福建高中数学必修顺序-高中数学文圆锥曲线题目
解三角形
一、基础知识梳理
ac
b
1正弦定理:== =
2R(R为△ABC外接圆半径),了解正弦定理以
sinA
sinB
sinC
下变形:
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
sinA?
a
bc
2R
,sinB?
2R
,sinC?
2R
a
:b:c?sinA:sinB:sinC
a
sinA
?
bca?b?csinB
?
sinC
?
sinA?sinB?sinC
最常用三
角形面积公式:
S
?ABC
?
1
ah
111
a?absinC?acsinB?
2
bcsinA
222
2正弦定理可解决两类问题:1.两角和任意一边,求其它两边和一角; (唯一解)
2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角(解可能不唯一)
了解:已
知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
222
3.余弦定理 :
a2
?b
2
?c
2
?2bccosA
?
cosA
?
b?c?a
2bc
222
b
2
?c
2
?a
2
?2accosB
?
cosB?
c?a?b
2ca
222
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?
cosC?
a?b?c
2ab
4.余弦定理可以解决的问题:
(1)已知三边,求三个角;(解唯一)
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角(解唯一):
(3)两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角(解
可能不唯一)
2[课前热身]
1.(教材习题改编)已知△ABC中,a=2,b=3,B=60°,那么角A等于( )
A.135° B.90°
C.45° D.30°
2.在△ABC中,
a?b?c?bc
,则A等于( )
A.60°
B.45° C.120° D.30°
3.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积是( )
33153153153
A.
4
B.
2
C.
4
D.
8
4.(2010年高考广东卷)已知a,b,c
分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,
b=3,A+C=2B,则sinA=__
______.
5.在△ABC中,如果A=60°,c=2,a=6,则△ABC的形状是________.
3[考点突破]
222
考点一 正弦定理的应用
利用正弦定理可
解决以下两类三角形:一是已知两角和一角的对边,求其他边角;二是
已知两边和一边的对角,求其他边
角.
例1、(1)(2010年高考山东卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c
.若a
=2,b=2,sin B+cos B=2,则角A的大小为________.
(2)满足A=45°,a=2,c=6的△ABC的个数为________.
考点二
余弦定理的应用
利用余弦定理可解两类三角形:一是已知两边和它们的夹角,求其他边角;二是已知三
边求其他边角.由于这两种情况下的三角形是惟一确定的,所以其解也是惟一的.
π
例2、在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.
3
(1)若△ABC的面积等于3,求a,b的值;
(2)若sinB=2sinA,求△ABC的面积.
考点三 三角形形状的判定
判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是否是正三角形、等
腰三角形、直角三
角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等
腰三角形或直角三角形”的区别
.
例3、(2010年高考辽宁卷)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且
2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小;
(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.
互动探究
1
若本例条件变为:sinC=2sin(B+C)cosB,试判断三角形的形状..
方法感悟:
方法技巧
解三角形常见题型及求解方法
abc
(1)已知两角A、B与一
边a,由A+B+C=180°及==,可求出角C,再求出b,
sinAsinBsinC
c
.
(2)已知两边b,c与其夹角A,由a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA, 求出a,再由正弦定理,求出角B,
C.
(3)已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.
ab
(4)已知两边a、b及其中一边的对角A,由正弦定理
sinA
=
sinB
求出另一边b的对角B,由C
acab
=π-(A+B),求出C,再由
sinA=
sinC
,求出c,而通过
sinA
=
sinB
求B
时,可能出现一解,
两解或无解的情况,其判断方法如下表:
失误防范
1.用正弦定理解三角形时,要注意解题的完整性,谨防丢解.
2.要熟记一些常见结论,如
三内角成等差数列,则必有一角为60°;若三内角的正弦值成
等差数列,则三边也成等差数列;三角形
的内角和定理与诱导公式结合产生的结论:sinA=
B+C
A
sin(B+C),c
osA=-cos(B+C),sin=cos,sin2A=-sin2(B+C),cos2A=cos2(
B+C)
22
等.
3.对三角形中的不等式,要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”.
五、规范解答
(本题满分12分)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中,D为边BC上的一点,BD=53
33,sinB=
13
,cos∠ADC=
5
,求AD的长
.
3
π
【解】 由cos∠ADC=>0知∠B<,
52
124
由已知得cosB=,sin∠ADC=,4分
135
从而sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB
4123533
=
×
-
×
=.9分
51351365
ADBD
由正弦定理得=,
sinBsin∠BAD5
33×
13
BD·sinB
所以AD==
33
=25
.12分
sin∠BAD
65
【名师点评】 本题主要考查正弦定理、三角恒等变换
在解三角形中的应用,同时,对逻辑
推理能力及运算求解能力进行了考查.本题从所处位置及解答过程来
看,难度在中档以下,
只要能分析清各量的关系,此题一般不失分.出错的原因主要是计算问题.
名师预测
1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=( )
2222
A.- B.
33
6
C.-
3
6
D.
3
a
2
+b
2<
br>-c
2
2.已知△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且S
△<
br>ABC
=,那么角C=________.
4
3.在△ABC中,角A、B、
C的对边分别为a、b、c,且满足(2b-c)·cosA-acosC=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,S
33
△
ABC
=
4
,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解:(1)法一:∵(2b-c)cosA-acosC=0,
由正弦定理得,
(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,
∴2sinBcosA-sin(A+C)=0,
即sinB(2cosA-1)=0.
∵0∴sinB≠0,∴cosA=
1
2
.
∵0π
3
.
法二:∵(2b-c)cosA-acosC=0,
由余弦定理得,
(2b-c)
·
b
2
+c
2
-a
2
a
2
+b<
br>2
-c
2
2bc
-a·
2ab
=0,
整理得b
2
+c
2
-a
2
=bc,
b<
br>2
+c
2
-a
2
∴cosA=
1
2bc=
2
.
∵0π
3
.
(2
)∵S
△ABC
=
1
2
bcsinA=
33
4,
即bcsin
π
3
=
33
2
,
∴bc=3,①
∵a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA,
∴b
2
+c
2
=6,②
由①②得b=c=3,
∴△ABC为等边三角形.
课后作业
1 在△ABC中,角
A,B
均为锐角,且
cosA?sinB,
则△ABC的形状是(
A.
直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
2 边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是( )
A.
90
0
B.
120
0
C.
135
0
D.
150
0
3 在
Rt
△ABC中,
C?90
0
,则
sinAsinB
的最大值是_______________.
)
4
在△ABC中,若
a?b?bc?c,则A?
_________.
5 已知△
ABC的三个内角分别为A,B,C,向量
m?(sinB,1?cosB)与向量n?(2,0) 夹
角的余弦角为
.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)求
sinA?sinC
的取值范围.
6
△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.
222
1
2
1
bc
,求cosA的值;
2
?
2
?
2
B?C
(Ⅱ)若A∈[,],求
sin?cos
2A
的取值范围.
23
2
abcosBcosA
7
在△ABC中,求证:
??c(?)
baba
8
在锐角△ABC中,求证:
sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC
.
(Ⅰ)若
b?c?a?
222