高中数学作业批改与反思-百度文库高中数学必修2课件
课时作业28 直线与圆的位置关系
基础巩固
1.直线y=kx+1与圆x
2
+y
2
=4的位置关系是( )
A.相离
C.相交
B.相切
D.不确定
解析:直线y=kx+1过点(0,1),且该点
在圆x
2
+y
2
=4内,所
以直线与圆相交.
答案:C
2.直线3x+4y=b与圆x
2
+y
2
-2x-2y+1=0相切
,则b的值
是( )
A.-2或12
B.2或-12
D.2或12 C.-2或-12
解析:圆的方程为x
2
+y
2
-2x-2y+1=0,
可化为(x-1)
2
+(y-1)
2
=1.
|7-b|<
br>由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为
5
=1,得b=2
或b=
12,故选D.
答案:D
3.平行于直线2x+y+1=0且与圆x
2
+
y
2
=5相切的直线的方程
是 ( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+5=0或2x+y-5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+5=0或2x-y-5=0 |0+0+c|
解析:设所求切线方程为2x+y+c=0,依题有
22
=5,<
br>2+1
解得c=±5,所以所求切线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0,
故选A.
答案:A
4.过点(1,2)总可以作两条直线与圆x
2
+y
2<
br>+kx+2y+k
2
-15=0
相切,则k的取值范围是( )
A.k<-3或k>2
8
B.k<-3或2
3
8
C.k>2或-
3
3
D.-
3
3
3
k<
br>?
2
?
3
22
??
解析:把圆的方程化为标准方程得
:
x+
2
+(y+1)=16-
4
k,
??
383
83
所以16-
4
k
2
>0,解得-
3
.又因为点(1,2)应在圆的外部,
得1+4+k+4+k
2
-15
>0,即(k-2)(k+3)>0,解得k>2或k<-3,所
?
83
??
83
?
?
∪
??
. 以实数k的取值范围为
?
-<
br>3
,-3
??
2,
3
??
答案:D
5.已
知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x
2
+y
2
=2x有两个交
点时,求直线l斜率k的取值范围.
解:圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,
设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
|k+2k|
根据点到直线的距离公式,得
2
<1,
k+1
122
即k<
8
,解得-
4
,
2
即为直线l斜率的取值范围.
能力提升 <
br>1.圆心坐标为(2,-1)的圆在直线x-y-1=0上截得的弦长为
22,则这个圆的方程为
( )
A.(x-2)
2
+(y+1)
2
=4
B.(x-2)
2
+(y+1)
2
=2
C.(x-2)
2
+(y+1)
2
=8
D.(x-2)
2
+(y+1)
2
=16
|2+1-1|
解析:圆心到直线的距离d==2.
2
r
2
=d
2
+(2)
2
=4,解得r=2,
故圆的方程为(x-2)
2
+(y+1)
2
=4.
答案:A
2.过点(2,1)的直线中被圆(x-1)
2
+(y+2)2
=5截得的弦长最大
的直线方程是( )
A.3x-y-5=0
B.3x+y-7=0
D.x-3y+5=0 C.x+3y-5=0 <
br>解析:∵过点(2,1)的直线中被圆(x-1)
2
+(y+2)
2
=
5截得的弦
长最大的直线经过圆心,∴该直线过点(2,1)和圆心(1,-2),其方
y+2
x-1
程为=,整理得3x-y-5=0.故选A.
1+22-1
答案:A
3.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R,n≠m)始终平分圆x
2
+y
2<
br>-4x-2y-4=0的周长,则mn的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,-1)
D.(-∞,-1) C.(-∞,1)
解析:圆x
2
+y
2
-4x-2y-4=0可化为(x-2)
2
+(y-1)
2
=9,直
线mx+
2ny-4=0始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以2m+
2n-4=0,即m+n=2,m
n=m(2-m)=-m
2
+2m=-(m-1)
2
+1≤1,
当m
=1时等号成立,此时n=1,与“m≠n”矛盾,所以mn<1.
答案:C
4.由直线y
=x-1上的一点向圆C:x
2
+y
2
-6x+8=0引切线,
则切
线长的最小值为( )
A.1
C.3
B.2
D.2
解析:在直
线y=x-1上取一点P,过P向圆引切线,设切点为
A.连接CA.在Rt△PAC中,|CA|=r
=1.要使|PA|最小,则|PC|应最小.又
|3-0-1|
当PC与直线垂直时,|PC
|最小,其最小值为=2.故|PA|的
2
最小值为(2)
2
-1
2
=1.
答案:A
5.设直线2x+3y+1=0和圆x
2
+y<
br>2
-2x-3=0相交于点A,B,
则弦AB的垂直平分线的方程是________.
解析:易知所求直线过圆心且与AB垂直,
圆心坐标为(1,0).
设所求直线方程为3x-2y+c=0,
则3×1-2×0+c=0,c=-3.
即所求直线方程为3x-2y-3=0.
答案:3x-2y-3=0
6.圆x2
+y
2
+2x+4y-3=0上到直线l:x+y+1=0的距离为2
的点的个数是________.
解析:圆的方程化为标准方程为(x+1)
2
+(
y+2)
2
=8,圆心为(-
|-1-2+1|
2
1,-2),圆半径为22,圆心到直线l的距离为==2. <
br>2
1
2
+1
2
因此和l平行的圆的直径的两端点及与l平行的
圆的切线的切点
到l的距离都为2,共3个点.
答案:3
7.直线x-y=0与圆
(x-2)
2
+y
2
=4交于点A、B,则|AB|=
______
__.
|2-0|
解析:圆心到直线的距离d==2,半径r=2,
2
∴|AB|=2r
2
-d
2
=22.
答案:22
8.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)
2
+
(y-a)
2
=4
相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=____
____.
解析:由题意可知圆的圆心为C(1,a),半径r=2,
则圆心C到直线ax+y-2=0的距离
|a+a-2||2a-2|
d==
2
.
a
2
+1a+1
因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=r=2.
又|AB|=2r
2
-d
2
,
所以2
?
|2a-2|
?
2
?
2-
?
2
?
a+1<
br>?
=2,
??
2
即a
2
-8a+1=0,解得a=4±15.
答案:4±15
9.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)
2
+y
2
=1有公共点,则
直线l的斜率的取值范围为________.
解析:数形结合的方法.如图1所示,
∠CAB=∠BAD=30°,
图1
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为
[0°,30°]∪[150°,180°).
?
33
?
?
∴直线l的斜率的取值范围为
-,
?
.
33
??
?33
?
答案:
?
-,
?
33
??<
br>10.已知圆C的方程为x
2
+y
2
=4.
(1)求过点P(1,2),且与圆C相切的直线l的方程;
(2)直线l过点P(1,2)
,且与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,
求直线l的方程.
解:(1)显然直线l的
斜率存在,设切线方程为y-2=k(x-1),
|2-k|
4
则由
2
=2,得k
1
=0,k
2
=-
3
,
k+1
故所求的切线方程为y=2或4x+3y-10=0.
(2)当直线l垂直于
x轴时,此时直线方程为x=1,l与圆的两个
交点坐标为(1,3)和(1,-3),这两点的距离为
23,满足题意;
当直线l不垂直于x轴时,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y
-k+2=0,设圆心到此直线的距离为d,则23=24-d
2
,∴d=1,
|-k
+2|
3
∴1=
2
,∴k=
4
,此时直线方程为3x-4y
+5=0.
k+1
综上所述,所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1.
11.已知实数x、y满足方程(x-2)
2
+y
2
=3.
y
(1)求
x
的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x
2
+y
2
的最大值和最小值.
y
解:
(1)原方程表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆,设
x
=k,
即y=kx.
|2k-0|
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时
2
k+1
=3,解得k=±3.
y
故
x
的最大值为3,最小值为-3.
(2)设y-x=b,即y=x+b.
当y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,
|2-0+b|
此时=3,即b=-2±6.
2
故y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-6.
(3)x
2
+y
2
表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,
它在原点与圆心所在直线
与圆的两个交点处分别取得最大值和最小
值,又圆心到原点的距离为2,
故(x
2<
br>+y
2
)
max
=(2+3)
2
=7+43. (x
2
+y
2
)
min
=(2-3)
2
=7-43.
12.已知点P(x
0
,y
0
)是圆O:x
2
+y
2
=r
2
外一点,过点P作圆O
的切线,两切点分
别为A,B,试求直线AB的方程.
解:设A(x
1
,y
1
),B
(x
2
,y
2
),
∵A,B在圆上,
∴过点A,B的两切线方程分别是x
1
x+y
1
y=r
2
,x
2
x+y
2
y=r
2
.
又∵点P(x
0
,y
0
)在两切线上,
2
?
?
x
1
x
0
+y
1
y
0
=r,
∴
?
2
?
x
2
x
0<
br>+y
2
y
0
=r.
?
∴A(x
1
,
y
1
),B(x
2
,y
2
)的坐标都是方程x
0<
br>x+y
0
y=r
2
的解.
∴直线AB的方程是x
0
x+y
0
y-r
2
=0.
拓展要求
1.若直线l:kx-y-2=0与曲线C:1-(y-1)
2
=
x-1有
两个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
?
4
?
?
,2
A.
3
?
??
???
?
4
?
?
,4
B.
3
?
??
?
4
?
D.
?
3
,+∞
?
??
4
??
4
??
C.
?
-2,-
3
?
∪
?
3
,2
?
?
解
析:直线l:kx-y-2=0恒过定点(0,-2),曲线C:
1-(y-1)
2
=
x-1表示以点(1,1)为圆心,半径为1,且位于直线
x=1右侧的半圆(包括点(1,2),(1
,0)).当直线l经过点(1,0)时,l
与曲线C有两个不同的交点,此时k=2,直线记为l1
;当l与半圆相
切时,由
|k-3|
44
=1,得k=,切线
记为l.分析可知当<k≤2时,l
2
2
33
k+1
与曲线C有两个
不同的交点,故选A.
答案:A
2.P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,
PB是圆x
2
+y
2
-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边
形PACB面积的最
小值是( )
A.2 B.22
C.3 D.23
解析:圆的标准方程为(x-1)
2
+(y-1)
2
=1,圆心C(1,1),半径
1
r=1
.根据对称性可知四边形PACB的面积等于2S
△
APC
=2×
2
×|PA|×r
=|PA|=|PC|
2
-r
2
=|PC|
2
-1.要使四边形PACB的面积最小,则只
需|PC|最小,|PC|的最小值为圆心C到
直线l:3x-4y+11=0的距离,
|3-4+11|
10
即为
2
==2,所以四边形PACB面积的最小值为
3+(-4)
2
5
4-1=3
.
答案:C
由Ruize收集整理。
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