高中数学核心素养 数学抽象 案例-高中数学老师的年度考核
解三角形卷一
一.选择题
1.在△ABC
中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则cosC的值为
A.
2211
B.- C.
D.-
3344
2、在
△ABC
中,已知
a?4,b?6
,
B?60
,则
sinA
的值为
A、
3366
B、 C、 D、
3232
3、在
△ABC
中,
A:B:C?1:2:3
,则
sinA:sinB:sinC?
A、
1:2:3
B、
1:2:3
C、
1:2:3
D、
1:3:2
4、在
△A
BC
中,
sinA:sinB:sinC?4:3:2
,那么
cosC
的值为
A、
11711
B、
?
C、 D、
44816
5、在
△ABC
中,a?7,b?43,c?13
,则最小角为
A、
?
?
?
?
B、
C、 D、
12
364
6、在
△ABC
中,
A?60,b?16,
面积
S?2203
,则
c?
A、
106
B、75 C、55
D、49
7、在
△ABC
中,
(a?c)(a?c)?b(b?c)
,则
A
?
A、
30
B、
60
C、
120
D、
150
8、在
△ABC
中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是
A、
b?10,A?45,C?70
B、
a?60,c?48,B?60
C、
a?7,b?5,A?80
D、
a?14,b?16,A?45
二、填空题。
9.在△ABC中,a
,b分别是∠A和∠B所对的边,若a=
3
,b=1,∠B=30°,则∠A的
值是
.
10.在△ABC中,已知sin Bsin
C=cos
2
A
,则此三角形是__________三角形.
2
11.
在△ABC中,∠A最大,∠C最小,且∠A=2∠C,a+c=2b,求此三角形三边之比
为
.
word.
三、解答题。
12.在△ABC中,已知∠A=30°,a,b分别为∠A,∠B的对边,且a=4=
角形.
13.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A
测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度
为15°,向山顶前进100米后到达点B,又从点B测得斜
度为45°,建筑物的高CD为50米.求
此山对于地平面的倾斜角
?
.
(第13题)
3
b,解此三
3
14.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若bcos
C=(2a-c)cos B,
(Ⅰ)求∠B的大小;
(Ⅱ)若b=
7
,a+c=4,求△ABC的面积.
word.
11.解析:本例主要考查正、余弦定理的综合应用.
由正弦定理得
asinA
sin2C
a
===2cos
C,即cos C=,
csinC2c
sinC
a
2
+b
2
-c
2
(a+c)(a-c)+b
2
由余弦定理cos
C==.∵ a+c=2b,
2ab2ab
2b(a-c)+b?
∴ cos C=
2ab
a+ca+ca+c
2(a-c)+2(a-c)+
2
=2
,∴
a
=
2
.
2a2a
2c
整
理得2a
2
-5ac+3c
2
=0.解得a=c或a=
3
c
.
2
3
c?c
a?c5
3
2
∵∠A=2∠C,∴
a=c不成立,a=c∴ b===
c
,
2
24
2
∴
a∶b∶c=
5
3
c∶
c
∶c=6∶5∶4.故此三角形三边之比为
6∶5∶4.
2
4
12.b=4
3
,c=8,∠C=90°,∠B
=60°或b=4
3
,c=4,∠C=30°,∠B=120°.
解:由正弦定理知
433
b4
a
??
sin
B===,b=4
3
.
sinB2
sinA
sinBsin30?
?
∠C=90°
?
c=8或c=4.
∠B=60°或∠B=120°或∠C=30°
13
解:在△ABC中,∠BAC=15°,AB=100米,∠ACB=45°-15°=30°.
根据正弦定理有
100BC100sin15?
=,∴ BC=.
sin3
0?sin15?sin30?
100sin15?
,∠CBD=45°,∠CDB=90°+
??
,
sin30?
又在△BCD中,∵ CD=50,BC=
1
00sin15?
50
根据正弦定理有=
sin30?
.解得cos?
??
=
3
-1,∴
??
≈42.94°.
sin45?
sin(90?+
?
)
∴
山对于地平面的倾斜角约为42.94°.
14.解:(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin Bcos
C=2sin Acos B-cos Bsin C,
∴ 2sin Acos B=sin
Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C).
又在三角形ABC中,sin(B+C)=sin A≠0,
∴ 2sin Acos
B=sin A,即cos B=
1
π
,B=.
23
1
acsin B,
2
(第13题)
(Ⅱ)∵
b
2
=7=a
2
+c
2
-2accos B,∴
7=a
2
+c
2
-ac,
又
(a+c)
2
=16=a
2
+c
2
+2ac,∴
ac=3,∴ S
△
ABC
=
即S
△
ABC
=3331
·3·=.
24
2
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