3）上半平面（含实轴）；
（4）左半平面（不含虚轴及原点）.
能力提升：

18．若log
2
(x
2
-3x-2)+i(x
2
+4x+4)>1，求实数x的 值或范围.
19．设，求满足且的复数.
在复平面上的点，若点P在以原点为中心，以22 0．设P、Q两点分别表示复数z与
为半径的圆上运动，求点Q的轨迹方程.
21．已知复数 z=(2cosθ+1)+(-2+sinθ)i，其中θ为参数，求z在复平面上对应点的轨迹.
综合探究：

22．已知

，解方程：①；②
62

参考答案：

基础达标：
1．D； 2．B； 3．A； 4．A； 5．B；6．B 7．C； 8. D； 9．D
10．D；解析：∵
∴
∴
∴
11．
∴
且

；解析：设
，，
（），则，∵，且，
且


所对应的点在第二象限
当，时，；
当，时，.
故.
，∴
（
.
），则，
且，即. 13．1；
，∴，12．－1；解析：∵
解析：设
故z
2
的虚部为
14．④
15．解析：
（1）
（2）法一：



法二：
63

（3）
16．解析：
（1）
（2）
.
时，z为实数
时，z为虚数
（3）时，z为纯虚数
17.（1）b=0；（2）a=0且b≠0；（3）b≥0；（4）a＜0.
能力提升：

18．
解析：
19．
解析：设
或
（

），则

∴
（1）当
∴
（2）当
时
时，

即
，∴
∴或
|，∴

或，又当不合题意舍去，
时，又∵，∴
由，解得，， ∴
综上，或
64

20．
21．椭圆
解析：设z=x+yi(x,y∈R)

由复数的相等得到：
z在复平面 上对应点的轨迹为以点(1，-2)为中心，长轴在直线y=-2上，短轴在直线x=1上的
椭圆.
综合探究：

22．解析：
①依题意
∴
∴
② 依题意
时，
或
或
或





时，
综上，方程的根为x=1或


或

数学·选修1－2(人教
A
版)


65

回归方程及其应用

对所抽取的样 本数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关
系或非线性关系，并由一个变量的变化去推测另一 个变量的变化，这就
是对样本进行回归分析．

某商场经营一批进价是30元台的 小商品，在市场试验中发
现，此商品的销售单价
x
(
x
取整数)元与 日销售量
y
台之间有如下对应数
据：

单位
x
元

35

40

45

50
日销售量
56

41

28

11
y
台


(1)画出散点图 并说明
y
与
x
是否具有线性相关关系？如果有，求出
线性回归方程； (方程的斜率保留一个有效数字)
(2)设经营此商品的日销售利润为
P
元，根据( 1)写出
P
关于
x
的函
数关系式，并预测当销售单价
x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
分析：作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系．
解析：(1)散点图如图所示：
66

从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有
线性相关关系．
即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．
点评：判断两个变量之间是否有线性相 关关系一般有两种方法：一是
计算样本相关系数；二是画散点图．两种方法要结合题目的要求合理选取，也可同时使用，则判断更加准确．

测得一个随机样本的数据如下表所示：


x
21

23

25

27

29

32

35
y
7

11

21

24

66

115

325

67

(1)作出
x
与
y
的散点图，并猜测
x
与
y
之间的关系；
(2)建立
x
与
y
的关系，并预报回归模型；
(3)利用所得模型预报
x
＝40时
y
的值．
解析：(1 )
x
与
y
的散点图如下图，由散点分布猜测样本数据分布在
一条曲线 的附近，这条曲线接近指数函数曲线
y
＝
c
1e
c
2
x
，其中
c
1，
c
2
为常数．

(2 )对
y
＝
c
1e
c
2
x
两边取对数得ln
y
＝ln
c
1＋
c
2
x
.
令
A
＝ln
y
，则
A
＝
bx
＋
a
，其中
a
＝ln
c
1，
b
＝
c
2.
将
y
与x
之间的数据转化为
A
与
x
之间的数据：

x
21

23

25

27

29

32

35
1.942.393.043.174.194.745.78
A
6

8

5

8

0

5

4
^
＝0.272
x
－3.849， 可以求得回归直线方程为A
所以
^
y＝e
0.272
x
－3.849
. (3)当
x
＝40时，
y
＝e
0.272×40－3.849< br>≈1 131.
点评：根据样本数据描出散点图，由散点图直观地观察散点分布符
合的 函数模型，再根据有关公式进行计算．

某大型超市年底对公司销售人员的销售业绩进行统 计，发现
10位员工每年的销售额和其销售经验(年)有如下数据：

销售经
1

3

4

4

6

8

10

10

11

13
验
x
年

年销售额
80

97

92

102

103

111

119

123

117

136
y
万元

68

分析：利用公式计算即可．
解析：(1)由直线
^
y＝78＋4.2
x
，得
y
i
－
^
y
i
的值如下表：

y
i
－
^
y
i

－2.2

6.4

－2.8

7.2

－0.2

－0.6

－1

3

－7.2

3.4

69

(3)比较可知，用最小二乘法求出的残差平方和小，所以用回归直线
方程
^
y＝80＋4
x
来拟合较好．当
x
＝5时，
^
y＝80＋4 ×5＝100(万元)．
∴一个有5年销售经验的本公司员工，他的年销售额约为100万元．
点评：通过本题可以进一步了解回归直线方程的意义及残差的含义和
残差平方和的意义．

在日常生活中，分类变量是大量存在的，例如吸烟与患肺癌等，在
实际问题中，我们 常常关心两个变量之间是否有关系．

为观察药物A、B治疗某病的疗效，某医生将100 例该病病人
随机地分成两组，一组40人，服用A药；另一组60人，服用B药．结
果发现：服 用A药的40人中有30人治愈，服用B药的60人中有11人
治愈，问A、B两药对该病的治愈率之间 是否有显著差别？

解析：为便于将数据代入公式计算，先列出2×2列联表：


治愈

未愈

总计
A药

30

10

40
B药

11

49

60
总计

41

59

100

由公式得
k
＝
70

独立性检验及其应用

≈31.859.

因为31.859 >10.828，所以我们在犯错误的概率不超过0.001的前
提下，认为A、B两药对该病的治愈率 之间有显著差别．
点评：独立性检验方法的应用，关键是确定两个变量和列出2×2
列联表， 只要完成了这两步，下面的计算和判断就迎刃而解了．

某推销商为其保健药品做广告，在 广告中宣传：“在服用该
药品的105人中有100人未患疾病A”．经调查发现，在不使用该药品的418人中仅有18人患疾病A.请用所学知识分析该药品对预防疾病A
是否有效．

解析：将问题中的数据写成2×2列联表：

患疾病未患疾病

总计
A

A

使用

5

100

105
不使
18

400

418
用

总计

23

500

523

由公式得
k
＝≈0.041 45.
显然0.041 45<2.706，故在样本数据中没有发现足够证据支持结论
“保健药品对预防疾病A有效”． 点评：利用独立性检验可以帮助我们定量地分析两个分类变量之间是
否有关系，因此利用它可以帮助 我们理性地看待广告中的某些数据．


数学·选修1－2(人教A版)

71

运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互
联系的．在解决问题时，可以先从观察 入手，发现问题的特点，形成解
决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最< br>后用演绎推理的方法进行验证．
若数列{a
n
}是等比数列，且a
n
>0，则有数列b
n
＝a
1
·a
2
·…·an
(n∈N
*
)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{c
n}是等差数列，
则有d
n
＝________也是等差数列．
c1＋c 2＋…＋c
n
解析：类比猜想可得d
n
＝也成等差数列，若设等差
n
数列{c
n
}的公差为x，则
n
合情推理与演绎推理
72

n?n－1?
nc1＋x
c1＋c2＋…＋ c
n
2
d
n
＝＝
nn
x
＝c1＋(n－1)·.
2
x
可见{d
n
}是一个以c1为首项，为公差的等差数列，故猜想是正确
2
的．
c1＋c2＋…＋c
n
答案：
n













右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分
配给A、B、C、D四个维修点某种配件各5 0件，在使用前发现需将A、
B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件， 但调
73

整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最 少的调动件次
(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为( )

A．15 B．16 C．17 D．18

解析：由题意，欲使调动次数最 少，我们从A处入手分析，A处原
有50件，与A处调整为40件相比多出10件，这10件只能移往D 处，
此时，D处仍然少1件，1件又来源于C处，这样C处比既定要求就少
了5件，而它的“邻 居”B处恰好多出5件，因此，最少需要调动16件
次．
答案：B
点评：本题主要 考查合理利用合情推理去分析与判断实际生活中的
资源优化类型问题的求解策略，本题实质上属于策略型 开放题，考查了
学生对合情推理基本思想方法的理解与应用能力．


.
5
(1)证明f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间；

(2)分别 计算f(4)－5f(2)·g(2)和f(9)－5f(3)·g(3)的值，由此概括出涉
及函数f (x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加
以证明．




(1)证明：函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又
已知函数 f(x)＝
x
?
x
5
1
3
1
3
?
xx
，g(x)＝
1
3
?
1
3
?
(?x)(?x)
f(－x)＝
5
1
3
?
1
3??
x
1
3
1
1
3
?
x
5< br>1
3
??
1
3
＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
1
3
2
1
3
任取x1，x2∈(0，＋∞)，设x1?
xx
f
?
x
?
－f
?
x
?
＝
12
?
1
5
?
xx
?
5?
2

74

＝
1
1
1
3
?
3
)(1?(
x
1
x
2
5
1
x
·
x
1
1
3
1
1
3
2
1
3
1
1
3
2
).

∵
x
?
x
1
3
1
1
3
2
<0,1＋
x
·
x
>0，
∴f(x
1
)－f(x
2
)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．

(2)解析：计算得f(4)－5f(2)·g(2)＝0，f(9)－5f(3)·g(3)＝0.
由此概括出对所有不等于零的实数x有
f(x
2
)－5f(x)·g(x)＝0.
∵f(x
2
)－5f(x)·g(x)
?
xx
＝
5
2
3
2
?
3
?
xx
- 5
·
5
1
3
?
1
3
?
xx
·
5
1
3
?
1
3

＝
222
1
2
1
??
(
x
3
-
x
3)-(
x
3
?
x
3
)
＝0，
55
∴该等式成立．

点评：问题(1)的大前提为函数奇偶性和单调性的 定义．问题(2)实际
上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性．


直接证明


综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解 决数
学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方
法可具体分为：比较 法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应
用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步 ，分析法就可以帮
助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合
起来使 用．
111
设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
a
＋
b＋
ab
≥8.
证明：证法一(综合法)
75

∵a>0，b>0，a＋b＝1，
11
∴1＝a＋b≥2ab，ab≤，ab≤，
24
1
∴
ab
≥4.
?
11
?
11
ba
??
又
a
＋
b
＝(a＋b)
a< br>＋
b
＝2＋
a
＋
b
≥4，
??
1 11
∴
a
＋
b
＋
ab
≥8.
证法二(分析法)
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
111
∴要证
a
＋
b
＋
ab
≥8， ?
11
?
a＋b
只需证
?
a
＋
b?
＋
ab
≥8，
??
?
11
??
1 1
?
即证
?
a
＋
b
?
＋
?
b
＋
a
?
≥8，
????
11
即证
a
＋
b
≥4，
a＋ba＋b
即证
a
＋
b
≥4，
ba
即证
a
＋
b
≥2.
ba
由基本不等 式可知，当a>0，b>0时，
a
＋
b
≥2成立，∴原不等式成
立．

1
??
在等差数列{a
n
}中，首项a
1
＝1，数列{b
n
}满足b
n
＝
??
?
2
?
a
n
，
1
且b1·b2·b3＝.
64
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求证：a
1
b
1
＋a
2
b
2
＋…＋a
n
b
n
<2.
1
??
(1)解析：设等差数列{a
n
}的公差为d，因为a
1
＝1，b
n
＝
??
?
2< br>?
a
n
，
76

1
1< br>??
所以b
1
＝，b
2
＝
??
2
1
??
，b3＝
??
?
2
??
2
?
1+2d1+2d
.
1
由b
1
b
2
b
3
＝，解得d＝1，
64
所以a
n
＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)证明：由(1) 得bn＝
?
?
1
?
?
?
2
?
n< br>.
23
1
?
1
??
1
?
设Tn
＝a
1
b
1
＋a
2
b
2
＋ …＋a
n
b
n
＝1×＋2×
??
＋3×
??
＋…＋
2
?
2
??
2
?
n·
?
?
1
?
?
2
??
n
，①
234n+1< br>1
1
?
1
?
1
?
1
?????则T
n
＝1×
??
＋2×
??
＋3×
??＋…＋n·
??
.②
2
?
2
??
2
?
11
?
1
??
1
?
1
??
①－ ②得T
n
＝＋
??
＋
??
＋…＋
??
22
?
2
??
2
?
?
2
?
??
1
?
?
1
?
?
1?
2
?
?2
?
?
1
?
??
??
?
??
所以T
n
＝2×－2n·
??
＝
1
1?
?
2
?
2
23
n
?
2
?
n
?2
?
1
??
－n·
??
?
2
?
n+1
.
n+1
n
－
n
.
2
n－
1
2
1
n
又因为2－
n
－
1
－
n
<2，所以a
1
b
1
＋a
2
b2
＋…＋a
n
b
n
<2.
2
2
点评：本题考查了等差数列的性质以及利用综合法证题的过程．


如下图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，
1
AD∥BC ∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
2
2－
1
77

(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE.

(1)解析：由题设知，BF∥CE，所 以∠CED(或其补角)为异面直线
BF与DE所成的角．
如下图所示，设P为AD的中点，连接EP、PC.


因为FE綊AP，
所以FA綊EP.
同理，AB綊PC.
又FA⊥平面ABCD，
所以EP⊥平面ABCD.
而PC、AD都在平面ABCD内，
故EP⊥PC，EP⊥AD.
由AB⊥AD，可得PC⊥AD.
设FA＝a，则EP＝PC＝PD＝a，CD＝DE＝EC＝2a，
故∠CED＝60°.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.

(2)证明：因为DC＝DE且M为CE的中点，
所以DM⊥CE.
连接MP，则MP⊥CE.
又MP∩DM＝M，
故CE⊥平面AMD.
78

而CE?平面CDE，
所以平面AMD⊥平面CDE.



反证法


反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：
“若p则q”的 否定是“若p则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，
那么就说明“若p则綈q”为假，从而可以导出 “若p则q”为真，从而
达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式
和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的
“正难则反”的解决问题的思想方 法更为重要．

求证：两条相交直线有且只有一个交点．

证明：假设结论不成立，即有两种可能：①无交点；②不只有一个
交点．
(1)若直线a、b无交点，那么a∥b或a与b异面，与已知矛盾；
(2)若直线a、b不 只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样
同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点有且只 有一条直线”
相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
点评：结论本身是否定形式或关于唯一性的命题、存在性的命题时，
常用反证法．

已知03
－ax在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x
0
≥1，f(x
0
)≥1时，有f(f(x
0
) )＝x
0
.求证：f(x
0
)＝x
0
.
证明：假设f(x
0
)≠x
0
，
则必有f(x
0
)>x
0
或f(x
0
)0
.
若f(x
0
)>x
0
≥1，
由于f(x)在[1，＋∞)上为增函数，
则f(f(x
0
))>f(x
0
)．
又f(f(x
0
))＝x
0
，
∴x
0
>f(x
0
)，与假设矛盾．
79

若x
0
>f(x
0
)≥1，
则f(x
0
)>f(f(x
0
))．
又f(f(x
0
))＝x
0
，
∴f(x
0
)>x
0
，也与假设矛盾．
综上所述，当x< br>0
≥1，f(x
0
)≥1且f(f(x
0
))＝x
0
时有f(x
0
)＝x
0
.

点评：(1)对于f (f(x
0
))的性质知之甚少，直接证明有困难，而用反证
法，增加了反设这一条件 ，为我们利用函数的单调性创造了可能．
(2)反设中有两种情况，必须逐一否定．

?
3
??
5
?
已知函数f(x)＝a·2
x＋b的图象过点A
?
1，
2
?
，B
?
2，2
?
.
????
(1)求函数y＝f(x)的反函数y＝f
－
1
(x)的解析式．
?
1
?
*
－1
??
??
1＋
(2)记a
n
＝
2f
(n∈N)，是否 存在正数k，使得
a1
??
n
?
1
?
?
1
?
*
1?
…·≥k2n＋1对n∈N均成立？若存在，求出k的最大值；?
1
2
?
·
??
??
??
?
a
n
?
?
a
?
若不存在，请说明理由．
3
?
?
2a＋b＝
2
，
解析：(1)由题知
?
5< br>?
4a＋b＝
?
2
1
x
∴f(x)＝(2＋1)．
2
1
∴f
－
1
(x)＝log
2
(2x－ 1)（x>）.
2
(2)a
n
＝
2
log
2

1
?
?
a＝
2
，
?
?
1
?
b＝
?
2
，
*

(2n
－
1)
1
?
＝2n－1，n∈N
*
.假设存在k，使
?
1?
??
?
a
1
?
1
?
1
?
1??
?
…·
1＋
a
?
≥k
?
1??
·
?
n
?
?
a
2
?
11
??
1?
2n＋1对n∈N成立，则k≤
??
2n＋1
?
a
?
1
??
?
1
?
1?
??
.
1＋
·…·
??
a
?
n
?
?
a
2
?
1
?
1
?
?
?
?
1
?
1
1?
1?
?
1＋
记F(n)＝…·
a
?
，
?
·
??
?
?
a
2
?
n
?
2n＋1
?
a
1
?
?
80

F?n＋1?2n＋2
则＝
F?n?
?2n＋1??2n＋3?
2?n＋1?2?n＋1?
＝>＝1.
2
2?n＋1?
4?n＋1?－1
∴F(n＋1)>F(n)．
∴F(n)随n的增大而增大．
23
∴F(n)的最小值为F(1)＝.
3
2323
∴k≤，即k的最大值为.
33
点评：本题融函数、数 列于一体，用函数的单调性研究数列的单调
性，构思新颖，设计巧妙，不失为一道优秀试题．


高中数学第十五章 复数
考试内容：
复数的概念．
复数的加法和减法．
复数的乘法和除法．
数系的扩充．
考试要求：
（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除
法运算．
（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
§15. 复 数 知识要点
2
1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即
i??1
.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如a + bi的数（其中
a，b?R
）；
② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
③ 虚数—当
b?0
时的复数a + bi；
④ 纯虚数—当a = 0且
b?0
时的复数a + bi，即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）
⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：
a?bi?c? di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0
.
81

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若
z
1
,z
2
为复数，则
1
若
z< br>1
?z
2
?
0
，则
z
1
??z2
.（×）[
z
1
,z
2
为复数，而不是实数] 2
?
若
z
1
?z
2
，则
z
1
?z
2
?
0
.（√）
22222
②若
a ,b,c?C
，则
(a?b)?(b?c)?(c?a)?0
是
a?b?c< br>的必要不充分条件.（当
(a?b)?i
，
?
(b?c)
2
?1,(c?a)
2
?0
时，上式成立）
2. ⑴复平面内的两点间距离公式：
d?z
1
?z
2
.
其中< br>z
1
，z
2
是复平面内的两点
z
1
和z2
所对应的复数，
d表示z
1
和z
2
间的距离. 由上可得：复平面内以
z
0
为圆心，
r
为半径的圆的复数方程：
z?z
0
?r
（
r?
0）
.
⑵曲线方程的复数形式：
①
z?z
0
?r表示以z
0
为圆心，r为半径的圆的方程.
②
z?z
1
?z?z
2
表示线段
z
1z
2
的垂直平分线的方程.
③
z?z
1
?z?z2
?2a（a?0且2a?z
1
z
2
）表示以Z
1，Z
2
为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若
2a?z
1
z< br>2
，此方程表示线段
Z
1
，Z
2
）.
④< br>z?z
1
?z?z
2
?2a（0?2a?z
1
z2
），
表示以
Z
1
，Z
2
为焦点，实半轴长为 a的双曲线方程（若
2a?z
1
z
2
，此方程表示两条射线）.
⑶绝对值不等式：
设
z
1
，z
2
是不等于零的复数，则
①
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?z
1
?z
2
.
左边取等号的条件是
z
2
?
?
z
1
（
?
?R
，且
?
?
0），右边取等号的条件是
z
2
?
?
z
1
（
?
?R，
?
?0）
.
②
z
1
?z2
?z
1
?z
2
?z
1
?z
2
.
左边取等号的条件是
z
2
?
?
z
1
（
?
?R
，
?
?
0）
，右边取等号的条件是
z
2
?
?
z
1
（
?
?R，
?< br>?0）
.
注：
A
1
A
2
?A
2< br>A
3
?A
3
A
4
?
?
?A
n?1
A
n
?A
1
A
n
.
3. 共轭复数的性质：
z?z

z
1
?z
2
?z
1
?z
2

82

22
z?z?2a
，
z?z?2b i
（
z?
a + bi）
z?z?|z|?|z|

z
1
?z
2
?z
1
?z
2

z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?
z
1
?
?
z
2
?
?
z1
nn
?
?
z
2
?0
）
z?(z)
（
?
z
2
?
注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
4 ⑴①复数的乘方：
z
n
?
?
z
?
?z
?
?z
?
...z(n? N
?
)

?
n
②对任何
z
，
z< br>1
,z
2
?C
及
m,n?N
?
有
③
z
mn
?z
n
?z
m?n
,(z
m)
n
?z
m?n
,(z
1
?z
2
)< br>n
?z
n
1
?z
2

注：①以上结论不 能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如
i
2
??1,i
4< br>?1
若由
i?
2
11
4
2
(i)?1
2
?1
就会得到
?1?1
的错误结论.
22
②在实数集成立的
|x|?x
. 当
x
为虚数时，
|x|?x
，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
⑵常用的结论：
i
2
??1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n
?1

i
n
?i
n?1
?i
n?2
?i
n?3< br>?0,(n?Z)

(1?i)
2
??2i,
若
3< br>1?i1?i
?i,??i

1?i1?i
1
1
?< br>2
是的
2
立
n
方
n?1n?2
虚数根，即< br>?
???
1
2
3
i
2
，
1

?

?
,
?
则
?

?

1

,
?

?

?

,
?

?

?

,

?

?

?

0

?

?

?

?

?

0

(

n

?

Z

)
.
5. ⑴复数
z
是实数及纯虚数的充要条件：
①
z?R?z?z
.
②若
z?0
，
z
是纯虚数
?z?z?0
.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复
数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.
注：
|z|?|z|
.
6. ⑴复数的三角形式：
z?r(cos
?
?isin
?
)
.
辐角主值：
?
适合于0≤
?
＜
2
?
的值， 记作
argz
.
注：①
z
为零时，
argz
可取
[0,2
?
)
内任意值.
83

②辐角是多值的，都相差2
?
的整数倍.
③设
a? R
?
,
则
arga?0,arg(?a)?
?
,argai ?
⑵复数的代数形式与三角形式的互化：
a?bi?r(cos
?
?isi n
?
)
，
r?a
2
?b
2
，
co s
?
?
?
3
,arg(?ai)?
?
.
22
ab
,sin
?
?
.
rr
⑶几类三角式的标准形式：
r(cos
?
?isin
?
)?r[cos(?
?
)?isin(?
?
)]

?r(cos
?
?isin
?
)?r[cos(
?
??
)?isin(
?
?
?
)]

r(?cos
?
?isin
?
)?r[cos(
?
?
?
)?isin(
?
?
?
)]

r(sin
?
?icos
?
)?r[cos(?
?
)?isin(?
?
)]

22
7. 复数集中解一元二次方程：
2
在复数集内解关于
x
的一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
时，应注意下述问题： < br>??
①当
a,b,c?R
时，若
?
＞0，则有二不等实数根< br>x
1,2
?
?b??
；若
?
=0，则有二相等实数根
2a
x
1,2
??
?b?|?|i
b
；若
?
＜0，则有二相等复数根
x
1,2
?
（
x
1,2
为共轭复数）.
2a
2a
②当
a,b,c
不全为实数时， 不能用
?
方程根的情况.
③不论
a,b,c
为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
8. 复数的三角形式运算：
r
1
(cos
?
1
?isin
?
2
)?r
2
(cos
?
2
? isin
?
2
)?r
1
r
2
[cos(
?
1
?
?
2
)?isin(
?
1
?
?
2
)]

r
1
(cos
?
1
? isin
?
2
)r
1
?[cos(
?
1
?
?
2
)?isin(
?
1
?
?
2
)]

r
2
(cos
?
2
?isin
?< br>2
)r
2
棣莫弗定理：
[r(cos
?


?isin
?
)]
n
?r
n
(cosn
?
?isinn
?
)


数学·选修1－2(人教A版)


84

本章要解决的主要问题是：通过一些具体实例，进一步认识程序框
图，了 解工序流程图，能够绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在
解决实际问题中的作用，能够运用已给的 流程图解决相关实际问题；了
解结构图的含义及特点，能够画出已经学过的相关知识的知识结构图，从而梳理已学过的知识，能够画出一些简单的组织结构图并能从组织结
构图中获取相应信息．

解决上述问题的关键：

一是要理解框图是表示一个系统各部分和各环节 之间关系的图示，
它能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系．具体来讲本章主
要研究 有关程序流程图、工序流程图及一些实际问题的流程图，在画流
程图时应注意先后顺序、逻辑关系和简单 明快的特点．在绘制流程图之
前，要弄清楚实际问题的解决步骤和事物发展的过程．可以按以下步骤绘制流程图：

(1)将实际问题的过程划分为若干个步骤；
85

(2)理清各步骤之间的顺序关系；
(3)用简洁的语言表述各步骤；
(4)绘制流程图，并检查是否符合实际问题．

二是理解流程图描述动态过程，结 构图刻画系统结构，描述的是一
个静态结构．流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其< br>基本单元之间由流程线连接；结构图则更多地表现为“树”形结构，其
基本要素之间一般为概念上 的从属关系或逻辑上的先后关系．

程序框图

已知函数f(x)＝x
2
，把区间 10等分，画出求等分点函数值算
法的程序框图．
分析：x的值依次取－3，－3＋0.6，－3＋0.6×2，－3＋0.6×3，…，
－3＋ 0.6×9,3，共11个值，恰好是公差为0.6的等差数列，可用循环结
构实现．
解析：

点评：画程序框图时，一定要弄清用哪个结构能实现题目中要求的
功能，其循环的次 数一定要不多不少，输出的结果是循环几次之后而得
出的，这些是初学者很容易出错的．

工序流程图

某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤是：首先受理产
品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，
86

则由窗口信息反馈；同意，则报公安部审批，再把反馈信息由窗口反馈．如
果不是由公安部发 证的产品，则由窗口信息反馈出去．试画出监督程序
流程图．

解析：某省公安消防局对消防产品的监督程序流程图如下：



知识结构图




画出《数学·必修2·人教A版》中“点、直线、平面之间的位
置关系”的章节知识结构图．
解析：知识结构图如下：

点评：“从属关系”一般用“树”形结构图表达，且“下 位”要素
比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象．很
多时候，知识结 构图不唯一，但上、下位的从属关系是不能错的．如果
概念的从属关系正确，知识间的顺序关系正确，不 论框图怎样连接都是
正确的．

87

某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公
室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处．各
科室共同管理和服务各班级， 试画出该校的行政组织结构图．

分析：画该学校的行政组织结构图时，要注意各自的管辖范围，特
组织结构图
别是副校长所领导的各处室．
解析：该校的行政组织结构图如下：


选修1-2知识点

第一章 统计案例
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
?
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
?
n< br>?
x
i
y
i
?
?
?nxy
?
?
b?
i?1
n
2
注意：线性回归直线经过定点
(x
?
?
x
2
i
?nx
,y)
。 ?
i?1
?
?
a?y?bx
?
n
(x
i
?x)(y
i
?y)
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
r?
i?1

?
nn
(x
i
?x)
2i?1
?
(y
i
?y)
2
i?1
注：⑴
r
>0时，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；
88

⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近于0时，两个变量之间几
乎不存在线性相关关系。
3．回归分析中回归效果的判定：
⑴残差：
e
i
?
?y
i
?y
i
； (2)残差平方和：
?
(yi?yi)
2
；
i?1
?< br>n
?
(3)相关指数
R
2
?1?
?
(y?
(y
i?1
i?1
n
n
i
?y
i< br>)
2
。
?
i
?y
i
)
2
注：①
R
得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②
R
越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量
K
越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。




2
2
2

89

第二章 推理与证明
一．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理 都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归
纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它 们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有 这些特征的
推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其 中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些
特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提 ---------已知的一般结论；⑵小前提
---------所研究的特殊情况；⑶结 论 ---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最 后推导出所
要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明 的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。 分
析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假 设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原
命题成立，这种证明 方法叫反证法。

第三章 数系的扩充与复数的引入
1．概念：
(1)
z
=
a
+
bi∈R
?
b
=0 (
a,b∈R
)
?
z=
z
?

z
≥0；
(2)
z
=
a
+
bi
是虚数
?
b
≠0(
a
,
b∈R
)；
2
(3)
z
=
a+b
i是纯虚数
?
a< br>=0且
b
≠0(
a,b∈R
)
?
z
＋
z
＝0（z≠0）
?
z
<0；
(4)
a
+< br>b
i=
c
+
di
?
a
=
c
且
c
=
d
(
a,b,c,d∈R
)；
2．复数的代数形式及其运算：设
z
1
=
a
+
bi
, z
2
=
c
+
di
(
a,b,c,d∈R
)，则：
(1)
z

1
±
z
2
= (
a
+
b
)± (
c
+
d
)i；
(2)
z
1
.
z
2
= (
a
+
bi< br>)·(
c
+
di
)＝（
ac
-
bd
）+ (
ad
+
bc
)
i
；
2
(3)
z
1
÷
z
2
=
(a?bi)(c?di)
ac?bdbc?ad
?
2
?
2
i
(
z
2
≠0)
22
c?d
(c?di)(c?di)
c?d
3．几个重要的结论：
90

1?i1?i
?i;??i;
(1)
(1?i)??2i
；⑷
1?i1?i
2
(2)
i
性质：T=4；
i
4n
?1,i
4n?1
?i,i
4n? 2
??1,i
4n?3
??i
；
5．共轭的性质：⑴
( z
1
?z
2
)?z
1
?z
2
； ⑵
z?z
。

91

试卷1
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是
符合题 目要求的)
参考公式
P（K
2
?k）
0.50

0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（ ） 1．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的
A．预报变量在
x
轴上，解释变量在
y
轴上
B．解释变量在
x
轴上，预报变量在
y
轴上
C．可以选择两个变量中任意一个变量在
x
轴上
D．可以选择两个变量中任意一个变量在
y
轴上
2．数列
2,5,11,20,x,47,
…中的
x
等于
A．
28
B．
32


C．33

C．-
i
-2


D．
27


（ ）
3．复数
5
的共轭复数是
i?2
B．
i
-2

（ ）
A．
i
+2
4．下面框图属于
A．流程图 B．结构图 C．程序框图
D．2 -
i

（ ）



D．工序流程图
（ ） 5．设
a,b,c
大于0，则3个数：
a?


A．都大于2
C．都小于2
111
，
b?
，
c?
的值
bca
B．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
（ ） 6．当
2
?m?1
时，复数
m(3?i)?(2?i)
在复平面 内对应的点位于
3
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：
种子处理 种子未处理 合计
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据，则 （ ）
A．种子经过处理跟是否生病有关 B．种子经过处理跟是
否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病 D．以上都是错的
8．变量
x
与
y
具有线性相关关系，当
x
取值16,14,12,8时，通
过观测得到y
的值分别为11,9，8,5，若在实际问题中，
y
的
92

预报最大取值是10，则
x
的最大取值不能超过 （ ）
A．16 B．17 C．15 D．12
9．根据右边程序框图，当输入10时，输出的是（ ）
A．
12
B．
19

C．14.1 D．-30
10．把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为 （ ）

第Ⅱ卷
（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题
卡的横线上）
11．在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别
是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为_________.
12．在研究身高和体重的关 系时，求得相关指数
R?
___________，可以叙
述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”所
以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。
13．对于一组数据的两个函数模型，其残差平方和分别为153.4 和200，若
从中选取一个拟合程度较好的函数模型，应选残差平方和为_______的
那个．
14 ．从
1?1,2?3?4?3,3?4?5?6?7?5
中得出的一般性结论是
222
2
开始
n : = 1
①
输出a
i : = i +1
否
②
是
_____________。
结束
15．设计算法，输出1000以内能被3和5整除的所有正整数，已知算法流程
第(15)题图
图如右图，请填写空余部分：① _________ ；②__________。
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16．（本小题满分12分）
某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电 脑游戏的同学认为作业
多的有18人，认为作业不多的有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有 8人，认
为作业不多的有15人，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？

17．（本小题满分14分）
已知
a
，
b< br>，
c
是全不相等的正实数，求证

18．（本小题满分12分）
b?c?aa?c?ba?b?c
???3
。
abc
93

已知
z
1
?5?10i，z
2
? 3?4i，?
1
z
11
?，求z.

z
1
z
2
19．（本小题满分14分）
某工厂加工某种零 件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工。每道工序完成时，都要
对产品进行检验。粗加工的合格品进 入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合格品
进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合 格品为成品，不合格品为废品。用流程图
表示这个零件的加工过程。
20．（本小题满分14分）
设函数
f(x)?ax
2
?bx?c (a?0)
中，
a,b,c
均为整数，且
f(0),f(1)
均为奇 数。
证：
f(x)?0
无整数根。

21．（本小题满分14分）
设
z
1
1
是虚数，z
2
?z
1
?
z
是实数，且?1?z
2
?1。

1
（1）求 |
z
1
| 的值以及
z
1
的实部的取值范围；
（2）若
?
?
1?z
1
1?z
，求证：?
为纯虚数。
1



















94

求

95

试卷1答案
一、选择题：1、B 2、B 3、B 4、A 5、D 6、D 7、B 8、C 9、C 10、B
二、填空题：
11．3+5i 12．0.64 13．153.4
14．
n?n?1?...?2n?1?2n?...?3n?2 ?(2n?1)
2
,n?N
*
注意左边共有
2n?1
项
15．① a: = 15n；② n > 66
三、解答题：
16．解：
认为作业多
喜欢玩电脑游戏
不喜欢玩电脑游戏
总数

18
8
26
认为作业不多
9
15
24
总数
27
23
50
50(18?15?8?9)
2
?5.059
， P（K
2
>5.024）=0.025, K=
26?24?27?23
2< br>有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系.
17．证法1：（分析法）
要证
b?c?aa?c?ba?b?c
???3

abc
bccaab
??1???1???1?3

aabbcc
只需证明
即证
bccaab
??????6

aabbcc
而事实上，由
a
，
b
，
c
是全不相等的正实数
∴
∴
∴
bacacb
??2，??2，??2

abacbc
bccaab
??????6

aabbcc
b?c?aa?c?ba?b?c
???3
得证.
abc
证法2：（综合法）
∵
a
，
b
，
c
全不相等
∴
∴
bacacb
与，与，与全不相等.
abacbc
bacacb
??2，??2，??2

abacbc
bccaab
??????6

aabbcc
三式相加得
96

bccaab
∴
(??1)?(??1)?(??1)?3

aabbcc
即
b?c?aa?c?ba?b?c
???3
．
abc
111
z
1
?z
2

???
zz
1
z
2
z
1
z
2
zz
(5 ?10i)(3?4i)55?10i(55?10i)(8?6i)5

?z?
12
????5?i

z
1
?z
2
(5?10i)?(3?4i)8?6i8
2
?6
2
2< br>18．解：

19．解：流程图如右：














零件到达
粗加工
不合格
检验
合格
返修加工
精加工
合格
返修检验
不合格
最后检验
合格
不合格
废品
成品
(19)图
20．证明：假设
f( x)?0
有整数根
n
，则
an
2
?bn?c?0,(n?Z )

而
f(0),f(1)
均为奇数，即
c
为奇数 ，
a?b
为偶数，则
a,b,c
同时为奇数
2
或
a,b
同时为偶数，
c
为奇数，当
n
为奇数时，
a n?bn
为偶数；当
n
为偶数时，
an
2
?bn
也为偶数，即
an
2
?bn?c
为奇数，与
an
2
?bn?c?0
矛盾.

?f(x)?0
无整数根.
21．解：(1)设
z
1
?a?bi(a,b?R，且b?0)
，则
z
2
?z
1
?
11ab
?a?bi??(a?2
)?(b?)i

222
z
1
a?bi
a?ba?b
22
因为 z
2
是实数，
b
≠0，于是有a+b=1，即|z
1
| =1，还可得z
2
=2a,
97

由-1≤z
2
≤1，得-1≤2
a
≤1，解得
?
1111
?a?
，即
z
1
的实部的取值范围是
[?,]
.
2222
1?z
1
1?a?bi1?a
2
?b
2
?2bib
（2）
?
?????i

22
1?z1
1?a?bi(1?a)?ba?1
因为a?
[?
11
,]< br>，b≠0，所以
?
为纯虚数。
22
98

试卷2
一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
1．若复数
z?3?i
，则
z
在复平面内对应的点位于
A．第一象限
C．第三象限












B．第二象限
D．第四象限
2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为
x?3
，则 输出的
x
的值是



A．
6
B．
21
C．
156
D．
231

输入x
计算
x?
x(x?1)
的值
2
x?100?

否
是
输出结果x
3．用演绎法证明函数
y?x
3
是增函数时的小前提是
A．增函数的定义



B．函数
y?x
3
满足增函数的定义
D．若
x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)< br> C．若
x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)

4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：



③
②
①

按照上面的规律，第
n
个“金鱼”图需要火柴棒的根数为
A．
6n?2
B．
8n?2
C．
6n?2

5．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中第100项的值是
…
D．
8n?2

A.10 B.13 C.14
D.100
6．有下列关系：①人的年龄与他 （她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之
间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系 ；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度
之间的关系，其中有相关关系的是
99

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③④


7．求
S?1?3?5??101
的流程图程序如右图所示，
其中①应为
A．
A?101?

B．
A
?
101?

C．
A?101?

D．
A
?
101?





8．在线性回归模型
y?bx?a?e
中，下列说法正确的是
A
．
y?bx?a?e
是一次函数

开始
S＝0
A＝1
①
是
S＝S+A
A＝A+2
否
输出x
结束
B
．因变量
y
是由自变量
x
唯一确定的

C
．因变量
y
除了受自变量
x
的影响外，可能还受到其它因素的影响 ，这些因素会导致随机
误差
e
的产生

D
．随机误差
e
是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差
e
的产生

9．对相关系数r，下列说法正确的是
A．
|r|
越大，线性相关程度越大
B．
|r|
越小，线性相关程度越大
C．
|r|
越大，线 性相关程度越小，
|r|
越接近0，线性相关程度越大
D．
|r|?1且
|r|
越接近1，线性相关程度越大，
|r|
越接近0，线性相关程度 越小
10．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①
A?B?C?90??90??C?180?
，这与三角形内角和为
180?< br>相矛盾，
A?B?90?
不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设 三角形的三个内角
A
、
B
、
C
中有两个直角，
不妨 设
A?B?90?
，正确顺序的序号为
A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①。
11.
在独立性检验中，统计量
?
2有两个临界值：
3.841
和
6.635
；当
?
2＞
3.841
时，有
95%
的把握
说明两个事件有关，当
?
2
＞
6.635
时，有
99%
的把握说明两个事件有关 ，当
?
2
?
3.841
时，认
为两个事件无关
.< br>在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了
2000
人，经计算的
?
2
=20.87
，
根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间

100