2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：68 离散型随机变量及其分布列 Word版含解析

课时作业68 离散型随机变量及其分布列

一、选择题
1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若
取得黑球则另换1个红球放回袋中， 直到取到红球为止．若抽取的次
数为X，则表示“放回5个红球”事件的是( C )
A．X＝4
C．X＝6
到红球，所以X＝6.
2．设随机变量Y的分布列为
Y
P
－1
1
4

2
m
3
1
4

B．X＝5
D．X≤5
解析：事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6 次摸
37
则“
2
≤Y≤
2
”的概率为( C )
1
A.
4

3
C.
4

1
B.
2

2
D.
3

7
??
3
111
解析：依题意知，
4
＋m＋
4
＝1 ，则m＝
2
.故P
?
2
≤Y≤
2
?
＝P( Y＝
??
113
2)＋P(Y＝3)＝
2
＋
4
＝< br>4
.
3．已知离散型随机变量X的分布列为
X
P
0
0.5
1
1－2q
2
1
3
q
则P(X∈Z)＝( A )
A．0.9 B．0.8

C．0.7 D．0.6
1
解析：由分布列性质得0. 5＋1－2q＋
3
q＝1，解得q＝0.3，∴P(X
∈Z)＝P(X＝0)＋P(X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9.故选A.
4．若P(X≤x
2
)＝1－ β，P(X≥x
1
)＝1－α，其中x
1
2
，则P(x
1
≤X≤x
2
)
等于( B )
A．(1－α)(1－β)
C．1－α(1－β)
B．1－(α＋β)
D．1－β(1－α)
解析：显然P(X>x
2
)＝β，P(X1
)＝α.由概率分布列的性质可知
P(x
1
≤X≤x
2
)＝1－P(X>x
2
)－P(X1
)＝1－α－β.
5．已 知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次
16
品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝
45
，且该产品的次品率不超过40%，则这
10件产品的次品率为( B )
A．10%
C．30%
B．20%
D．40%
1
C
x
·C
1
x?10－x?
10
－
x
解 析：设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝
C
2
＝
45
10
162
＝
45
，∴x＝2或8.∵次品率不超过40%，∴x＝2，∴次品率 为
10
＝
20%.
6．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回 地从袋
中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于
?n－m?A
2
m
的是( D )
3
A
n
A．P(X＝3)
C．P(X≤3)
B．P(X≥2)
D．P(X＝2)
n
? n－m?A
2
m
解析：由超几何分布知P(X＝2)＝
A
3
.
二、填空题
7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规

定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的
得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该
轮比赛获胜时的得分(分数高者胜 )，则X的所有可能取值是－
1,0,1,2,3.
解析：X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，回答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选 3
4
人中女生人数不超过1人的概率是
5
.
解析：设所选女生人数 为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，
0312
C
2
C
4
C
2
C
4
4
M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P (X＝1)＝
C
3
＋
C
3
＝
5
.
66
9．(2019·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，
测量产品中微量 元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号
x
y
优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等
品数X的分布列为
X
P
2
C
3
P(X＝0)＝
C
2
＝0.3，
5
1
C
3
·C
1
2
P(X＝1)＝
C2
＝0.6，
5
1
169
75
2
178
80
3
166
77
4
175
70
5
180
81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为
0
0.3
1
0.6
2
0.1
解析：5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0,1,2.

2
C
2
P(X＝2)＝
C
2
＝0.1.
5
故优等品数X的分布列为
X
P
三、解答题
10． 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活
动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4 .现从这10人中随机选出2人作为
该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事
件A发生的概率．
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机
变量X的分布列．
解：(1)由已知事件A：选出的2人参加义工活动次数之和为4，
12
C
1
1
3
C
4
＋C
3
则P(A)＝
C
2
＝
3
.
10
0
0.3
1
0.6
2
0.1
(2)随机变量X可能的取值为0,1,2，
22
C
3
＋C
2
4
3
＋C
4
P(X＝0)＝＝< br>15
，
C
2
10
111
C
3
C< br>3
＋C
1
7
3
C
4
P(X＝1)＝＝
2
C15
，
10
11
C
3
C
4
4
P(X＝2)＝
C
2
＝
15
，
10
则X的分布列为：
X
P
0
4
15

1
7
15

2
4
15

11．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运< br>动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；
乙协会的运动员5名，其中种 子选手3名．从这8名运动员中随机选
择4人参加比赛．

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种
子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布
列．
222
C
2
6
2
C
3
＋C
3
C
3
解：(1)由已知，有P(A)＝＝
35
.所以事件A发生的概
C
4
8
6
率为
35
.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
k4
－
k
C
5
C
3
P(X＝k)＝
C
4
(k＝1,2,3,4 )．
8
3
C
1
1
5
C
3
故P( X＝1)＝
C
4
＝
14
，
8
22
C5
C
3
3
P(X＝2)＝
C
4
＝
7< br>，
8
31
C
5
C
3
3
P(X＝3 )＝
C
4
＝
7
，
8
40
C
5< br>C
3
1
P(X＝4)＝
C
4
＝
14
，
8
所以随机变量X的分布列为
X
P
1
1
14


12．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱 中任取两
条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间
的距离；当两条 棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是
ξ
P
.

2
3
7

3
3
7

4
1
14

0
4
11

1
6
11

2
1
11

解析：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过
任意1个顶点恰有3条棱，所以 共有
8×3
4
＝
66
＝
11
.
若两条棱 平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6
61
对，故P(ξ＝2)＝
C< br>2
＝
11
，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1
12
416
－
11
－
11
＝
11
，
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
P
0
4
11

1
6
11

2
1
11

8C
2
因此
3
对相交棱，
8C
2
3
P(ξ＝0 )＝
C
2
12
13.(2019·河南豫南九校联考)为创建国家级文明城市 ，某城市号
召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租
车公司共200 名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选 两人，设这两人进行送考次数之差的
绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
解：( 1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次
的有100人，送考3次的有80人，
∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为

20×1＋100×2＋80×3
＝2.3.
200
(2)从该公司任选两 名司机，记“这两人中一人送考1次，另一
人送考2次”为事件A，
“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，
“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，
“这两人送考次数相同”为事件D，
由题意知X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)
1 1
C
1
C
1
100
20
C
100100< br>C
80
＝
C
2
＋
C
2
＝
1 99
，
200200
1
C
20
C
1
16
80
P(X＝2)＝P(C)＝
C
2
＝
199
，
200
22
C
2
＋C＋C
83
2010080P(X＝0)＝P(D)＝＝
199
，
C
2
200
∴X的分布列为
X
P
0
83
199

1
100
199

2
16
199

8310016132
E(X)＝0×
199
＋1×
199
＋2×
199
＝
199
.
尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用

14．甲、乙两人为了响应政 府“节能减排”的号召，决定各购置
一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按行驶
里程数R(单位：公里)可分为三类车型，A：80≤R<150，B：150≤R<250，
C：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中
挑选，甲、乙二人选择各类车 型的概率如下表：

3
若甲、乙都选C类车型的概率为
10
.
(1)求p，q的值；
(2)求甲、乙选择不同车型的概率；
(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：
车型
补贴金额(万元辆)
A
3
B
4
C
5
记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．
33
?
q＝< br>?
410
，
解：(1)由题意可知
?
1
?
?
p＋q＋
5
＝1，
22
解得p＝
5
，q＝
5
.
12123
(2)设“甲、乙选择不同车型”为事件A，则P(A)＝
5
＋
5
×
4
＋
5
×
4
33
＝
5
，所以甲、乙选择不同车型的概率是
5
.
(3)X可能取值为7,8,9,10.
111
P(X＝7)＝
5
×
4
＝
20
，

13211
P(X＝8)＝
5
×
4
＋
5
×
4
＝
4
， 21232
P(X＝9)＝
5
×
4
＋
5
×4
＝
5
，
233
P(X＝10)＝
5
×
4
＝
10
.
所以X的分布列为：
X
P



7
1
20

8
1
4

9
2
5

10
3
10