2018-2019北京高三期末数学压轴题汇编

（2018-2019丰台高三理20）
20．（本小题13分）
?
a
11
,a
12
,,a
1n
?
?
a,a ,,a
?
21222n
?
将
m?n
阶数阵
?
记作
{a
ij
}
m?n
（其中，当且仅当
i?s,j?t
时，
??
??
a,a,,a
mn
??
m1m2a
ij
?a
st
）.如果对于任意的
i?1,2,3,
{a
ij
}
m?n
具有性质
A
.
,m
， 当
j
1
?j
2
时，都有
a
ij
1
?a
ij
2
，那么称数阵
（Ⅰ）写出一个具有性质
A
的数阵
{a
ij
}
3?4
，满足以下三个条件：①
a
11
?4
，②数列
{a
1n
}
是
公差为2的等差数列， ③数列
{a
m1
}
是公比为
1
的等比数列；
2< br>（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵
{a
ij
}
m?n
的每一列原 有的各数按照从上到下递增的顺序排列，
形成一个新的
m?n
阶数阵，记作数阵
{b
ij
}
m?n
.试判断数阵
{b
ij
}m?n
是否具有性质A，并说明
理由.
20．（共13分）
?
4,6,8,10
?
??
解：（Ⅰ）
2,3,5,7
（答案不唯< br>??
?
?
1,9,11,12
?
?
一）. . .. …… …….4分
（Ⅱ）数阵
{b
ij
}
m?n
具有性质A.
只需证明，对于任意的
i?1,2,3,
下面用反证明法证明：
假设存在< br>b
pq
?b
p(q?1)
，则
b
(p?1)q
,b
(p2?)q
,
,n
，都有
b
ij
?bi(j?1)
，其中
j?1,2,3,,n?1
.
q
,bmq
都大于
b
p(q?1)
，即在第列中，至
少有
m? p?1
个数大于
b
p(q?1)
，且
b
p(q?1)
?b
(p?1)(q?1)
?
根据题意，对于每一个
b
t(q?1 )
(t?1,2,
?b
2(q?1)
?b
1(q?1)
.
,p)
，都至少存在一个
a
i
t
q
至少有
p
个数小于
b
p(q?1)
.
(i
t
?
?
1,2,3,,m
?
)
，使得
a
i
t
q
?b
t(q?1)
，即在第
q
列中，
所以，第
q< br>列中至少有
m?p?1?p?m?1
个数，这与第
q
列中只有
m
个数矛盾.

所以假设不成立.
所以数阵
{b
ij
}
m?n
具有性质
A. . .. …… …….13分

（2018-2019海淀高三理20）
（
20
）（本小题满分
13
分）

设
n< br>为不小于
3
的正整数，集合
?
n
?{(x
1
,x
2
,,x
n
)|x
i
?{0,1},i?1,2,3, ,n}
,对于集合
?
n
中的任意元素
?
?(x
1< br>,x
2
,,x
n
)
，
?
?(y
1< br>,y
2
,,y
n
)
，记

?
?
?
?(x
1
?y
1
?x
1< br>y
1
)?(x
2
?y?
2
x
2
y) ?
2
?(
n
?x
n
?y
n
x
n< br>.
y)

(Ⅰ) 当
n?3
时，若
?
?(1,1,0)
，请写出满足
?
?
?
?3
的所有 元素
?
；
(Ⅱ) 若
?
，
?
??
n< br>，且
?
?
?
?
?
?
?
?n
，求
?
?
?
的最大值和最小值；
（Ⅲ）设
S
是< br>?
n
的子集，且满足：对于
S
中的任意两个不同元素
?，
?
，有
?
?
?
?n?1
成
立，求集 合
S
中元素个数的最大值.
20. 解：(Ⅰ) 满足
?
?
?
?3
的元素为
(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1 )

（Ⅱ）记
?
?(x
1
,x2
,,x
n
)
，
?
?(y
1
,y2
,,y
n
)
，
注意到
x
i
?{0 ,1}
，所以
x
i
(x
i
?1)?0
，
所以
?
?
?
?(x
1
?x
1
?x
1
x
1
)?(x
2
?x
2
?x
2
x
2
)??(x
n
?x
n
?x
n
x
n
)

?x
1
?x
2
?

?
?
?
?y
1
?y
2
?
?x
n

?y
n

?x
n
?y
1
?y< br>2
??y
n
?n
因为
?
?< br>?
?
?
?
?
?n
，所以
x
1
?x
2
?
所以
x
1
,x
2
,,x
n
,y
1
,y
2
,,y
n
中有
n
个量的值为1，
n
个量的值为0.
?(x
n
?y
n?x
n
y
n
)
显然
0?
?
?
?
?(x
1
?y
1
?x
1
y
1
)?(x
2
?y
2
?x
2
y
2
)?
?x
1
?y
1
?x
2
?y
2
?
当
?
?(1,1,
?x
n
?y
n
?n
，
,1)
，
?
?(0,0,,0)
时，
?
，
?
满足
?
?
?
?
?
?
?
?n< br>，
?
?
?
?n
.所以
?
?
?
的最大值为
n

又
?
?
?
?(x
1
?y
1
?x
1
y
1
)?(x
2
?y
2
?x
2
y
2
) ??(x
n
?y
n
?x
n
y
n
)

?n?(x
1
y
1
?x2
y
2
??x
n
y
n
)

注 意到只有
x
i
?y
i
?1
时，
x
i
y
i
?1
，否则
x
i
y
i
?0

而
x
1
,x
2
,,x
n
,y
1< br>,y
2
,,y
n
中
n
个量的值为1，
n个量的值为0
所以满足
x
i
y
i
?1
这样的 元素
i
至多有
当
n
为偶数时，
?
?
??n?
当
?
?
?
?(1,1,
n
个2
n
个，
2
nn
?
.
22
,0 )
时，满足
?
?
?
?
?
?
?
?n
，且
?
?
?
?
,1,0,0,
n
个
2
n
.
2
n

2
n?1
当
n
为奇数时，且
x
i
y
i
?1
，这样的元素
i
至多有个，
2
n?1n?1
所以
?
?
?
?n?
.
?
22
所以
?
?
?
的最小值为
当< br>?
?(1,1,,1,0,0,
n?1
个
2
,0)
，
?
?(1,1,,1,0,0,
n?1
个
2
,0)
时，满足
?
?
?
?
?
?
?
?n
，
n?1
个
2
n?1
个
2
?
?
?< br>?
n?1
.
2
n?1

2
n
综上：
?
?
?
的最大值为
n
，当
n
为偶数时，
?
?
?
的最小值为，当
n
为奇数时，
2
n?1
.
?
?
?
?
2< br>n
2
?n?2
（Ⅲ）
S
中的元素个数最大值为
2
所以
?
?
?
的最小值为
设集合
S
是满足条件的集合中元素个数最多的一个
记
S
1
?
?
?
?(x
1
,x
2
,,x
n
)|x
1
?x
2
??x
n
?n?1,
?
?S
?
，
?x
n
?n?2,
?
?S
?

S
2
?
?
?
?(x
1
,x
2
, ,x
n
)|x
1
?x
2
?
显然
S?S
1
S
2
，S
1
S
2
??

2
集合
S
1
中元素个数不超过
n?1
个，下面 我们证明集合
S
2
中元素个数不超过
C
n
个

?
?
?S
2
,
?
?(x
1
,x< br>2
,,x
n
)
，则
x
1
?x
2??x
n
?n?2

则
x
1
，x
2
，，x
n
中至少存在两个元素
x
i
?x
j
?0


?
?< br>?S
2
,
?
?(y
1
,y
2
,,y
n
)
，
?
?
?

因为
?
?
?
?n?1
，所以
y
i
,y
j
不能同时为
0

所以对
1?i?j?n
中的一组数
i,j
而言，
在集合
S
2
中至多有一个元素
?
?(x
1
,x
2
,
2
所以集合
S
2
中元素个数不超过
C
n
个
,x
n
)
满足
x
i
，x
j
同时为
0

n
2
?n?2
所以集合
S
中的元素个 数为至多为
n?1?C?

2
2
n
记
T
1
?
?
?
?(x
1,x
2
,,x
n
)|x
1
?x
2
?? x
n
?n?1,
?
??
n
?
，则
T
1
中共
n?1
个元素，
对于任意的
?
?T
1
，
?
??
n
，
?
?
?
?n?1
.
对
1?i?j?n
，记
?
i,j
?(x
1
,x
2
,
记
T
2
?{
?
i, j
|1?i?j?n}
，
显然
?
?
,
?
?S
2
，
?
?
?
，均有
?
?
?< br>?n?1
.
记
S?T
1
,x
n
),
其中
x
i
?x
j
?0
，
x
t
?1
，
t? i,t?j

?
?
?
，
T
2
，
S
中的元素个数为
n
2
?n?1
，且满足
?
?
,
?
?S
，均有
?
?
?
?n?1
.
n
2
?n?2
综上所述，
S
中的元素个数最大值为.
2









（2018-2019东城高三理20）
(20)（本小题14分）

?
对给定的
d?N
?
，
记由数列构成的集合
Ω(
d
)
?
{{
a
n
}
a
1
?
1,
a
n?1
?a
n
?d
,
n?N
}< br>.
（Ⅰ）若数列
{a
n
}?Ω(2)
，写出
a3
的所有可能取值；
（Ⅱ）对于集合
Ω(d)
，若
d≥2
. 求证：存在整数
k
，使得对
Ω(d)
中的任意数列
{a
n
}
，整数< br>k
不是数列
{a
n
}
中的项；
（Ⅲ）已知数列{a
n
}，{b
n
}
??(d)
，记
{an
}，{b
n
}
的前
n
项和分别为
A
n
,B
n
.若
a
n?1
?b
n?1
，求证：
A
n
≤B
n
.
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由于数列
{a
n
}?Ω(2)
，即
d?2
，< br>a
1
?1.

由已知有
a
2
?a
1
?d?1?2?3
，所以
a
2
??3
，
a
3
?a
2
?d?a
2
?2
，
将
a
2
??3
代入得
a
3
的所有可能取值为
?5,?1,1,5.
..............................4分

（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:
若数列
{a
n
}??(d)，
则
a
n
具有
md?1(m?Z)
的形式.

①当
n?1
时，
a
1
?0?d?1
，因此
n?1
时结论成立.
kk?N
?
）
②假设当
n?（
时结 论成立，即存在整数
m
0
，使得
a
k
?m
0
d
0
?1
成立.
当
n?k?1
时，
a
k?1
?m
0
d
0
?1?d
0
?(m
0< br>?1)d
0
?1
，
a
k?1
?(m
0?1)d?1
，或
a
k?1
??(m
0
?1)d?1.

所以当
n?k?1
时结论也成立.
对任意n?N
?
，a
n
具有
md?1(m?Z)
的形式. 由①②可知，若数列< br>{a
n
}?Ω(d)，
由于
a
n
具有
md? 1(m?Z)
的形式，以及
d?2
，可得
a
n
不是
d
的整数倍.

故取整数
k?d
，则整数
k
均不是数列
{a
n
}
中的项. .............................9分
（Ⅲ）由
a
n ?1
?a
n
?d
可得：
a
2
n?1
?a< br>2
n
?2a
n
d?d
2
.

所以有
a
2
n?1
?a
2
n
?2a
n
d ?d
2
，


a
2
n
?a
2
n?1
?2a
n?1
d?d
2
，


a
2
n?1
?a
2
n?2
?2a
n?2
d?d
2
，




a
2
2
?a2
1
?2a
1
d?d
2
.

以上各式 相加可得
a
2
n?1
?1?d
2
n?2S
n
d
，
a
2
n?1
nd
2
?1
b
2
n?1
nd
2
?1
即
A
n
??.同理 B
n
??.

2d2d2d2d
22
当
a
n?1
≤b
n?1
时，有
a
n

≤b，
+ 1n+1
22
2
a
n
b
a
2
n?1
nd
2
?1
b
n
nd
2
?1
+1n?1
?1
≤
由于
d?N，
所以，于是
?≤?，
2d2d 2d2d
2d2d

?

即
A
n
?B
n
成立
.
.............................14分