湖北省高中数学竞赛省一-如何将高中数学知识系统化
复习课 解三角形
课时目标 1.掌握正弦定理、余弦定理的内容,并能解
决一些简单的三角形度量问题.2.
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计
算有关的实际问
题.
一、选择题
1.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则B等于( )
A
.45°或135°
B
.135°
C
.45°
D
.以上答案都不对
2.在△ABC中,已知
cos
A
cos
B>
sin
A
sin
B,则△ABC是(
)
A
.锐角三角形
B
.直角三角形
C
.钝角三角形
D
.等腰三角形
3.已知△ABC中,
sin
A∶
sin
B∶
sin
C=k∶(k+1)∶2k,则k的取值范围是(
)
A
.(2,+∞)
B
.(-∞,0)
?
1
??
1
?
C.
?
-,0
?
D
.
?
,+∞
?
?
2
??2
?
4.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km<
br>,灯塔A在观察
站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距
离为( )
A
.a
km
B
.3a
km
C
.2a
km
D
.2a
km
5.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积为2203,那么BC的长度为( )
A
.25
B
.51
C
.493
D
.49
22
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a-b=3bc,
sin
C=23
sin
1
B,则A等于( )
A
.30°
B
.60°
C
.120°
D
.150°
二、填空题
7.三角形两条边长分别为3
cm,
5
cm
,其夹角的余弦值是方程5x
2
-7x-6
=0的根,则
2
此三角形的面积是________
cm
.
a8.在△ABC中,A=60°,b=1,S
△ABC
=3,则=___________
___.
sin
A
9.在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有
两解,则x的取值范围是
______________.
10.一艘船以20
km
h
的速度向正北航行,船在A处看见灯塔B在船的东北方向,1
h
后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上,这时船与灯塔的距离BC等
____
__
km
.
三、解答题
11.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且
sin
A=2
sin
B
cos
C,试确定△ABC
的形状.
12.在△ABC中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.
(1)求最大角的余弦值;
(2)求以此最大角为内角,夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积.
能力提升 <
br>1
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
cos
2C=-.
4
(1)求
sin
C的值;
(2)当a=2,2
sin
A=
sin
C时,求b及c的长.
2
14.如图所示,已知在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠
BDA=60°,∠BCD
=135°,求BC的长.
1.在解三角形时,常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用,要注意
恰当的选取定理,
简化运算过程.
2.应用正、余弦定理解应用题时,要注意先画出平面几何
图形或立体图形,再转化为
解三角形问题求解,即先建立数学模型,再求解.
复习课 解三角形
答案
作业设计
sin
A2
1.
C
[
sin
B=b·=,且ba2
2.
C
[
cos
A
cos
B>
sin
A
sin
B?
cos
(A+B)>0,∴A+B<90°,∴C>90°,C为钝角.]
3.
D
[由正弦定理得:a=mk,b=m(k+1),c=2mk(m>0),
?
?
a+b>c
∵
?
?
?
a+c>b
?
?
m2k+1>2mk
即
?
?
?
3mk>mk+1
1
,∴k>.]
2
22
4.
B
[利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120
°,在△ABC中,由余弦定理得AB=AC
?
1
?
2222
+BC
-2AC·BC
cos
120°=2a-2a×
?
-
?
=3a,∴AB=3a.]
?
2
?
113
22
5.
D
[S
△ABC
=AC·AB·
sin
60°=×16×AB×=2203,
∴AB=55.∴BC=AB+
222
1
222
AC-2AB·AC
cos
60°=55+16-2×16×55×=2 401.∴BC=49.]
2
6.
A
[由
sin
C=23
sin
B,根据正弦定理,得
2222222
c=23b,把它代入a-b=3bc得a
-b=6b,即a=7b.由余弦定理,得
cos
A=
3
4+9-161
∴cos
θ
==-.
2×2×34
(2)设此平行四边形的一边长为
a,则夹
θ
角的另一边长为4-
a
,
平行四边形的面积为:
1515
22
S
=
a
(4-
a
)·sin
θ
=(4
a
-
a
)=[-(
a
-2)+4
]≤15.
44
当且仅当
a
=2时,
S
max
=15.
110
2
13.解 (1)∵cos
2
C
=1-2sin
C
=-,0<
C
<π,∴sin
C
=.
44
(2)当
a
=2,2sin
A
=sin
C
时,由正弦定理=,得
c
=4.
sin
A
sin
C
1
2
由cos
2
C
=2cos
C
-1=-及0<
C
<π,
4
6
.
4
222
由余弦定理
c
=
a
+
b
-2
ab
cos
C
,
2
得
b
±6
b
-12=0(
b
>0),
解得
b
=6或26,
得cos
C
=±
∴
?
ac
?
b
=6,
?
c
=4
或
?
?
b
=26,
?
c
=4.
222
14.解 设
BD
=
x
,在△
A
BD
中,由余弦定理有
AB
=
AD
+
BD
-2AD
·
BD
·cos∠
ADB
,
2222
即14=
x
+10-20
x
cos 60°,∴<
br>x
-10
x
-96=0,∴
x
=16(
x
=
-6舍去),即
BD
=16.
在△
BCD
中,由正弦定理=,
sin∠
CDB
sin∠
BCD
BCBD
16sin
30°
∴
BC
==82.
sin 135°
5