2020届高三数学复习 直线和圆

2020届高三数学复习 直线和圆
【教学内容】
直线方程的几种形式、夹角、距离及圆的有关概念和性质。
【教学目标】
1、熟练 掌握直线的倾斜角、斜率k的有关概念。直线倾斜角θ的取值范围是0≤θ<180°，
而斜率k是倾角 θ的正切，当θ为90°时，直线的斜率不存在。因此我们用点斜式或斜截
式设直线方程时要注意分清直 线的斜率是否存在。
2、掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能根据题目所 给的
条件，灵活地选择直线方程的形式。
3、能判断两直线的位置关系或根据直线的位置关系 ，求出字母已知数的范围；要能计
算直线l
1
到l
2
的角或两直线的 夹角及点到直线的距离。
4、熟练掌握圆的几种标准方程，并能结合已知条件灵活地设出圆的方程；要 能熟练地
运用圆本身的一些性质来证题或解题。
5、坐标平面把数量关系和图形关系统一起来 了，数与形相辅相成，相得益彰，要能够
熟练地运用数形结合的思想去解决问题。
【知识讲解】
例1 求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。
分析：满 足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一
y
个条件列出含待 定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。
P(x,y)
B(3,4)
解法一：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4 y+m=0①再用“面积”条件去求
m，∵直线l交x轴于
A(?
m
,0)< br>，交y轴于
B(0,?
m
)
由
1
??
m??
m
?24
，得
m??24
，代
34
2A(-2,1)
34
D(3,1)
C(x,1)
入①得所求直线的方程为 ：
3x?4y?24?0

o
x
解法二：先用面积这个条件列出l的 方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则
有
1
ab?24
，因为l 的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab，l的截距式为
x
?
y
?1
，即
2
a48
a
48
?
a
2
?< br>?48a
，∴
a??8
代入②得所求
342
48x+a
2
y-48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行，∴
直线l 的方程为
3x?4y?24?0

说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成 Ax+By+C
1
=0的形式；与Ax+By+C=0垂
直的直线的方程可表示为Bx -Ay+C
2
=0的形式。
例2 已知△ABC的顶点A(3, -1)，AB边 上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠
B的平分线所在直线的方程为：x-4y+10 =0，求边BC所在直线的方程。
y
C
解：设B(a, b)，B在直线BT上，∴a-4b+10=0① 又AB中点
B
M
?
?< br>3?a
,
b?1
?
?
在直线CM上，∴点M的坐标满足方程6 x+10y-59=0
?
22
?
a?3
?10?
b? 1
?59?0
② 解①、②组成的方程组可得a=10，b=5 ∴
6?
22
T
o
M
A
x
∴B(10, 5 )，又由角平分线的定义可知，直线BC到BT的角等于直线BT到直线BA的角，

又< br>k
AB
?

k
BT
?
∴
6< br>7
1
4
k
BT
?k
BC
k
BA?k
BT
2
?
∴
k
BC
??

9
1?k
BT
k
BC
1?k
BA
?kBT
2
9
∴BC所在直线的方程为
y?5??(x?10)
即2 x+9y-65=0
例3 若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范
围。
解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)
的直线系，因为直线与线段AB有 交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两
条直线的斜率分别为k
1
、 k
2
，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k
1
y
或k≤k
2
， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
k
1
? k
2
??

∴-m≥
4
3
5
2
A
o
C(0,-2)
B
4
或-m≤
?
5
即m≤
?
4
或m≥
5

3232
x
说明： 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0
的斜率-m应为倾角 的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单
调递增的，因此 当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于k
BC
，或者k小于或等于k
AC，
当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。
例4 求直线l
2
：7x-y+4=0到l
1
：x+y-2=0的角平分线的方程。
y
解法一：设l
2
到l
1
角平分线l的斜率为k，∵k1
=-1，k
2
=7
2
1
∴
k?7
?
?1?k
，解之得k=-3或
k?
1
，由图形可知k<0， 1?7k1?k3
Q
1
2
∴k=-3，又由
?2?0
?
7
x
x
?
?
2
y
y
?4?0解得l
1
与l
2
的交点
Q
?
?
?1
,
9
?
?
，由点斜式得
?
44
?
o
x
y?
9
??3
?
?
x?
1< br>?
?
即6x+2y-3=0
4
?
4
?
解 法二：设l
2
到l
1
的角为θ，则
tg
?
?
k
1
?k
2
4
?
，所以角θ为锐角，而
?
1
?
?
2
?
?
，
2
1?k
1< br>k
2
3
2tg
?
2
?tg
?
?4
∴
tg
?
??2
或
tg
?
?
1

?
?
为锐角， 由二倍角公式可知
2222
3
1?tg2
?
2
?
1k?7
，∴k=-3等同解法一。 ∴
tg??
221?7k
解法三：设l：(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0①
∴
k?
1?7
?< br>，由解法一知
k??3?
1?7
?
，∴
?
?
1
，代入①化简即得：6x+2y-3=0
?
?1
?
?15
解法四：用点到直线的距离公式，设l上任一点P(x, y)，则P到l
1
与l
2
的距离相等。
∴
|x?y?2| |7x?y?4|
整理得：6x+2y-3=0与x-3y+7=0，又l是l
2
到l
1
的角的平分线，
?
250
k<0，∴x-3y+7=0不合题意 所以所求直线l的方程为6x+2y-3=0.
例5 已知△ABC三边所在直线方程AB ：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此
三角形外接圆的方程。
解：解方程组可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)设方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0，则：

22
?
?
6
2
?(?3)
2
?6D?3E?F? 0
?
6?(?1)?6D?E?F?0

?
?
4
2
?2
2
?4D?2E?F?0
21
解之得：D=
?
，E=4，F=30
2
所以所求的△ABC的外接圆方程为：
x
2
?y
2
?
21
x?4y?30?0

2
例6 如果一条直线经过点M
(?3,?)
且被圆x
2
+y
2=25所截得的弦长为8，求这条直线
的方程。
解：设所求直线的斜率为k，直线l的方 程：
y??k(x?3)
，
kx?y?3k??0
，由条
3
2
3
2
3
2
y
3k?
3
2
件知 圆心O到直线l的距离
d?5
2
?4
2
?3?
1?k
2
13
1
o
x
∴
1?k
2
?k?
∴
k
2
?1?k
2
?k?

k??

44
2
393
则l的方程为
?x?y???0
即3x+4 y+15=0又当直线l的斜率不存在时，l的方程x=-3
442
恰好也满足条件。因此，l 的方程为3x+4y+15=0或x+3=0
说明：这里这里我们设l的点斜式为
y??k( x?3)
实际上就已知先假设了直线l的斜
率是存在，但在实际问题中，直线l的斜率不一定存 在，因此我们还应对斜率不存在的情形
进行讨论。与此类似的还有如下问题：过圆外一点引圆的切线，切 线一定存在且有两条，我
们通常是先设切线的点斜式方程，然后由圆心到切线的距离等于圆的半径求出切 线的斜率，
若求的斜率有两个值，则就可以代入点斜率得到切线的方程，若求出的k只有一解，则说明< br>另一条切线的斜率一定不存在，如过点(5, -9)作圆x
2
+y
2
=25的切线，要注意其中一条切线就
是x=5，我们若设切线的点斜式方程为y+9=k(x-5)只 能求出一个k的值；同理，过平面上任
一点作与定直线成定角的直线也一定有两条，若设所求直线的点斜 式，如果由夹角公式求出
的k只有一个值话，那么其中一条满足条件的直线的斜率一定不存在，如过点( 3, -2)作直线
l，使l与已知直线
3x?y?10?0
的夹角为30°，求l的 方程就是这样的问题。
例7 求圆心在直线y=-4x上，且与直线l：x+y-1=0相切于点P(3, -2)的圆的方程。
分 析：在解与圆有关的习题时，我们要充分注意到圆本身的性质，如圆心到切线的距离
等于圆的半径，过切 点垂直于切线的直线必过圆心、两圆相切，连心线必过切点等等，这样
往往可以使运算变得简单、方便， 因此我们要认真分析已知条件，结合圆本身的性质，恰当
地设出圆的方程。如本题中，过切点P且垂直于 切线的直线必过圆心，因此圆心就是两直
线的交点了，这样求方程就得计算变得非常的方便。
解：由圆的性质可知，过切点P(3, -2)且与切线x+y-1=0垂直的直线l’必过圆心，k
l’
=1
∴l’：y+ 2=1·(x-3)，x-y-5=0，又已知圆心在直线y=-4x上，解方程组
∴O
1(1, -4)即为圆心的坐标，又
r?|O
1
P|?(3?1)
2?(?2?4)
4
?22

所示所求圆的方程为：(x-1)
2
+(y+4)
2
=8
例8 求通过直线2x+y+4=0及圆x
2
+y
2
+2x-4y+1=0的 交点，并且有最小面积的圆的方程。
解法一：已知圆的方程可化为：(x+1)
2
+ (y-2)
2
=4，设D为弦AB的中点，则直线CD的
3
2
5?0
?
x
y
?
?
y
?
?
4x

?
x??
13
x?2y?5?0
得
?
5
方程为x-2y+5=0，解方程组：
?
2x?y?14?0
y?
6
?
?
5
即D
?
?
?
13
,
6?
?
，|CD|=
45
|AD|=
4?
16
?
25
，
55
5
?
55
?
?
y
A
C
D
B
o
x

又以D的圆心，AB为直径的圆的面积最小，∴所求圆的方程为：
?
?
x?
13
?
?
?
?
?
y?
1 6
?
?
?
4

5
??
5
?
5
?
解法二：设圆的方程为(x
2
+y
2
+2x-4y+ 1)+λ(2x+y+4)=0
22
?
?4
?
?
5
?
2
?16
?
?16
，又圆的面积为
?
R
2
即
?
x?(1?
?
)
?
?
?
y?
?
2
?
4
??
5
?
2
?1 6
?
?16
取最小值时即可：
R
2
?
5
(
?
?
8
)
2
?
4
，当λ=
8时圆面积最小，此时∴当
R
2
?
4455
5
2
2
圆的方程为5x
2
+5y
2
+26x-12y+37=0
解法三：设A(x
1
, y
1
)，B(x
2
, y
2
)，因为所求圆的面积最小，则此圆一定是以AB为直径
?
x
1< br>?x
2
??
y
1
?y
2
?
(x1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
的圆设它的方程为
?
x?
，即
?
?
?
y?
2
?
?
24
????
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
x
2
+y
2
-(x< br>1
+x
2
)x-(y
1
+y
2
)y+x1
x
2
+y
1
y
2
=0，由得：
2x ?y?4?0
22
?
x
2
+2x+4x
2
+16+ 16x+8x+16+1=0
26
，xx=
33
，y+y=-2(x+x)-8=
12

121212
555
4
y
1
y
2
=4(x +2)(x+2)=4[x
1
x
2
+2(x
1
+x
2
)+4]=
5
261237
∴所求圆的方程为
x
2< br>?y
2
?x?y??0

555
即：5x
2
+26x+33=0 x
1
+x
2
=
?
例9 设P是圆M：(x-5)
2
+(y-5)
2
=1上的动点，它关于A(9, 0)的对称点为Q，把P绕原
点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值。
解：设P(x, y)，则Q(18-x, -y)，记P点对应的复数为x+yi，则S点对应的复数为：
(x+yi)·i=-y+xi，即S(-y, x)
∴
|SQ|?(18?x?y)
2
?(?y?x)
2
?18
2
?x
2
?y
2
?36x?36y?2xy?x
2
?y
2
?2xy

?2?x
2
?y2
?18x?18y?81?81
?2?(x?9)
2
?(y?9)2
其中
(x?9)
2
?(y?9)
2
可以看作是点P到 定点B(9, -9)的距离，共最大值为
|MB|?r?253?1
最
小值为
|MB|?r?253?1
，则
|SQ|的最大值为
2106?2

|SQ|的最小值为
2106?2

【每周一练】
一、选择题：
1、在△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的（ ）
A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、A、B、C三点共线，点C分向量AB所成的比是-3，则B分向量AC所成的比是（ ）
A、2 B、
1
C、
?
1
D、-2
22
3、经过点P(-2, 1)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
4、当α∈R时，由方程x·sinα+y·cosα=5sinα所确定的各直线的位置关系是（ ）
A、相互平行 B、垂直 C、有无穷多个交点 D、过同一点
5、 若方程a
2
x
2
+(a+2)y
2
+2ax+a=0表示圆 ，则a的值为（ ）
A、a=1或a=-2 B、-1 6、实数x，y满足方程(x-2)
2
+y
2
=3， 则
y
的最大值是（ ）
x

A、
1
B、
3
C、
3
D、
3

2
32
7、设M是圆(x-5)
2
+(y-3)
2
=9上的点，则M点到直线3x+4y-2=0的最短距离是（ ）
A、9 B、8 C、2 D、5
8、对于直线x·sinα+y+1=0，其倾角的取值范围是（ ）
??
?
3
?
?
C、
?
?
,
3
?
?
D、
?
0,
?
?
A、
?
?,
?
B、
?
0,
?
?< br>?
,
?
?
?
?
?
?
?
,< br>?
?

?
?
44
?
?
?
?
4
?
?
?
?
4
?
?
?
4 4
?
?
?
?
2
??
2
?
?
二、填空题：
9、直线3x+2y+m=0与(m
2
+1)x-3y+2-3m =0的位置关系是_______________
10、若直线Ax+By+C=0（A、B、C均 不为零）与圆x
2
+y
2
=1相切，则以|A|、|B|、|C|为边长的三角形是____________________
11、直线系方程y=ax+1，a∈R的图象恒过定点___________
12、△ABC的三个顶点A(0, 3)、B(3, 3)、C(2, 0), 若直线x=a将△ABC分割成面积相等的
两部分，则实数a的值是________________
13、函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称的图象的函数表达式为_____________ ________
14、从点(2, 3)向圆x
2
+y
2
=4作 切线，其切线方程为_______________
15、光线沿直线ax+by+c=0 (ab c≠0)照射到直线y=x上后反射，则反射线所在直线的方程是
_________________ __
三、解答题：
16、设直线l
1
：mx+8y+n=0与l
2
：2x+my-1=0平行，求过点(m, n)并与l
1
、l
2
垂直且被截得弦
长为
5
的直线方程。
17、已知正方形的中心为直线2x- y+2=0和x+y+1=0的交点，正方形一边所在直线的方程为
x+3y-5=0，求其它三边的方 程。
18、证明：直线系(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0中，找不到直线，使它与点P(4, -1)的距离等于3。
19、设A={z| |z|≤
2
}，B={z| |z-(a-i)| ≤
2
}，若A∩B≠φ，求实数a的最大值、最小值。
20、 已知直线l
1
和l
2
关于直线2x-2y+1=0对称，若l
1的方程是3x-2y+1=0，求l
2
的方程。
21、在圆x
2
+y
2
=4上有定点A(2, 0)及两个动点B、 C，当B、C两点保持∠BAC=
?
时，求
3
△ABC重心的轨迹方程。 < br>22、求与y轴相切，且与圆x
2
+y
2
-4x=0也相切的圆的圆心 的轨迹方程。
23、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， 在满足
①、②的所在圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程。

[参考答案]
一、选择题：
1、C 2、A 3、C 4、D 5、C 6、D 7、C 8、B
二、填空题：
9、相交 10、直角三角形 11、(0, 1) 12、
3
13、y=f(2-x)
14、x=2或5x-12y+26=0 15、bx+ay+c=0
三、解答题：
16、2x-y+10=0或2x-y-30=0或2x+y+26=0或2x+y-14=0
17、3x-y-3=0 3x-y+9=0 x+3y+7=0
18、略 19、a
max
=
7
，a
min
= -
7
20、4x-6y+3=0
2
21、
?
?
x?
2
?
?
?y
2
?
4
?
3
?
9
其中0≤x<1
22、y
2
=8x(x≠0)或y=0(x≠0且x≠2) < br>23、(x-1)
2
+(y-1)
2
=2或(x+1)
2+(y+1)
2
=2