精品高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质课堂探究

免费会员专享精品
【最新】2019年高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切
角的性质课堂探究



课堂探究

探究一弦切角定理

在使用弦切角定理时，关键是要弄清哪个角是弦切角，这样才能
正确解决问题．
【典型例题1】如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作
AD的垂线，垂足为B，CB与 ⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE＝
2，求△ABC各边的长．

思路分析 ：∠BAE为弦切角，于是∠BAE＝∠C，再由AE平分∠CAB
和△ABC是直角三角形可求得∠C 的度数，进而解直角三角形即可．

解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE＝∠ACB.

∵AE平分∠CAB，∴∠BAC＝2∠BAE.

又∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠C＝30°.

则有BE＝1，AB＝，BC＝3，AC＝2.

点评 在题目中出现了圆的切线，常用弦切角定理解决问题．

探究二弦切角定理的应用
< br>在证明与圆有关的命题时，弦切角定理与圆周角定理等经常要综
合应用，正确找出符合定理条件的 角是应用定理的前提．

【典型例题2】已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于
D，CD的延长线交过B点的切线于E.


1 3

免费会员专享精品
求证：＝.

思路分析：直接证明此等式 有一定的难度，可以考虑把它分解成
两个比例式的形式，然后借助相似三角形的性质得出结论．

证明：连接BD，如图所示．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.

又∠BCD＝∠BAD，∠CBD＝∠CAD，

∴∠BCD＝∠CBD.∴BD＝CD.

又BE为⊙O的切线，∴∠EBD＝∠BAD，

∴∠EBD＝∠BCD.故在△BED和△CEB中，

∠EBD＝∠ECB，∠BED＝∠CEB，

∴△BED∽△CEB.

∴＝，＝，∴2＝.

又BD＝CD，∴＝.

点评 已知直线与 圆相切，证明线段成比例时，常先利用弦切角
定理和圆周角定理获得角相等，再通过三角形相似得到成比 例线段．

探究三易错辨析

易错点：忽视弦切角的一边是切线
< br>【典型例题3】如图所示，△ABC内接于⊙O，AD⊥AC，∠C＝
32°，∠B＝110°， 则∠BAD＝__________.

错解：∵AD⊥AC，

∴∠BAD是弦切角．

∴∠BAD＝∠C.

又∠C＝32°，∴∠BAD＝32°.


2 3