高中数学必修5教学课件视频-高中数学特训营
专题17 选讲系列
【训练目标】
1、 掌握极坐标与直角坐标的转换公式
及意义；掌握直线，圆，椭圆，双曲线的参数方程，能熟练的将参数
方程转化为普通方程；
2、 理解参数方程中参数的几何意义，并能利用参数解决简单的问题；
3、
掌握极坐标中极径的几何意义，能正确使用它来求线段长度；理解极角的含义；
4、
掌握极坐标与参数方程和解析几何的综合问题。
5、 理解绝对值的含义，能解简单的绝对值不等式；
6、
掌握几何意义法解绝对值不等式；能正确的将绝对值函数化为分段函数，并根据分段函数解不等式；
7、 掌握绝对值的三角不等式；理解恒成立问题和存在性问题；
8、
初步掌握综合法和分析法证明不等式。
【温馨小提示】
高考中极坐标与参数方程、绝对值不
等式的解法及性质一般放在试卷的最后一题，二选一，共10分，属于
容易题，必拿分题。题目的类型并
不多，平时做题时多总结即可。
【名校试题荟萃】
?
x?3?t
1、在直
角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
?
（t为参数）.
在以坐标原点为极点,
x
轴正半轴为
y?1?t
?
极轴的极坐标系中
,曲线。
（1）求直线
l
的普通方程和曲线
C
的直角坐标方程;
（2）求曲线
C
上的点到直线
l
的距离的最大值.
【答案】（1）
【解析】
（1）由
{
，
（2）
22
x?3?t,
y?1?t,
消去
t
得,
所以直线
l
的普通方程为.
由,
得
将
.
代入上式,
,即.
得曲线
C
的直角坐标方程为
所以曲线
C
上的点到直线l
的距离的最大值为
22
.
法2:设与直线
l
平行的直线为,
当直线
l
?
与
圆
C
相切时,得
解得
b?0
或
b??4
（舍去）,
所以直线
l
?
的方程为
x?y?0
.
,
所以直线
l
与直线
l
?
的距离为.
所以曲线C
上的点到直线
l
的距离的最大值为
22
.
2、在直
角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
：
极坐标系中，曲线
C
2
：
（1）写出曲线
C
1
和
C
2
的普通方程；
．
（
?
为参数），在以
O
为极点，x
轴的非负半轴为极轴的
（2）若曲线
C
1
上有
一动点
M
，曲线
C
2
上有一动点
N
，求使
MN
最小时
M
点的坐标．
【答案】
（1）， （2）
此时，，结合可解得：，，
即所求
M
的坐标为．
3、
在直角坐标系
xoy
中，已知曲线
C
1
、
C
2的参数方程分别为
C
1
：，
．
（1）求曲线
C
1
、
C
2
的普通方程；
（2）已知点
P
?
1,0
?
，若曲线
C
1
与曲线
C
2
交于
A
、
B
两点，求
PA?P
B
的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
1）曲线<
br>C
的普通方程为：
x
2
y
2
（
1
4
?
3
?1
，
C
2
：
当<
br>?
?
当
?
?
?
?k?
，
k?Z时，曲线
C
2
的普通方程为：
2
?
?k?
，<
br>k?Z
时，曲线
C
2
的普通方程为：
x?1
；
2
）
，
（或曲线
C
2
：
4
、在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
?
?
x?7?t
（
t
为参数）．在以坐标原点为极点，
x
轴正半
?
y??2?t
. 轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
：
（1）求直
线
l
的普通方程和曲线
C
的直角坐标方程；
（2）设曲线
C
与直线
l
的交点为
A,B,Q
是曲线
C
上的动点
，求
?ABQ
面积的最大值．
【答案】（1）
【解析】
（1）由
?
， （2）
515
2
?
x
?7?t
消去
t
得
?
y??2?t
＝
，所以直线<
br>l
的普通方程为，
由，得，
化为直角坐标方程得：
.
，所以曲线
C
的直角坐标方程为
5、已知曲线<
br>C
的极坐标方程是
?
?4cos
?
.以极点为平面直角坐标系
的原点，极轴为
x
轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线
l
的参数
方程是
（1）将曲线
C
的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l
与曲线
C
相交于
A.B
两点，且
|AB|?13，求直线
l
的倾斜角
?
的值.
.
【答案】（1）
【解析】
（1）由
?
?4cos
?
得
∵
∴曲线
C
的直角坐标方程为：
（2）
.
.
（2）将直线的参数方程
化简得
代入圆的方程
. 设<
br>A
,
B
两点对应的参数分别为
t
1
,t
2<
br>，则
t
1
,t
2
是上述方程的两根，则有
. ∴
∴
∵
?
?
?
0，
?
?
∴.
1?
x?4?t
?
2
?
6、已知直线l的参数方程为
?<
br>（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
?
y?
3t
?
?2
标系，曲线C的极坐标方程为
?
?2cos
?
．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；
（2）若直线
【答案】
（1）
（2）
33
，
与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求
AB
的值．
（2）将
?
?
π
代入曲线C的极坐标方程?
?2cos
?
得
?
?3
，
6
?
?
π
?
?
．
6
?
∴A点的极坐标为
?
3,
将
?
?
π
代入直线l的
极坐标方程得
6
，解得
?
?43
．
∴B点的极坐标为
?
43,
∴
AB?33
．
?
?
π
?
?
，
6
?
?
?
x?t?1
7、平面直角坐标系中，直线
l
的参数方程为?（
t<
br>为参数），以原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建
?
?
y?3t
?1
立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为．
（1）写出直线
l
的普通方程与曲线
C
的直角坐标方程;
0
?
，且与曲线
C
交于
A
，
B
两点，试求
MA?MB
． （2）已知与直线
l
平行的直线
l
?
过点
M
?
2,
【答案】
（1）
2
y
，
?2x
（2）
将其代入曲线
C
的直角坐标方程可得
?
． 设点
A
，
B
对应的参数分别为
t
1
?
，
t
2，
?
??
由一元二次方程的根与系数的关系知
t
1
?
t
2
164
?
?
．
，
t
1
?
?t
2
33
∴．
??
?
x＝a＋acos φ，
?
x＝bcos φ
，
??
8、在平面直角坐标系xOy中，曲线C
1
：（φ为参数，实数a＞0
），曲线C
2
：
?
y＝asin φ
?
y＝b＋bsin
φ
??
（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l
：θ＝
π
?
π
?
α
?
ρ≥0，0≤α≤
?
与C
1
交于O，A两点，与C
2
交于O，B两点．当α＝0时，|
OA|＝2；当α＝时，|OB|
2
?
2
?
＝4.
（1）求a，b的值；
（2）求2|OA|＋|OA|·|OB|的最大值．
【答案】（1）1，2 （2）42＋4
2
化为普通方程为x＋（y－b）＝b，展开可得极坐标方程为ρ＝2bsin θ，
π
由题意可得当θ＝时，|OB|＝ρ＝4，∴b＝2.
2
（2）由（Ⅰ）
可得C
1
，C
2
的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝4sin θ.
∴2|OA|＋|OA|·|OB|＝8cosθ＋8sin θcos θ＝4sin
2θ＋4cos 2θ＋4
π
??
＝42sin
?
2θ＋
?
＋4，
4
??
π
?
π
?
π5π
??
∵2θ＋∈<
br>?
，
?
，∴42sin
?
2θ＋
?
＋4的最
大值为42＋4，
4
?
4
?
4
?
4
?<
br>πππ
当2θ＋＝，θ＝时取到最大值.
428
9、已知函数．
2
2
222
（1）当
a?1
时，求不等式
f
?
x?
?3
的解集；
（2）
?x
0
?R
，
f
?
x
0
?
?3
，求
a
的取值范围．
【答案】（1）
【解析】
（1）当
a?1
时，
①当
x??2
时，
（2）
?
?5,1
?
．
，
，
令
f<
br>?
x
?
?3
，即
?2x?1?3
，解得
x?
?2
，
②当
?2?x?1
时，
f
?
x
?
?3
，显然
f
?
x
?
?3
成立，∴
?2?x?1
，
③当
x?1
时，
f
?
x
?
?2x?1
，
令
f
?
x
?
?3，即
2x?1?3
，解得
x?1
，
综上所述，不等式的解集为
（2）∵
．
，
∵
?x
0
?R
，有
f
?
x
?
?3
成立，∴只需
a?2?3
，解得
?5?a?1
，
∴
a
的取值范围为
?
?5,1
?
．
10、已知函数
（1）求不等式
（2）若函数
【答案】（1）
解集为
.
的解集；
的值域为，求实数的取值范围.
（2）
实数的取值范围是.
（2）设
因为
所以.
，则
当且仅当
.
时取等号，
因为函数
所以
因为
有解，即
，所以
的值域为，
.
. ，即
所以实数的取值范围是
11、已知不等式
（1）若
（2）若
，求；
的解集为．
，求实数的取值范围．
（2） 【答案】（1）
12、已知函数
（1）当时
（2）当
【答案】（1）
【解析】
（1）当
①
时，由
或②
，求
时，
．
的解集；
恒成立，求的取值范围．
（2）
，可得
或③
，
解①得：
解②得：
解③得：
综上所述，不等式的解集为
（2）若当
即
故
即
时，
对
成立，
时成立
故
．
，任意的
（2）或
，使得
成立，求实数
a
的取值范围
13、已知函数
（1）解不等式
（2）若对任意的
【答案】（1）
14、已知
（1）当
a
＝—1，
b
＝2时，解不等式f
（
x
）≥0；
（2）若存在
a
，
b
的值，使不等式
【答案】（1）
【解析】
（1）
解得
（2）由
．
得
，
故
故．∴m的最小值为
，当
．
且时取等号．
，
（2）-2
m
成立，求实数
m
的最小值．
15、设
（1）若
，.
；
的最大值为，解关于的不等式
（2）若存在实数使关于的方程
【答案】
（1）
（2）
；
有解，求实数的取值范围．
16、在极坐标系中,曲线
C
的极坐标方程为
?
?4cos
?,曲线
C
与曲线
D
关于极点对称．
（1）以极点为坐标原点,
极轴为
x
轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线
D
的极坐标方程；
（
2）设
P
为曲线
D
上一动点,记
P
到直线
?
sin
?
??3
与直线
?
cos
?
?2
的距离分别为
d
1
,
d
2
，
求
d
1
+
d
2
的
最小值．
【答案】（1）
【解析】
（1）设是曲线
代入
则
（2）由曲线
，即曲线
的极坐标方程
为
，
直线
从而
与直线的直角坐标方程分别为
，
上任意一点,则
得
的极坐标方程为
关于原点的对称点
，
。
得直角坐标方程为，设
在曲线上，且，将
（2）
，
故的最小值为。
17、在直角坐标系xOy中，直线
l
的参数方程为
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为
（
t
为参数
）.以坐标原点为极点，
x
轴
.
?
??
（1）若曲线C
上一点
Q
的极坐标为
?
?
0
,
?<
br>，且
l
过点
Q
，求
l
的普通方程和
C
的直角坐标方程；
2
??
（2）设点
P?23,?1
，
l
与
C
的交点为
A,B
，求
4
3
??
11
?
的最大值.
PAPB
【答案】（1
）
x
2
?2y
2
?8
（2）
（2）
把直线
l
的参数方程代入曲线
C
的直角坐标方程得，
化简得，①
，
可得
，
，故
t
1
与
t
2
同号
所以
?<
br>?
?
6
时，
11
44
?
有最大值.
此时方程①的
??34?0
，故有最大值.
PAPB
33
（
a?0
）. 18、已知函数
（1）当
a?2
时，解不等式
f(x)?4
；
（2）若
f
?
x
?
?1
，求
a
的取值范围．
8
【答案】（1）{x|0≤x≤} （2）[2，＋∞）.
3
（
2）①若a＞1，f（x）＝（a－1）|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，当且仅当x＝1时，取
等号，故只需
a－1≥1，得a≥2.
②若a＝1，f（x）＝2|x－1|，f（1）＝0＜1，不合题意.
③若0＜a＜1，f（x）＝a|x－1|＋a|x－a|＋（1－a）|x－a|≥a（1－a），
当且仅当x＝a时，取等号，故只需a（1－a）≥1，这与0＜a＜1矛盾.
综上所述， a的取值范围是[2，＋∞）.
19、已知曲线
C
的极坐
标方程是
?
?2cos
?
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
x
轴的正半轴，建
立平面直角坐标系，直线
l
的参数方程是
（1）求
曲线
C
的直角坐标方程和直线
l
的普通方程；
（
t
为参数）.
（2）设点
P
(m,0)
，若直
线
l
与曲线
C
交于
A,B
两点，且
【答案】（1）
【解析】
（1）由
?
?2cos
?
，得：
∴曲线
C
的直角坐标方程为
，∴
.
，即
（2）
1
或
1?2
或
1?2
.
，求实数
m
的值.
，
由，得，即
.
，
∴直线
l
的普通方程为
，解得：
m?1或
m?1?2
，都符合
?1?m?3
，因此实数
m
的值
为
1
或
1?2
或
1?2
.
20、在直角坐标系<
br>xOy
中，直线
l
的参数方程为（
t
为参数），圆
C
的标准方程为
.以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线
l
和圆
C
的极坐标方程；
（2）若射线
求
a
的值．
【答案】（1）
【解析】 与
l
的交点为
M
，与圆
C
的交点为
A
，
B
，且点
M
恰好为线段
AB
的中点，
（2）
a?
9
4
（1）在直线
l
的参数方程中消
去
t
，可得，
将
x?
?
cos
?
，
y?
?
sin
?
代入以上方程中，
，
所以，直线
l
的极坐标方程为
同理，圆
C
的极坐标方程为
.
.
把
所以
a?
代入，得，
9
.
4
21、已知函数
f
（
x
）＝|<
br>x
－1|.
（1） 解不等式
f
（2
x
）＋
f
（
x
＋4）≥8；
（2）
若|
a
|＜1，|
b
|＜1，
a
≠0，求证：
<
br>?
?
?
10
【答案】（1）
?
x
?
x
≤－
3
?
?
?
b
f(ab)
＞
f()
.
a
a
?
?
或
x
≥2
?
（2）见解析
?
?
【解析】
?
1
?
－
x
＋4
，－3≤
x
＜，
2
（Ⅰ）
f
（2
x
）＋<
br>f
（
x
＋4）＝|2
x
－1|＋|
x
＋3|
＝
?
1
3
x
＋2，
x
≥，
?
?<
br>2
10
当
x
＜－3时，由－3
x
－2≥8，解得x
≤－；
3
1
当－3≤
x
＜时，－
x
＋4≥8无解； 2
1
当
x
≥时，由3
x
＋2≥8，解得
x≥2.
2
－3
x
－2，
x
＜－3，
?
?
10
?
所以不等式
f
（2
x
）＋
f
（
x
＋4）≥8的解集为
?
x
?
x
≤－
3
?
?
?
?
?
或
x
≥2
?
.
?
?
（II）证明：
bb
f(ab)
＞
f()
等价于
f
（
ab
）＞|
a
|
f()
，即|
ab
－
1|＞|
a
－
b
|.
a
aa
因为|
a
|＜1，|
b
|＜1，
所以|
ab
－1|－|
a
－
b
|＝（
ab
－2
ab
＋1）－（
a
－2
ab
＋
b
）＝
（
a
－1）（
b
－1）＞0，
所以|
ab
－1
|＞|
a
－
b
|.故所证不等式成立．……………10分
2222
2222
22、已知函数
（1）求函数
f(x)
的最小值
a
；
．
（2）在（Ⅰ）的条件下，设
m,n?R
，且
m?n?1
，求证：
【答案】（1）
a?2
（2）见解析
?
．
23、已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；
（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）{x|x≤－5或x＝1} （2）[－1，3]
【解析】
（1）当a＝2时，
当x≤－2时，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5；
当－2＜x＜1时，由3x≥2x＋1，解得x∈?；
当x≥1时，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1．
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．
，
24、已
知曲线
C
的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为
x
轴的正半轴建立
平面直角坐标系，直线
l
的参数方程为（
t
为参数）.
（1）写
出直线
l
的一般方程与曲线
C
的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； <
br>（2）将曲线
C
向左平移
2
个单位长度，向上平移
3
个单位长度，得到曲线
D
，设曲线
D
经过伸缩变换
1
?x'?x,
得到曲线
E
，设曲线
E
上任一点为
M
?
x,y
?
，求
3x?y
的取值范围.
?
2
?
y'?2y,
【答案】（1）见解析
（2）
?
4,8
?
.
【解析】
（1）直线
l<
br>的一般方程为
曲线
C
的直角坐标方程为
，
.
因为，所以直线
l
和曲线
C
相切.
25、已知函数
（1）求实数
m
的取值范围；
的定义域为
R
；
（2）设实数
t
为
m
的
最大值，若实数
a
，
b
，
c
满足，
求的最小值．
【答案】（1）
【解析】
（1）由题意可知
（2）
恒成立，令，
去绝对值可得：，
画图可知
g(x)
的最小值为-
3，所以实数
m
的取值范围为
m??3
；
（2）由（1）可知，所以，
，
当且仅当
所以
26、已知函数
，即等号成立，
3
的最小值为.
5
（1）当
a=1
时，求不
等式
f
?
x
?
?2
的解集；
（2
）若
f
?
x
?
?2x
的解集包含
?
?1
,1
?
?
?
2
?
，求
a
的
取值范围.
【答案】（1） （2）
（2）因为
f
?
x
?
?2x
的解集包含
?
?
1
,1
?<
br>?
?
2
?
不等式可化为
x?a?1
?
1
解得，由已知得
?
?
?a?1?
2
，
?
?
?a?1?1
解得
?
3
2
?a?0<
br>所以
a
的取值范围是
?
，
?
3
?
?
?
2
,0
?
?
.
27、在极坐标系中，
已知圆
C
的圆心
C
（
2,
?
4
），
半径
r
=
3
．
（1） 求圆
C
的极坐标方程；
（2） 若
α
∈
?
?
?
0,
??
4
?
?
， 直线
l
的参数方程为为参数）， 直线<
br>l
交圆
C
于
A
、
求弦长|
AB
|的
取值范围．
【答案】（1） （2）
[22,23]
【解析】
（1）由
C(2,
?
4
)
得，
C
直角坐标
(1,1)
,所以圆
C
的直角坐标方程为, 由
B
两点，
得，圆
C
的极坐标方程为