高中数学2-3测试题-高中数学逻辑命题解答题
直线与圆位置关系
一.
课标要求
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;
3.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。
二.知识框架
相离 几何法
弦长
直线与圆的位置关系 相交
代数法
切割线定理
相切
直线与圆 代数法
求切线的方法
几何法
圆的切线方程
过圆上一点的切线方程
圆的切线方程 切点弦
过圆外一点的切线方程 方程
三.直线与圆的位置关系及其判定方法
1
.利用圆心
O(a,b)到直线Ax?By?C?0
的距离
d?
Aa?Bb?
C
A?B
22
与半径
r
的大小来判定。
(1)
d?r?
直线与圆相交
(2)
d?r?
直线与圆相切
(3)
d?r?
直线与圆相离
2.联立直线与圆的方程组成方程组,消去其
中一个未知量,得到关于另外一个未知量的一元二次方程,通过解的个
数来判定。
(1)有两个公共解(交点),即
??0?
直线与圆相交
(2)有且仅有一
个解(交点),也称之为有两个相同实根,即
??0
?
直线与圆相切
(3)无解(交点),即
??0?
直线与圆相离
3.等价关系
相交
?d?r???0
相切
?d?r???0
相离
?d?r???0
练习
(位置关系)1.已知动直线
l:y?kx?5
和圆
C:(x?1)?y?1
,试问
k
为何值时
,直线与圆相切、相离、相交?
(位置关系)2.已知点
M(a,b)
在圆
O:x?y?1
外,则直线
ax?by?1
与圆
O的位置关系是()
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
(最值问题)3.已知实数
x
、
y
满足方程
x?y?4x?
1?0
,
1
22
22
22
(1)求<
br>y
x?y?1
22
和的最大值和最小值;
(2)求
x?y
的最大值和最小值;(3)求
x?y
的最大值和最小值。
x
x?2
〖分析〗考查与圆有关的最值问题,解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解,运用数形结合
的
方法,直观的理解。?转化为求斜率的最值;?转化为求直线
y?x?b
截距的最大
值;?转化为求与原点的距离的
最值问题。
(位置关系)4.设
m,n?R
,若直线
(m?1)x?(n?1)y?2?0
与圆
(x?1)?(y?1)?1相切,则
m?n
的取值范
围是
(位置关系)5.在平面直角坐标系
xoy
中,已知圆
x
2
?y
2
?4
上有且仅有四个点到直线
12x?5y?c?0
的距离为1,则实数
c
的取值范围是
6.直线
3x?y?23?0
截圆x+y=4得的劣弧所对的圆心角是 (
)
A、
22
22
??
??
B、
C、 D、
6432
22
(位置关系)7.圆
x?y?2x
?2y?1?0
上的点到直线
x?y?2
的距离最大值是( )
A.
2
B.
1?2
C.
1?
2
D.
1?22
2
(最
值问题)8.设A为圆
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1
上
一动点,则A到直线
x?y?5?0
的最大距离为______.
9.已
知圆C的半径为
2
,圆心在
x
轴的正半轴上,直线
3x?4y?4?
0
与圆C相切,则圆C的方程为( )
A.
x?y?2x?3?0
C.
x?y?2x?3?0
22
22
B.
x?y?4x?0
D.
x?y?4x?0
22
22
(数形结合)10.若
曲线
y?1?x
2
与直线
y?x?b
始终有两个交点,则
b
的取值范围是__________.
变形题1:若曲线
y?
3?4?x
2
与直线
y?kx?5k?6
始终有两个交点,则
k的取值范围是__________
2
变形题
2:若点
P(x,y)
是曲线
x?1?4?y
2
动点,则
(对称问题)11.圆
C
1
:(x?3)?(y?1)?4
关于直线
x?y?0
对称的圆
C
2
的方程为:( )
A.
(x?3)?(y?1)?4
B.
(x?1)?(y?3)?4
C.
(x?1)?(y?3)?4
D.
(x?3)?(y?1)?4
变试题:圆
C
1
:(
x?3)?(y?4)?4
关于直线
2x?y?3?0
对称的圆
C
2
的方程为
22
(圆中的弦长问题)1. 直线
y?kx?3
与圆
(x?2)?
(y?3)?4
相交于
M,N
两点,若
|MN|?
23
,
y?4
的取值范围是
x?6
22
2222
2222
22
则
k
的取值范围是( )
A.
[?,0]
2
3
4
B.
[?
33
,]
33
2
C.
[?3,3]
D.
[?,0]
<
br>2
3
2.圆
C
:(
x
-1)+(
y
-2)=25,直线
l
:(2
m
+1)
x
+(
m<
br>+1)
y
=7
m
+4 (
m
∈R).
(1)证明:不论
m
取什么实数,直线
l
与圆恒相交于两点;
(2)求⊙
C
与直线
l
相交弦长的最小值.
四.计算直线被圆所截得的弦长的方法
1.几何法:运用弦心距、半径、半弦长构成的
Rt?
计算,即
AB?2r?d
2.代数法:运用根与系数关系(韦达定理),即:
22
AB?k
2
?1x
A
?x
B
?(k
2
?1)(x
A<
br>?x
B
)
2
?4x
A
x
B
?1?k
2
(注:?当直线
AB
斜率不存在时,请自行探索与总结;
??
?
(注意:此法适用于所有的平面弦长问题)
a
(
?弦中点坐标为
练习
x
A
?x
B
y
A
?y
B
,)
,求解弦中点轨迹方程。 <
br>22
22
1.直线
y?2x?3
被圆
x?y?6x?8y?0
所截得的弦长等于
3
2
.过点
(2,1)
的直线中被圆
x?y?2x?4y?0
截得的弦长最大的直
线方程是
3.已知圆
C
过点
(1
,0)
,且圆心在
x
轴的正半轴上,直线
l:y?x?1
被圆
C
所截得的弦长为
22
,则过圆心且与
直线
l
垂直的直线
方程为
22
4.直线
x
-2
y-3=0与圆
C
:(
x
-2)+(
y
+3)=9交于<
br>E
、
F
两点,则△
ECF
的面积为
5.已知圆
C:(x?3)?(y?4)?4
和直线
l
:kx?y?4k?3?0
(1)求证:不论
k
取什么值,直线和圆总相交;
(2)求
k
取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.
22
6.若曲线
x
+
y
+
2
x
-6
y
+1=0上相异两点
P
、
Q
关
于直线
kx
+2
y
-4=0对称,则
k
的值为( )
1
A.1 B.-1 C. D.2
2
7.已知过点
M
?
?3,?3
?
的直线
l
与圆
x
2
?y
2
?4y?21?0
相交于
A,B
两点,
(1)若弦
AB
的长为
215
,求直线
l
的方程;(2)
设弦
AB
的中点为
P
,求动点
P
的轨迹方程.
8.已知圆
x?y?x?6
y?m?0
和直线
x?2y?3?0
相交于
P,Q
两点,O为原点,
且
OP?OQ
,求实数
m
的
取值.
22
22
22
五.已知切点,求切线方程
2
222
1.经过圆
x?y?r
上一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r<
br>
2
222
2.经过圆
(x?a)?(y?b)?r
上一点<
br>P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
(x
0?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r
4
3.经过圆
x?y?Dx?Ey?F?0
上一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?
D
练习
1.经过圆上一点
P(?4,?8)
作圆
(x?7)?(y
?8)?9
的切线方程为
22
2.圆
x?y?4x?0
在点
P(1,3)
处的切线方程为( )
22
22
x
0
?xy?y
?E
0
?F?0
22
A.
x?
3y?2?0
B.
x?3y?4?0
C.
x?3y?4?0
D.
x?3y?2?0
六.切点未知,过圆外一点,求切线方程
1.
k
不存在,验证是否成立;
2.
k
存在,设点斜式,用圆到直线的距离
d?r
,即
?
y?y
0
?k(x?x
0
)
?
r?b?y
0
?k(a?x
0
)
k?1
2
练习
1.求过
A(3,5)
且与圆
C:x?y?4x?4y?7?0
相切的直线方程。
22
七.切线长
222
若圆
C:(x?a)?(y?b)?r,则过圆外一点
P(x
0
,y
0
)
的切线长
d
?(x
0
?a)?(y
0
?b)?r
222
练习
1.自点
A(?1,4)作圆(x?2)
2
?(y?3)
2
?1
的切线,则切线长为( )
(A)
5
(B)
3 (C)
10
(D) 5
22
2.自直线y=x上点向圆x+y-6x+7=0引切线,则切线长的最小值为
八.切点弦方程
过圆C:(x?a)?(y?b)?r
外一点
P(x
0
,y
0
)
作圆
C
的两条切线方程,切点分别为
A,B
,则切点弦
AB
所在直
2
线方程为:
(x
0
?a)(x?a)?(y<
br>0
?b)(y?b)?r
222
1.过点
C
(6,
-8)作圆
x
+
y
=25的切线于切点
A
、
B,那么
C
到两切点
A
、
B
连线的距离为( )
5
22
A.15
15
B.1 C.
2
D.5
九.切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,即
PT?PC?PD
=
PB?PA
2
练习
1.自动点
P
引圆
x?y?10
的两条切
线
PA,PB
,直线
PA,PB
的斜率分别为
k
1
,k
2
。
(1)若
k
1
?k
2
?k1
k
2
??1
,求动点
P
的轨迹方程;
(2
)若点
P
在直线
x?y?m
上,且
PA?PB
,求实数m
的取值范围。
2.
22
6