2015山东省高中数学竞赛二等奖-高中数学错题本要多厚
高中数学教师手册 二项分布 1
二项分布
教学眉批
本节主要介绍二项分布,即重复多次的独立白努利试验。故先复习独立事件,再谈白努利试
验,
最后再介绍主题二项分布。
由独立事件定义出发,强调独立概念,以及独立的应用
与推广,以利介绍二项分布。部分内
容可参考第二册第
3
章。
(1) A
,
B
之交集为{
1
},而
A
,
B
为独立事件。
(2) B
,
C
之交集为
?
,而
B
,
C
为相依事件。
由
(1)
、
(2)
分析,两事件是
否为独立事件,不应由集合之交集来直接判定,应由机率的性质或
是独立事件定义而得。
补充演练
2
,
3
的红色球,袋中有大小相等的
6
个球,其中有
3
个标上号码
1
,另有
3
个标上号码
1
,
2
,
3
的白色球,今从袋中任取一球,若
A
表示取出
1
号球的事件,
B
表示取出红色球的
事件,
C
表示取出白色球的事件,则
A
,
B
是否为独立事件?
B
,
C
是否为独立事件?
解
(1)
依题意
P
(
A
)=
231
,
P
(
B
)=,
P
(<
br>A
∩
B
)=,
666
1
因为
P
(
A
∩
B
)==
P
(
A
)
P
(
B
),
6
所以
A
,
B
为独立事件。
33
(2)
依题意
P
(
B
)=,
P
(
C
)=,但因为
B
,
C
为互斥事件,所以
P
(
B
∩
C
)=
0
,
66
高中数学教师手册 二项分布 2
得
P
(
B
∩
C
)≠
P
(
B
)
P
(
C
),所以
B
,
C
不为独立事件,而是相依事件。
教学眉批
复习第二册第
3
章
若
A
,
B
为独立事件,可推得
(1) A
,
B'
为独立事件。
(2) A'
,
B
为独立事件。
(3) A'
,
B'
为独立事件。
是。
(1)
三个事件要判断是否独立,必须同时满足这四个条件缺一不可。
(2)
一般而言,假设
A
1
,
A
2
,…,
A
n
为
n
个事件,任取其中
k
(
2
≤
k
≤
n
)个事件,则
nn
共有
C
k
组。不失一般性称这
k
个事件为
A
i1
,
A
i2
,…,
A
ik
(
1
≤
i
≤
C
k
)。若这
k
个
n
事件恒满足
P
(
A
i1
∩
A
i2
∩…∩
A
ik
)=
P
(
A
i1
)
P
(
A
i2
)…
P
(
A
ik
),
1
≤
i
≤
C
k
,
2
≤
k
≤
n
,则称
A
1
,
A
2
,…,
A
n
为独立事件。
观念推广
若
A
,
B
,
C
为独立事件,可推得:
(1)
A'
,
B
,
C
为独立事件。
(2)
A'
,
B'
,
C
为独立事件。
(3)
A'
,
B'
,
C'
为独立事件。
高中数学教师手册 二项分布 3
注:证明见手册
P.52
。
补充演练
某校数学教师针对高三学生随机选出
30
名男学生及
20
名
女学生,做新教材适应性的调查,
每一位学生都要填答,且只能填答适应或不适应。结果有
35
名学生填答无法适应新教材内
容。假设学生性别与适应状况独立,请完成下列表格,使其
最能符合上述假设。
适应状况
适应
性别
男生(
30
人)
女生(
20
人)
注:解析见手册
P.52
教学眉批
即使
A
,
B
事件、
B
,
C
事件、
A
,
C
事件均为独立事件,但由于不满足第四个条件,故
A
,
B
,
C
不为独立事件。
是。
补充演练
符号
P
(
C
)代表事件
C
发生的机率,符号
P
(
C
︱
D
)代表在事件
D
发生的条件下,事
件
C
发生的机率。今设
A
,
B
为样本空间中的两个事件,已知
人
人
(
35
人)
人
人
不适应
高中数学教师手册 二项分布 4
P
(
A
)=<
br>P
(
B
)=
0.6
。请选出正确的选项。
(A)
P
(
A
∪
B
)=
1
(B)
P
(
A
∩
B
)=
0.2
(C)
P
(
A
︱
B
)=
1
(D)
P
(
A
︱
B
)=
P(
B
︱
A
)
(E)
A
,
B
是独立事件
解 依题意得
0
≤
P
(
A
∩
B
)
≤
0.6
且
P
(
A
∩
B
)之值未定
(A)
×:由取舍原理知
P
(
A
∪
B
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)-
P
(
A
∩
B
)=
1.2
-
P(
A
∩
B
),
因
P
(
A
∩
B
)之值未定,故
P
(
A
∪
B
)之值未定
(B)
×:
P
(
A
∩
B
)之值未定
P(AB)
P(AB)
(C)
×:依定义
P
(
A
︱
B
)==,因
P
(
A
∩
B
)之值未定,
P
(
B
)
0.6
故
P
(
A
︱
B
)之值未定
P(AB)
P
P(AB)
P(AB)(AB)
P
(D)
○:依定义
P
(
A
︱
B
)==
、(
B
︱
A
)==
P
(
B
)
P<
br>(
A
)
0.60.6
﹐
故
P
(
A
︱
B
)=
P
(
B
︱
A
)
(E)
×:因为
P
(
A
∩
B
)未必等于
P
(
A
)
P
(
B
)=
0.36
,故
A
,
B
未必是独立事件
故选
(D)
。
教学眉批
高中数学教师手册 二项分布 5
第二单元先介绍白努利试验、其次为重复
n
次相互独立的白努利试验,并引入二项分布,最
后求二项分布之期望值与变异数。
一个仅有成功与失败两种结果的试验,称为白努利试验。
在相
同条件下重复执行一个试验我们称为重复试验,如果每次结果互不影响我们又称为独立
重复试验。课文中
的重复试验以白努利试验为主。
补充演练(此题为重复试验但非白努利试验)
一袋中有大小相同
7
个球,其中有
3
红球、
2
白球、
2
黑球,假设每次从袋中取一球,取
后放回,连取四次,则在这四次的取球中,恰出现
2
红球
1
白球
1
黑球的机率为何?
421
解
四次取球中,恰出现
2
红球
1
白球
1
黑球的方法数共有
C
2
C
1
C
1
种。
?
3
??
2
??2
?
而每一种情形的机率都是
??????
,
?7
??
7
??
7
?
421
?
3
??
2
??
2
?
C
1
C
1
??
????
。
故四次取球恰出现
2
红球
1
白球
1
黑球的机率为
C
2
?
7
??<
br>7
??
7
?
211
211
教学眉批
我们以讨论白努利试验的独立重复试验为主,以利二项分布的介绍。
0.01536
。
补充演练
高中数学教师手册 二项分布 6
连续投掷一颗骰子
5
次,则
5
次中恰
3
次出现
1
点的机率是多少?
5
解
连续投掷一颗骰子
5
次,恰
3
次出现
1
点的方法数共有
C
3
种,
?
1
??
5
?
而每一种情形的机率都是
????
,
?
6
??
6
?
1
??
5
?
5
次中恰
3
次出现
1
点的机率为
C
?
????
。
?
6
??
6
?
5
3
32
32
教学眉批
n
knkn
若随机变量
X
的机率质量函数
P
(
X
=
k
)=
Ck
pq
-
恰为(
p
+
q
)
二项展开式中的某一
项,我们将此随机变量
X
的机率分布称为二项分布。
机率质量函数须满足下列两个条件:
(1) 0
≤
p
k
≤
1
,
k
=
1
,
2
,
3
,…,
n
。<
br>
(2) p
1
+
p
2
+…+
p
n
=
1
。
二项式定理
(1)
二项式定理:对任意正整数
n
,
(
x
+
y
)=
C
0
x
+
C
1
xn
n
n
n
n
-
1
n
n22
n
n
nn
-
1
y
+
C
2
x
-
y
+…+
C
n
+
C
n
y
。
?1
xy
(2)
在此用于验证机率质量函数。
(3)
之后用于推导二项分布之期望值。
教学眉批
验证随机变量
X
的机率分布是否为二项分布:
高中数学教师手册 二项分布 7
(1)
重复
n
次相互独立的白努利试验。
(2)
机率质量函数的结构式为二项展开的某一项。
补充演练
若随机变量
X
的取值表示连续投掷一颗骰子
5
次出现
1
点的次数,试求随机变量
X
的机
率质量函数。
?
1
??
5
?
解
P
(
X
=
k
)=
C
????
?
6
??
6
?
5
k
k5?k
,
k
=
0
,
1
,
2
,…,
5
。
此为重复
5
次相互独立的白努利试验,且机率质量函数的结构式为二项展开的某一项,
故随机变数
X
的机率分布为二项分布。
k10?k
1
??
1
?
P
(
X
=
k
)=
C
?
???
?
?
2
??
2
?
10
k
,
k=
0
,
1
,…,
10
。
补充演练
掷一枚均匀硬币
4
次,恰好出现
n
次正面的机率记为
a
n
;掷一枚均匀硬币
8
次,恰好出
现
n
次正面的机率记为
b
n
。试问以下哪些选项是正确的?
(A)
a
2
=
?
1
??
1
?
3
解
(A)
×:
a
2
=
C
????
?
?<
br>2
??
2
?
8
4
2
22
1
(B)
a
3
=
b
4
(C)
b
2
=
b
6
(D)
a
3
>
b
3
(
E)
b
0
,
b
1
,…,
b
8
中的最大值是
b
4
2
35
?
1
??
1
?
1
8
?
1
??
1<
br>?
?
(B)
×:
a
3
=
C<
br>3
4
????
?
、
b
4
=
C
4
,所以
a
3
≠
b
4
??
??
?
2
??
2
?
4
?
2
??<
br>2
?
128
8
?
1
??
1
?
8
?
1
??
1
?
b
C
(C)
○:
b
2
=
C
2
,=
6
6
????????
,所以
b
2
=
b
6
222
???????2
?
2662
3144
高中数学教师手册 二项分布
8
3135
7
?
1
??
1
?
1
8
?
1
??
1
?
?
(D)
○:
a
3
=
C
3
4
????
?
,
b
3
=
C
3
,所以
a
3
>
b
3
????
?
2??
2
?
4
?
2
??
2
?
3
2
?
1
??
1
?
8
?
1
?
(E)
○:
b
0
=
b
8
=
C
??
、
b
1
=
b
7
=
C1
8
??
、
b
2
=
b
6
=<
br>C
2
??
、
?
2
??
2
??
2
?
8
0
888
1
?
8
?<
br>1
?
b
3
=
b
5
=
C
?<
br>b
C
、=
4
4
????
,故
b
4
最大
?
2
??
2
?
8
3
88
故选
(C) (D) (E)
。
教学眉批
(1)
白努利试验的重复试验其机率分布为二项分布。
(2)
例题
3
以重复试验观点求机率;例题
5
以随机变数的观点求机率。此为两题之差别。
(1)
(2)
教学眉批
(1)
本题主要让学生复习前一节求随机变量的期望
值与变异数的方法,来直接操作随机变量为
二项分布的期望值与变异数。
(2)
在此先谈二项分布机率质量函数图,以作为下一节二项分布与常态分布比较之用。
(3)
本题的第
(1)
小题是均匀硬币的情形,而第
(2
)
小题是非均匀硬币的情形。
补充演练
假设随机变量
X
的取值表示投掷一枚硬币
4
次后正面出现的总次数,若此硬币为非均匀的
216
。
625
2133
。
3125
高中数学教师手册 二项分布 9
硬币,出现正面机率
p
=
2
,试绘出其机率质量函数图并求随机变量
X
的期望值与变异数。
3
?
2
?
解
此随机变数
X
的机率分布为二项分布
B
?
4,
?
,其机率分布表如下:
?
3
?
X
0
1
2
3
4
4
1
4
?
1
?
4
?
2
?
p
X
C
0
C
?
1
??
??
?
3
?
?
3
?
81
41
824
4
?
2
??
1
?
32
4
?
2
?
16<
br>?
1
?
4
?
2
??
1
?
C
3
????
?
C
4
??
?
?C?
2
??????81
?
3
?
81
?
3
??
3
?
?
3
??
3
?
81
?
3
?81
k4?k
32231
4
?
2
??
1
?
其机率质量函数为
P<
br>(
X
=
k
)=
C
k
????
?3
??
3
?
,
k
=
0
,
1<
br>,
2
,
3
,
4
。
其机率质量函数图如下,
X
的期望值为
E(X)?0?
182432168
?1??2??3??4??
(次),<
br>
81818181813
X
的变异数为
8
?<
br>1
?
8
?
8
?
8
?
24
?
8
?
32
?
8
?
168
?
Var
(X)?
?
0?
?
??
?
1?
?
???
2?
?
??
?
3?
?
??
?
4?
?
??
。
3
?
81
?
3
?
81
?
3
?
81
?
3
?
81
?
3
?
819
?
22222
教学眉批
1
当
p
=时,其机率质量函数图呈对称。
2
教学眉批
1
p
当=时,其机率质量函数图略呈右偏状态。
3
高中数学教师手册 二项分布 10
期望值为
1
次,
变异数为
补充演练
职业棒球季后赛第一
轮采五战三胜制,当参赛甲、乙两队中有一队赢得三场比赛时,就由该
队晋级而赛事结束。每场比赛皆须
分出胜负,且每场比赛的胜负皆不受之前已赛结果影响。
假设甲队在任一场赢球的机率为定值 p,试以
f(p)表实际比赛场数的期望值
(其中 0 ? p ? 1)。
解 (1) 若比 3
场可产生晋级队伍(甲表甲胜,乙表乙胜):
甲甲甲:p
3
,乙乙乙:(1-p)
3
,
机率为
p
3
+(1-p)
3
=1-3p+3p
2
。
(2) 若比 4 场可产生晋级队伍(□内表可交换):
32
p
(1-p
)p=3p
3
(1-p)甲甲乙甲:
C
2
,
3
。
4
3
p
(1-p)
2
(1
-p)=3p(1-p)
3
, 甲乙乙乙:
C
2
机率为 3p
3
(1-p)+3p(1-p)
3
=3p(1-p)(2p
2
-2
p+1)。
(3) 若比 5 场可产生晋级队伍(□内表可交换):
高中数学教师手册 二项分布 11
甲甲乙乙甲:
C
2<
br>4
p
2
(1-p)
2
p=6p
3
(1-p)
2
,
甲甲乙乙乙:
C
2<
br>4
p
2
(1-p)
2
(1-p)=6p
2
(
1-p)
3
,
机率为 6p
3
(1-p)
2
+
6p
2
(1-p)
3
=6p
2
(1-p)
2
。
X
p
X
3
1-3p+3p
2
4
3p(1-p)(2p
2
-2p+1)
5
6p
2
(1-p)
2
故期望值为
f(p)=3
×(1-3p+3p
2
)+4×3p(1-p)(2p
2
-2p+1)+5×
6p
2
(1-p)
2
=6p
4
-12p
3
+3p
2
+3p+3(场)。
教学眉批
在推导二项分布的期望值公式时,需了解组合数
Ck
的计算及二项式定理的使用。
二项分布的变异数请参考课本附录。
同学应熟知二项分布的期望值与变异数。
教学眉批
若假设随机变量
X
的取值表示重复
n
次相互独立的白努利试
验之成功次数,则成功次数的
期望值与变异数始可代入上述之结论。
(1)
期望值为
4
题,标准偏差为
(2) 20
分。
45
题。
5
n
高中数学教师手册 二项分布 12
补充演练
小颖投篮的命中率为
4
,假设每次投篮的结果是互相独立的,试求在
25
次的投篮中,进球
5
次数的期望值与标准偏差分别为多少?
解
由题意知小颖投篮的命中率为
7
。
4
4
,假设随机变量
X
的取值表示小颖投篮的进球次数,
5
4
??
25,
X
B
则的机率分布为二项分布
??
,因此小颖在投篮进球次数的期望值为
<
br>5
??
4
E
(
X
)=
25×
=20
(次)。
5
41
进球次数的标准偏差为
Var(
X)?25???2
(次)。
55
教学眉批
假设弹珠碰到铁钉之后往右方为成功,往左方为失败,则此为重复
4
次相互独立的
白努利试
1
4
?
1
??
1
?
验,其成功的
机率为。故弹珠落点在最左边之机率为
C
0
????
,由左至右机率依序为<
br>2
?
2
??
2
?
3140
?
1??
1
?
1111
????????
4
?
1<
br>??
1
?
44
C
1
????
,
C<
br>?
2
??
2
?
,
C
3
????,
C
4
????
。
????
?
2<
br>??
2
??
2
??
2
??
2
??<
br>2
?
13
04
22
4
2
教学眉批
高中数学教师手册 二项分布 13
(1)
若 np 为整数时,在 X=np 时有最大机率。
(2) 若 np 非整数时,
① 当(n+1)p 为整数时,则 X 的取值为(n+1)p-1 与(n+1)p
均有最大机率。
② 当(n+1)p 非整数时,则最大机率出现在介于(n+1)p-1
与(n+1)p 间的整数。
1
?
1
?
例:(1) 若 X
的机率分布为 B
?
8
,
?
时,即 n=8,p=
?
np=4,在 X=4 时有最大机
2
??
2
率,如图 11。
1
?
18
?
(2) 若 X 的机率分布为
B
?
8
,
?
时,即 n=8,p=
?
np=,(n+1)p=3,在 X
3
??
33
=2,3
时有最大机率,如图 12。
习题
1-2
详解
(搭配课本
P.42
~
44
)
一、基本题
1.
投掷一颗公正的骰子两次,设每一种结果出现的机率均相同。以
A
表示第一次掷出的点
数为
1
的事件,以
B
表示第二次掷出的点数为
1
的事件,试问
A
,
B
两事件是否为独
立事件?
解
因为
P
(
A
)
P
(
B
)=
6611
×
=,
P
(
A
∩
B<
br>)=,
36363636
所以
P
(
A
)
P
(
B
)=
P
(
A
∩
B
),
故
A
,
B
是独立事件。
2.
设
P
(
A
)>
0
,
P
(
B
)>
0
,且
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
),则下列选项何者正
确?
(A) A
,
B
为独立事件
(B)
P
(
A|B
)=
P
(
A
)
高中数学教师手册 二项分布 14
(C)
P
(
B|A
)=
P
(
B
)
(D)
P
(
B|A'
)=
P
(
B
)
(E)
P
(
A'|B
)=
P
(
A'
)
解 已知
P
(
A
∩
B
)=
P
(
A
)
P
(
B
),所以
A
,
B
为独立事件,
因此
P
(
A|B
)=
P
(
A
),
P
(
B|A
)=
P
(
B
),
P
(
B
A
?
)
P
(
B
)
?P
(
BA)
P
(
B
)
?P
(
B
)
P<
br>(
A
)
而且
P
(
B|A'
)====
P
(
B
),
<
br>P
(
A
?
)
1?P
(
A
)
1?P
(
A
)
P
(
A'|B
)=
P(A<
br>?
B)
P(B)?P(BA)P(B)?P(B)P(A)
===<
br>1
-
P
(
A
)=
P
(
A'
),
P
(
B
)
P
(
B
)
P
(
B
)
故选项
(A)(B)(C)(D)(E)
正确。
3.
连续投掷一枚均匀硬币
3
次,设每一种结果出现的机率均相同。以
A
表示第一次出现正
面的事件,以
B
表示第二次出现正面的事件,以
C
表示第三次出现正面的事件,则
A
,
B
,
C
三事件是否为独立事件?
2×2
=
8
,
解 设连续投掷一均匀硬币
3
次的样本空间为
S
,则
n
(
S
)=
2×
2×2
=
4
,
P
(
A
)=以
A
表第一次出现正面的事件,则
n
(
A
)=
1×
1
×2
=
4
,
P
(
B
)=以
B
表第二次出现正面的事件,则
n
(
B
)=
2×
2
×1
=
4
,
P
(
C
)=以
C
表第三次出现正面的事件,则
n
(
C
)=
2×
1
×2
=
2
,所以
P
(
A
∩
B
)=而
n
(
A
∩<
br>B
)=
1×
1×1
=
2
,所以
P
(
B
∩
C
)=
n
(
B
∩<
br>C
)=
2×
2×1
=
2
,所以
P
(
C
∩
A
)=
n
(
C
∩
A
)=
1×
41
=,
82
41
=,
82
41
=,
82
21
==
P
(
A
)
P
(
B<
br>);
84
21
==
P
(
B
)P
(
C
);
84
21
==
P
(
C
)
P
(
A
);
84
1
nABC1×1×11 PABC
(∩∩)==,所以(∩∩)=
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
C
)。
8
故
A
,
B
,
C
是独立事件。
高中数学教师手册 二项分布 15
4. 投掷一均匀硬币 5
次,试求:
(1) 5 次中恰出现 2
次正面的机率。
(2) 恰好在第 5 次出现第 2 次正面的机率。
5
?
1
??
1
?
解 (1) 机率为
C
????
=。
16
?
2
??
2
?
5
2
23
(2) 恰好在第 5 次出现第 2 次正面的机率即为
在前 4 次出现 1 次正面且第 5 次出现正面的机率,
11
4
?
1
??
1
?
故所求为
C
1
????
×=。
?
2
??
2
?
28
2
5.
阿伟在三分线投篮的命中率为 ,今他连续在三分线投篮 100
次,试求投进次数的期望
5
3
值、变异数与标准偏差。
解 命中率为
2
?
2
?
,投篮 100 次,此机率分布为二项分布
B
?
100
,
?
,
5
??
5
2
期望值为 100×=40(次),
5
2
?
2
?
变异数为
100××
?
1
-
?
=24,
5
?
5
?
标准偏差为
24
=2
6
(次)。
6.
消基会抽验某市场中蔬菜是否有农药残留过量,设检验出农药残留过量的机率为
0.1,试
求在任意购买的 5 种蔬菜中,至少买到 3 种蔬菜农药残留过量的机率。
解 因为每种蔬菜农药残留过量的机率为 0.1,所以购买 5
种蔬菜时,
至少买到 3 种蔬菜农药残留过量的机率为
(0.1)
3
×(0.9)
2
+
C
5
(0.1)<
br>4
×(0.9)
1
+
C
5
(0.1)
5 <
br>C
5
3
×
4
×
5
×
=0.0081
+0.00045+0.00001=0.00856。
高中数学教师手册
二项分布 16
二、进阶题
7.
有一测验共有
20
题单选题,每题有
4
个选项,而且每题恰有一个正确的标准答案,每
题答对得
5
分,不答或答错不给分亦不倒扣分数,总分
100
分。已知小萱于这次测验中
有
16
题完全答对,剩下
4
题不会,一律用猜的,每题答对与否互相独立。试求小萱这
次测验成绩的期望值。
8.
甲、乙两人比赛桌球,采五战三胜制,即先拿到三胜的
人赢。今已知每场比赛甲赢乙的机
率是
0.6
﹐并假设每场比赛结果互不影响,试求甲
赢球的机率。
1
??
解
4
题不会,用猜的得分期望值为
5?
?
4?
?
=
5
(分),加上有
16
题完全答对得
4
??
16×5
=
80
(分),故成绩的期望值为
80
+
5
=
85
(分)。
解 甲赢球的机率为
2422
(0.6)
3
+
C
3
+=0.
68256。
?(0.6)?(0.4)?(0.6)C?(0.6)?(0.4)?(0.6)22
↓
连胜3场
↓
前3场胜2输 1,第4场胜
↓
前4场胜2输2,第5场胜
9.
设随机变数
X
的机率分布为二项分布
B
(
20
,
0.3
),则随机变量
X
的取值为多少时,
有最大机率?
解 假设随机变量
X 的取值为 k 时所对应的机率为
P
(
X
=
k
)
=
C
k
(
0.3
)
k
(
0.7
)
20
-
k
。
20
20620
-
6
(
0.3
)
?
(-
10.3
)P
(
X
=
6
)
C
6
?
(1)
=
20720
-7
P
(
X
=
7
)
C
7
?
(
0.3
)
?
(-
10.3
)
20
!
614
?
(
0.3
)
?
(
0.7
)
7
0.7
6!14!
==×>1,
20
!
713
14
0.3
?
(
0.3
)<
br>?
(
0.7
)
7!13!
即
P(X=6)>P(X=7)。
高中数学教师手册 二项分布 17
20
6
20
5
620
-
6
(
0.3
)
?
(-
10.3
)
P
(
X
=
6
)
C?
(2) =
520
-5
P<
br>(
X
=
5
)
C?
(
0.3
)
?
(-
10.3
)
20
!
614
?
(<
br>0.3
)
?
(
0.7
)
15
0.3
6!14!
==×>1,
20
!
515
6
0.7
?
(
0.3
)
?
(
0.7
)
5!15!<
br>
即 P(X=6)>P(X=5)。
0.3
=
6
时有最大机率。
由
(1)
、
(2)
得,当随机变数
X
的取值为
E
(
X
)=
20×
三、挑战题
10.
根据以往经验,小贤和小芬对弈均无和局,小贤赢棋的机率是小芬的
2 <
br>倍,且各棋局的
结果互相独立。今两人商量好先赢三场者胜,但小贤先让小芬一场(即一开始小芬
就以
1
:
0
领先)。设随机变量
X
的取值为两人分出胜负还需要再下的场数,试求
X
的期望
值与标准偏差。
1
解 设小芬赢的机率为
p
,则小贤为
2p
,所以
p
+
2p
=
1
,得
p
=,
3
12
因此小芬赢的机率为,小贤为,
33
比赛的可能情形如下:
所以由下图可知,
高中数学教师手册 二项分布 18
111
X
=
2
的机率是
??
,
339
1212112
?
4
X
=
3
的机率是
??????
?
??
?
,
33
3333
?
3
?
9
1
?
2
?
1<
br>?
2
?
124
3
X
=
4
的机率是
C
1
??
??
??C
3
?
2<
br>??
???
,
3
?
3
?
33
??<
br>339
22
3
X
的机率分布表为
X
p
X
2
1
9
3
4
9
4
4
9
144
30
10
X
的期望值为
E
(
X
)=
2×
+
3×+
4×
==(场),
9993
9
10
?1
?
10
?
4
?
10
?
42
X
的标准偏差为
?
2?
??
??
?
3?
?
??
?
4?
?
??
(场)。
3
?
9
?
3
?
9
?
3
?
93?
222
观念推广(
P.34
)
证
(1)
先证明①
P
(
A'
∩
B
)=P
(
A'
)
P
(
B
);②
P
(
B
∩
C
)=
P
(
B
)
P
(
C
);
③
P
(
A'∩
C
)=
P
(
A'
)
P
(
C
)。
高中数学教师手册 二项分布 19
再证明
P
(
A'
∩
B
∩
C
)=
P
(
B
∩
C
)-
P
(
A
∩
B
∩
C
)
=
P
(
B
)
P
(
C
)-
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
C
)
=
P
(
B
)
P
(
C
)(1
-
P
(
A
))
=
P
(<
br>A'
)
P
(
B
)
P
(
C
)
。
(2)
先证明①
P
(
A'
∩
B'<
br>)=
P
(
A'
)
P
(
B'
);②<
br>P
(
B'
∩
C
)=
P
(
B'
)
P
(
C
);
③
P
(
A'
∩
C
)=
P
(
A'
)
P
(
C
)。
再证明
P
(
A'
∩
B'
∩
C
)
=
P
(
C
)-(
P
(
A
∩
C)+
P
(
B
∩
C
)-
P
(
A
∩
B
∩
C
))
P
(
C
)
P
(
C
)
P
(
B
)
P
(
C
)
=
P
(
C
)-
P
(
A
)-
P
(
B
)+
P
(
A
)
=
P
(
C
)(<
br>1
-
P
(
A
))-
P
(
B
)
P
(
C
)(
1
-
P
(
A
))
=(
1
-
P
(
A
))(
1
-
P
(
B
))
P
(
C
)
=
P
(
A'
)
P
(
B'
)<
br>P
(
C
)。
(3)
先证明①
P
(
A'
∩
B'
)=
P
(
A'
)
P
(
B'
);②
P
(
A'
∩
C'
)
=
P
(
A'
)
P
(
C'
);
③
P
(
B'
∩<
br>C'
)=
P
(
B'
)
P
(
C')。
再证明
P
(
A'
∩
B'
∩
C'
)
=
1
-(
P
(
A
)+
P
(
B
)+
P
(
C
)-
P
(
A
∩
B
)-
P
(
B
∩
C
)-
P
(<
br>A
∩
C
)+
P
(
A
∩
B
∩
C
))
=
1
-
P
(
A
)-
P
(
B
)+
P
(
A
)
P
(
B
)-P
(
C
)+
P
(
B
)
P
(<
br>C
)+
P
(
A
)
P
(
C
)
-
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
C
)
=(
1
-<
br>P
(
A
))-
P
(
B
)(
1
-
P
(
A
))-
P
(
C
)(
1
-
P
(
B
))+
P
(
A
)
P
(
C
)
高中数学教师手册 二项分布 20
(
1
-
P
(
B
))
=(
1
-
P
(
A
))(1
-
P
(
B
))-
P
(
C
)
(
1
-
P
(
A
))(
1
-
P(
B
))
=(
1
-
P
(
A
))(
1
-
P
(
B
))(
1
-<
br>P
(
C
))
=
P
(
A'
)
P
(
B'
)
P
(
C'
)。
补充演练(
P.34
)
解 若男生中适应者有
x
人,则假设如下:
适应状况
适应
性别
男生
女生
x
15
-
x
30
-
x
x
+
5
不适应
因为性别与适应状况独立,故
P
(适应∩男生)=
P
(适应)×
P
(男生)
?
x1530
=×
?
x
=
9
。
505050
故答案为
适应状况
适应
性别
男生
女生
9
人
6
人
21
人
14
人
不适应