大石桥一高中数学老师任华东-新东方高中数学应聘试卷
第一章 解三角形
1、正弦定理:
在
???C
中,
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边,
R
为
???C
的外接圆的半径,则
有:
abc
???2R
.
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式:
①
a?2Rsin?
,
b?2Rsin?
,
c?2RsinC
;
abc
,
sin??
,
sinC?
;
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
;
a?b?cabc
④.
???
sin??sin??sinCsin?si
n?sinC
②
sin??
注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其
中一边所对的角,求其余的量。
2、已知两角和一边,求其余的量。
⑤对于已知两边和其中
一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)
如:在三角形ABC中,已知a、
b、A(A为锐角)求B。具体的做法是:数形结合思想
画出图:法一:把a扰着C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点:
C
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
a
当有两个交点则B有两个解。
b
法二:是算出CD=bsinA,看a的情况:
bsinA
当a
当bsinAD
当a=bsinA或a>b时,B有一解
注:当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式:
111
S
???C
?bcsin??absinC?acsin?
.
222
4、余弦定理:
在
???C
中,有
a?b?c?2bccos?
,
b?a?c?2accos?
,
222222
c
2
?a<
br>2
?b
2
?2abcosC
.
5、余弦定理的推论:
b
2
?c
2
?a
2
cos??
,
2bc
a
2
?c
2
?b
2
cos??
,
2ac
a
2
?b
2
?c
2
cosC?.
2ab
(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)
1
6、如何判断三角形的形状:
设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边,则:
①若
a?b?c
,则
C?90
;
②若
a?b?c
,则
C?90
;
③若
a?b?c
,则
C?90
.
7、正余弦定理的综合应用:
如图所示:隔河看两目标A、B,
但不能到达,在岸边选取相距
3
千米的C、D两点,
并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,
O
C
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离。
附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点.
练习题
一、选择题
1、在△ABC中,
a
=10,B=60°,C=45°,则
c
等于
( B )
A.
10?3
B.
10
OOO
22
2
o
222
o
222
o
B
A
D
?
3?1
?
C.
3?1
D.
103
2、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程
5x
2
?7x?6?0
的根,则三角形的另一边长为
A.52
B.
213
C.16 D.4
3、在△ABC中,若
(a?c)(
a?c)?b(b?c)
,则
?A?
( C )
A
90
B
60
C
120
D
150
0000
4
、在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( D )
A.
b
= 10,A = 45°,B = 70°
B.
a
= 60,
c
= 48,B = 100°
C.
a
= 7,
b
= 5,A = 80°
D.
a
= 14,
b
= 16,A = 45°
5、已知△<
br>ABC
中,
a
∶
b
∶
c
=1∶
3<
br>∶2,则
A
∶
B
∶
C
等于( A )
A.1∶2∶3
C. 1:3:2
B.2∶3∶1
D.3:1:2
6、若△ABC的周长等于20,面积是
103
,A=60°,则BC边的长是(
C )
A. 5 B.6
二、填空题(每题5分,共25分)
C.7 D.8
2
7、在
?ABC
中,
已知
sinA:sinB:sinC?6:5:4
,则
cosA?
_____
______
a?b?c
8、在△
ABC
中,
A
=60°,
b
=1, 面积为
3
,则= sinA?sinB?sinC
9、在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线
AD?
7
,那么BC=
2
7,且
C
2
10、在
△ABC
中,已知角
A
、<
br>B
、
C
所对的边分别是
a
、
b
、
c
,边
c?
33
,则
a?b?
______________
__
2
三.解答题(2小题,共40分)
?60
?
,又
△ABC
的
面积为
13、在
?
ABC中,
sin(C?A)
?1
, sinB=
1
.(I)求sinA的值;
(II)设AC=
6
,求
?
ABC的面积.
3
知识点巩固练习(一)
一、选择题
1.在△ABC中,若
C?90,a?
6,B?30
,则
c?b
等于( )
A.
1
B.
?1
C.
23
D.
?23
2.若
A
为△ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是( )
A.
sinA
B.
cosA
C.
tanA
D.
00
1
tanA
3.
在△ABC中,角
A,B
均为锐角,且
cosA?sinB,
则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
0
4.等腰三角形一腰上的高是
3,这条高与底边的夹角为
60
,
则底边长为(
)A.
2
B.
3
C.
3
D.
23
2
5.在△
ABC
中,若
b?2asi
nB
,则
A
等于( )
A.
30或60
B.
45或60
C.
120或60
D.
30或150
6.边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是( )
3
00000000
A.
90
B.
120
C.
135
D.
150
二、填空题
1.在
Rt
△ABC中,
C?90
,则
sinAsinB
的最大值是_______________。
2.在△ABC中,若
a?b?bc?c,则A?
_________。
3.在△ABC中,若
b?2,B?30,C?135,则a?
_________。
4.在△ABC中,若
sinA
∶
sinB
∶
sinC?<
br>7
∶
8
∶
13
,则
C?
_________
____。
三、解答题
1.
在△ABC中,若
acosA?bcosB?ccosC,
则△ABC的形状是什么?
2
.在△ABC中,求证:
00
222
0000
0
abcosBcos
A
??c(?)
baba
3.在锐角△ABC中,
求证:
sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC
。
4
知识点巩固练习(二)
一、选择题
1.在△ABC中,
A:B:C?1:2:3
,则
a:b:c
等于(
)
A.
1:2:3
B.
3:2:1
C.
1:3:2
D.
2:3:1
2.在△ABC中,若角
B
为钝角,则
sinB?sinA
的值(
)
A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定
3.在△ABC中,若
A?2B
,则
a
等于( )
A.
2bsinA
B.
2bcosA
C.
2bsinB
D.
2bcosB
4.在△ABC中,
若
lgsinA?lgcosB?lgsinC?lg2
,则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形
5.在△
ABC中,若
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,
则
A?
(
)
A.
90
B.
60
C.
135
D.
150
6.在△ABC中,若
a?7,b?8,cosC?
0000
13
,则最大角的余弦是( )
14
1111
A.
?
B.
?
C.
?
D.
?
5678
a?b?c
=_______。
sinA?sinB?sinC
二、填空题
1.若在△ABC中,
?A?6
0
0
,b?1,S
?ABC
?3,
则
2.若
A,B
是锐角三角形的两内角,则
tanAtanB
_____
1
(填>或
<)。
3.在△ABC中,若
sinA?2cosBcosC,则tanB?tanC?_________。
4.在△ABC中,若
a?9,b?10,c?12,
则
△ABC的形状是_________。
5.在△ABC中,若
a?
三、解答题
3,b?2,c?
6?2
,则A?
_________。
2
1. 在△ABC中,
A?120
0
,c?b,a?21,SV
ABC
?3
,求
b,c
。
5
2.
在锐角△ABC中,求证:
tanA?tanB?tanC?1
。
3.
在△ABC中,求证:
sinA?sinB?sinC?4cos
4.
在△ABC中,若
A?B?120
,则求证:
5.
在△ABC中,若
acos
6
2
ABC
coscos
。
222
0
ab
??1
。
b?ca?c
CA3b
,则求证:
a?c?2b
?ccos
2
?
222
知识点巩固练习(三)
一、选择题
1.
A
为△ABC的内角,则
sinA?cosA
的取值范围是(
)
A.
(2,2)
B.
(?2,2)
C.
(?1,2]
D.
[?2,2]
a?b
等于( )
c
A?BA?BA?BA?B
A.
2cos
B.
2cos
C.
2sin
D.
2sin
2222
2.在△ABC中,若
C?90,
则三边的比
0
3.在
△ABC中,若
a?7,b?3,c?8
,则其面积等于( )
A.
12
B.
21
C.
28
D.
63
2
0
4.在
△ABC
中,
?C
?90
,
0?A?45
,则下列各式中正确的是( )
00
A.
sinA?cosA
B.
sinB?cosA
C.
sinA?cosB
D.
sinB?cosB
5.在△ABC中,若
(a?c)(a?
c)?b(b?c)
,则
?A?
( )
A.
90
B.
60
C.
120
D.
150
0000
tanAa
2
?
6.在△ABC中,若,则△ABC的形状是(
)
tanB
b
2
A.直角三角形 B.等腰或直角三角形
C.不能确定 D.等腰三角形
二、填空题
1.在△ABC中,若
si
nA?sinB,
则
A
一定大于
B
,对吗?填_________(
对或错)
2.在△ABC中,若
cosA?cosB?cosC?1,
则△ABC的
形状是______________。
3.在△ABC中,∠C是钝角,设
x?sinC,
y?sinA?sinB,z?cosA?cosB,
则
x,y,z
的大小
关系是___________________________。
4.在△ABC中,若
a?c?2b
,则
cosA?cosC?cosAcosC?
222
1
sinAsinC?
______。
3
5.在△ABC中,若
2lgta
nB?lgtanA?lgtanC,
则B的取值范围是_______________。
6.在△ABC中,若
b?ac
,则
cos(A?C)?cosB?cos2B
的值是_________。
2
三、解答题
7
1.在△ABC中,若
(a?b)sin(A?B)?(a?b)sin(A?B)
,请判
断三角形的形状。
22
2. 如果△ABC内接于半径为
R
的圆,且
2R(sinA?
sinC)?(2a?b)sinB,
2222
求△ABC的面积的最大值。
3. 已知△ABC的三边
a?b?c
且
a?c?2b,A?C?
4
.在△ABC中,若
(a?b?c)(a?b?c)?3ac
,且
tanA?tanC
?3?3
,
AB
边上的高
为
43
,求角
A,B,C
的大小与边
a,b,c
的长
?
2
,求
a:b:c
8
答案
知识点巩固练习(一)
一、选择题
1.C
b
?tan30
0
,b?atan30
0
?23,c?2b?44,c?b?23
a
2.A
0?A?
?
,sinA?0
3.C
cosA?sin(
4.D 作出图形
5.D
b?2asinB,s
inB?2sinAsinB,sinA?
?
2
?A)?sinB,
?
2
?A,B
都是锐角,则
?
2
?A?B,A?B?
?2
,C?
?
2
1
,A?30
0
或
150
0
2
5
2
?8
2
?7
2
1
?,
?
?
60
0
,180
0
?60
0
?120
0
为
所求 6.B 设中间角为
?
,则
cos
?
?
2?5?8
2
二、填空题
1.
1
11
sinAsinB?sinAcosA?sin2A?
2
22
0<
br>b
2
?c
2
?a
2
1
??,A?1200
2.
120
cosA?
2bc2
3.
6?2
A?15
0,
abbsinA6?2
?,a??4sinA?4sin15
0
?4?
sinAsinBsinB4
0
4.
120
a
∶
b
∶
c?
sinA
∶
sinB
∶
sinC?
7
∶
8
∶
13
,
a
2
?b
2
?c
2
1
??,C?120
0
令
a?7k,b?8k,c?13k
cosC?
2ab2
三、解答题
1. 解:
acosA?bc
osB?ccosC,sinAcosA?sinBcosB?sinCcosC
sin2A
?sin2B?sin2C,2sin(A?B)cos(A?B)?2sinCcosC
cos(A?B)??cos(A?B),2cosAcosB?0
cosA?0<
br>或
cosB?0
,得
A?
所以△ABC是直角三角形。
?
2
或
B?
?
2
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
2. 证明:将
cosB?
,
cosA?
代入右边
2a
c2bc
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
2a
2
?2b
2
?)? 得右边
?c(
2abc2abc2ab
9
a
2
?b
2
ab
????
左边,
abba
∴
abcosBcosA
??c(?)
baba
3.证明:∵△ABC是锐角三角形,∴
A?B?
∴
sinA?sin(
?
2
,
即
?
2
?A
?
?
2
?B?0
?B)
,即
sinA?cosB
;同理
sinB?cosC
;
sinC?cosA
2
∴
sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC
?
知识点巩固练习(二)
一、选择题
1.C
A?
?
6
,B?
?
3
,C?
?
2
,a:b:c?sinA:sinB:sinC?
132
::?1:3:2
222
2.A
A?B?
?
,A?
?
?B
,且
A,
?
?B
都是锐角,
sinA?sin(
?
?B)?sinB
3.D
sinA?sin2B?2sinBcosB,a?2bcosB
4.D
lg
sinAsinA
?lg2,?2,sinA?2cosBsinC
<
br>cosBsinCcosBsinC
sin(B?C)?2cosBsinC,sinBcosC
?cosBsinC?0,
sin(B?C)?0,B?C
,等腰三角形
5.B
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,(b?c)?a?3bc,
<
br>22
b
2
?c
2
?a
2
1
?,A?
60
0
b?c?a?3bc,cosA?
2bc2
222
6.C
c?a
?b?2abcosC?9,c?3
,
B
为最大角,
cosB??
二
、填空题
1.
222
1
7
239
113
?3,c?4,a
2
?13,a?13
S
?ABC
?bcsinA?c?
3
222
a?b?ca13239
???
sinA?sinB?sinCsinA3
3
2
10
sin(?B)
??
?
2
2.
?
A?B?,A??B
,即
tanA?tan(?B)?
?
22
2
cos(?B)
2
cosB11
,
tanA?
??
,tanAtanB?1
sinBtanB
tanB
sinBsinC
3.
2
tanB?tanC?
?
cosBcosC
sinBcosC?c
osB?sinCsin(B?C)2sinA
?
??
1
cosBcosCsinA
sinA
2
4.
锐角三角形
C
为最大角,
cosC?0,C
为锐角
?
8?43
?3
b?c?a3?11
0
4
???
5.
60
cosA?
2bc
6?22?2?(3?1)
2<
br>22?
2
222
2?
三、解答题
1.解:
S
?ABC
?
22
1
bcsinA?3,bc?4,
2
2
a?b?c?2bccosA,b?c?5
,而
c?b
所以
b?1,c?4
2.
证明:∵△ABC是锐角三角形,∴
A?B?
∴
sinA?sin(
?
2
,
即
?
2
?A?
?
2
?B?0
?
2
?B)
,即
sinA?cosB
;同理
sinB?cosC
;
sinC?cosA
sinAsinBsinC
?1
cosAcosBcosC
∴sinAsinBsinC?cosAcosBcosC,
∴
tanA?tanB?tan
C?1
A?BA?B
cos?sin(A?B)
22
A?BA?BA?BA?B
?2sin
<
br>cos?2sincos
2222
A?BA?BA?B
(cos?cos)
?2sin
222
CAB
?2cos?2coscos
222
ABC
?4coscoscos
222
ABC
∴
sinA?si
nB?sinC?4coscoscos
222
3.
证明:∵
sinA?sinB?sinC?2sin
11
a
2
?ac?b
2
?bc
ab
?1
, 4.证明:要证??1
,只要证
2
ab?bc?ac?c
b?ca?c
即
a?b?c?ab
0
而∵
A?B?120,
∴
C?60
0
222
a
2
?b
2
?c
2
2
cosC?,
a?b
2
?c
2
?2abcos60
0
?ab
2ab
∴原式成立。
CA3b
?ccos
2
?
222
1?cosC1?cosA3sinB
∴
sinA?
?sinC??
222
即
sinA?sinAcosC?sinC?sinCcosA?3sinB
5.证明:∵
acos
2
∴
sinA?sinC?sin(A?C)?3sinB
即
sinA?sinC?2sinB
,∴
a?c?2b
知识点巩固练习(三)
一、选择题
1.C
sinA?cosA?2sin(A?),
4
?
而
0?A?
?
,
2.B
?
4
?A?
?
4
?
5
?
2
?
???sin(A?)?1
424
a?bsinA?sinB
??sinA?sinB
csinC
A?BA?BA?B
?2sin
cos?2cos
222
11
0
3.D
cosA?,A?60,S
V
ABC
?bcsinA?63
22
0
4.D
A?B?90
则
sinA?cosB,
sinB?cosA
,
0?A?45,
00
00
sinA?cosA
,
45?B?90,sinB?cosB
5.C
a?c?b?bc,b?c?a??bc,cosA??,A?120
222222
1
2
0
sinAcosBsin
2
A
cosBsinA
??,?,sinAcosA?sinBcosB
6.B
2
cosAsinBsinBcosAsinB
sin2A?sin2B,2A?2B或2A?2B?
?
二、填空题
12
1. 对
sinA?sinB,
则
2.
直角三角形
ab
??a?b?A?B
2R2R
1
(
1?cos2A?1?cos2B)?cos
2
(A?B)?1,
2
1
(cos2A?cos2B)?cos
2
(A?B)?0,
2
cos(A?B)cos(A?B)?cos
2
(A?B)?0
cosAcosBcosC?0
3.
x?y?z
A
?B?
?
2
,A?
?
2
?B,sinA?cosB,sin
B?cosA,y?z
c?a?b,sinC?sinA?sinB,x?y,x?y?z
A?CA?CA?CA?C
cos?4sincos
2222
A?
CA?CACAC
cos?2cos,coscos?3sinsin
222222
1C
2
A
则
sinAsinC?4sinsin
2
322
1
cosA?cosC?cosAcosC?sinAsinC
3
AC
??(1?cosA)(1?cosC)?1?4sin
2
sin
2
22
ACAC
??2sin
2
?2sin2
?4sin
2
sin
2
?1?1
2222
??
tanA?tanC
2
5.
[,)
tanB?tanAtanC,tanB??tan(A?C)?
32
tanAtanC?1
tanA?tanC
tanB??tan(A?C)?
tan
2
B?1
4.
1
sinA?sinC?
2sinB,2sin
tan
3
B?tanB?tanA?tanC?2tanAta
nC?2tanB
tan
3
B?3tanB,tanB?0?tanB?3
?B?
22
?
3
6.
1
b?ac,sinB?sinAsinC,
cos(A?C)?cosB?cos2B
?cosAcosC?sinAsinC?cosB?1?2sin
2
B
?cosAcosC?sinAsinC?cosB?1?2sinAsinC
?cosAcosC?sinAsinC?cosB?1
?cos(A?C)?cosB?1?1
三、解答题
a
2
?b
2
sin(A?B)a
2
sinAcosBsin
2
A
?,
2
??
1. 解:
2
22
a?bsin(A?B)bcosAsinBsinB
13
cosBsinA
?,sin2A?sin2B,2A?
2B或2A?2B?
?
cosAsinB
∴等腰或直角三角形
2.
解:
2RsinA?sinA?2RsinC?sinC?(2a?b)sinB,
asinA?csinC?(2a?b)sinB,a
2
?c
2
?2ab?b
2
,
a
2
?b
2
?c
2
2
a?b?c?2ab,cosC??,C?45
0
2ab2
222
c
?2R,c?2RsinC?2R,a
2
?b
2
?2
R
2
?2ab,
sinC
2R
2
2R?2ab?a?b?2ab,ab?
2?2
222
1222R
2
S?absinC?ab??,
S
max
?
244
2?2
另法:
S?
2?1
2R
2
122
absinC?ab??2RsinA?2RsinB
2
44
?
2
?2RsinA?2RsinB?2R
2
sinAsinB
4
1
?2R
2
??[cos(A?B)?cos(A?B
)]
2
12
?2R
2
??[cos(A?B)?]
22
2R
2
2
??(1?)
22
?S
max
?
2?1
2
R
此时
A?B
取得等号
2
3.
解:
sinA?sinC?2sinB,2sin
A?CA?CA?CA?C
cos?4sincos
2222
sin
B1A?C2B14BB7
?co
s?,cos?,sinB?2sincos?
222424224
A?C?
?
2
,A?C?
?
?B,A?
3
?
B
?
B
?,C??
4242
sinA?sin(
3
?
3
?
3
?
7?1
?B)?sincosB?cossinB
?
4444
14
sinC?sin(?B)?sinc
osB?cossinB?
444
???
7?1
4
a:b
:c?sinA:sinB:sinC?
(7?7):7:(7?7)
4. 解:<
br>(a?b?c)(a?b?c)?3ac,a?c?b?ac,cosB?
222
1,B?60
0
2
tan(A?C)?
tanA?tanC3?3
,?3?,
1?tanAtanC1?tanAtanC
tanAtanC?2?3
,联合
tanA?tanC?3?3
0
0
??
?
?
A?75
?
A?45
?
tan
A?2?3
?
?
tanA?1
或
?
得
?
,即
?
或
?
00
??
??
?
tanC?1
?
tanC?2?3
?
C?45
?
C?75
当
A?75,C?45
时,
b?
00
43
?4(32?6),c?8(3?1),a?8
sinA
43
?46,c?4(3?1),a?8
sinA
当
A?45,C?75
时,
b?
00
000
∴当
A?75,B?60,C?45
时,
a?8,b?4(32?6),c?8(3?1),
000
当
A?45,B?60,C?75
时,
a?8,b?46
,c?4(3?1)
。
解三角形单元测试题
一、选择题:
1、在△ABC中,a=3,b=
7
,c=2,那么B等于( )
A.
30° B.45° C.60° D.120°
2、在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于 ( )
A.
10?3
B.
10
?
3?1
?
C.
3?1
D.
103
)
3、在△ABC中,a=
23
,b=
22
,B=45°,则A等于(
A.30° B.60° C.30°或120° D.
30°或150°
4、在△ABC中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是(
)
A.无解 B.一解 C. 二解 D.不能确定
5、在△ABC中,已知
a?b?c?bc
,则角A为( )
A.
222
?
3
B.
?
6
C.
2
?
3
15
D.
?
2
?
或
33
6、在△ABC
中,若
acosA?bcosB
,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是( )
A.
?
8,10
?
B.
?
8,10
?
C.
?
8,10
?
D.
?
10,8
?
8、在△ABC中,已知
2sinAcosB?sinC
,那么△ABC一定是 (
)
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
9、△ABC中,已知
a?x,b?2,B?
60°,如果△ABC
两组解,则x的取值范围( )
4
3
3
10、在△ABC中,周
长为7.5cm,且sinA:sinB:sinC=4:5:6,下列结论:①
a:b:c?4:5:
6
A.
x?2
B.
x?2
C.
2?x?
D.
2?x?
②
a:b:c?2:5:6
③
a?2cm,b?2.5cm,c?3cm
④
A:B:C?4:5:6
其
中成立的个数是
( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
11、在△ABC中,
AB
4
3
3
?3
,
AC?1
,∠A=30°,则△ABC面积为 (
)
3
4
C.A.
3
2
B.
3
或
3
2
D.
33
或
42
12、已知△ABC的面积为
A.30°
3
,且
b?2,c?3
,则∠A等于 ( )
2
D.60°或120° B.30°或150° C.60°
13、已知△ABC的三边长
a?3,b?5,c?6
,则△ABC的面积为 (
)
A.
14
B.
214
C.
15
D.
215
A
14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空
20米
150
0
30米
地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则
购买这种草皮至少要(
)
A. 450a元 B.225a元 C. 150a元 D. 300a元
B
C
15、甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小
时4
千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方
向驶去,当甲,乙
两船相距最近时,它们所航行的时间是( )
A.
150
分钟
7
B.
15
分钟
7
C.21.5分钟
D.2.15分钟
16、飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°,向前
飞行10000
米,到达B处,此时测得目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为(
)
A. 5000米 B.5000
2
米 C.4000米
D.
40002
米
17、在△ABC中,
a?sin10
°,<
br>b?sin50
°,∠C=70°,那么△ABC的面积为( )
A.
1
64
B.
1
32
C.
1
16
16
D.
1
8
18、若△ABC的周长等于20,面积是
103
,A=60°,则BC边的长是( )
A. 5 B.6 C.7
D.8
19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是( )
A.
1?x?5
B.
5?x?13
C.
0?x?
20、在△ABC中,若
5
D.
13?x?5
cosAcosBsinC
,则△ABC是(
)
??
abc
B.等腰直角三角形
D.等边三角形
A.有一内角为30°的直角三角形
C.有一内角为30°的等腰三角形
二、填空题
21、在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则
a:b:c?
22、在△ABC中,
a?33,c?2,B?
150°,则b=
23、在△ABC中,A=60°,B=45°,
a?b?12
,则a=
;b=
24、已知△ABC中,
a?181,b?209,A?
121
°,则此三角形解的情况是
25、已知三角形两边长分别为1和
3<
br>,第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆半径
为 .
26、在△A
BC中,
?
b?c
?
:
?
c?a
?
:?
a?b
?
?4:5:6
,则△ABC的最大内角的度数是
三、解答题
27、在△ABC中,已知
AB?102
,A=45°,在BC
边的长分别为20,
下,求相应角C。
28、在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程
x
?23x?2?0
的两个根,且
2cos
?
A?B
?
?1<
br>。
2
20
3
,5的情况
3
求:(1)角C的度数;
(2)AB的长度。
17
29、在△ABC中,证明:
cos2Acos2B11
。
???<
br>a
2
b
2
a
2
b
2
30、在△AB
C中,
a?b?10
,cosC是方程
2x?3x?2?0
的一个根,求△A
BC周长的最
小值。
解三角形单元测试答案
一、选择题
1-5. CBCBC 6-10. DBBCC 11-15. BDBDA 16-20.
ACCBB
二、填空题
21、
1:3:2
22、7
23、
36?126
,
126?24
24、无解
25、1 26、120°
三、解答题
2
ABsinA10
?
BCBC
1
(1)当BC=20时,sinC=;
?BC?AB
?A?C
?C?30
°
2
27、解:由正弦定理得
sinC?
(2)当BC=
3
20
3
时, sinC=;
2
3
?AB?sin45??BC?AB
?C
有两解
?C?60?
或120°
(3)当BC=5时,sinC=2>1;
?C
不存在
1
28、解:(1)
cosC?cos
??
?
?
A?B
?
?
??cos
?
A?
B
?
??
?
C=120°
2
18
(2)由题设:
?
a?b?2
?
?<
br>ab?2
22
3
?AB?AC?BC?2AC?BCcosC?a?b?2abcos120?
22
2
?a?b?ab?
?
a?b
?
?ab?23?2?10
22
2
??
2
?
sin
2
Asin
2
B
?
cos2Acos2B1?2sin
2
A1?2sin2
B11
?
29、证明:
2
?
???
2
?
2
?2
?
?
22222
??
aba
babb
??
a
sin
2
Asin
2
B
?
由正弦定理得:
22
ab
?
cos2Acos2B11
???
2222
abab<
br>2
30、解:
?2x?3x?2?0
?x
1
?2,x
2
??
2
1
2
1
2
又
?cosC
是方程
2x?3x?2?0
的一个根
?cosC??
由余弦定理可得:
c?a?b?2ab?
?
?
2
则
:
c?100?a
?
10?a
?
?
?
a?5
?
?75
2
222
?
1
?
2
?
?
?
a?b
?
?ab
?
2
?
当
a?5
时,c最小且
c?75?53
此时
a?b?c?10?53
?
△ABC周长的最小值为
10?53
31、解:(1)由
sinA?sinB?sinC
?
cosA?cosB
?
可得
2sin
2
C
?1
?cosC?0
即C=90°
2
1
?
a?b?c
?
?
1
?
sinA?sinB?1
?
22
?
△ABC是以C为直角顶点得直角三角形
(2)内切圆半径 r?
?
2
?
?
?
1
sin
?
A?
?
??
24
?
2
?
?
?
?<
br>2?1
?
?
2
?
?
2?1
2
?
内切圆半径的取值范围是
?
0,
19
1.常见三角不等式
(1)若
x?(0,
(2) 若
x?(0,
?
2
)
,则
sinx?x?tanx
.
)
,则
1?sinx?cosx?2
.
?
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
2.同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
,
tan
?
=
3.正弦、余弦的诱导公式
n
?
n
?
?
(?1)
2
sin
?
,
sin(?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
cos
?
,
?
sin
?<
br>,
tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
(n为偶数)
(n为奇数)
n
?
n
?
?
(?1)
2
cos
?
,
cos(?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
sin
?
,
?
(n为偶数)
(n为奇数)
4.和角与差角公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
; tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.
1
m
tan
?
tan
?
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin
?
?bc
os
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限
决
定,
tan
?
?
b
).
a
45.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co
s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c
os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2
?
?
2tan
?
.
1?tan
2
?
20
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