高中复习数学解三角形知识点与历年各地高考真题汇总

（
复
习
二
）
.
——
解
三
角
形
无
忧
数
学

解三角形
一.正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，
abc< br>即
???2R
（其中R是三角形外接圆的半径）
sinAsinBsinC
a?b?cabc
2.变形：1）．
???
sin??sin??sinCsin?sin?sinC
2）化边为角：
a:b:c?sinA:sinB:sinC
；

asinAbsinBasinA
?;

?;

?;

bsinBcsinCcsinC
3）化边为角：
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC

sinAasinBbsinAa
?;

?;?;

sinBbsinCcsinCc
abc
5）化角为边：
sinA?

,sinB?,sinC?
2R2R2R
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
例：已知角B,C,a，
asinAbsinBasinA
;

?;

?;
求出b 解法：由A+B+C=180
o
，求角A,由正弦定理
?
bsinBcsinCcsinC
与c
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,
asinA
解法：由正弦定理
?
求出角B,由A+B+C=180
o
求出角C，再使用正弦定理
bsinB
asinA
?
求出c边
csinC

4.△ABC中，已知锐角A，边b，则
①
a?bsinA
时，B无解；
b
bsinA

②
a?bsinA
或
a?b
时，B有一个解；
③
bsinA?a?b
时，B有两个解。

A
4）化角为边：
如：①已知
A?60
?
,a?2,b?23
,求< br>B
(有一个解)
②已知
A?60
?
,b?2,a?23,求
B
(有两个解)
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

二.三角形面积
111
1.
S
?ABC
?absinC? bcsinA?acsinB

222
.

2.
S
?ABC
?
3.
S
?ABC
4.
S
?ABC
1
(a?b?c)r
,其中
r
是三角形内切圆半径.
2
1
?p(p?a)(p?b)(p?c)
, 其中
p?(a?b?c)
,
2
abc
,R为外接圆半径
?
4R
5.
S
?ABC
?2R
2
sinAsinB sinC
,R为外接圆半径

三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何 一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的2倍，即

a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA


b
2
?a
2
?c
2
?2accosB


c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

b
2
?c
2
?a
2
2.变形：
cosA?

2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?

2ac
a
2
?b
2
?c
2

cosC?

2ab
注意整体代入，如：
a
2
?c
2
?b
2
?ac?cosB?
1

2
3．利用余弦定理判断三角形形状：
设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：
①若，
②若
c
2
?b
2
? a
2
?A为直角

，所以为锐角
③若， 所以为钝角，则是钝角三角形

3 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
1）已知三边，求三个角
2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

四、应用题
1.已知两角和一边（如
A
、
B
、
C
），由
A
+
B
+
C
=
π
求
C
，由正弦定理求
a
、
b
．
.

2.已知两边和夹角（如
a
、
b
、
c
），应用余弦定理求
c
边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用
A
+
B
+
C
=
π
，求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如
a
、
b
、
A
），应用正弦定理求
B
，由
A
+
B
+
C
=
π
求
C
，
再由正弦定理或余弦 定理求
c
边，要注意解可能有多种情况．
4.已知三边
a
、
b
、
c
，应用余弦定理求
A
、
B
，再由
A
+
B
+
C
=
π
，求角
C
．
5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目
标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××
度，南偏东××度，南偏西××度.
6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上
方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.








视线



铅

仰角
直
五、三角形中常见的结论
线
C=180°—(A+B)； 1）三角形三角关系：A+B+C=180°；
2）三角形三边关系：
俯角
两边之和大于第三边：
两边之差小于第三边：
，
，
，
，
视线
水平线
；
；
3）在同一个三角形中大边对大角：
A?B?a?b?sinA?sinB

4) 三角形内的诱导公式：

sin(A?B)?sinC,cos(A?B)?? cosC,tan(A?B)??tanC,


?CC
sin(?)cos()
A?B
?
C
22
?
2

tan?tan(?)?
?
CC
222
cos(?) sin()
222
5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(
α
±
β
)＝sin
α
cos
β
±cos
α
sin
β
.
.

(2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.
tan α±tan β
(3)tan(α±β)＝.
1?tan αtan β
6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2
α
＝2sin
α
cos
α
.
(2)cos 2
α
＝cos< br>2
α
－sin
2
α
＝2cos
2
α
－1＝1－2sin
2
α
.
(3)
sin
2
?
?

2tan
α
(4)tan 2
α
＝.
1－tan
2
α

7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点






1?cos2
?
1?cos2
?

;cos
2
?
?
22
解三角形高考真题及答案解析
sin2A
?

sinC
1.（15北京理科）在
△AB C
中，
a?4
，
b?5
，
c?6
，则
【答 案】1
【解析】
．
2?425?36?16
sin2
A
2sin
A
cos
A
2
ab
2
?
c2
?
a
2
???1

???
试题分析：
sin
C
sin
Cc
2
bc
62?5?6
.

考点：正弦定理、余弦定理
2.（15北京文科）在
???C
中，
a?3
，
b?
【答案】
6
，
???
2
?
，则
???
．
3
?
4

【解析】
试题分析：由正弦定理，得
3 6
2
ab
?
，即，所以
sinB?
，所以
?B?< br>.
?
?
2
sinAsinB4
3
sinB
2
1π
，
C?
，
26
考点：正弦定理.
3.（1 5年广东理科）设
?ABC
的内角
A
，
B
，
C的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
a?
则
b?

【答案】
1
．
3
，
sinB?
【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．
c
．< br>C
的对边分别为
a
，
b
，
c?23
，
cos??
4.（15年广东文科）设
???C
的内角
?
，若a?2
，
?
，
且
b?c
，则
b?
（ ）
A．
3
B．
2
C．
22
D．
3

【答案】B
【解析】
试题分析：由余弦定理得：
a?b?c?2bcco s?
，所以
2?b?23
222
3
，
2
22
??
2
?2?b?23?
3
，即
2
b
2
?6b?8?0
，解得：
b?2
或
b?4
，因为
b?c，所以
b?2
，故选B．
考点：余弦定理．
5.(15年安徽理科) 在
?ABC
中，
A?
?
4
,AB?6,AC?32
,点D在
BC
边上，
AD?BD
，求
AD
的长。
.

6.（15年安徽文科）在
?ABC
中，
AB?
【答案】2
【解析】
试题分析：由正弦定理可知：
考点：正弦定理.

7.（15年福建理科）若锐角
?ABC
的面积为
103
，且
AB?5,AC?8
，则
BC
等于________．
【答案】
7

【解析】
试题分析：由已知得
?ABC的面积为
所以
A?
6
，
?A?75
?
，
?B?45
?
，则
AC?
。
ABAC
6AC
?
???AC?2

??
????
sin60sin45
sin[180?(75?45)]sin45
3
1< br>?
所以
sinA?
，
A?(0,)
，
AB?ACsi nA?20sinA
?103
，
2
22
?
3
．由余 弦定理得
BC
2
?AB
2
?AC
2
?2AB?AC cosA?
49
，
BC?7
．
考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．
8.（15年福建文科）若
?ABC< br>中，
AC?
【答案】
2

【解析】
00
试 题分析：由题意得
B?180?A?C?60
．由正弦定理得
3
，
A ?45
0
，
C?75
0
，则
BC?
_______ ．
ACBCACsinA
，则
BC?
，
?
sinBsinAsinB
.

3?
所以
BC?
3
2
2
2
?2
．
考点：正弦定理．


10.（15年新课标2理科）?ABC中，D是B C上的点，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面积的2倍。
(Ⅰ)求
sin?B
;
sin?C
2
求
BD
和
AC
的长.
2
(Ⅱ) 若
AD
=1，
DC
=
.

11.（15年新课标2文科）△ABC中D是BC上的点, AD平分
?
BAC,BD=2DC.
（I）求
sin?B
； < br>sin?C
（II）若
?BAC?60
o
,求
?B
.
【答案】（I）
1
；
30
o
.
2

考点：解三角形
12.(15年陕西理科)

???C
的内角?
，
?
，
C
所对的边分别为
a
，
b< br>，
c
．向量
m?a,3b

与
n?
?
cos?,sin?
?
平行．
（I）求
?
；
（II）若
a?
【答案】（I）
r
r
??
7
，
b?2
求
???C
的面积．
33
?
；（II）．
2
3
.

试题解析：（I）
因为
mn
，所以
asinB-
由正弦定理 ，得
sinAsinB-
rr
3bcosA=0
，
3sinBcosA=0

又
sin??0
，从而
tanA=3
，
由于
0?A?
?
，所以
A?
?
3

(II)解法一：由余弦定理，得
a
2
=b
2
+c
2-2bccosA

而
a=7b=2,
??
?
3

得
7=4+ c
2
-2c
，即
c
2
-2c-3=0

因为
c>0
，所以
c=3
.
故
?
ABC的面积为
133
bcsinA
=
.
22

考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.


urr
13.（15年陕西文科）向量
m?(a,3b)
与
n?(cosA,sinB)
?ABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为< br>a,b,c
，
.

平行.
(I)求
A
；
(II)若
a?7,b?2
求
?ABC
的面积.
【答案】(I)
A?
?
3
；(II)
33
.
2
试题解析：(I)
urr
因为
mn
，所以
asi nB?3bcosA?0

由正弦定理，得
sinAsinB?3sinBcosA?0
，
又
sinB?0
，从而
tanA?
由于
0?A?
?

所以
A?
3
，
?
3

(II)解法一：由余弦定理，得
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
，而
a?7,b?2
，
A?
22得
7?4?c?2c
，即
c?2c?3?0

?
3
，
因为
c?0
，所以
c?3
，
故
?ABC
面积为
133
bcsinA?
.
22
解法二：由正弦定理，得
7
sin
?
3
?
2

sinB
.

从而
sinB?
21

7
又由
a?b
知< br>A?B
，所以
cosB?
故
sinC?sin(A?B)?sin(B ?
27

7
?
3
)

?
321
，
14

?sinBcos
?
3
?cosBsin
?
3
所以
?ABC
面积为
133
absinC?
.
22
考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.
14.（15年天津理科）在
?ABC
中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，已知
?ABC
的面积为
315
，
1
b?c?2,cosA??,
则
a
的值为 .
4
【答案】
8

【解析】
试题分析：因为
0 ?A?
?
，所以
sinA?1?cosA?
2
15
， 4
又
S
?ABC
?
?
b?c?2
115
bcsinA?bc?315,?bc?24
，解方程组
?
得
b?6,c? 4
，由余弦定理得
28
?
bc?24
?
1
?a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA?6
2< br>?4
2
?2?6?4?
?
?
?
?64
，所以
a?8
.
?
4
?
考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.






15．（15年天津文科）△ABC 中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
1
315
,< br>b?c?2,cosA??,

4
（I）求a和sinC的值；
（ II）求
cos
?
2A?
?
?
?
?
? 的值.
6
?
.

【答案】（I）a=8,
sinC?
【解析】
1515?73
；（II）.
816

考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.






.