高中数学英文教材-高中数学斜率笔记
高中数学压轴题系列——导数专题——超越不等式放缩
1.(2010?大纲版Ⅰ)已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣x+1.
(Ⅰ
)若xf′(x)≤x
2
+ax+1,求a的取值范围;(Ⅱ)证明:(x﹣1)f(x)≥0
.
解:(Ⅰ),xf′(x)=xlnx+1,
题设xf′(
x)≤x
2
+ax+1等价于lnx﹣x≤a.令g(x)=lnx﹣x,则
当0<
x<1,g′(x)>0;当x≥1时,g′(x)≤0,x=1是g(x)的最大值点,g(x)≤g(1)=
﹣1
综上,a的取值范围是[﹣1,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)≤g(1)=﹣1即lnx﹣x+1≤0.
当0<x<
1时,f(x)=(x+1)lnx﹣x+1=xlnx+(lnx﹣x+1)<0;
当x≥1时,f(x)=lnx+(xlnx﹣x+1)=
所以(x﹣1)f(x)≥0.
2.(2010?大纲版Ⅱ)设函数f(x)=1﹣e
﹣
x
.
(Ⅰ)证明:当x>﹣1时,f(x)≥
解:(1)当x>﹣1时,f(x)≥
;(Ⅱ)设
当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围.
=≥0
当且仅当e
x
≥1+x
令g(x)=e
x
﹣x﹣1,则g'(x)=e
x
﹣1
当x≥0时g'(x)≥0,g(x)在[0,+∞)是增函数
当x≤0时g'(x)≤0,g(x)在(﹣∞,0]是减函数
于是g(x)在x=
0处达到最小值,因而当x∈R时,g(x)≥g(0)时,即e
x
≥1+x
所以当x>﹣1时,f(x)≥
(2)由题意x≥0,此时f(x)≥0
当a<0时,若x>﹣,则<0,f(x)≤不成立;
当且仅当h(x)≤0
当a≥0时,令h(x)=axf(x)+f(x)﹣x,则f(x)≤
因为f(x)=1﹣e﹣
x
,所以h'(x)=af(x)+axf'(x)+f'(x)﹣1=af(x)﹣a
xf(x)+ax﹣f(x)
(i)当0≤a≤时,由(1)知x≤(x+1)f(x)
h'(x)≤af(x)
﹣axf(x)+a(x+1)f(x)﹣f(x)=(2a﹣1)f(x)≤0,
h(x)在[0,+∞)是减函数,h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤;
(i
i)当a>时,由y=x﹣f(x)=x﹣1+e
﹣
x
,y′=1﹣e
﹣x
,x>0时,函数y递增;x<0,函数y递减.
可得x=0处函数y取得最小值0,即有x≥f(x).
h'(x)
=af(x)﹣axf(x)+ax﹣f(x)≥af(x)﹣axf(x)+af(x)﹣f(x)=(2a﹣
1﹣ax)f(x)
当0<x<时,h'(x)>0,所以h'(x)>0,所以h(x)>
h(0)=0,即f(x)>
综上,a的取值范围是[0,]
3.(2012?山东)已知函数
(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=(x
2
+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.
证明:对任意x>0,g(x)<1+e
﹣
2
.
解:(Ⅰ)∵f′(x)=
f′(1)=0,∴k=1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
:f′(x)=(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),令h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞)
,
,x∈(0,+∞),且y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,∴
为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点
当x∈(0,1)时,h
(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,又e
x
>0,
∴x∈(0,1)时,f′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f′x)<0,
∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;
证明:(Ⅲ)∵g(x)=(
x
2
+x)f′(x),∴g(x)=
∴?x>0,g(x)<1+e
﹣2
?1﹣x﹣xlnx<
(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),
(1+e
﹣
2
),由(Ⅱ)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),
∴h′(x)=﹣(lnx﹣lne
﹣
2
),x∈(0,+∞),∴x∈
(0,e
﹣
2
)时,h′(x)>0,h(x)递增,
x∈(e<
br>﹣
2
,+∞)时,h(x)<0,h(x)递减,∴h(x)
max
=
h(e
﹣
2
)=1+e
﹣
2
,∴1﹣x﹣xlnx≤1+e
﹣
2
,
设m(x)=e
x
﹣(x+1),∴m′
(x)=e
x
﹣1=e
x
﹣e
0
,∴x∈(0,+∞)时,
m′(x)>0,m(x)递增,
∴m(x)>m(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,m(
x)>0,即
∴1﹣x﹣xlnx≤1+e
﹣
2
<
4.(
2013?辽宁)已知函数f(x)=(1+x)e
﹣
2x
,g(x)=ax+
(I)求证:
+1+2xcosx,当x∈[0,1]时,
>1,
(1
+e
﹣
2
),∴?x>0,g(x)<1+e
﹣
2
.
;(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
解:(I)证
明:①当x∈[0,1)时,(1+x)e
﹣
2x
≥1﹣x?(1+x)e
﹣
x
≥(1﹣x)e
x
,
令h(x)=(1+x)e
﹣
x
﹣(1﹣x)e
x
,则h′(x)=x(e
x
﹣e<
br>﹣
x
).
当x∈[0,1)时,h′(x)≥0,∴h(x)在[0,1)上是增函数,
∴h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥1﹣x.
②当x∈[0,
1)时,?e
x
≥1+x,令u(x)=e
x
﹣1﹣x,则u′(x)=e<
br>x
﹣1.
.
当x∈[0,1)时,u′(x)≥0,∴u
(x)在[0,1)单调递增,∴u(x)≥u(0)=0,∴f(x)
综上可知:.
(II)解:设G(x)=f(x)﹣g(x)=
≥
令H(x)=
=.
,则H′(x)=x﹣2sinx,令K(x)=x﹣2sinx,则K′(x)=1﹣
2cosx.
当x∈[0,1)时,K′(x)<0,
可得H′(x)是
[0,1)上的减函数,∴H′(x)≤H′(0)=0,故H(x)在[0,1)单调递减,
∴H(x)≤H(0)=2.∴a+1+H(x)≤a+3.∴当a≤﹣3时,f(x)≥g(x)在[0,1
)上恒成立.
下面证明当a>﹣3时,f(x)≥g(x)在[0,1)上不恒成立.
f(x)﹣
g(x)≤
令v(x)==
=
,则v′(x)=
=﹣x
.
.
当x∈[0,1)时,v′(x)≤0,故v(x)在[0,1)上是减函数,
∴v
(x)∈(a+1+2cos1,a+3].当a>﹣3时,a+3>0.∴存在x
0
∈(0,
1),使得v(x
0
)>0,此时,
f(x
0
)<g(x
0
).即f(x)≥g(x)在[0,1)不恒成立.综上实数a的取值范围是(﹣∞,﹣3].
5.(2012?湖北文)设函数f(x)=ax
n
(1﹣x)+b(x>
0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在
(1,f(1))处的切线方程为x+y=1<
br>
(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最大值;(Ⅲ)证明:f(x)<
解:
(Ⅰ)因为f(1)=b,由点(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0.
因
为f′(x)=anx
n
﹣
1
﹣a(n+1)x
n
,所以f
′(1)=﹣a.
又因为切线x+y=1的斜率为﹣1,所以﹣a=﹣1,即a=1,故a=1,b=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x
n
(1﹣x),则有f′(x)=(n+1)x
n
﹣
1
(
在(0,)上,导数为正,故函数f(x)是增函数;在(
﹣x),令f′(x)=0,解得x=
.
,+∞)上导数为负,故函数f(x)是
)
n
(1﹣)=,
减函数;故函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(
(Ⅲ)令φ(t)=lnt﹣1+,则φ′
(t)=﹣=
)=(
(t>0)
在(0,1)上,φ′(t)<0,故φ(
t)单调减;在(1,+∞),φ′(t)>0,故φ(t)单调增;
故φ(
t)在(0,+∞)上的最小值为φ(1)=0,所以φ(t)>0(t>1)则lnt>1﹣,(t>1),<
br>
令t=1+,得ln(1+)>,即ln(1+)
n
+
1
>
lne,所以(1+)
n
+
1
>e,即<
由(Ⅱ)知,f(x)≤
<,故所证不等式成立.
6.(2016?新课标Ⅲ)设函数f(x)=lnx﹣x+1.
(1)讨论f(x
)的单调性;(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+
(c﹣1)x>c
x
.
【解答】解:(1)函数f(x)=lnx﹣x+1的导数为f′(x)=﹣1,
由f′(x)>0,可得0<x<1;由f′(x)<0,可得x>1.
即有f(x)的增区间为(0,1);减区间为(1,+∞);
(2)证明:当x∈(1,+∞)时,1<<x,即为lnx<x﹣1<xlnx.
<x;
由(1)可得f(x)=lnx﹣x+1在(1,+∞)递减,可得f(x)
<f(1)=0,即有lnx<x﹣1;
设F(x)=xlnx﹣x+1,x>1,F′(x)=1+lnx﹣1=lnx,
当x>1时,F′(x)>0,可得F(x)递增,即有F(x)>F(1)=0,
即有xlnx>x﹣1,则原不等式成立;
(3)证明:设G(x)=1+(c﹣1)x﹣c
x
,则需要证明:
当x∈
(0,1)时,G(x)>0(c>1);G′(x)=c﹣1﹣c
x
lnc,G′′(x)=
﹣(lnc)
2
c
x
<0,
∴G′(x)在(0,1)单
调递减,而G′(0)=c﹣1﹣lnc,G′(1)=c﹣1﹣clnc,
由(1)中f(x)的单调性,可得G′(0)=c﹣1﹣lnc>0,
由(2)可得G′(1)=c﹣1﹣clnc=c(1﹣lnc)﹣1<0,
∴?t
∈(0,1),使得G′(t)=0,即x∈(0,t)时,G′(x)>0,x∈(t,1)时,G′(x)<
0;
即G(x)在(0,t)递增,在(t,1)递减;又因为:G(0)=G(1)=0,
∴x∈(0,1)时G(x)>0成立,不等式得证;即c>1,当x∈(0,1)时,1+(c﹣1)x>
c
x
.