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高中数学的易错知识点总结-高中数学要记笔记吗

2020年10月6日发(作者：瞿志高)

高考数学压轴题100道汇编
1．设函数
f
?
x
?
?
?
?
1,1?x?2
，
g
?
x
?
?f
?
x
?
?ax,x?
?
1,3
? ，
?
x?1,2?x?3
其中
a?R
，记函数
g?
x
?
的最大值与最小值的差为
h
?
a
?。
（I）求函数
h
?
a
?
的解析式；（II）画出函数
y?h
?
x
?
的图象并
指出
h
?x
?
的最小值。

2．已知函数
f(x)?x?ln
?
1?x
?
,数列
?
a
n
?
满足
0?a
1
?1
,
11
a
n?1
?f
?
a
n
?
; 数列
?
b
n
?
满足
b
1
?,b
n ?1
?(n?1)b
n
,
n?N
*
.求证:
2 2
a
n
2
2
,
则当n≥2时,
b
n
?a
n
?n!
.
;
（Ⅲ）若
a
1
? （Ⅰ）
0?a
n?1
?a
n
?1;
（Ⅱ）
a
n?1
?
2
2

3．已知定义在R上的函数
f
(
x
) 同时满足：
2（1）
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
?x2
)?2f(x
1
)cos2x
2
?4asinx
2 （
x
1
,x
2
?
R，
a
为常数）；
（2）
f(0)?f()?1
；（3）当
x?［0,
?
? 44
求：（Ⅰ）函数
f(x)
的解析式；（Ⅱ）常数
a
的取值范围．

时，
f(x)
≤2
］
y
2
x
2
4．设
A(x
1
,y
1
),B(x
2 ,y
2
)是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的两点，
xb
满足
(
x
1
y
1
xy 3
,
短轴长为2，0为坐标原点.
,)?(
2
,
2
)?0
，椭圆的离心率
e?
2
baba
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

个个
nn
5．已知数列
{a
n
}
中各项为： 12、1122、111222、……、
11??????122??????2
……
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和S
n
.
x
2
y
2
+=1
的左、右焦点. 6、设
F1
、
F
2
分别是椭圆
54
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
PF
1
?PF
2
的最大值和最小值；
（Ⅱ ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F
2
C|=|F 2
D|？若存在，

求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；
(2)设过点P,且斜率为?3 的直线与曲线M相交于A,B两点.

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

8、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+ b)=f(a)f(b)，
（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x
2
)>1，求x的取值范围。

9、已知二次函数
f(x)?x?2bx?c(b,c?R)
满足
f(1)?0
，且关于
x
的方程
f(x)?x?b?0
的
两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。（1）求实数
b
的取值范围；
（2）若函数
F(x)?log
b
f(x)
在区间（-1-c
，
1-
c
）上具有单调性，求实数C的取值范围

10、已知函数
f(x)在(?1,1)上有意义,f()??1,
且任意的
x
、
y?(?1,1)
都有
2
1
2
f(x)?f(y)? f(
2x
n
1
x?y
(n?N
*
),求f(xn
).

).
（1）若数列
{x
n
}满足 x
1
?,x
n?1
?
2
2
1?xy
1?x
n
（2）求
1?f()?f(

1
5
111
)??f(
2
)?f()
的值.
11n?2
n?3n?1
11.在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足①
GA?GB?GC?0
, ②
|MA|
=
|MB|
=
|MC|
③
GM
∥
AB

（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（
2
, 0），已知
PF
∥
FQ
,
RF
∥
FN
且
PF
·
RF
= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

12．已知
?
为锐角，且
tan
?
?2?1
，函数
f(x)?x
2
tan 2
?
?x?sin(2
?
?
?
4
)
，数列 {a
n
}的首项
a
1
?
1
,a
n?1?f(a
n
)
. ⑴ 求函数
f(x)
的表达式； ⑵ 求证：
a
n?1
?a
n
；
2
111
*
1??????2(n?2,n?N)
⑶ 求证：
1?a
1
1?a
2
1?a
n

13．（本小题满分14分）已知数列
?
a
n?
满足
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1n?N
?

（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
?
b
n
?
满足
4
（Ⅲ）证明：
b
1
?1
??
4
b
2
?1
4
b
3
?1
?
4
b
n
?1
?(a
n
?1 )
b
n
，证明：
?
a
n
?
是等差数列；
11
??
a
2
a
3
?
12
??
n?N
?
?

a
n?1
3
a
2
3
a
2
x?x?cx
?
a?0
?
, 14．已知函数
g
?
x
?
??
32
（I）当
a?1
时，若函数
g
（II）当
a?
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，求实数
c
的取值范围；
3
1

时，（1）求证：对任意的
x?
?
0,1
?
，
g
?
x
?
?1
的充要条件是
c?
；
4
2

（2）若关于
x
的实系数方程
g
?
x
?
?0
有两个实根
?
,
?
，求证：
?
?1,
且
?
?1
的充要条件是
1
??c?a
2
?a.

4

n(1?n)
15．已知数列{a
n
}前n项的和为S
n
，前n项的积为
T
n
，且满足
T
n
?2
。
①求
a
1
；②求证：数列{a ③是否存在常数a，使得
?
S
n?1
?a
?
?
?
S
n?2
?a??
S
n
?a
?
n
}是等比数列；
对
n?N
都成立？若存在，求出a，若不存在，说明理由。
16、已知函数
y?f( x)
是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的
m、n?[0,??)
，
都有
f(mn)?[f(m)]
，且
f(2)?4
，又当
x?0
时，其导函数
f(x)?0
恒成立。
n'
2
??
kx?2
?
)
?
?2
，其中
k?(?1,1 ).
（Ⅰ）求
F(0)、f(?1)
的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：
? f(
2
?
2x?4
?

17、一个函数
f ?
x
?
，如果对任意一个三角形，只要它的三边长
a,b,c
都在
f
?
x
?
的定义域内，就有
2
f
? a
?
,f
?
b
?
,f
?
c
?
也是某个三角形的三边长，则称
f
?
x
?
为“保三角形函数”．
（I）判断
f
1
?
x
?
?
由；
（II）如果
g
?
x
?
是定义在
R
上的周期函数，且值域为
?
0,??
?
，证明
g
?
x?
不是“保三角形函数”；
（III）若函数
F
?
x
?
?sinx
，
x?
?
0,A
?
是“保三角形函数 ”，求
A
的最大值．

x
，
f
2
?x
?
?x
，
f
3
?
x
?
?x
2
中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理

（可以利用公式
sinx?siny?2sin

x?yx?y
）
cos
22
a
(a
n
?1)
（a为常数，且
a?0,a?1
）．
a?1
18、已知数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
满足：
S
n
?
（Ⅰ）求
{a
n}
的通项公式；（Ⅱ）设
b
n
?
2S
n
?1 ，若数列
{b
n
}
为等比数列，求a的值；
a
n 11
?
，数列
{c
n
}
的前n项和为
Tn
.
1?a
n
1?a
n?1
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ ）的情形下，设
c
n
?
1
求证：
T
n
?2 n?
．
3

19、数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
n?1
?a
n
?cn
（
c
是常数，
n?1，2，3，
），且
a
1
，a
2
，a
3
成公比不为
1
的等比数列。（I）求
c
的值；（II）求
?
a
n
?
的通项公式。
（III）由数列?
a
n
?
中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b
n
}，求
lim

22
20、已知圆
M:(x?5)?y ?36,定点N(5,0),点P为圆M
上的动点，点Q在NP上，点G
b
n?1的值。
n??
b
n
在MP上，且满足
NP?2NQ,GQ?N P?0
. （I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线
l
，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
OS?OA?OB,
是
否存在这样的直线
l
，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，试说明理由.

21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安
0
排三个救援中心（记为 A，B，C），B在A的正东方向，相距6km,C在B的北偏东30，相距4km,P
为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两
个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1kms.
（1）求A、C两个救援中心的距离；（2）求在A处发现P的方向角；
（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的
C
结论.

A
1
B
1?t
2
)
(x?0)
的最小值恰好是方程22．已知函数
y?|x|?1
，
y?x?2x?2?t
，
y?(x?
2x
x
3
?ax
2
?bx?c?0
的三个根，其中
0?t?1
．（Ⅰ）求证：
a
2
?2b?3
；

（Ⅱ）设
(x
1
,M)
，
(x
2
,N)
是函数
f(x)?x?ax?bx?c
的两个极值点．
①若
|x
1
?x
2
|?

23．如图，已知直线
l
与抛物线
x?4y
相切于点
P
(2，1)，且与 x
轴交于点
A
，
O
为坐标原点，定
点
B的坐标为（2，0）. （I）若动点M满足
AB?BM?2|AM|?0
，求点M的轨迹C；
（II ）若过点B的直线
l
′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、
F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

24．设
g(x)?px?
2
3 2
2
，求函数
f(x)
的解析式；②求
|M?N|
的取值范围．
3
qp
?2f(x),其中f(x)?lnx,且g(e)?qe??2.（
e
为自然对数的底数）
xe
（I）求p与q的关系；（II）若
g(x)
在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（III）证明： ①
f(1?x)?x(x??1)
；
ln2ln3lnn2n
2
?n?1
②
2
?
2
?
?
?2
?
（
n
∈N，
n
≥2）.
4(n?1)
23n

25．已知数列
{a
n
} 的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
?（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式；（Ⅱ）设
b
0
?
a
(a
n
?1)
（
a
为常数，且
a?0 ,a?1
）．
a?1
2S
n
?1
，若数列
{b n
}
为等比数列，求
a
的值；
a
n
11 ，数列
{c
n
}
的前
n
项和为
T
n
，求证：
?
1?a
n
1?a
n?1
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设
c
n
?
1
T
n
?2n?．
3

26、对于函数
f(x)
，若存在
x
0
?R
，使
f(x
0
)?x
0
成立，则称
x
0
为
f(x)
的不动点．如果函数
x
2
?a1
f(x)?(b,c?N*)
有且仅有两个不动点
0
、
2，且
f(?2)??
．
bx?c
2
（Ⅰ）试求函数
f(x)
的单调区间；
11n?11
?ln??
；（Ⅱ）已知各项不为零的数列
?
an
?
满足
4S
n
f()?1
，求证：
?
a
n
a
n?1
na
n

（Ⅲ）设
b
n
??

1
，
T
n
为数列
?
b
n
?
的前
n
项和，求证：
T
2008
?1?ln2008?T
2007
．
a
n
27、已知函数（fx）的定义域为{x| x ≠ kπ，k ∈ Z}，且对于定义域内的任何x、y，有（fx ? y） =
f (x)·f (y)＋1
f (y)－f (x)
成立，且f（a） = 1（a为正常数），当0 < x < 2a时，f（x） > 0．（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f
（x）为周期函数；（III）求f （x）在[2a，3a] 上的最小值和最大值．

28、已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上 ,且满足 2PM?3MQ?0
，
RP?PM?0
.（Ⅰ）⑴当点P在y轴上移动时，求点 M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设
A(x
1
,y
1
) 、B( x
2
,y
2
)
为轨迹C上两点，且
x
1
? 1, y
1
?0
，N(1,0)，求实数
?
，使
AB? ?
AN
，
且
?AB??

29、已知椭圆W的中心在原点，焦点在
x
轴上，离心率为
16

3
6
，两条准线间的距离为6. 椭圆W的
3
左焦点为
F ，过左准线与
x
轴的交点
M
任作一条斜率不为零的直线
l与椭圆W交于不同的两点
A
、
B
，点
A
关于
x
轴的对称点为
C
.
（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）求证：
CF?
?
FB
(
?
?R
)；（Ⅲ）求
?MBC
面积
S
的最大值.

30、已知抛物线
C:y?ax
，点P（1，－1）在抛物线C上，过点P 作斜率为k
1
、k
2
的两条直线，
分别交抛物线C于异于点P的两点 A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），且满足k
1
+k
2
=0.
（I）求抛物线C的焦点坐标；（II）若点M满足
BM?MA
，求点M的轨迹方程.

2
131．设函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx(a?b?c)
，其图象在点
A(1,f(1)),B(m,f(m))
处的切线的斜率分
3
别为
0,?a
．（Ⅰ）求证：
0
≤
b
（Ⅱ）若函数
f(x)
的递增区间为
[s,t]
，
?1
；
a求
|s?t|
的取值范围；（Ⅲ）若当
x
≥
k
时（k
是与
a,b,c
无关的常数），
恒有
f
?1
(x)?a?0
，试求
k
的最小值．

32．如图，转盘游戏．转盘被分成8个均匀的扇形区域．游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭
头A所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）．假设箭头指到区域分界线

的概率为 0.1
，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为
?
．求
?
的分布列及
数学期望．（数学期望结果保留两位有效数字）

x
2
y
2
??1
(m?0)
的左，右焦点． 33 ．设
F
1
，
F
2
分别是椭圆
C
：
22
6m2m
|PF
1
|?|PF
2
|?8
时，求椭圆C的左，右焦点
F
1
、
F
2
．（1）当
P? C
，且
PF
1
PF
2
?0
，
（2）
F
1
、
F
2
是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知
F2
的半径是1，过动点
Q
的作
F
2
切线
QM ，使得
QF
1
?2QM
（
M
是切点），如下图．求动点
Q
的轨迹方程．

y
Q（x，
M
F
1

O
F
2

x
34．已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?5
,
a
2
?5
，
a
n?1
?a
n
?6a
n?1
(n?2)
．
（1）求证：
?
a
n?1
?2a
n
?
是等比数列；（2）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
 nn
?
（3）设
3b
n
?n(3?a
n
) ，且
b
1
?b
2
??b
n
?m
对于
n?N
恒成立，求
m
的取值范
35．已知集合
D?
?
(x
1
，x
2
)x
1
?0，x
2?0，x
1
?x
2
?k
（1）设
u?x
1x
2
，求
u
的取值范围；
（2）求证：当
k?1时不等式
(
?
（其中
k
为正常数）．
11k2
?x
1
)(?x
2
)?(?)
2
对任意
(x1
,x
2
)?D
恒成立；
x
1
x
2
2k
（3）求使不等式
(
11k2
?x
1
)(?x
2
)?(?)
2
对任意
(x
1
,x
2)?D
恒成立的
k
2
的范围．
x
1
x
2
2k
6
x
2
y
2
36、已知椭圆C：
2
＋
2
＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆
3
b
a
C于A
，
B两点，N为弦AB的中点。（1）求直线ON（O 为坐标原点）的斜率K
ON
；
（2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角
?
（
?
∈R）使等式：
OM
＝cos
?
O A
＋sin
?
OB
成立。
37、已知曲线C上任意一点M到点F（ 0，1）的距离比它到直线
l:y??2
的距离小1。
（1）求曲线C的方程；（2）过点
P(2,2)的直线m与曲线C交于A,B两点,设AP?
?
PB.

①当
?
?1时,求直线m
的方程；②当 △AOB的面积为
42
时（O为坐标原点），求
?
的值。

38、已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，对一切正整数
n
，点
P
n
(n,S
n
)
都在函数
f(x)?x?2x
的图
像上，且过点
P
n (n,S
n
)
的切线的斜率为
k
n
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式．（2）若
b
n 2
?2
k
n
a
n
，求数列
{b
n }
的前
n
项和
T
n
．
（3）设Q?{xx?k
n
,n?N
?
},R?{xx?2a
n
,n?N
?
}
，等差数列
{c
n
}
的任一项
c
n
?Q?R
，
其中
c
1
是
Q?R中的最小数，
110?c
10
?115
，求
{c
n}
的通项公式.
39、已知
S
n
是数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
3
a
1
?,a
2
?2
，且
S
n?1
?3S
n
?2Sn?1
?1?0
，其中
2
S
n
?n
*
lim
n?2,n?N
. (1)求数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
；(2)计算
n??
的值. ( 文) 求
S
n
.
a
n

11n?1
1
4 0、函数
f(x)
对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝. （1）求
f()和f()?f(

)(n?N)
的值；
2
2nn
（2）数列
{a
n
}满足a
n
?f(0)?f()?f()???f(
（3）令
b
n
?

2
41．已知数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?2a?1
（a是常数，且
a??1
），
a
n
?2a
n?1
?n?4n?2
（
n?2
），
1
n
2
n
n?1
)?f(1 ),求数列{a
n
}
的通项公式。
n
16
试比较T
n
与S
n
的大小。
n 4
4a
n
?1
22
,T
n
?b
1 2
?b
2
?b
3
2
???b
n
,S
n
?32?
2
数列
?
b
n
?
的首项
b
1
?a
，
b
n
?a
n
?n （
n?2
）。
（1）证明：
?
b
n
? 从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设
S
n
为数列
?
b
n
?
的前n项和，且
?
S
n
?
是等比数列，求实数a的值；
（3）当a>0时，求数列
?
a
n
?
的最小项。

42．已知抛物线C：
y?2px(p?0)
上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；
（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们
把它称为原来问题的一个“逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥
2

的体积”．求出体积
16
后，它的一个“逆向” 问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为
16
，
33
求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为
16
，求所有侧面面积之和的最小值”．
3
现有正确命题：过点
A(?
p
,0)
的直线交抛物线C：
y
2
?2px(p?0)
于P、Q两点，设点P关于
2
x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F。
试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

5?2x
，设正项数列
?
a
n
?
满足 a
1
=l，
a
n?1
?f
?
a
n ?
．
16?8x
5
(I)写出
a
2
，
a
3
的值; (Ⅱ)试比较
a
n
与的大小，并说明理由；
4
43．已知函数f(x)=
n
51
n
(Ⅲ)设数列?
b
n
?
满足
b
n
=－
a
n
，记S
n
=
?
b
i
．证明：当n≥2时,S
n
＜(2－1)．
44
i?1

3
44．已知函数f(x)=x－3ax(a∈R)． (I)当a=l时，求f(x)的极小值；
(Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围；
(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．
 45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A
n
}，{B
n
}，{C
n
}，其中
A
n
(n,a
n
),B
n(n,b
n
)

C
n
(n?1,0)
，满足向量
A
n
A
n?1
与向量
B
nC
n
共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的
线上
a
1
?a,b
1
??a.
（1）试用
a
与n表示
a
n
(n?2)
；
（2）若
a
6
与
a
7
两项中至少有一项是
a
n
的最小值，试求
a
的取值范围。

46．已知
F1
(?2,0),F
2
(2,0),点P满足|PF
1
|?|P F
2
|?2
，记点
P
的轨迹为
E
. （1）求轨迹
E
的方程；
（2）若直线
l
过点
F2
且与轨迹
E
交于
P
、
Q
两点. （i）无论直线
l
绕点
F
2
怎样转动，在
x
轴上
总存在定点
M(m,0)
，使
MP?MQ
恒成立，求实数
m
的值 .
（ii）过
P
、
Q
作直线
x?
1
的垂线
PA
、
OB
，垂足分别为
A
、
B
，记
?
?
|PA|?|QB|
，求λ的取值范
2
|AB|
围.

47．设
x
1
、
x
2
(x1
?x
2
)是函数f(x)?ax
3
?bx
2
?a
2
x(a?0)
的两个极值点.
（1）若
x
1
??1,x
2
?2
，求函数
f
(
x
)的解析式；（2）若
|x
1
|?|x
2
|?22,求b
的最大值；
（3）若
x
1
?x?x
2
,且x
2
?a,函数g(x)?f
?
(x)?a(x?x
1
)
，求证：
|g(x)|?
48．已知
f(x)?log
a
x(0?a?1),{a n
}
，若数列{
a
n
}

使得2,f (a
1
),f(a
2
),f(a
3
),??,f(a
n
),2n?4(n?N*)
成等差数列.

1
a(3a?2)
2
.

12

（1）求{
a
n
}的通项
a
n
;
2a
4
2na
2n?4
?1,求证:S
n
??3.
（2）设
b
n
?a
n
?f(a
n
),
若 {b
n
}的前n项和是S
n
，且
22
1?a1?a
x
2
y
2
49．点P在以
F
1
,F
2为焦点的双曲线
E:
2
?
2
?1
(a?0,b?0) 上，已知
PF
1
?PF
2
，
ab
|PF1
|?2|PF
2
|
，O为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率
e
；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于
P
1
,P2
两点，且
OP
1
?OP
2
??
求双曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点
Q(m,0)
（
m
为非零常数）的直线
l
与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两
点M、N，且
MQ?
?
QN
（
?
为非零常数），问在
x
轴上是否存在定点G，使 F
1
F
2
?(GM?
?
GN)
？
若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

50.已知函数
f( x)?ax?3x?6ax?11
，
g(x)?3x
2
?6x?12
，和直线
m:y?kx?9
，又
32
27
，
2PP
1
?PP
2
?0
，
4
f
?
(?1)?0 ．（Ⅰ）求
a
的值；
（Ⅱ）是否存在
k
的值，使直线 m
既是曲线
y?f(x)
的切线，又是
y?g(x)
的切线；如果存在，
求出
k
的值；如果不存在,说明理由．
（Ⅲ）如果对于所有x??2
的
x
,都有
f(x)?kx?9?g(x)
成立，求 k
的取值范围．

51．已知二次函数
f(x)?ax?bx?c, (a,b,c?R)
满足：对任意实数
x
，都有
f(x)?x
，且当
x?
（1，3）时，有
f(x)?
2
1
(x?2)
2
成立。（1）证明：
f(2)?2
。
8
（2）若
f(?2)?0,f(x)
的表达式。
（3）设
g(x)?f(x)?
m的取值范围。

52．（1）数列{a
n
}和{b
n
}满足
a
n
?
m1
x

x?[0,??)
，若
g(x)
图上的点都位于直线
y?
的上方，求实数
4
2
1
(b
1
?b
2
???b
n
)
（n=1，2，3…），求证{b
n
}为等差数列的
n
充要条件是{
a
n
}为等差数列。（8分）
（2）数列{
a
n
}和{c
n
}满足
c
n
?a
n
?2a
n?1
(n?N*)
，探究
{a
n
}
为等差数列的充分必要条件，需
说明理由。[提示：设数列{b n
}为
b
n
?
a
n
?
a
n ?2
(n
?
1,2,3
?
)

53．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得 2分，
平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根
据以往经验，每局甲赢的概率为
11
，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n局
23
*
赢、平、输的得分分别记为
a
n
?2、
a
n
?1
、
a
n
?0
n?N,1? n?5,
令
S
n
?a
1
?a
2
???a n
.
(Ⅰ)求
S
3
?5
的概率；（Ⅱ）若随机变量
?
满足
S
?
?7
（
?
表示局数），求?
的分布列和期望.

54．如图，已知直线
l
与抛物线
x?4y
相切于点P(2, 1)，且与
x
轴
交于点A，定点B的坐标为(2, 0) .（I）若动点M满足
2
AB?BM?2AM?0
，求点M的轨迹C；（II）若过点B的直线
l
?
（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在 B、F
之间），试求
?
OBE与
?
OBF面积之比的取值范围.

55,已知A、B是椭圆
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1(a?b?0)
的一条弦，M(2，1)是AB中点，以 M为焦点，以椭圆的右
准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N(4，—1).
(1)设双曲线的离心率e，试将e表示为椭圆的半长轴长的函数.
(2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程.
(3)求出椭圆长轴长的取值范围.

56已知：
A
M
O
B
N
x
y
f(x)??4?
线
11
,数列{a}的前n项和为S,点P(a,?)
在曲
nnnn
a
n?1
x
2
y?f(x)上(n?N
*
),且a
1
?1,a
n
?0.

（1）求数列{a
n
}的通项公式；（2）数列{b
n
}的前n项和为T
n
，且满足
T
n?1
T
n
2
??16n?8n?3
，
22
a
n
a
n?1
设定b
1
的值，使得数列{b
n
}是等差数列；（3）求证：
S
n
?
1
4n?1?1,n?N
*

2

57、已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，并且满足a
1
＝2,na
n
＋
1
＝S
n
＋ n(n＋1).
{
（1）求数列
{a
n
}的通项公式a
n
；（2）设
T
n
为数列
58、已知向量
m?(,
a
n
}的前n项和,求T
n
.

n
2
111
) (a?0)，将函数f(x)?ax
2
?a
的图象按向量m平移后得到函数
a2a2

g(x)
的图象。
（Ⅰ）求函数
g(x)
的表达式；（Ⅱ）若函数
g(x)在[2,2]
上的最小值为
h(a)，求h(a)
的最大值。

59、
已知斜三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的各棱长均为2，侧棱
BB
1
与底面
ABC
所成角为
B
?
，
3
A
C
且侧面
ABB
1
A
1
? 底面
ABC
.
（1）证明：点
B
1
在平面
ABC
上的射影
O
为
AB
的中点；
（2）求二面角
C?AB
1
?B
的大小；（3）求点
C
1
到平面
CB
1
A
的距离.
B
O
A
C

60、如图，已知四棱锥
S? ABCD
中，
?SAD
是边长为
a
的正三角形，平面
SAD ?
平面
ABCD
，四边
S
形
ABCD
为菱形， ?DAB?60
，
P
为
AD
的中点，
Q
为 SB
的中点.
（Ⅰ）求证：
PQ
平面
SCD
；（ Ⅱ）求二面角
B?PC?Q
的大小．

61．设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{
a
n
}的集合：
A
D
P
Q
C
a?a
n?2
?a
n?1
;
②
a
n
?M.其中n?N
*
,
M是与n无关的常数. ①
n
2
（1）若{
a
n
}是等差数列，S
n是其前n项的和，a
3
=4，S
3
=18，证明：{S
n
}∈W
n
（2）设数列{
b
n
}的通项为
b
n
?5n?2,且{b
n
}?W
，求M的取值范围；
B
（3）设数列{
c
n
}的各项均为正整数，且
{c
n
}?W .证明：c
n
?c
n?1

62．数列
?
a
n
?
和数列
?
b
n
?
（
n? N
+
）由下列条件确定：（1）
a
1
?0
，
b1
?0
；
（2）当
k?2
时，
a
k
与
b
k
满足如下条件：当
a
k?1
?b
k?1a?b
?0
时，
a
k
?a
k?1
，
b
k
?
k?1k?1
；当
22
a
k?1
?b
k?1
a?b
?0
时，
a
k
?
k?1k? 1
，
b
k
?b
k?1
.
22
解答下列问题：（Ⅰ）证明数列
?
a
k
?b
k
?
是等比数列；
（Ⅱ）记数列
?
n(b
k
?a
n
)
?的前
n
项和为
S
n
，若已知当
a?1
时，lim
（Ⅲ）
n(n?2)
是满足
b
1
?b
2
?

n
S
n
.
?0
，求
lim
n??
n??
a
n
?b
n
的最大整数时，用
a
1
，
b
1
表示
n
满足的条件.
1
?ax,x?
?
0,??
?
(a为实常数)．
x
(1) 当a = 0时，求
f
?
x
?
的最小值；
63. 已知函数
f
?
x
?
?lnx?

(2)若
f
?
x
?
在
[2,??)
上是单调函数，求a的取值范围；
(3)设各项为正的无穷数列
{x
n
}
满足
lnx
n
?
32
1
?1
?
n?N*
?
,
证明：
x
n
≤1(n∈N
*
)．
x
n?1
64.设函数
f(x)?x?ax?bx
(x?0)
的图象与直线
y?4 相切于
M(1,4)
．
（Ⅰ）求
f(x)?x?ax?bx
在区间
(0,4]
上的最大值与最小值；
（Ⅱ）是否存在两个不等正数
s, t
(s?t)
，当
x?[s,t]
时，函数
f(x)?x?ax?b x
的值域也是
32
32
[s,t]
，若存在，求出所有这样的正数 s,t
；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设存在两个不等正数
s,t
(s?t)
，当
x?[s,t]
时，函数
f(x)?x?ax?bx
的值域是
32
[ks,kt]
，求正数
k
的取值范围．

65. 已知数列
?
a
n
?
中，
a
1?1
，
na
n?1
?2(a
1
?a
2
?...?a
n
)n?N
*
．
（1）求
a
2
,a
3
,a
4
；（2）求数列
?
a
n
?
的通项
a
n
；
（3）设数列
{b
n
}
满足
b
1
?
2
??
11
2
,b
n?1
?b
n
?b
n
，求证：
b
n
?1(n?k)

2a
k
66、设函数
f
?
x
?
?
?
1?x ?
?2ln
?
1?x
?
.(1)求
f
?x
?
的单调区间;
(2)若当
x?
?
?1,e?1 ?
时,(其中
e?2.718?
)不等式
f
?
x?
?m
恒成立,求实数
m
的取值范围;
(3)试讨论关于x
的方程:
f
?
x
?
?x?x?a
在区间?
0,2
?
上的根的个数.
2
?
1
?
e
?
?

67、已知 f(x)?x
2
?ax?a(a?2,x?R)
，
g(x)?e
?x
，
?(x)?f(x)?g(x)
.
（1）当
a?1
时，求
?(x)
的单调区间；
（2）求 g(x)
在点
(0,1)
处的切线与直线
x?1
及曲线
g(x)
所围成的封闭图形的面积；
（3）是否存在实数
a
，使
?(x)
的极大值为3？若存在，求出
a
的值，若不存在，请说明理由.

3
x
2
y
2
68、已知椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，直线l
：
y=x+2与以原点为圆心、椭圆
3
ab
C
1
的短半轴长为半径的圆O相切。（1）求椭圆C
1
的方程；
（2）设椭圆C
1的左焦点为F
1
，右焦点为F
2
，直线l
1
过点F1
，且垂直于椭圆的长轴，动直线l
2
垂直于l
1
，垂足为点P ，线段PF
2
的垂直平分线交l
2
于点M，求点M的轨迹C
2
的方程；
（3）设C
2
与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C
2
上，且满足
QR?RS?0
，

求
|QS|
的取值范围。

x
2
y
2
69、已知
F
1
,F
2
是椭圆C:
2
?
2
?1
（a>b>0）
的左、右焦点，点P
(?2,1)
在椭圆上，线段
PF
2
ab
与y轴的交点M满足
PM?F
2
M?0
。（1）求椭圆C的方程。（2）椭圆C上任一动点M
(x
0
,y
0
)
关
于直线
y=2 x
的对称点为
M
1
（x
1
,y
1
）
,求
3x
1
-4y
1
的取值范围。

x
2
2
70、已知
A,B,C
均在椭圆
M:
2
?y ?1(a?1)
上，直线
AB
、
AC
分别过椭圆的左右焦点
F
1
、
a
F
2
，当
AC?F
1
F
2
?0
时，有
9AF
1
?AF
2
?AF 1
.
2
(Ⅰ)求椭圆
M
的方程; (Ⅱ)设
P 是椭圆
M
上的任一点，
EF
为圆
N:x?
?
y?2
?
?1
的任一条
2
2
直径，求
PE?PF 的最大值.
71.如图，
A(m,3m)
和
B(n,?3n)两点分别在射线OS、OT上
移动，且
OA?OB??
1
，O为坐标原点，动点P满足
OP?OA?OB
.
2
（Ⅰ）求
m?n
的值；
（Ⅱ）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（Ⅲ）若直线l过点E（2，0）交（Ⅱ）中曲线C于M、N两
点，且
ME?3EN
，求l的方程.

72.已知函数
f(x)?
O
y
A
P
x
B
1
2
x?alnx,g(x)?(a?1)x(a??1),H(x)? f(x)?g(x)
。
2
(1)若函数f（x）、g（x）在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
(2)?、?是函数H（x）的两个极值点，? ?
?(1,e](e?2.71828
x
2
?[
? ,
?
]
，不等式
|H(x
1
)?H(x
2 )|?1
成立

2
73. 设
f(x)
是定义在 ?
?1,1
?
上的奇函数，且当
?1?x?0
时，
f(x)?2x?5ax
?4ax?b

32
)
。求证：对任意的x
1
、
(Ⅰ)求函数
f(x)
的解析式； (Ⅱ) 当1?a?3
时，求函数
f(x)
在
?
0,1
?
上的最大值
g(a)
；
(Ⅲ)如果对满足
1?a?3
的一切实数 a
，函数
f(x)
在
?
0,1
?
上恒有f(x)?0
，求实数
b
的取值范围．
74.已知椭圆
C的中心为原点，点
F
(1,0)
是它的一个焦点，直线
l
过点 F
与椭圆
C
交于
A,B
两点，

5
．（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
6
（Ⅱ）是否存在直线
l
，使得在椭圆
C
的右准线上可以找到一点
P
，满足
?ABP
为正三角形．如果
存在，求出直线
l
的方程；如果不存在，请说明理由．
且当直线
l
垂直于
x
轴时，
OA?OB?

75. 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1?
a
n?1
1
(n?2,n?N)
．，
a
n
?
n
4
?
?1
?
a
n?1
?2 （Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n；（Ⅱ）设
b
n
?
（Ⅲ）设
c
n
?a
n
sin
1
a
n
2
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
；
(2n?1) ?
4
?
，数列
?
c
n
?
的前
n
项和为
T
n
．求证：对任意的
n?N
，
Tn
?
．
7
2
1
ax2
76、已知函数
f(x)?(x?x?)e(a?0)

a
（1）求曲线
y?f(x)在点
A(0,f(0))
处的切线方程
（2）当
a?0
时，求函数
f(x)
的单调区间
（3）当
a?0
时，若不等式
f(x)?

77、已知函数
f(x)?
3
?
3
?
?0,对x?
?
?, ??
?
恒成立，求
a
的取值范围。
a
?
a
?
x?a
，其中
a
为实数．
lnx
(1)当
a?2
时，求曲线
y?f(x)
在点 (2,f(2))
处的切线方程；
(2)是否存在实数
a
，使得对任意
x?(0,1)?(1,??)
，
f(x)?
若存在，求出
a
的值并加以证明．

x
恒成立?若不存在，请说明理由，
1
2
7
x?mx?(m?0)
，直线
l
与函数
f(x)、
g(x)
的图像都相切，且
22
与函数
f(x)
的图像的切点的横坐标为1。（Ⅰ）求直线
l
的方程及
m
的值；
（Ⅱ）若
h(x)?f(x?1)?g'(x)(其中g'(x)是g(x)
的导函数），求函数h(x)
的最大值；
（Ⅲ）当
0?b?a
时，比较：
a?2a f(a?b)
与
b?2af(2a)
的大小，
78、已知
f(x)?lnx,g(x)?

79、已知抛物线
C ：
y?4x
的准线与
x
轴交于
M
点，过
M 点斜率为
k
的直线
l
与抛物线
C
交于
A、
2
B
两点(
A
在
M
、
B
之间)． (1)
F
为抛物线
C
的焦点，若
|AM|?
5|AF|
，求
k
的值；
4
(2)如果抛物线
C上总存在点
Q
，使得
QA?QB
，试求
k
的取值范围．
80、在平面直角坐标系中，已知定圆F:（F为圆心），定直线,作与圆

F内切且和直线相切的动圆P， (1)试求动圆圆心P的轨迹E的方程。
（2）设过定圆心F的直线自下而上依次交轨迹E及定园F于点A、B、C、D，
①是否存在直线
理由。 ②当直线
请说明理由。
，使得
绕点F转动时，
成立？若存在，请求出这条直线的方程；若不存在，请说明
的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，

81.已知函数
f
?
x
?
? x
2
?mx?n
的图像过点
?
13，
?
，且
f
?
?1?x
?
?f
?
?1?x
?
对任意实数都成立，
函数
y?g
?
x
?
与
y?f
?
x
?
的图像关于原点对称。
（Ⅰ）求
f
?
x
?
与
g
(
x
)
的解析式；
（Ⅱ）若 F
(
x
)
=g
(
x
)
—
?

?
82.设数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
满足
a
1
?b
1
?6,a
2
?b
2
?4,a
3
?b
3
?3
，且数列
?
a
n?1
?a
n
?
n?N
是等差
?
数列，数列
?
b
n
?2
?
n?N是等比数列。（I）求数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的通项公式；
f
?
?1?x
?
?f
?
?1?x
?
，f
?
1
?
?3

f
?
x
?
在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围； ??
??
?
（II）是否存在
k?N
，使
a
k
?b
k
?
?
0,
?
，若存在，求出
k，若不存在，说明理由。
?
?
1
?
2
?
2 2S
n
83. 数列
{a
n
}
的首项
a1
?1
，前n项和S
n
与a
n
之间满足
an
?(n?2).

2S
n
?1
（1）求证：数列{
1
}的通项公式；（ 2）设存在正数k，使
(1?S
1
)(1?S
2
)
?
(1?S
n
)?k2n?1
S
n
对一切
n?N*
都成立，求k的最大值.

x
2
y
2
84.已知F1
、F
2
分别是椭圆
2
?
2
?1(a?0,b ?0)
的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，
ab
并且满足，B是上半椭圆上满足
NA?
?
NB
的两点，其中
?
?[,].

F
1
F
2
?2NF
1
,|F
1
F
2
|?2.
设A、
（1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
（2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上， 并求点P的纵坐标的取值范围.

85.已知函数
f(x)?ln(x?)?
11
53
3
2
2
,g(x)?lnx.
（1）求函数f(x)是单调区间；
x

（2）如果关于x的方程
g(x)?
1
x?m
有实数根，求实数
m
的取值集合；
2
（3）是否存在正数k，使得关于x的方程
f(x)?kg(x)
有两个不相等的实数根？如果存在，求k
满足的条件；如果不存在，说明理由.

86、已知抛物线
y?2px(p?0)
的焦点为
F
，直线
l
过点 A(4,0)
且与抛物线交于
P,Q
两点.并设
以弦
PQ为直径的圆恒过原点.(Ⅰ)求焦点坐标； (Ⅱ)若
FP?FQ?FR
，试求动点
R
的轨迹方程.

2
x
2
y
2
87、
已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的点到右焦点F的最小距离是
2?1
，
F 到上顶点
ab
的距离为
2
，点
C(m,0)
是线段 OF
上的一个动点.（I）求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过点
F 且与
x
轴不垂直的直线
l
与椭圆交于
A
、
B
两点,使得
(CA?CB)?BA
,并说明理由.

88、椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为
A(0,2)
，右焦点
F
与点
B( 2,2)
的距离为
2
。
（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率k?0
的直线
l
：
y?kx?2
，使直线
l
与椭圆相交于不
同的两点
M,N
满足
|AM|?|AN|
，若存在，求直线
l
的倾斜角
?
；若不存在，说明理由。

89、已知数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，且对一切正整数n都有
S
n
?n?
2
1
a
n
。
2
（1）证明：
a
n?1
?a
n
?4n?2
；（2）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（3）设
f(n)?
?
?
1?
?
?
1
??
1?
?
1
?
???
1?
?
1?
???
a
1
?
??
a
2
?
?
a n
?
?
?
n?N
f(n?1)?f(n)
，求证：对
都成立。
2n?1
?
?

90、已知等差数列
?
a
n
?
的前三项为
a?1,4,2a,
记前
n项和为
S
n
．
(Ⅰ)设
S
k
?2550，求
a
和
k
的值； (Ⅱ)设
b
n
?

91.已知
f
?
x?
定义在R上的函数，对于任意的实数a，b都有
f
?
ab
? ?af
?
b
?
?bf
?
a
?
，且 f
?
2
?
?1

S
n
，求
b
3
?b
7
?b
11
?????b
4n?1
的值．
n
?
1
?
（1）求
f
??
的值，（2）求
f2
?n
的解析式（
n?N
?
）
?
2
?
??
92. 设函数
f
?
x
?
?xx?a?b
（1）求证： f
?
x
?
为奇函数的充要条件是
a
2
?b 2
?0

（2）设常数
b
＜22?3
，且对任意x
?
?
0,1
?
，
f?
x
?
＜0恒成立，求实数
a
的取值范围

93.已知函数
f(x)?x
2
?(a?3)x?a
2
?3a
（a为常数）.
（1）如果对任意
x?[1,2],f(x)?a
2
恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数
p,q,r
满足：
p,q,r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程
f(x)?0
的两实根，
判断① p?q?r
，②
p
2
?q
2
?r
2
，③
p
3
?q
3
?r
3
是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把
不是定值的表示为函数
g(a)
，并求
g(a)
的最小值；
（3）对于（2）中的
g(a)
，设
H(a)??[g(a) ?27]
，数列
{a
n
}
满足
a
n?1
? H(a
n
)

(n?N
*
)
，且
1
6
a
1
?(0,1)
，试判断
a
n?1
与
a
n
的大小，并证明.

94．如图，以A
1
，A2
为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C，D，C
1
，D
1
，连接CC
1
与OB
交于点H，且有：
OH?(3?23)HB
。其中A
1
，A
2
，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半
焦距。（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数。
（3）连接A
1
C与双曲线E交于F，是否存在实数
?
,使A
1
F?
?
FC
恒成立，
若存在，试求出
?
的值；若不存在，请说明理由.

1
32
95.设函数
f(x)?ax?bx?cx(a?b?c),其图象在点A(1,f(1),B(m,f(m))
处的切线的斜率
3
b
分别为0，－ a. （1）求证：
0??1
；
a
（2）若函数f（x）的递增区间为[s，t]，求|s－t|的取值范围.
（3 ）若当x≥k时，（k是a，b，c无关的常数），恒有
f'(x)?a?0
，试求k的最小值
f(x)(x?0)
96. 设函数
f(x)?ax
2
?bx?1( a,b为实数),F(x)?
?

?
(x?)
?
?f(x)
（1）若
f(?1)?0 且对任意实数均有
f(x)?0
成立，求
F(x)
表达式；
（2）在（1）在条件下，当
x?[?2,2]时，g(x)?f(x)?kx
是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn<0，m+n>0，a>0且
f(x)
为偶函数，证明
F(m)?F(n)?0.

97. 在平面直角坐标系内有两个定点
F
1
、F
2
和动点P，
F
1
、F 2
坐标分别为
F
1
(?1,0)
、
F
2
(1,0)
，动

点
P满足
|PF
1
|
2
，动点
P
的轨迹为曲线C
，曲线
C
关于直线
y?x
的对称曲线为曲线
C'，直
?
|PF
2
|2
线
y?x?m?3
与曲线
C'
交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积为
7
，
（1）求曲线C的方程；（2）求
m
的值。

98.数列?
a
n
?
，
a
1
?1,a
n?1?2a
n
?n
2
?3n(n?N
?
)

存在，说明理由。
⑵设
b
n
?
1
，S
a
n
?n?2
n?1
n
⑴是否存在常数
?
、
?
，使得数列
?
a
n
?
?
n
2
?
?
n
?
是等比数列，若存在，求出
?
、
?
的值，若不
?b
1
?b
2
?b
3
?
??b
n
，证明：当
n?2
时，
6n5
?S
n ?
.
(n?1)(2n?1)3

99、数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,a
1
? 10,a
n?1
?9S
n
?10
。
（I）求证：
{lga
n
}
是等差数列；（Ⅱ）设
T
n
是数列
?
??
3
?
的前
n
项和，求
T
n
；
(lga)(lga)
nn?1
??
（Ⅲ）求使
T
n
?(m?5m)
对所有的
n?N
恒成立的整数
m
的取值集合。

100、已知数列｛
a
n
｝中，
a
1
?
1
4
2
?
1
在直线y=x上，其中n=1,2,3…. ,点（n,2a
n?1
?a
n
）
2
的通项；
（1）令
b
n
?a
n?1
?a
n
?1,
求证数列
?
b
n
?
是等比数列; （2）求数列
?
a
n
?

?
b
n
?
的前
n
项和,是否存在实数
?
，使得数列
?
、 ⑶ 设
S
n
、T
n
分别为数列
?
a
n
?
数列？若存在，试求出
?
.若不存在,则说明理由。
?
S
n
?
?
T
n
?
?
为等差
n
??

高考数学压轴题100道汇编参考答案
1．解：（I）
g
?
x
?
?
?

1?ax,1?x?2

?
?
1?a
?
x?1,2 ?x?3
?
（1）当
a?0
时，函数
g
?
x
?
是
?
1,3
?
增函数，此时，
g
?
x
?
max
?g
?
3
?
?2?3a
， g
?
x
?
min
?g
?
1
?
?1?a
，所以
h
?
a
?
?1?2a
；——2分
（2）当
a?1
时，函数
g
?
x
?
是 ?
1,3
?
减函数，此时，
g
?
x
?
min
?g
?
3
?
?2?3a
，
g
?
x
?
max
?g
?
1
?
?1?a
，所以
h
?
a
?
?2a?1
；————4分

（3）当
0?a?1
时，若 x?
?
1,2
?
，则
g
?
x
??1?ax
，有
g
?
2
?
?g
?
x ?
?g
?
1
?
；
若
x?
?
2,3
?
，则
g
?
x
?
?
?
1 ?a
?
x?1
，有
g
?
2
?
?g
?
x
?
?g
?
3
?
；
因此，
g
?
x
?
min
?g
?
2
?
?1? 2a
，————6分
而
g
?
3
?
?g
?
1
?
?
?
2?3a
?
?
?
1?a
?
?1?2a
，
故当
0?a?
当
1
时，
g
?
x
?
max
?g
?
3
??2?3a
，有
h
?
a
?
?1?a
；
2
1
?a?1
时，
g
?
x
?
max?g
?
1
?
?1?a
，有
h
?
a?
?a
；————8分
2
?
1?2a,a?0
??
1?a,0?a?
1
?
2
综上所述：
h
? a
?
?
?
。————10分
1
?
a,?a ?1
?
2
?
2a?1,a?1
?
（II）画出
y?h
?
x
?
的图象，如右图。————12分数形结合，可得
h
?
x
?
min
?h
?

?
1
?
1
?
?
。————14分
2
??
2
*
2．解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明
0?a
n
?1
,
n?N
.

（1）当n=1时,由已知得结论成立;
（2）假设当n=k时,结论成立,即
0? a
k
?1
.则当n=k+1时,
因为0f
?
(x)?1?
1x
??0
,所以f(x)在(0,1)上是增函数.
x?1x?1
又f(x)在
?
0,1
?
上连续,所以f(0)a
k
)a
k?1
?1?ln2?1 .
故当n=k+1时,结论也成立. 即
0?a
n
?1
对于一切正整数都成立.————4分
又由
0?a
n
?1
, 得
a
n?1
?a n
?a
n
?ln
?
1?a
n
?
?a
n
??ln(1?a
n
)?0
,从而
a
n?1?a
n
.
综上可知
0?a
n?1
?a
n
?1.
————6分

x
2
x
2
?ln(1?x)?x
, 022
x
2
?0,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在
?
0,1
?
上连续, 所以g(x)>g(0)=0. 由
g
?
(x)?
1?x

a
n
2
a
n
2
?f
?
a
n
?
>0,从而
a
n?1
?.
————10分因为
0?a
n
?1
,所以
g
?
a
n
?
?0
,即
22
(Ⅲ) 因为
b
1
?
b
11
n?1
,
,b
n?1
?(n?1)b
n
,所以
b
n
?0
,n?1
?
b
n
2
22
所以
b
n?
b
n
b
n?1
?
b
n?1
b
n?2
b
2
1
?b
1
?
n
?n!
————① , ————12分
b
1
2
a
n
a a
?
12
a
n?1
22
a
n?1
,
2

a
n
2
aaa
a
a
,
知:
n?1
?
n
, 所以
n
=
2
? 3
由(Ⅱ)
a
n?1
?
a
1
a
1 a
2
a
n
2
2
因为
a
1
?

2
, n≥2,
0?a
n?1
?a
n
?1.

2
aa
所以
a
n
?
12
22

a
1
n
2?a
1
2
1
a
n?1
?a
1
<
n?1
<
n
=
n
————② . ————14分
22
2
2
由①② 两式可知:
b
n
?a
n
?n!
.————16分
?
?
x??x
?
x
1
?0
?
?
1
4
2
3．（Ⅰ）在
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
?x
2
)?2f(x
1
)cos2x
2
?4a sinx
2
中,分别令
?
；
?
；
?
x2
?x
?
x?
?
2
?
?4

?
?
x?
?
?
1
4
?
? x?
?
2
?
?4
?
?
f(x)?f(?x) ?2cos2x?4asin
2
x, ①
?
?
?
②
得
?
f(+x)?f(x)?2a，
2
?x
?
?
?
?
2
?
f(+x)?f(?x)＝2cos（＋2x)?4as in（＋x）③
?
?224

由①＋②－③，
1?cos2 (?x)
?
1?cos2x
4
得
2f(x)?2a?2cos2x? 2cos(?2x)?4［

a］-4［a］
222
?
＝
2 a?2(cos2x?sin2x)?2a(cos2x?sin2x)
∴
f
(
x
)
?a?
2(1
?a
)sin(2
x?
)
4
2
?
?
,1]
．（Ⅱ）当
x?
时，
sin(2x?)
?
[
［0,］
2
44
2(1?a)]
≤
f(x)
≤
a?2(1?a)
≤2．（1）∵
f(x)
≤2，当a<1时，
1?a?2[
2
即
1?2≤
(1?2)a
≤
2?2
．
?2
≤
a
≤
1
．

?

(1-a)
≤
f(x)
≤1．即1≤a≤
4?32
．（2）∵
f(x)
≤2，当a≥1时，? 2≤
a?2

故满足条件
a
的取值范围[?
2
，
4?32
]．
c
4．（1）
2b?2.b?1,e??
a
a
2
?b2
3
??a?2.e?3

a2
y
2
?x
2
?1
（2分）椭圆的方程为
4
（2）设AB的方程为
y?kx?3

?y?kx?3
?23k?1
?
?(k
2
?4)x
2?23kx?1?0x
1
?x
2
?
2
,x
1 x
2
?
2
由
?
y
2

2
k?4k?4
?
?x?1
?
4
（4分）
由已知
x
1
x
2
y
1
y
21k
2
3k3
0?
2
?
2
?x
1x
2
?(kx
1
?3)(kx
2
?3)?(1?)x 1
x
2
?(x
1
?x
2
)?
444 4
ba
k
2
?413k?23k3
?(?
2
)??
2
?,解得k??
2 （7分）
44
k?4k?4
4
（3）当A为顶点时，B必为顶点.S
△
AOB
=1 （8分）
当A
，
B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b



?
y?kx?b
?2kb
?
2
222

?(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x?
?
y
12
2 2
k?4
?
?x?1
?
4
b
2
?4
x
1
x
2
?
2

k?4
x
1
x
2
?
y
1
y
2
(kx?b)(kx
2
?b)
?0?x
1
x
2
?
1
? 0代入整理得:
2b
2
?k
2
?4
（11分）
4 4
11|b|4k
2
?4b
2
?16
4k
2
2
S??|b||x
1
?x
2
|?|b|(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
|?
??1
22
k
2
?4
2|b|
所以三角形的面积为定值.（12分）

5（1）
a
n
?
1
n
2
(10 ?1)?10
n
??(10
n
?1)
……………………………… (2分 )
99
10
n
?110
n
?1
1nn
)?(?1)
…………………………………(4分)
?(10?1)?(1 0?2)
?(
33
9
10
n
?1
记：A = , 则A=
33??????3
为整数
3
n
个
?

a
n
= A (A+1) ，得证 ………………………………………………………( 6分) (2)
112
a
n ?10
2n
?10
n
?
…………………………………………… …… (8分)
999
1
2
12
42n2n

S
n
?(10?10????????10)?(10?10???????10)?n

999
1
?(10
2n?2
?11?10
n?1
? 198n?210)
……………………………………………(12分)
891
6、解：（Ⅰ）易知
a?5,b?2,c?1,?F
1
?(?1,0),F
2
(1,0)

22
设P（x，y），则
PF?PF?(?1? x,?y)?(1?x,?y)?x?y?1

12
x
2
?4?4
2
1
x?1?x
2
?3

55
?x?[?5,5]
，
?当x?0
，即点P为椭圆短轴端点时，
PF
1
?PF
2
有最小值3；
当
x??5，即点P为椭圆长轴端点时，
PF
1
?PF
2
有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，

直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k
直线l的方程为
y?k(x?5)

?
x
2
y 2
?1
?
?
由方程组
?
5
，得(5k
2
?4)x
2
?50k
2
x?125k
2
?20 ?0

4
?
y?k(x?5)
?
依题意
??20( 16?80k)?0，得?
2
55
?k?

55
当
?
55
?k?
时，设交点C
(x
1
,y
1
)、D(x
2
,y
2
)
，CD的中点为R
(x
0
,y
0
)
，
55
x
1
?x
2 50k
2
25k
2
,x
0
??
2
则
x
1
?x
2
?

2
2
5k?45 k?4
25k
2
?20k
?y
0
?k(x
0
?5)?k(
2
?5)?
2
.

5k?45k?4
又|F
2
C|=|F
2
D|
?F
2
R?l?k? k
F
2
R
??1

?k?k
F
2
R
20k
)
2
20k
2
5k?4
?k????1 
22
25k4?20k
1?
2
5k?4
0?(?
∴20k
2
=20k
2
－4，而20k
2
=20k
2
－4不成立，

所以不存在直线
l
，使得|F
2
C|=|F
2
D|
综上所述，不存在直线l，使得|F
2
C|=|F
2
D|

7、解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y
2
=4x.
?
(2)(i)由题意得,直线AB的方程为:y??3( x?1)由
?
y
2
??3(x?1)
消去 y 得:
? y?4x
112316
3x
2
?10x?3?0,解得x
1 ?,x
2
?3.所以A(,),B(3,?23),|AB|?x
1
? x
2
?2?.
3333

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
16
2
?
22
(3?1)?(y?23)?(),
?
3
相减得:4
2
?(y?23)
2
?(
4
)2
?(y?
23
)
2
,解得y??
143
(不符,舍)
?
12
2
16
2
339
)?()
?
(?1)
2
?(y?
3
3
?
3

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，
?
由
?
y??3(x?1)
得 y?23,此时A,B,C三点共线,故y?23.
?
x??1
，

123
2
28
43y
16256
又|AC|
2
?(?1?)
2
?(y?)???y
2
,|AB|
2 ?()
2
?
339339
，
当|BC|
2
?|AC|
2
?|AB|
2
,即28?43y?y
2
?∠CAB为钝角.
28432562
?y?y
2
?,即y?3 时,
9399

当|AC|
2
?|BC|
2
?|A B|
2
,即
2843256
?y?y
2
?28?43y?y
2
?
939

10
3 时?CBA为钝角.
3

2562843y
又|AB|
2
? |AC|
2
?|BC|
2
,即???y
2
?28?43y? y
2
993

y??
即:y
2
?
442 2
3y??0,(y?)?0
33
3
.
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:
y??
10323
或y?(y?23)
39
.
解法二：以AB为直径的圆的方程为:
528528
(x?)
2
?(y?3)
2
?()
2
圆心(,?3)到直线L:x??1 的距离为
333333
.
23
).
3

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，B，C三点不共线时，∠ACB
为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角. 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠
CBA为钝角.
所以,以AB为直径的圆与直线L相切于点G(?1,?
过点A且与AB垂直的直线为:y?
233123?(x?).令x??1得y?
3339
.
310
(x?3),令x??1得y??3
33
.
过点B且与A B垂直的直线为:y?23?
?
又由
?
y??3(x?1)
解得y? 23,所以,当点C的坐标为(?1,23)时,
?
x??1

A，B，C三点共线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：
y??
10323
或y?(y?23).
39

8、解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]
2
∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1
（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
f(?x)?
1

f(x)
由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴
f(x)?
1
?0
又x=0时，f(0)=1>0
f(?x)
∴ 对任意x∈R，f(x)>0
(3)任取x
2
>x
1
，则f(x
2
)>0，f(x
1
)>0，x
2 -x
1
>0
∴
f(x
2
)
?f(x 2
)?f(?x
1
)?f(x
2
?x
1
)? 1

f(x
1
)
∴ f(x
2
)>f(x
1
) ∴ f(x)在R上是增函数
（4）f (x)·f(2x-x
2
)=f[x+(2x-x
2
)]=f(-x
2
+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增
∴ 由f(3x-x
2
)>f(0)得：x-x
2
>0 ∴ 0
9、解：（1）由题意知
f(1)?1?2b?c?0
，∴
c?? 1?2b

记
g(x)?f(x)?x?b?x?(2b?1)x?b?c?x?(2 b?1)x?b?1

22
g(?3)?5?7b?0

5
g(?2)?1?5b?0

?
1
5
?b?
7

g(0)??1?b?0

g(1)?b?1?0

15
即
b?(,)

57
15
（2）令u=
f(x)
。∵
0??b??1
∴
log
b
u
在（0，＋∞）是减函数
57
则

而
?1?c?2b??b,函数f(x)?x?2bx?c的对称轴为x??b

∴
f(x)在区间（?1?c,1?c)
上为增函数，
从而
F(x )?log
b
f(x)在(?1?c,1?c)
上为减函数。
且
f(x)在区间（?1?c,1?c)
上恒有
f(x)
>0 ,只需
f(?1?c)?0
，
且
c??2b?1(?b?

10、解：（1）
?1?x
n
?2|x
n
|?|
2
2
1
5
517
)所以??c??2

77
2x
n
1
|?1又x?.

1
22
1?x
n
?|
2x
n
|?1

2
1?x
n
1
f(x
1
)?f()??1

2
而
f(x
n?1
)?f(
2x
n
xn
?x
n
)?f()?f(x
n
)?f(x
n
)?2f(x
n
).

2
1?xx
1?x
n
nn

?f(x
n?1
)
?2
?{f(x
n
)}是以?1为首项 ,以2为公比的等比数列,故f(x
n
)??2
n?1

f(x
n
)
（2）由题设，有
f(0)?f(0)?f(0?0
)?f(0),故f(0)?0

1?0
x?x
又
x?(?1,1),有f(x)?f(?x)?f()?f(0)?0,

2
1?x
得
f(?x)??f(x),故知f(x)在(?1,1)
上为奇函数. 由
1
11
?
(k?1)(k?2)
11
k?1k?2

??
?
11
k
2
?3k?1
(k?1)(k?2) ?1
1?1?
(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)
得
f(
1 1111
)?f()?f(?)?f()?f()

k?1k?2k?1k?2
k
2
?3k?1
n
于是
?
k?1
f(1111
)?f()?f()??1?f().

2
2n?2n?2
k?3k?1
故
1?f()?f(

1
5
111
)??f(
2
)?f()?0.
11n?2
n?3n?1
GA?GB?2GO
,由①知
GC??2GO ,
?
G为 △ABC的重心， 11.解：（1）设C ( x , y )，
?
G(
x
,
y
) …………………………………………（2分）
33
由②知M是△ABC的外心，
?
M在x轴上。由③知M（
x
，0），
3
x
2
x
2
x 2
2
?y
2
?1
（x≠0 ）…(6分) 由
|MC| ? |MA|
得
()?1?(x?)?y
化简整理得： 33
3
x
2
?y
2
?1
的右焦点（2）F（
2
，0 ）恰为
3
设PQ的斜率为k≠0且k≠±
2
，则直线PQ的方程为y = k ( x －
2
)
2
由
?
?
y?k(x?2)
? 2222
?(3k?1)x?62kx?6k?3?0

22
?
?
x?3y?3?0
62k
2
6k
2
?3
设P( x
1
, y
1
) ，Q (x
2
,y
2
) 则x
1
+ x
2
= , x
1
·x
2
=
2
…… （8分）
2
3k?1
3k?1
62k
2
2
6k
2 ?3
23(k
2
?1)
则| PQ | =
1?k
·
(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
=
1?k
·
(
2
=
)?4?
2
2 3k?1
3k?13k?1
2
2
2

-7-

23(k
2
?1)
1
RN⊥PQ,把k换成
?
得 | RN | = ………………………（ 10分)
2
3?k
k
18
6(k
2
?1)
2

?
S =| PQ | · | RN | ==
2?
22
1
2
(3k?1)(k?3)
3(k
2
?
2
)?10
k
?3(k
2
?
18

)? 10?
k
2
2?S
18
3
≥16，
?
≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号) ……（12分）
k
2
?
2
≥2 ，
?
2
k2?S
33
≤ S ≤ 2，
?
S
max
= 2 ， S
min
= ……………………………………（14分）
22
又当k不存在或k = 0时S = 2
综上可得

12．解：⑴
tan2
?
?
2tan
?
2(2?1)
??1
又∵
?
为锐角
2
2
1?tan
?
1?(2?1)
∴
2
?
?
?
4
∴
sin(2
?
?
?
4
)?1

f(x)?x
2
?x

1
2
∴
a
2
,a
3
,?a
n
都大于0 ∴
a
n
?0
∴
a
n?1
?a
n

2
2
⑵
a
n?1
?a
n
?a
n
∵
a
1
?
⑶
1
a
n?1
?
111
1111
??
???
，∴.
2
1?a
n
a
n
a
n?1
a
n
?a
n
a
n
(1?a
n
)a
n
1?a
n∴
111
111111111
??2?
??
?
???? ??
?
??

?

a
1 a
n?1
a
n?1
1?a
1
1?a
2
1?a
n
a
1
a
2
a
2
a
3 a
n
a
n?1
∵
a
2
?()?
1 2
2
1333
?
,
a
3
?()
2
??1
, 又∵
n?2a
n?1
?a
n

2444
1
a
n?1
?2
，∴
1?
∴
a
n?1
?a 3
?1
， ∴
1?2?
111
??
?
??2

1?a
1
1?a
2
1?a
n
13 (本小题满分1 4分)解：（1）
?a
n?1
?2a
n
?1
，
?a
n?1
?1?2(a
n
?1)
……………2分
nn
故数列
{a
n
?1}
是首项为2，公比为2的等比数列。……3分
?a
n
?1?2
，
a
n
?2?1
…4分
b
1
?1
（2）
?
44
b
2
?1
4
b
3
?1
?
4
b
n
?1
?(a
n
?1)
b
n
，
?4
(b
1?b
2
???b
n
?n)
?2
nb
n
……………5分
2(b
1
?b
2
?
?
?b
n
)?2n?nb
n
①
2(b
1
?b
2
???b
n
?b
n?1
)?2(n?1)?(n?1)b
n?1 ②
②—①得
2b
n?1
?2?(n?1)b
n?1
?nb
n
，即
nb
n
?2?(n?1)b
n?1
③ ……………………8分

?(n?1)b
n?1
?2?nb
n?2
④
④—③得
2nb
n?1
?nb
n
?nb
n?1
，即
2b
n?1
?b
n
?b
n?1
………9分所以数列
{b
n
}
是等差数列
（3）
?
1111 1
?
n?1
?
n?1
?
………………………………11分
a
n
2?12?2
2a
n?1
设
S?
11 1
11111111
?(S?)

?????(????)
?，则
S?
a
2
2a
n?1
a
2
a3
a
n?1
a
2
2a
2
a
3
a
n
…………13分
S?
21212
????
………………………………14分
a
2
a
n?1
3a
n?1
3

14. (本小题满分16分
1
3
1
2
x?x?cx，
g
?
(x)??x
2
?x?c
………………1分 32
?g(x)
在（—1，1）上为单调递增函数，
?g
?
( x)?0
在（—1，1）上恒成立…………2分
（1）当
a?1
时，
g(x)??
??x
2
?x?c?0
在（—1，1）上恒成立…………3分
?c?2
………4分
（2）设
g
?
(x)?f(x)
，则

15、①
a
1
?1
；③
a?
4

3
16、解：(1)由f(m·n)＝[f(m)]
n
得：f(0)＝f(0×0)＝ [f(0)]
0

∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1 ……3分
∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]
2
＝4，又f(x)＞0 ∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2 ……3分
(2)
?
?
kx? 2
?
?
?
kx?2
??
kx?2
??
kx ?2
?
2
?
?2?f
?
?
f
??
?
?2?f
??
?f
?
?1
?
?f
?2
?
?f
?
1
?
222
?
?
2x?4
??
x?4
??
x?4
?
?
?
2 x?4
?
?
?
又当
x?0
时，其导函数
f'?
x
?
?0
恒成立，∴
y?f
?
x
?
在区间
?
0,??
?
上为单调递增函数
∴
2kx?2
x
2
?4
?1?kx?2?x
2
?4?
?
k
2
?1
?
x
2
?4kx?0

①当
k?0
时，
x?
?
0
?
；
②当
?1?k?0
时，
x
?
x?
?
?
4k
?
4k
?
4k
?
x?,0
?0??x?0
，∴；
?
2
22
??
1?k
?
1?k
?
1?k
?
③当
0?k?1
时，
x
?
x?
?
?
4k
?
4k
?
4k ?
x?0,
?0?0?x?
，∴
?
2
??
1?k
1?k
2
?
1?k
2
??
?
4k ?
,0
；
2
?
?
1?k
?
综上所述：当
k?0
时，
x?
?
0
?
；当
?1? k?0
时，
x?
?
当
0?k?1
时，
x?
?
0,

4k
??
。
2
?
1?k
??
17、解：（I）
f
1
?
x
?
,f
2
?
x
?
是“保三角形函数”，
f
3
?
x
?
不是“保三角形函数”． 1分
任给三角形，设它的三边长分别为a,b,c
，则
a?b?c
，不妨假设
a剟c,b
由于
a?b?
c
，
a?b?c?0
，所以
f
1
?x
?
,f
2
?
x
?
是“保三角形函数”. 3分
222
222
对于
f
3
?
x
?，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但
3?3?5
，所以不存在三角形以
3 ,3,5
为三边长，故
f
3
?
x
?
不是“保三角形函数”． 4分
（II）设
T?0
为
g
?
x
?
的一个周期，由于其值域为
?
0,?? ?
，所以，存在
n?m?0
，使得
g
?
m
?
?1,g
?
n
?
?2
，
取正整数
??
n?m
，可知
?
T?m,
?
T?m,n
这三个数可作为一个三角形的三边长，但
T
g
?
?
T?m
??1
，
g
?
?
T?m
?
?1,g
? n
?
?2
不能作为任何一个三角形的三边长．故
g
?
x
?
不是“保三
角形函数”． 8分
（III）
A
的最大值为
一方面，若
A?
取
5
?
． 9分
6
5
?
，下证
F
?
x
?
不是“保三角形函数”.
6
?
5
?
5
?
26
,,
6
?
?
0,A
?
，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但
5
?
15
?
1
?,sin?
不能作为任何一个三角形的三边长，故
F
?
x
?
不是“保三角形
62 62
5
?
时，
F
?
x
?
是“保三角形函数 ”．
6

sin
函数”.
?
2
?1,sin 另一方面，以下证明
A?

对任意三角形的三边
a,b,c
，若
a,b,c?(0,
（1）
a?b?c…2
?
，
此时
a…2
?
?b?c?2
?
?
5
?
)，则分类讨论如下：
6
5
?
5
??
?
?? ，同理，
b,c?
，
3
663
?
5
?111
∴
a,b,c?(,)
，故
sina,sinb,sinc?(, 1]
，
sina?sinb???1…sinc
．
362
22
同理可证其余两式.
∴
sina,sinb,sinc
可作为某个三角形的三边长．
（2）
a?b?c?2
?

a?bc
??
?
，可得如下两种情况：
22
a?b
?
ca?b
?
≤
时，由于
a?b?c
，所以，
0 ??≤
.
22222
?
ca?b
由
sinx
在 (0,]
上的单调性可得
0?sin?sin≤1
；
2
22
a?b
?
ca?b
?
?
时，
0??
???
，
22222
此时，
同样，由
sinx
在
?
0,
总之，
0?sin
?
?
?
?
ca ?b
上的单调性可得
0?sin?sin?1
；
?
2
?
22
ca?b
?sin≤1
.
2 2
5
?
又由
a?b?c?
及余弦函数在
?
0,?
?
上单调递减，得
6
cos
a?b
a?bc5?
?cos?cos?cos?0
，
22212
∴
sina? sinb?2sin
a?ba?bcc
cos?2sincos?sinc
．
2222
5
?
时，
F
?
x
?
是“保三 6
同理可证其余两式，所以
sina,sinb,sinc
也是某个三角形的三边长．故
A?
角形函数”．
综上，
A
的最大值为
18、解：（Ⅰ）
5
?
． 6
a
(a
1
?1),
∴
a
1
?a,

a－1
aa
当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?a
n
?a
n?1
, 
a?1a?1
S
1
?
a
n
?a
，即
{a
n
}
是等比数列． ∴
a
n
?a?a
n?1
?a
n
； ……………………4分
a
n?1
2?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
b
n
?
a
(a
n
?1)
(3a?1)a
n
?2a
a?1
，若
{b
n
}
为等比数列，
?1?
nn
aa(a?1)

3a?23a
2
?2a?2
则有
b
2?b
1
b
3
,
而
b
1
?3,b
2
?,b
3
?,

aa
2
1
3a?2 2
3a
2
?2a?2
故
(
，解得， ………………………………7分
a?
)?3?
aa
2
3
1 1
再将
a?
代入得
b
n
?3
n
成立，所以
a?
． …………8分
33
2
113
n
3
n?1
1
n
（III）证明：由（Ⅱ）知
a
n
? ()
，所以
c
n
?

??
n
?
n ?1
11
3
1?()
n
1?()
n?1
3?13? 1
33
11
3
n
?1?13
n?1
?1?111 ?
n
?
n?1
?1?
n
?1?
n?1
?2?(
n
?
n?1
)
， ………… 9分
3?13? 13?13?1
3?13?1
11111111
由
n
?
n ,
n?1
?
n?1
得
n
?
n?1
?
n
?
n?1
,

3?133?133?13?133
1311
所以
c
n
?2?(
n
?
n?1
)?2?(
n
?
n?1
)
， …………………… 12分
3＋13?133
111111
从而
T
n
?c1
?c
2
??c
n
?[2?(?
2
)]?[2 ?(
2
?
3
)]?[2?(
n
?
n?1
) ]

333333
111
111111
?2n?[(?
2 )?(
2
?
3
)??(
n
?
n?1
)]
?2n?(?
n?1
)?2n?
．
333333
333
1
即
T
n
?2n?
． ………………………14分
3

19、解：（I）
a
1
? 2
，
a
2
?2?c
，
a
3
?2?3c，因为
a
1
，
a
2
，
a
3
成等比数列，
所以
(2?c)?2(2?3c)
，解得
c?0
或c?2
．
当
c?0
时，
a
1
?a
2
?a
3
，不符合题意舍去，故
c?2
．…… 4分（文6分）（II）当
n≥2
时，由于
a
2
?a
1
?c ，
a
3
?a
2
?2c
，……
2
a
n
?a
n?1
?(n?1)c
，所以
a
n
?a
1
?[1?2??(n?1)]c?
n(n?1)
c
。
2
2
，3，)
．当n=1时，上式也成立，所以又
a
1
? 2
，
c?2
，故
a
n
?2?n(n?1)?n?n?2(n ?2
a
n
?n
2
?n?2(n?1，2，)
……8分
（III）b
n
=3
2n-2
-3
n-1
+2, ∴
lim

b
n?1
=9. ……12分

n??
b
n
NP?2NQ
?
?
20、解：（1）
?
?
Q为PN的中点且GQ⊥PN
GQ?PN?0
?
?

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长
a?3
，半焦距
?
GQ为PN的中垂线
?
|PG|=|GN|
x
2
y
2
c?5
，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是
??1
………5分
94
（2）因为
OS?OA?OB
，所以四边形OASB为平行四边形

若存在l使得|
OS
|=|
AB
|，则四边形OASB为矩形
? OA?OB?0

?
x?2
?
x?2
??
若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由
?
2

得
?
xy2
25
?1
?
y??
?
?
4
?
9
3
?

?OA?OB?
16
?0,与OA?OB?0
矛盾，故l的斜率存在. ………7分
9
设l的方程为
y?k(x?2),A(x
1
,y1
),B(x
2
,y
2
)

?y?k(x?2)
?
由
?
x
2
y
2
? (9k
2
?4)x
2
?36k
2
x?36(k
2 ?1)?0

?1
?
?
4
?
9
36 k
2
36(k
2
?1)
?x
1
?x
2?
2
,x
1
x
2
?
①
2
9k?49k?4

y
1
y
2
?[k(x
1
?2)][k(x
2
?2)]

20k2
?k[x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4]??
2
② ……………9分
9k?4
2

把①、②代入
x
1x
2
?y
1
y
2
?0得k??
3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2
∴存在直线
l:3x?2y?6?0或 3x?2y?6?0
使得四边形OASB的对角线相等.

21、解：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

C?5?323?219km
则
A

A?3，03，B，05，C， 23
??
?
????
2
??
??
2
9km
即A、C两个救援中心的距离为
21

|PC|?|PB|
，所以P在BC线段的垂直平分线上（2）
∵
B?6
又
∵
，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
A
|PBP|?|A|?4
x
2
y
2
??1 ?
x?0
?
∴双曲线方程为
45

BC的垂直平分线的方程为
x

?3y?7?0
联立两方程解得：
x

??8

∴ P?8，53，k?tan∠PAB??3
PA
∴∠PAB＝120°所以P点在A点的北偏西 30°处
（3）如图，设
P

Q?h，PB?x，PA?y
∵Q B??QAx?h?y?h
2222
??
x?y
??x?y·
??
22222222
x?h??yhx?h??yh
又∵
xy?
22
x?y
x?h?y?h
2222
?1

∴QB?QA?PB?PA
∴
QBQAPBPA
???

1111
即A、B收到信号的时间差变小

22、解：（Ⅰ）三个函数的最小值依次为
1
，
1?t
，
1?t
，…………………… …3分
由
f(1)?0
，得
c??a?b?1

∴
f(x)?x?ax?bx?c?x?ax?bx?(a?b?1)?(x?1)[x?(a?1)x? (a?b?1)]
，
2
故方程
x?(a?1)x?(a?b?1)?0的两根是
1?t
，
1?t
．
32322
故
1 ?t?1?t??(a?1)
，
1?t?1?t?a?b?1
．………………………4 分
(1?t?1?t)
2
?(a?1)
2
，即
2?2(a ?b?1)?(a?1)
2

∴
a?2b?3
． …………………………………………………………5分
（Ⅱ）①依题意
x
1
,x
2
是方程
f'(x)?3x?2ax?b?0
的根，故有
x1
?x
2
??
且△
?(2a)?12b?0
，得
b?3
．
2
2
2
2ab
，
x
1
x
2
?
，
33
2a
2
?3b23?b
?
由
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
………………………7分
33
2
23?b
2
2

?
；得，
b?2
，
a?2b?3?7
．
3
3
由（Ⅰ）知
1?t?1?t??(a?1)?0
，故
a??1
，

∴
a??7
，
c??(a?b?1)?7?3

32
∴
f(x)?x?7x?2x?7?3
．…………………………………………9分
33 22
②
|M?N|?|f(x
1
)?f(x
2
)|
?|(x
1
?x
2
)?a(x
1
?x
2
) ?b(x
1
?x
2
)|

?|x
1
?x 2
|?|(x
1
?x
2
)
2
?x
1
x
2
?a(x
1
?x
2
)?b|
?
23?b2ab2a
|(?)
2
??a?(?)?b|

3333
3
449?a
2
3
2
?(3?b)
（或
( )
2
）． ………………………………………11分
27272
由（Ⅰ ）
(a?1)
2
?(1?t?1?t)
2
?2?21?t
2

∵
0?t?1
，∴
2?(a?1)?4
，
又
a??1
，∴
?2?a?1??2
，
2
? 3?a??2?1
，
3?22?a
2
?9
（或
2?b?3 ） …………………13分
3
4
(3?2)
2
．…………………………………15分 ∴
0?|M?N|?
27

23．（本小题满分12分）
解：（I）由
x?4y得y?
2
1
2
1
x
，
?y?
?x.
∴直线l的斜率为
y
?
|
x?2
?1
，………1分
42
故l的方程为
y?x?1
，∴点A坐标为（1，0） …………………………………… 2分
设
M(x,y)
则
AB?(1,0),BM?(x?2,y),AM?(x?1,y)
，
由
AB?BM?2|AM|?0
得
(x?2)?y?0?2?(x?1)?y?0.

22
x
2
?y
2
?1.
……4分整理，得
2
∴点M的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为
22
，短轴长为2的椭圆 ……… 5分
（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)①
x
2
?y
2
?1
，整理，得将①代入
2
(2k
2
?1)x
2
?8k
2
?x?(8k
2?2)?0
，
由△>0得02
<
1
. 设E(x
1
，y
1
)，F(x
2
，y
2
)
2

?
8k
2
x?x
2
?
2
,
?
?
1
2k?1
则
?
②………………………………………………………7分
2
?
xx?
8k?2
.
12
?
2k
2
?1
?
令
??
S
?OBE
x?2
|BE|
,则
?
?,且0 ?
?
?1.
，由此可得
BE?
?
?BF,
??
1
S
?OBF
|BF|x
2
?2
由②知(x
1
?2)?(x
2
?2)?
?4
,
2k
2
?1
2
2k?1
2
（x
1
?2 )?(x
2
?2)?x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4?.
?
2k
2
?14
?
1 2
??,即k??.10分
22
(1?
?
)8(1?
?
)2

14
?
11
0?k
2
?,?0? ??,解得3?22?
?
?3?22.
2
2(1?
?
)22
又0?
?
?1,
?3?22?
?
?1
.∴△OBE 与△OBF面积之比的取值范围是（3－2
2
，1）.……12分
24．（本小题满分14分）解：（I）由题意
g(x)?px?
q
?2lnx,

x
qqq
?2,?pe??2?qe??2,
eee
11
?(p?q) e?(p?q)?0,?(p?q)(e?)?0,

ee
1
而e??0,?
p
?
q
.
?????????????
3分
e又g(e)?pe?
p2px
2
?2x?p
p
?,
（II）由（I）知：
g(x)?px??2lnx
，
g
?
(x)? p?
2
?
xxx
2
x
令h(x)=px
2
－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为单调函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：
h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………………………4分
①
p?0时, h(x)??2x
，
?x?0,?h(x)?0,?g
?
(x)??
2x
?0,

x
2
∴g(x)在（0，+∞）单调递减，∴p=0适合题意.………………………5分
②当p>0时，h(x)=px
2
－2x+p图象为开口向上抛物线，
称轴为x=
111
∈（0，+∞）.∴h(x)
min
=p－.只需p－≥0，即 p≥1时h(x)≥0，g′(x) ≥0，
ppp
∴g(x)在(0,+ ∞)单调递增，∴p≥1适合题意.…………………………7分
③当p<0时，h(x)=px
2
－2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=
只需h(0)≤0，即p≤0时h( 0)≤（0,+ ∞)恒成立.

1
?
（0，+∞），
p

∴g′(x)<0 ，∴g(x)在（0,+ ∞）单调递减，∴p<0适合题意.
综上①②③可得，p≥1或p≤0.……………………………………9分
（III）证明：①即证：lnx－x+1≤0 (x>0)，
设
k(x)?lnx?x?1,则k
?
(x)?
11?x
.
?1?
xx
当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；
∴x=1为k(x)的极大值点，∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.………………………………11分
.
② 由①知lnx≤x－1,又x>0，
lnxx?11
???1?
xxx
lnn
2
1
n?N*,n?2时,令x?n,得
2
?1?
2
.
nn
lnn11
?
2
?(1?
2
) ,
n2n
ln2ln3lnn1111
?
2
?
2
? ?
2
?(1?
2
?1?
2
??1?
2
) 232223n
1111111
?[(n?1)]?(
2
?
2
??
2
)]?[(n?1)?(??
223n22?33?4
2
?
1
)]
n(n?1)
11111
?[n?1?(? ???
22334

111112n
2
?n?1
??)]? [n?1?(?)]?
nn?122n?14(n?1)
∴结论成立.…………………………… ……………………………………………14分
a?1
(a
1
?1),
∴
a
1
?0,

a
aa
当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?a
n?a
n?1
,

a?1a?1
25．解：（Ⅰ）
S1
?
a
n
?a
，即
{a
n
}
是等比数列． ∴
a
n
?a?a
n?1
?a
n
； ………………4分
a
n?1
2?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
b
n
?
2
a
(a
n
?1)
(3a?1)a
n ?2a
a?1
，若
{b
n
}
为等比数列，
?1?
a
n
a
n
(a?1)
3a?23a
2
?2a?2
则有
b
2
?b
1
b
3
, 而
b
1
?3,b
2
?,b
3
?,

aa
2
111
3a?2
2
3a
2
?2a? 2
n
b?3
故
(
，解得，再将代入得成立，所以．
a? a?a?
)?3?
n
2
aa333
113
n
3n?1
1
n
（III）证明：由（Ⅱ）知
a
n
?() ，所以
c
n
?

??
n
?
n?1 11
3
1?()
n
1?()
n?1
3?13?133
21
3
n
?1?13
n?1
?1?111
?
n
?
n?1
?1?
n
?1?
n?1
?2 ?(
n
?
n?1
)
，
3?13?13?13?1
3?13?1

11111111
得
?,????,

3
n
?13
n
3
n?1
?13
n?1
3
n?13
n?1
?13
n
3
n?1
1311
所以
c
n
?2?(
n
?
n?1
)?2?(
n ?
n?1
)
，
3?13?133
111111
从而
T
n
?c
1
?c
2
??c
n
?[ 2?(?
2
)]?[2?(
2
?
3
)]?[2?(
n
?
n?1
)]

333333
111
11111 1
?2n?[(?
2
)?(
2
?
3
)??(
n
?
n?1
)]
?2n?(?
n?1
)?2n?
．
333333
333
1
即
T
n
?2n?
．…………………………14分
3
由

x
2
?a
?x?(1?b)x
2
?cx?a?0(b?1)
26、解：（Ⅰ）设
b x?c
c
?
2?0??
?
a?0
?
x
2 ?
?
1?b

?
?
∴
?

c
∴
f(x)?
c
b?1??
?
2?0?
a
(1?)x?c
?2
2
?1?b
?
?21
由
f(?2)?????1?c?3

1?c2
又∵
b,c?N*
∴
c?2,b?2

x
2
∴
f(x)?(x?1)
…………………… 3分
2(x?1)
2x2(x?1)?x
2
2x
2
?2x
?
于是
f
?
(x)?

4(x?1)
2
2(x?1)
2
由
f
?
(x)?0
得
x?0
或
x?2
；由
f
?
(x)?0
得
0?x?1
或
1?x?2
故函数
f(x)
的单调递增区间为
(??,0 )
和
(2,??)
，
单调减区间为
(0,1)
和
(1,2)
……………………4分
22
（Ⅱ）由已知可得
2S
n
?a
n
?a
n
，当
n?2
时，
2S
n?1 ?a
n?1
?a
n?1

两式相减得
(a
n
?a
n?1
)(a
n
?a
n?1
?1) ?0

∴
a
n
??a
n?1
或
a
n
?a
n?1
??1

2
当
n?1
时， 2a
1
?a
1
?a
1
?a
1
??1
，若
a
n
??a
n?1
，则
a
2
?1
这与
a
n
?1
矛盾
∴
a
n
?a
n?1
??1
∴
a
n
??n
……………………6分
1n?11
?ln?
．
n?1nn
1x?11
?ln?,x?0
为此，我们考虑证明不等式
x?1xx
11
令
1??t,x?0,
则
t?1
，
x?

xt?1
1
再令
g(t)?t?1?lnt
，g
?
(t)?1?
由
t?(1,??)
知
g
?
(t)?0

t
于是，待证不等式即为

∴当
t?(1,??)
时，
g(t)
单调递增 ∴
g(t)?g(1)?0
于是
t?1?lnt

1x?1
?ln,x?0
①
xx
111t?1 令
h(t)?lnt?1?
，
h
?
(t)??
2?
2
由
t?(1,??)
知
h
?
(t)?0

tttt
即
∴当
t?(1,??)
时，
h(t)
单调递增 ∴
h(t)?h(1)?0
于是
lnt?1?

1
t
x?11
?,x?0
②
xx?1
1x?11
由①、②可知
?ln?,x?0
……………………10分
x?1xx
即
ln
所以，
1n?111n?11
??
……11分
?ln?
，即
1??lna
n
na
n
n?1nn
1
111
则
T
n
?1????

n
23n
1n?11
在
?ln?
中令
n?1,2,3,,2007
，并将各式相加得
n?1nn

????ln?ln??ln?1???
23 2
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
b
n
?
即
T
2008
?1?ln2008?T
2007

27、解：（1）∵定义域{x| x ≠ kπ，k∈Z }关于原点对称，
?

1
2007
f (a)·f (x)＋11＋f (x)
1＋1＋
f (x)－f (a) f (x)－1
f (a－x)·f (a)＋11＋f (a－x)
2f (x)
又（f? x） = f [（a ? x） ? a]= = = = =
f (a)－f (a－x)1－f (a－x)f (a)·f (x)＋11＋f (x)－2
1－1－
f (x)－f (a) f (x)－1
= ? f （x），对于定义域内的每个x值都成立
∴ f（x）为奇函数----------------- -------------------------------------------------- -----------------（4分）
（2）易证：f（x + 4a） = f（x），周期为4a．------------------------------------------（8分）
f (a)·f (－a)＋11－f
2
(a)
（3）f（2a）= f（a + a）= f [a ?（? a）]= = = 0，
f (－a)－f (a)－2f (a)
f（3a）= f（2a + a）= f [2a ?（? a）]=
f (2a)·f (－a)＋1
1
= = ? 1．
f (－a)－f (2a)－f (a)
先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x） < 0，
设2a < x < 3a，则0 < x ? 2a < a，
∴ f（x ? 2a）=
f (2a)·f (x)＋1
1
= ? > 0，∴ f（x）< 0---------------------（10分）
f (x)
f (2a)－f (x)
设2a < x
1
< x
2
< 3a，
则0 < x
2
? x
1
< a，∴ f（x
1
）< 0 f（x
2
）< 0 f（x
2
? x
1
）> 0，
∴ f（x
1
）? f（x
2
）=
f (x
1
)·f (x
2
)＋1
> 0，∴ f（x
1
）> f（x
2
），
f (x
2
－x
1
)

∴ f（x）在[2a， 3a]上单调递减------------------------------------------ --------（12分）
∴ f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a = 0，最小值为f（3a）= ? 1

y
x
28、解：(Ⅰ)设点M(x, y)，由
2PM?3MQ?0
得P(0，
?
)，Q(
,0
) .
3
2
y3y
2
由
RP?PM?0,
得(3， ?
)·(
x
，)＝0,即
y?4x

22
又点Q在x轴的正半轴上，
?x?0
故点M的轨迹C的方程是
y
2
?4 x(x?0)
.… …6分
（Ⅱ）解法一：由题意可知N为抛物线C:y
2＝4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛
物线C的两个交点。
16
当直线 AB斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|
?4?
，不合题意；………7 分
3
当直线AB斜率存在且不为0时，设
l
AB
: y?k(x ?1)
，代入
y
2
?4x
得
k
2
x
2
?2(k
2
?2)x?k
2
?0

2(k2
?2)416
2
则|AB|
?x
1
?x
2 ?2??2?4??
,解得
k?3
…………………10分
22
3
kk
1
2
代入原方程得
3x?10x?3?0
，由于
x
1
?1
，所以 x
1
?3,x
2
?
,
3
1
x?x
3
?
4
. ……………………13分由
AB?
?
AN
，得
?
?
21
?
x
N
?x
1
3?13
3?
解法二：由题设条件得
?
?
y
1
2
?4x 1
?
2
?
y
2
?4x
2
?
?
x
2
?x
1
?
?
(1?x
1
)
?
y?y??
?
y
1
?
21
16
?
22
(x?x)?(y?y)?
2121
?
3
?
(1)
(2)
(3)

(4)
(5)

再把（1）代入上式并化简得
(
?
?1)x
1
?1
化简后可得( 1?x
1
)
?
?
16
3
?
x
2 ?x
1
?
?
(1?x
1
)
由（3）、（4）得
?
?
y
2
?(1?
?
)y
1
代入（2）得(1?
?
)
2
y
1
2
?4x
1
?4
?
(1?x
1
)
(6)
??
9分
同样把（3）、（4）代入（5）并结合（1）
(7)
??
11分4
?
?
?4
?
?
?
4
??
由（6）、（7）解得
?
3
或
?
1
，又
x
1
?1
，故
?
?
.
3
x
1
???
x?3
3
?
?
1

x
2
y
2
29、解：（Ⅰ）设椭圆W的方程为
2
?2
?1
，由题意可知
ab
?
c6
?,
?a3
?
?
222
?
a?b?c,
解得
a?6 ，
c?2
，
b?2
，
?
2
a
? 2??6,
?
c
?
y
A
B
M
FC
O
x
x
2
y
2
??1
．…………… ………………………………4分所以椭圆W的方程为
62
a
2
??3
，所以点
M
坐标为
(?3,0)
.于是可设直线
l
的方程（Ⅱ）解法1：因为左准线方程为
x??
c
为
y?k(x?3)
．
?
y?k(x?3),
?
2
2222
得
(1?3k )x?18kx?27k?6?0
.
?
xy
2
?1
??
62
?
由直线
l
与椭圆W交于
A
、
B
两点，可知
??(18k
2
)
2
?4(1?3k
2
)(27k
2
?6)?0
，解得
k
2
?
设点
A
，
B
的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
，
(x
2
,y
2
)
,
2
．
3
?18k
2
27k
2
?6
则
x
1
?x
2
?
，
x
1
x2
?
，
y
1
?k(x
1
?3)
，y
2
?k(x
2
?3)
．
22
1?3k1? 3k
因为
F(?2,0)
，
C(x
1
,?y
1)
，
所以
FC?(x
1
?2,?y
1
)，
FB?(x
2
?2,y
2
)
.
又因为(x
1
?2)y
2
?(x
2
?2)(?y
1 )?(x
1
?2)k(x
2
?3)?(x
2
?2)k (x
1
?3)

54k
2
?12?90k
2
?k[2x
1
x
2
?5(x
1
?x
2
) ?12]
?k[??12]

1?3k
2
1?3k
2
k(54k
2
?12?90k
2
?12?36k
2
)??0
，所以
CF?
?
FB
．…………10分 2
1?3k
a
2
??3
，所以点
M
坐标为(?3,0)
. 解法2：因为左准线方程为
x??
c
于是可设直线l
的方程为
y?k(x?3)
，点
A
，
B
的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
，
(x
2
,y
2
)
,

则点
C
的坐标为
(x
1
,?y
1
)
，
y
1
?k( x
1
?3)
，
y
2
?k(x
2
?3)．
由椭圆的第二定义可得
|FB|
x
2
?3|y
2
|
??
, |FC|x
1
?3|y
1
|
所以
B
，
F
，
C
三点共线，即
CF?
?
FB
．……………… …………………10分
(Ⅲ)由题意知
S?

?
111 1
|MF||y
1
|?|MF||y
2
|
?|MF|?|y
1
?y
2
|?|k(x
1
?x
2
)?6k |

22
22
3|k|
1
333
2
，当且仅当时“=”成立，
k?
???
2
1
3
1?3k
2
?3|k|
23
|k|
3
．
2
2
所以
?MBC
面积
S
的最大值为
30、解：（I）将P（1，－1）代入抛物线C的方程
y?ax
得a=－1，

∴抛物线C的方程为
y??x
，即
x??y.

焦点坐标为F（0，－
22
1
）.……………………………………4分
4
（II）设直线PA的方程为
y?1?k
1
(x?1)
，

?
y?1?k
1
(x?1),
2
x?k
1
x?k
1
?1?0,
联立方程
?
消去y得
2
?
y??x.
则
1?x
1
??k
1
?1,即x
1??k
1
?1.

由
??k
1
?4(?k1
?1)?(k
1
?2)?0,得k
1
??2.
……… ………7分
同理直线PB的方程为
y?1?k
2
(x?1),

22

?
y?1?k
2
( x?1),
2
联立方程
?
消去y得
x?k
2
x?k
2
?1?0,

2
?
y??x.
则
1?x
2
??k
2
?1,即x
2
??k
2
?1. 且k
2
??2.

又
?k
1
?k
2
?0,?k
1
?2.
…………………………9分
设点M的坐标为（x，y），由
BM?MA,则x?

x
1
?x
2
.

2

x?
?k
1
?1?k
2
?1?2 ?(k
1
?k
2
)
?.

22
又
?k
1
?k
2
?0,?x??1.
…………………………………… ……11分
2
y
1
?y
2
?x
1
2?x
2
?(k
1
?1)
2
?(?k
2
?1)
2
?(?k
1
?1)
2
?(k
1
? 1)
2
y????
2222
??(k
1
2
?1)? ?1,

又k
1
??2,?y??5.

31 ．解：（Ⅰ）
f
?
(x)?ax
2
?2bx?c
，由题意及导数的几何意义得
∴所求M的轨迹方程为：
x??1(y??1且y??5).

f
?
(1)?a?2b?c?0
，（1）
f
?
(m)?am
2
?2bm?c??a
，（2） ………………2分
又
a?b?c
，可得 4a?a?2b?c?4c
，即
4a?0?4c
，故
a?0,c?0,
………3分
由（1）得
c??a?2b
，代入
a?b?c
，再由
a?0
，得
1b
???1
，（3） ……………………4分
3a
将
c??a?2b 代入（2）得
am
2
?2bm?2b?0
，即方程
ax
2
?2bx?2b?0
有实根．
故其判别式
??4b
2
?8ab
≥
0
得
b
b
≤
?2
，或
≥
0
，（4） ……………………5分
a
a
b
由（3），（4）得
0
≤
?1
； ……………………6分
a
（Ⅱ）由
f
?
(x)?ax
2 ?2bx?c
的判别式
?
?
?4b
2
?4ac?0 ，
知方程
f
?
(x)?ax
2
?2bx?c?0( ?)
有两个不等实根，设为
x
1
,x
2
，
又由 f
?
(1)?a?2b?c?0
知，
x
1
?1
为方程（
?
）的一个实根，则有根与系数的关系得
x
1
?x2
??
2b2b
,x
2
???1?0?x
1
， ……………………9分
aa
当
x?x
2
或
x?x
1
时，
f
?
(x)?0
，当
x
2
?x?x
1
时，
f
?
(x)?0
，
故函数
f(x )
的递增区间为
[x
2
,x
1
]
，由题设知
[x
2
,x
1
]?[s,t]
，
因此
|s?t |?|x
1
?x
2
|?2?
2bb
，由（Ⅰ）知
0
≤
?1
得
|s?t|
的取值范围为
[2,4)
；… 12分
aa
（Ⅲ）由
f
?
(x)?a?0
，即
a x
2
?2bx?a?c?0
，即
ax
2
?2bx?2b?0
，

bbb
x?2??0
，整理得
(2x ?2)?x
2
?0
，
aaa
b
bb
设
g ()?(2x?2)?x
2
，可以看作是关于的一次函数，
a
aa
bb
由题意
g()?0
对于
0
≤
?1
恒成立，
a
a
因为
a?0
，则
x
2
?2?
2
?
?
g(?1)
≥
0,
?
x+2x?2
≥
0,
故
?
即
?
2
得
x
≤?3?1
或
x
≥
3?1
，
g(0)?0,
x ?0,
?
?
?
由题意，
[k,??)?(??,?3?1][3?1 ,??)
，
故
k
≥
3?1
，因此
k
的最小值为
3?1
． ……………………16分
32
．（本小题满分
12
分）

解：（
1
）依题意，随机变量
ξ
的取值是
0
，
1
，
6
，
8
．

P(ξ=0)=
0.1
，
P(ξ=1) =
?0.9
，
P(ξ=6)=
得
?
分布列：

……
6
分

3
8
32
?0.9
，
P(ξ=8)=
?0.9
．

88
?

P
i

（
2
）
0 1 6 8
0.1

3
?0.9

8
3
?0.9

8
2
?0.9

8
E
?
=
0?0 .1?
332
?0.9
?
1
?
?0.9
?
6
?
?0.9
?
8
?4.2
．……
12
分

888
33．（本小题满分14分）
∴
PF
1
?PF
2
，…………
3
解：（
1
）
∵
c
2
?a
2
?b
2
，
∴
c
2
?4m
2
．……
2
分

又
∵
PF
1
?PF
2
?0
分
∴
PF
1
?PF
2
22
?
?
2c
?
?16m
2
．……
5
分

2
由椭圆定义可知
PF
1
?PF
2
?2a?26m
，
PF
1
?PF
2
??
2
?16m
2
?8?24m2
，…
6
分

0
?
、
F
2 ?
2，0
?
．

…………
7
分

从而得
m
2
?1
，
c
2
?4m
2
?4
，
c?2
．

∴
F
1
??2，
（
2
）
∵F
1
（
-2
，
0
），
F
2
（
2
，
0
），
 由已知：
QF
1
?
22
2QM
，即
QF1
?2QM
，所以有：
QF
1
?2QF
2
?1
，设
P
（
x
，
2
2
2
2
2
?
2
?
y
），

…
9
分

则
?
x?2
?
?y ?2
?
?
x?2
?
?y?1
?
，…
12 分

??
即
?
x?6
?
?y
2?32
（或
x?y?12x?4?0
）

22
2
y
Q（x，
综上所述，所求轨迹方程为：
?
x?6
?
?y
2
?32
．…
14
分

34．（本小题满分14分）
F
1

O
F
2

2
M
x

解：（1）由a
n
＋
1
＝a
n
＋6a
n
－1
，a
n
＋
1
＋2a
n
＝3(a
n ＋2a
n
－
1
) (n≥2)
∵a
1
＝5，a
2
＝5 ∴a
2
＋2a
1
＝15
故数列{a
n
＋
1
＋2a
n
}是以15为首项，3为公比的等比数列 …………5分
（2）由（1）得a
＋
n
＋
1
＋2a
n
＝5·3
n
由待定系数法可得(a
n
＋
1－3
n1
)＝－2(a
n
－3
n
)
即a
－
1
故a
－
n
－3
n
＝2(－2 )
n
n
＝3
n
＋2(－2)
n1
＝3
n －(－2)
n
………9分
（3）由3
n
b
n
－a
2
n
＝n(3
n
)＝n[3 n
－3
n
＋(－2)
n
]＝n(－2)
n
， ∴b
n
＝n(－
3
)
n

令S＋…＋|b
2222
n
＝|b
1
|＋|b
2
|
n
| ＝
3
＋2(
3
)
2
＋3(
3
)
3
＋…＋n(
3
)
n

2
S2222
＋
n
＝()
2
＋2(
3
)
3
＋…＋(n－1)(
3
)
n
＋n(
3
)
n 1
33
…………11分
2
[1－(
2
)
n
得
1
S
22222
33
]
222n
＝＋()
2
＋()
3
＋…＋()
n
－n()
n+1
＝－n()
n+1
333333
＝2[1－()
n ]－n()
n+1

1－
2333
3
∴ S
2
n
2
n
＝6[1－(
3
)]－3n(
3
)
n+1
＜6
要使得|b
＊
1
|＋|b
2|＋…＋|b
n
|＜m对于n∈N恒成立，只须m≥6 …14分

35．（本小题满分14分）
xx(
x
1
?x
2
2
k
2
k
解：（1）
12
?
2
)?
4
x
1
?x
，当且仅当
2
?
2
时等号成立，
k
2
故
u
(0,
的取值范围为
4
]
．……5分
（
2
）解法一（函数法）
(
1
?x )(
1
x
?x
1
?x
x
1
x
x 12
)?
1
x
2
??
2

12x
1
x
2
x
2
x
1
?x
1 x
22
1
?x
2
k
2
?1k
2?1
1
x
2
?
xx
??x
1
x
2
??2?u?
u
?2
……6
分

12
x
1
x
2
x
1
x
2
由
0?u? k
2
u)?u?
k
2
?1
?2
k
2
2
f(
4
，又
k?1
，
k?1?0
，∴
u
在
(0,
4
]
上是增函数，
2
k
2
k
22
所以
(
11
k?1
??
?1
?2?
k
?2?
4
?(
2
?
k
)
2
x
?x
1
)(?x
2
)?
u??2
4
k
2
4k
2
k2

1
x
2
u
4
即当
k?1
时不等式
(
1
x?x
1k2
1
)(
x
?x
2
)?(?)
2
成立．
………9
分

12
2k
解法二（不等式证明的作差比较法）
(
11k2
2
x
1
x
?xx
1
x
1
)(?
2
)?(?)?
?x
24k
2
1
x
2
???
2
2k
x
2
??2

1
x
1
x
2
x
2 x
1
k4
分
……7

x
1
x
2
k
2
?4x
1
x
2
k 2
?4x
1
x
2
(x
1
?x
2)
2
14k
2
???(?x
1
x
2
) ?(??2)???
，

x
1
x
2
k
2 4x
2
x
1
k
2
x
1
x
2
4x
1
x
2
22
将
k?4x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)
代入得

1 1k2
2
(x
1
?x
2
)
2
(4?k2
x
1
x
2
?4k
2
)
(?x
1
)(?x
2
)?(?)
?
，
……6
分

2
x
1
x
2
2k
4k x
1
x
2
2
2222
∵
(x
1
? x
2
)?0
，
k?1
时
4?kx
1
x2
?4k?4(1?k)?kx
1
x
2
?0
，
(x
1
?x
2
)
2
(4?k
2
x
1
x
2
?4k
2
)
?0
，
∴
2
4kx
1
x
2
即当
k?1
时不等式
(11k2
?x
1
)(?x
2
)?(?)
2
成立．
……………9
分

x
1
x
2
2k
（
3
）解法一（函数法）

22
11
1?kk2k
2
记
(?x
1
)(?x
2
)?
u??2?f(u )
，则
(?)?f()
，

x
1
x
2u2k2
k
2
k
2
即求使
f(u)?f()
对
u?(0,]
恒成立的
k
的范围．
…………10
分

44
由（
2
）知，要使
(
11k2
?x
1
)(?x
2
)?(?)
2
对任意
(x
1
,x
2
)?D
恒成立，必有
0?k?1，

x
1
x
2
2k
因此
1?k
2
?0
，

1?k
2
∴
函数
f(u)? u??2
在
(0,1?k
2
]
上递减，在
[1?k
2
,??)
上递增，
………12
分

u
k
2
k
2
k
2
要使函数
f(u)
在
(0,]
上恒有
f(u)?f()
，必有
?1?k
2
，即
k
4
?16k
2
?16?0
，

4
44
解得
0?k
2
?45?8
．
……………14
分

解法二（不等式证明的作差比较法）

11k2
2
(x
1
?x
2
)
2
(4?k
2
x
1
x
2
?4k
2
)
由
(2) 可知
(?x
1
)(?x
2
)?(?)?
，

2
x
1
x
2
2k
4kx
1
x2
22
要不等式恒成立，必须
4?kx
1
x
2
?4k?0
恒成立，
…………10
分

4?4k
2
即
x
1
x 2
?
恒成立，
…………11
分

k
2

k
2k
2
4?4k
2
42
由
0?x
1
x 2
?
得，即
?
k?16k?16?0
，
…………13
分

2
44k
解得
0?k
2
?45?8
．

因此不等式
(
11k2
?x
1
)(?x
2
)?(?)
2
恒成立的
k
2
的范围是
0?k
2?45?8
．
……14
分

x
1
x
2
2k
c6
a
2
?b
2
2
22
?
a?3b
36、解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为
?
，所以有，故有。从而椭圆
2
a3
3
a
C的方程可化为：
x?3y?3b
①
………
2分
易知右焦点F的坐标为（
2b,0
），
据题意有AB所在的直线方程为：
y?x?
22
222
2b
②
………
3分
由①，②有：
4x?62bx?3b?0
③
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
) ，弦AB的中点
N(x
0
,y
0
)
，由③及韦达定理有：
x
0
?
x
1
?x
2
32b2
?,y
0
?x
0
?2b??b.

244
所以
K
ON
?
y
0
1
??
，即为所求。
………
5分
x
0
3
(2）显然
OA
与 OB
可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量
OM，
有且只有一对实数
?
,
?
，使得等式
OM?
?
OA?
?
OB
成立。设
M(x,y)
，由1）中各点的坐标有：
(x,y)?
?
(x
1
,y
1
)?
?
(x
2
,y
2
)
，
所以
x?
?
x
1
?
?
x
2
,y?
?
y1
?
?
y
2
。
………
7分
又点在椭圆C上，所以有
(
?
x
1
?
?
x
2
)?3(
?
y
1
?
?
y
2
) ?3b

222
整理为
?
(x
1
?3y
1
)?
?
(x
2
?3y
2
)?2
??
(x
1
x
2
?3y
1
y
2
)?3b。 ④
2222
222
32b3b
2
,x1
?x
2
?
由③有：
x
1
?x
2?
。所以
24
x
1
x
2
?3y
1 y
2
?x
1
x
2
?3(x
1
?2b )(x
2
?2b)?4x
1
x
2
?32b(x
1 ?x
2
)?6b
2
?3b?9b?6b?0
222
⑤

22
又A﹑B在椭圆上，故有
(x
1
?3y
1
)?3b,(x
2
?3y
2
)?3b
⑥
2222
将⑤，⑥代入④可得：
?
?
?
?1
。
………
11分
对于椭圆上的每一个点
M
，总存在一对实数，使等式
OM?
?
OA?
?
OB
成立，而
?
??
?1

在直角坐标系
x?o?y
中，取点P（
?,
?
），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为
?
，
显然
?
?cos
?
,
?
?sin
?
。也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角
?
（
?
∈R）使等式：
OM
＝cos
?
OA
＋sin
?
OB
成立。

37、（1）解法一：设
M(x,y),则由题设得|MF|?|y?2|?1
，
即
x?(y?1)?|y?2|?1

当
y??2时,x?(y?1)?y?1,化简得x?4y
；
当
y??2时,x?(y?1)??y?3,

化简得
x?8y?8与y??3
不合
故点M的轨迹C的方程是
x?4y

2
2
22
22
…………1分
22
222
…………3分
…………4分
22
…………5分
（1）解法二：
?点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y??2
的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，
点M到F（1，0）的距离与它到直线
l
?
:y??1
的距离相等 …………3分
?点M的轨迹C是以F为焦点,l
?
为准线的抛物线

所以曲线C的方程为
x?4y

2
…………5分
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为
y?2?k(x?2),即y?kx?(2?2k)
，
代入
x?4y得x?4kx?8(k?1)?0
（☆）
22
…………6分
??16(k
2
?2k?2)?0对k?R恒成立,所以,直线m
与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A，B的坐标分别为
A(x 1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
则
x
1
?x
2
?4k,x
1
x
2
?8(k?1)
…………7分

①由
AP??
PB,且
?
?1得点P是弦AB的中点
，
?x
1 ?x
2
?4,则4k?4,得k?1?直线m的方程是x?y?0
…………9分
②
?|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(1?k
2
)[(x
2
?x
1
)
2
?4x
2
x1
]?4(1?k
2
)(k
2
?2k?2)

点O到直线m的距离
d?
|2?2k|
1?k
2
，
?S
?ABO
?
1
|AB|?d?4|k?1|k
2
?2 k?2?4(k?1)
4
?(k?1)
2
…………10分
2
?
S
?ABO
?42,?4(k?1)
4
?(k?1)
2
?42
，
?(k?1)
4
?(k?1)
2
?2? 0,(k?1)
2
?1或(k?1)
2
??2
（舍去）
?k?0或k?2

当
k?0时,
方程（☆）的解为
?22

若
x1
?22,x
2
??22,则
?
?
…………12分
2?22
?22?1
2?22
22?2
?3?22

若
x
1
??22,x
2
?22,则
?
??3?2 2
…………13分
当
k?2时,
方程（☆）的解为
4?22

若
x 1
?4?22,x
2
?4?22,则
?
?
?2?22
2?22
?2?22
2?22
?3?22

若
x 1
?4?22,x
2
?4?22,则
?
?
所以，
?
?3?22或
?
?3?22

38、解：（1）
?3?22
…………14分
2
2*
点
P
n
(n,S
n
)
都在函数
f(x)?x?2x 的图像上，
?
S
n
?n?2n(n?N)
,
当n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
? 2n?1.

当ｎ＝1时，
a
1
?S
1
?3
满足上式，所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?2n?1.
…….3分
（2）由
f(x)?x?2x
求导可得
f(x)?2x?2

过点 P
n
(n,S
n
)
的切线的斜率为
k
n，
?k
n
?2n?2
.
2
‘

?b
n
?2
k
n
a
n
＝4?(2n?1 )?4
n
.
?T
n
?4?3?4
1
?4?5?4
2
?4?7?4
3
????+4?（2n?1)?4
n
①
234
（2n?1)?4
n?1
② 由①×4，得
4T
n ?4?3?4?4?5?4?4?7?4????+4?
①-②得：
23nn?1 ?
?3T
n
?4
?
3?4?2?4?4????+4-（2n ?1)?4
??
??

2
??
4（1?4
n?1 ）
6n?1
n?2
16
?4
?
3?4?2?-（2n ?1)?4
n?1
?

?T
n
??4?
………..7分
1?4
99
??
（3）
又
Q?{xx?2n?2,n ?N
?
},R?{xx?4n?2,n?N
?
}
,
?Q?R ?R
.
c
n
?Q?R
，其中
c
1
是Q?R
中的最小数，
?c
1
?6
.
?
cn
?
是公差是4的倍数，
?c
10
?4m?6(m?N
*
)
.
?
110?4m?6?115
又
110?c
10
?115
，
?
?
,解得ｍ＝27.所以
c
1 0
?114
，
*
?
m?N
设等差数列的公差为
d
，则
d＝
c
10
?c
1
114?6
＝＝1 2，

10?19
?c
n
?6?(n?1)?12?12n?6，所以
?
c
n
?
的通项公式为
c
n
? 12n?6
…………12分
S
n?1
?3S
n
?2Sn?1
?1?0
?
S
n?1
?S
n
?2(S n
?S
n?1
)?1

?
a
n?1
?2a
n
?1(n?2)
---------2分
3
又
a
1
?,a
2
? 2
也满足上式，
?
a
n?1
?2a
n
?1(n?N
*
)
?
a
n?1
?1?2(a
n
?1) （
n?N
*
）
2
1
?
数列
?a
n
?1
?
是公比为2，首项为
a
1
?1? 的等比数列 ----------- 4分
2
1
a n
?1??2
n?1
?2
n?2
-------------- 6分
2
②
S
n
?a
1
?a
2
?...?a
n
?2
?1
?1?2
0
?1?2
1
?1?...?2
n?2
?1

39 、解：①
?????
?
???
②
S
n
?a
1
?a
2
?...?a
n

?2
?1 ?1?2
0
?1?2
1
?1?...?2
n?2
?1

?2?2?2?...2
???
0
????
?
?11n?2
?
2
n
?1
?n
-------------（9分）
?n

?
2
1
S?n
2?1
2
n
?2
---------------（12分）
?lim
n?1
?lim
于是
lim
n
x??x??
2a
n
?2
x??
1
?
2
22
n
n
1?
40、解：（1）令
x?
111
的f()?

224

11111n?1
得f()?f(1?)??f()?f()

nnn2nn
1n?1
（2）
a
n
?f(0)?f()???f( )?f(1)

nn
n?11
又
a
n
?f(1)? f()???f()?f(0)
，两式相加
nn
1n?1
n?1

2a
n
?[f(0)?f(1)]?[f()?f()]???[f(1)?f(0) ]
?
2
nn
n?11
a
n
?(n?N*)
a
n?1
?a
n
?,故数列{a
n
}
是等差数列
4
4

令
x?
（3）
b
n
?
4
4a
n
?1
?
4

n22
T
n
?b
1
2
?b
2
???b n
?16(1?
111
111
?16[1???
?
? )

????
222
1?22?3n(n?1)
23n
 11111116
?16[1?(1?)?(?)???(?)]
?16(2?)?32 ??S
n

nn
223n?1n
T
n
?S
n

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2
41.解：（1）∵
b
n
?a
n
?n

222
∴
b
n?1
?a
n?1
?(n?1)?2a
n
?(n?1)?4(n?1)?2?(n?1)

2

?2a
n
?2n?2b
n
(n≥2) …………3分
由 a
1
?2a?1
得
a
2
?4a
，
b
2
?a
2
?4?4a?4
，
∵
a??1
，∴
b
2
?0
，…………4分
即
{b
n
}
从第2项起是以2为公比的等比数列。…………5分 (4a?4)(2
n?1
?1)
??3a?4?(2a?2)2
n …………8分（2）
S
n
?a?
2?1
S
n
(2a?2)2
n
?3a?43a?4
当n≥2时，
??2?
n ?1n?1
S
n?1
(2a?2)2?3a?4(a?1)2?3a?4
∵ {S
n
}
是等比数列, ∴
S
n
(n≥2)是常数，
S
n?1
∴3a+4=0，即
a??
4
。…………11分
3
n?2n
（3）由（1）知当
n?2
时，
b
n ?(4a?4)2?(a?1)2
，

?
2a?1( n?1)
所以
a
n
?
?
，…………13分
n2 (a?1)2?n(n?2)
?
所以数列
?
a
n
? 为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……
显然最小项是前三项中的一项。…………15分
当
a?(0,)
时，最小项为8a-1；
1
4
1
时，最小项为4a或8a-1；………16分
4
11
当
a?(,)
时，最小项为4a；
42
1
当
a?
时，最小项为4a或2a+1；…………17分
2
1
当
a?(,??)
时，最小项为2a+1。…………18分
2
当
a?

42. 解：（1）
y?4x
…………4分
2
t
2
2
（2）设
N(,?t)
（ t>0），则
M(t,2t)
，F(1,0)。
4
因为M、F、N共线，则有
k
FM
?k
NF
，…………6分
所以
?t1
2
t?1
4
?
2t
，解得
t?2
， …………8分
2
t?1
所以
k?
22
?22
，…………10分
2?1
因而，直线MN的方程是
y?22(x?1)
。…………11分
（3）“逆向问题”一：
①已知抛物线C：
y?2px(p?0)
的焦点为 F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点
P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点
A(?
证明：设过F的直线为y=k(x
?
2
p
,0)
。 …………13分
2
p
)，
P(x
1
,y
1
)
，
Q(x
2
,y
2
)
，则
R(x1
,?y
1
)

2
?
y
2
? 4x
p
2
1
22
?
222
由
?
， …………14分
p
得
kx?(pk?4)x?pk?0
，所以
x 1
x
2
?
4
4
?
y?k(x?)
? 2

p
k(x
1
?)
?y
1
2
，…………15分
k
RA
???
pp
x
1 ?x
1
?
22
ppp
k(x
2
?)k(x 1
x
2
?x
1
)k(x
1
?)
2 ?
22
=
k
，…………16分
k
QA
?? ?
RA
ppp
x
2
?x
1
x
2
? x
1
x
1
?
222
所以直线RQ必过焦点A。…………17 分
[注：完成此解答最高得6分。]
②过点
A(?
p
,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x
2
轴。
[注：完成此解答最高得6分。]
③已知抛物线C：
y?2px(p?0)
，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设
点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-m,0)。
[注：完成此解答最高得7分，其中问题3分。]
x
2
y
2
“逆向问题”二：已知椭圆C：
2
?
2
?1
的焦点为F
1
(-c,0)，F
2
(c,0)，过F
2
的直线交椭圆C于P、ab
2
a
2
Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点
A(,0)
。
c
[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。]
22
“逆向问题”三：已知双曲线C：
x
?
y
?1
的焦点为F
1
(-c,0)，F
2
(c,0)，过F
2
的直线交双曲线C
22
ab
a
2
于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点
A(,0)
。
c
[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。]其它解答参照给分。

5?2a
n
73
，因为
a
1
?1,
所以
a
2
?,a
3
?.
……………………………… 2分
16? 8a
n
84
（2）因为
a
n
?0,a
n?1
?0,
所以
16?8a
n
?0,0?a
n
?2.
…………………………………3分
55
48(a
n
?)a
n
?
5
5?2a
n
5
4
?
3
?
4
,……………………………………………5分
a
n?1
????
4 16?8a
n
432(2?a
n
)22?a
n
43．(1)
a
n?1
?
55
与
a
n
?
同号， ………………………………………………6分
44
5155
因为
a
1
????0
，
a
2
??0,a
3
??0,

4444
5
5
…，
a
n
??0,
即 a
n
?.
……………………………………………………………………8分 4
4
531531
31
（3）当
n?2
时，
b
n
??a
n
???(?a
n?1
)???b
n?1
???b
n?1
?2b
n?1
，10分
422?a
n?1
422?a
n?1
2
2?
5
4
因为
2?a
n
?0,
所以
a
n?1
?
所以
b
n
?2?b
n?1
?2
2
?b
n?2
?? 2
n?1
b
1
?2
n?3
，…………………………………… ………12分

所以
S
n
?b
1
?b
2
?

?b
n
?
11
?
1 ?
??????
??
42
?
2
?
3?n1
(1?2
n
)
1
?
4
?(2
n?1)
…………14分
1?24
44．（1）∵当a=1时
f
?
?
x
?
?3x
2
?3
，令
f
?
?
x
?
=0，得x=0或x=1………………………2分
当
x?
?
0,1
?
时
f
?
?
x
?
?0
，当
x?
?
??,0
?
∴
f
?
x
?
在
?
0,1
?
上单调递减，在
? ??,0
?
?
1,??
?
时
f
?
?
x
?
?0

?
1,??
?
上单调递增，∴
f
?
x
?
的极小值为
f
?
1
? =-2.……4分
（2）∵
f
?
?
x
?
? 3x
2
?3a
??3a
……………………………………………………………… 6分
∴要使直线
x?y?m
=0对任意的
m?R
总不是曲线
y?
f(x)
的切线，当且仅当-1<-3a,
∴
a?
1
.…………………………………………………………………………………………8分
3
( 3)因
g
?
x
?
?f
?
x
?
?x
3
?3ax
在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值，…………9分
① 当
a?0
时，
f
? ?
x
?
?0
，
f
?
x
?
在
?
0,1
?
上单调递增且
f
?
0
?
?0
,
∴
g
?
x
?
?f
?
x
?
?f
?
x
?
，∴
F
?
a?
?f
?
1
?
?1?3a
.……………………………… …………10分
2
② 当
a?0
时
f
?
?
x
?
?3x?3a?3x?
???
ax?
?

a
i .当
a?1
，即
a?1
时
g
? x
?
?f
?
x
?
??f
?
x
?
，
?f
?
x
?
在
?
0,1
?
上单调递增，此时
F
?
a
?
??f
………………… …………………………………………………12分
?
1
?
?3a?1
ii. 当
0?a?1
，即 0?a?1
时，
g
?
x
?
?f
?
x
?
在
?
0,a
?
上单调递减，在
?
a,1
?
上单调递增.
????
0,a
?
a,1
?
1
0
当f
?
1
?
?1?3a?0
即
?a?1
时，g
?
x
?
?f
?
x
?
??f
?
x
?
在
?
上单调递增，在
?
????
上
3
单调递减，故
F
?
a
?
??f
1
?
a
?
?2aa
.……………………………………14分
20
当
f
?
1
?
?1?3a?0
即
0? a?
（ⅰ）当
?f
1
时，
3
1
a?f
?
1
?
?1?3a
即
0?a?
时，
F
? a
?
?f
?
1
?
?1?3a

4
11
（ⅱ）当
?fa?f
?
1
?
?1 ?3a
即
?a?
时，
F
?
a
?
??fa? 2aa

43
1
?
1?3a,(a?),
?
4?
1
?
综上
F
?
a
?
?
? 2aa,(?a?1),
………………………………………………16分
4
?
?
3a?1,[1,??).
?
?

45．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分
??
????

（1）
A
n
An?1
?(1,a
n?1
?a
n
),B
n
C n
?(?1,?b
n
),?A
n
A
n?1
与 B
n
C
n
共线，?a
n?1
?a
n
?n,

又∵{B
n
}在方向向量为（1，6）的直线上，
?
b n?1
?b
n
?6,即b
n?1
?b
n
?6

n?1?n

?b
n
??a?6(n?1)
a n
?a
1
?(a
2
?a
1
)?(a
3
?a
2
)?...?(a
n
?a
n?1
)?a? b
1
?b
2
?...?b
n?1
(n?1)(n?2)?6

2
?a?a(n?1)?3(n?1)(n?2)?3n
2
?(9?a)n?6?2a(n?2)
?a?(?a)(n?1)?
（2）∵二次函数
f(x)?3x?(a?9)x?6?2a
是开口向上，对称轴为
x?
又因为在a
6
与a
7
两项中至少有一项是数列{a
n
}的最小项，
∴对称轴
x?
2
a?9
的抛物线
6
a?9111 511a?915
应该在[,]内，即??,?24?a?36

622262

46．（本题满分14分）本题共2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分
解：（1）由
|PF
1
|?|PF
2
|?2?|F
1
F
2
|
知，点P的轨迹E是以F
1
、F
2
为焦点的双曲线右支，由
y
2
c?2,2a?2,?b?3
，故轨迹E的方程为
x??1(x?1).
…………4分
3
2
2
（2）当直线 l的斜率存在时，设直线方程为
y?k(x?2),P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
，与双曲线方程
联立消y得
(k?3)x?4kx?4k?3?0
，
2222
?
k
2
?3?0
?
?
??0
2
?
4k

?
?
x?x?
解得k
2
>3 ……………………………………5分
?0
12
k
2
?3
?
?
4k
2
?3
?
x
1
?x
2?
2
?0
k?3
?
（i）
?MP?MQ?(x 1
?m)(x
2
?m)?y
1
y
2

?(x
1
?m)(x
2
?m)?k
2
(x
1?2)(x
2
?2)
?(k
2
?1)x
1
x 2
?(2k
2
?m)(x
1
?x
2
)?m 2
?4k
2

?
(k?1)(4k?3)
? 4k(2k?m)
?m
2
?4k
2

22
2 222
k?3k?3
3?(4m?5)k
2
??
m
2
.
????????
7分
2
k?3

?MP?MQ,?MP?MQ?0
，

故得
3(1?m)?k(m?4m?5)?0
对任意的

k?3
恒成立，
2
?
?
1?m?0

?
?
,解得m??1.

2
?
?
m?4m?5?0
2
222
∴当m =－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由
P(2,3),Q(2,?3)及M(?1,0)
知结论也成立，
综上，当m =－1时，MP⊥MQ. ……………………………………………………8分
1
是双曲线的右准线，……………………………9分
2
111
由双曲线定义得：
|PA|?|PF
2
|?|PF
2
|,|QB|? |QF
2
|
，
e22
（ii）
?a?1,c?2, ?直线x?
1?k
2
|x
2
?x
1
|1?k
2
|x
2
?x
1
|
|PQ|1?k
2
1 1
方法一：
?
?
?????1?
2
.

2|AB|2|y
2
?y
1
|2|k(x
2
?x 1
)|2|k|2
k
?k
2
?3,?0?
1113 ?,故?
?
?
，…………………………………………12分
23
k
2
3
注意到直线的斜率不存在时，
|PQ|?|AB|,此时
?
?
综上，
?
?
?
,
1
，
2
?
13
?
?
.
………………………………………………………………14分
?
?
23
?
方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，
2
?
，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则
33
?
|PQ||PQ|11

?PQC?|?
?
|,?
?
????.
…………12分
?
22|AB|2|CQ|2sin
?
2cos(?
?
) 2

?
?
?
?
?
由
?
3
?
?
?
2
?
3
,得?sin
?
?1,

32
故：
?
?
?
, ?
13
?
?
.
………………14分
?
?
23
?

47．（本题满分16分）第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分
解：
f
?
(x)?3ax?2bx?a(a?0).
………1分

22

（1）
?x
1
??1,x2
?2
是函数f(x)的两个极值点，

?f
?
(?1)?0,f
?
(2)?0.
………………………………………………………… ……2分
?3a?2b?a
2
?0,12a?4b?a
2
?0,解得a?6,b??9.
………………………3分
?f(x)?6x
3
?9x
2
?36x.
…………………………………………………………4分
（2）∵x
1
、x
2
是 f(x)是两个极值点，
?f
? (x
1
)?f
?
(x
2
)?0.

∴x
1
、x
2
是方程
3ax?2bx?a?0
的两根.
∵△= 4b
2
+ 12a
3
， ∴△>0对一切a > 0，
b?R
恒成立.
22
x
1
?x
2
? ?
?
a?0,
2ba
,x
1
?x
2
??,
3a3

?x
1
?x
2
?0.
2b
2
a4b
2
4
?|x
1
|?|x
2
|? |x
1
?x
2
|?(?)?4(?)??a.
……………………6分
2
3a33
9a
4b
2
4
22
由
|x
1
|?|x
2
|?22得?a?22,?b?3 a(6?a).
………………7分
2
3
9a
?b
2?0,?3a
2
(6?a)?0,0?a?6.
………………………………………… 8分
令
h(a)?3a(6?a),则h
?
(a)??9a?36a.

22
0?a?4时,h
?
(a)?0?h(a)
在（0，4）内是增函数；
4?a?6时,h
?
(a)?0
∴h (a)在（4，6）内是减函数.
∴a = 4时，h(a)有极大值为96，
?h(a)在
?
0,6
?
上的最大值是96，
∴b的最大值是
46.
…………………………………………………………………10分
（3）证法一：∵x
1
、x
2
是方程
f
?
(x)?0
的两根，
?f
?
(x)?3a(x?x
1
)(x?x
2
)
， …………………………………………………… 12分
1
|x?x
1
|?| x?x
2
?|
1
3
)
2
………… 14分 ?|g(x)|?3a|x?x
1
|?|x?x
2
?|?3a(
32

?
x
1
?x?x
2
,?x? x
1
?0,x?x
2
?0,
3a13a1
[(x?x
1
)?(x?x
2
?)]
2
?(x
2
?x
1
?)
2
.

4343
a1
?
x
1
?x
2
??,x
2
?a,?x
1
??.
33
?|g(x)|?
?|g(x)|?
3a111
?(a??)
2
?a(3a?2)
2
.
……………………………………16分
43312
证法二：∵x
1
、x
2
是方程
f
?(x)?0
的两根，
?f
?
(x)?3a(x?x
1
)(x?x
2
)
.…………………………………………………… 12分
a 1
?x
1
?x
2
??,x
2
?a,?x
1
??.

33
111
?|g(x)|?|3a(x?)(x?a)? a(x?)|.?|a(x?)[3(x?a)?1]|

333
1
∵x
1
< x < x
2
，
?|g(x)|?a(x?)(?3x?3a?1)
…………………………… 14分 3
13a?1a
2
3a
3
13a
3
1a(3a ?2)
2
2
2
)??3a(x?)??a?a??a?a?

??3a(x?)(x?
…16分
332434312
48．（14分）解：设2，f(a
1
), f(a
2
), f(a
3
),……，f(a
n
),2n+4的公差为d，则
2n+4=2+(n+2－1)d
?
d=2,…………………………（2分）
?f(a
n
)?2?(n?1?1)d?2?nd?2n?2?log
a
a
n
?2n?2

?a
n
?a
2n?2
.
……………………（4分）
2n?2
?log
a
a
2n?2
?(2n?2)a
2n? 2
，（2）
?b
n
?a
n
?f(a
n)?a
462n2n?2

?S
n
?4a?6a???2n?a?(2n?2)a

?a
2
S
n
?4a
6
?6a
8??(2n?2)?a
2n
?2n?a
2n?2
?(2n?2)a
2n?4
?a
2n?2
]?(2n?2)a
2n?4
,a?1, (8分)
(1?a
2
)S
n
?4a
4
?2[ a
6
?
2a
4
(1?a
2n
)2a
4?(2n?2)a
2n?4
2a
4
1?a
2n
2n?S
n
???[?1?(n?1)a],
(1?a
2
)
2
1?a
2
1?a
2
1?a
2
2a
44222
?1,又0?a?1?2a?a?1?(2a?1)(a?1)?0,
2
1?a
2
2
故2a?1?0,解得,0?a?.(10分)

22a
4
?1,又a
2n
?0,
2
1?a
2na
2n?4
2a
4
1?a
2n
?S
n
??( ?1?a
2n
)(11分)
222
1?a1?a1?a
1?a
2n
11
2n
??1?a(12分)??1(13分)??1?3.
22 1
1?a1?a
1?
2
|PF
1
|?4a,|PF 2
|?2a
49．解：（I）
|PF
1
|?2|PF
2
|,|PF
1
|?|PF
2
|?2a?
?PF
1
?PF
2
?(4a)
2
?(2a)
2
?(2c)
2
?e?5

(14分)
x
2
y
2
?1
渐近线为
y??2x
设
P
1
( x
1
,2x
1
),P
2
(x
2
,?2x 2
),P(x,y)
（II）
E:
2
?
2
a4a
OP
1
?OP
2
??3x
1
x
2 ??
?x?
279
?x
1
x
2
?
，
?2PP
1
?PP
2
?0

44
2x1
?x
2
2(2x
1
?x
2
)
922
,y?
代入
E
化简
x
1
x
2?a?a?2

33
8
x
2
y
2
???1

28
（III）假设在
x
轴上存在定点
G(t,0)
使
F
1
F
2
?(GM?
?
GN)
，
设
l: x?ky?m,M(x
3
,y
3
),N(x
4
,y
4
)
联立
l
与
E
的方程得
?8km
? y?y?(1)
34
2
?
?4k?1
(4k
2
?1)y
2
?8kmy?4m
2
?8?0
故
?

2
?
yy?
4m?8
(2)
34
?
4k 2
?1
?
GM?
?
GN?(x
3
?t??
x
4
?
?
t,y
3
?
?
y
4
),F
1
F
2
?(210,0)

F 1
F
2
?(GM?
?
GN)
?x
3
?t?
?
x
4
?
?
t?0?k(y
3
? ?
y
4
)?(1?
?
)m?(
?
?1)t? 0(3)

由
MQ?
?
QN
?y
3
?
?
y
4
?0?y
3
??
? y
4
(4)

∴（3）即为
2ky
3
?(1 ?
?
)m?(
?
?1)t?0(5)
，将（4）代入（1）（2）
m
2
?2
2
有
y
3
?(
?
?1)
代入（5）得
t?

2km
m
故在
x轴上存在定点
G(
2
,0)
使
F
1
F
2
?(GM?
?
GN)
。
m

50．解：（Ⅰ）因为
f
?
(x)?3ax
2
?6x?6a
,所以
f
?
(?1)?0
即
3a?6?6a?0
,所以a=－2.
(Ⅱ)因为直线
m
恒过点（0，9）.
2
?6x
0
?12)
,因为
g
?
(x
0
)?6x
0
?6
. 先求直线
m
是y=g(x) 的切线.设切点为
(x
0,3x
0
2
?6x
0
?12)?(6x
0
?6 )(x?x
0
)
,将点（0，9）代入得
x
0
??1
. 所以切线方程为
y?(3x
0
当
x
0
??1
时，切线方程为y=9, 当
x
0
?1
时，切线方程为y=12x+9. 2
由
f(x)?0
得
?6x?6x?12?0
，即有
x??1,x?2

当
x??1
时，
y?f(x)
的切线
y??18
，
当
x?2
时，
y?f(x)
的切线方程为
y?9
?
y?9
是公切线， 2
又由
f(x)?12
得
?6x?6x?12?12
?
x?0
或
x?1
，
当
x?0
时
y?f(x) 的切线为
y?12x?11
，

当
x?1
时
y?f(x)
的切线为
y?12x?10
，
?
y?12x?9
，不是公切线
综上所述
k?0
时
y?9
是两曲线的公切线 (Ⅲ).（1）
kx?9?g(x)
得
kx?3x?6x?3
，当x?0
，不等式恒成立，
k?R
.
当
?2?x?0
时，不等式为
k?3(x?
而
3(x?
2
1
)?6
，
x
11
)?6??3[(?x)?]?6
??3?2?6?0
?k? 0

x(?x)
11
当
x?0
时，不等式为
k?3 (x?)?6
，
?
3(x?)?6?12

?
k?12

xx
?
当
x??2
时,kx?9?g(x)
恒成立，则
0?k?12

32
（2）由 f(x)?kx?9
得
kx?9??2x?3x?12x?11

当 x?0
时，
9??11
恒成立，
k?R
，当
?2?x ?0
时有
k??2x?3x?12?
设
h(x)??2x?3x?12?2
2
20

x
203
2
10520
?
=
?2(x?)?
，
48x
x
3
2
1 05
20
当
?2?x?0
时
?2(x?)?
为增函数，?
也为增函数
?
h(x)?h(?2)?8

x
48 ?
要使
f(x)?kx?9
在
?2?x?0
上恒成立，则k?8

由上述过程只要考虑
0?k?8
，
2
则当 x?0
时
f(x)??6x?16x?12
=
?6(x?1)(x?2 )

?
在
x?(0,2]
时
f

( x)?0
，在
(2,??)
时
f(x)?0
?
f(x)在
x?2
时有极大值即
f(x)
在
(0,??)
上的最大值，又
f(2)?9
，即
f(x)?9
而当
x?0
,k?0
时
kx?9?9
，
?
f(x)?kx?9
一定成立
综上所述
0?k?8
.
高考资源网

51．解：（1）由条件知
f(2)?4a?2b?c?2
恒成立
又∵取x=2时，
f(2)?4a?2b?c?
∴
f(2)?2
…………4分
1
(2?2)
2
?2
与恒成立
8
?
4a?2b?c?2
1
（2）∵
?
∴
4a?c?2b?1,
∴
b?,
2
?
4a?2b?c?0
又
f(x)?x
恒成立，即
ax?(b?1)x?c?0
恒成立
∴
a?0,??(?1)?4a(1?4a)?0
， …………2分
2
c?1?4a
……2分
1
2
2
111
,b?,c?

822
1
2
11
∴
f(x)?x?x?
…………2分
822
解出：
a?
（3）由分析条件知道，只要
f( x)
图象（在y轴右侧）总在直线
y?
是直线的斜率
m1
x?上方即可，也就
24
m
小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：
2
1
2
11
?
y?x?x?
?
?
822 利用相切时△=0，解出
m?1?
2
…………4分
? 2
?
y?
m
x?
1
?
24
?
∴
m?(??,1?
解法2：
g(x)?
2
2
)
…………2分
2
1
2
1m11
x?(?)x??在x?[0,?? )
必须恒成立
82224
即
x?4(1?m)x?2?0在x?[0,??)
恒成立
①△<0，即 [4(1－m)]
2
－8<0，解得：
1?
22
?m?1?
……2分
22
?
??0
2
?
②
?
?2( 1?m)?0
解出：
m?1?
…………2分
2
?f(0)?2?0
?
总之，
m?(??,1?
2
)

2

52．证明：（1）必要性若{b
n
}为等差数列，设首项b
1
，公差d

 1n(n?1)n?1
(nb
1
?d)?b
1
?d

n22
d
d
∵
a
n?1
?a
n
? ,
∴{a
n
}为是公差为的等差数列 ……4分
2
2
则
a
n
?
充分性若{a
n
}为等差数列，设首项a
1
，公差d
2
则
b
1
?b
2
???b
n
?n[a
1
?( n?1)d]?dn?(a
1
?d)n

b
1
?b
2
?
?
?b
n?1
?d(n?1)
2
?(a
1
?d)(n?1)
∴
b
n
?2dn?(a
1
? 2d)
(n?2)

(n?2)

当n=1时，b
1
=a
1
也适合
∵b
n+1
－b
n
=2d， ∴{b
n
}是公差为2d的等差数列 …………4分
（2）结论是：{a
n
}为等差数列的充要条件是{c
n
}为等差数列且b
n
= b
n+1
其中
b
n
?a
n
?a
n?2
（n=1，2，3…） …………4分

53（本小题满分12分）
解: (I)
S
3
?5
,即前3局甲2胜1平. ……………………………………………1分
111
,平的概率为,输的概率为, ………………………….2分
263
1
2
1
2
1
得
S
3
?5
得概率为
C
3
()??.
………………………………………………5分
268
由已知甲赢的概率为
(II)
S
?
?7
时,
?
?4, 5
,且最后一局甲赢, ……………………………………...6分
1
1
11
2
1
P(
?
?4)?C
3
()()()?
； ……………………………………………8分
62216
1119
1
113
1
1
1
1
11
2
1
P(
?
?5)?C
4
()()()?C
3
()C
3
()( )()???.

262362221612216
?
的分布列为
?

4 5

P
?

……………10
∴
1

16
19

216
分
E
?
?4?
11149
?5??.
……………………………………12分
16216216

54（本小题满分12分）
解：（I）由
x?4y
得
y?
∴ 直线
l
的斜率为
y
?
x?2
2
1
2
1
x
， ∴
y
?
?x
.
42
?1
，故
l
的方程为
y?x?1
， ∴点A的坐标为（1，0）.
设
M(x,y)
，则
AB?
（1， 0），
BM?(x?2,y)
，
AM?(x?1,y)
，

由
AB?BM?2AM?0
得
(x?2)?y?0?2?(x?1)
2
?y
2
?0
，
x
2
?y
2
?1
. ∴动点
M
的轨迹C 为以原点为中心，焦点在
x
轴上，长轴长为
22
，整理，得
2
短轴长为2的椭圆.
(II)如图，由题意知
l
?
的斜率存在且不为零，
设
l
?
方程为
y?k(x?2)(k?0)
①，
将①代入
x
2
2
?y
2
?1
，整理，得
(2k
2
?1)x
2
?8k
2
?x?(8k
2
?2)?0
，由
??0
得
0?k
2
?
1
2
.

?
8k
2
x?x
(x
2
?
设
E
?
?
1
1
,y
1
)
、
F(x
2
,y
2
)
，则
?
2 k
2
?1
,
②
?
8k
2
x
?2
?
?
1
x
2
?
2k
2
?1 令
?
?
S
?OBE
S
，则
?
?
BE
?OBF
BF
，
由此可得
BE?
?
?BF
，
?
?
x
1
?2
x?2
，且
0?
?
?1
.
2
由②知
(x
4
1
?2)?(x
2
?2)?
?
1?2k 2
，
(x2)?(x
2
1
?
2
?2)?x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?4?
1?2k
2
.
∴
?
2k
2
?1
(1 ?
?
)
2
?
8
, 即
k
2
?4
?
(1?
?
)
2
?
1
2
.

∵
0?k
2
?
1
2
，∴
0?
4
?
(1?
?
)
2
?
1
2 ?
1
2
，
解得
3?22?
?
?3?22.

又∵
0?
?
?1
， ∴
3?22?
?
?1
，
∴
?
OBE与
?
OBF面积之比的取值范围是（
3?22
， 1）.
?
?
x
2
1
y
2
1
2
?
2
?1
55(1)设
A(x
?
ab
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
则
?
x
2
相减得
?
2
2
?
?
a
?
y
2
2
?1
2
b

21b
2
y
1
?y
2
y
1
?y
2
b
2
??? 2
则
k
AB
?????
2
即
a2
?2b
2
故
b
2
?c
2

42a
x
1
?x
2
x
1
?x
2
a
(2?4)
2
?2
2
2
由双曲线定义知离心率
e?

?
2
a
|a?22|
|?4|
c
(2)由上知椭圆离心率为
2
2
?2
则
a?32
或
2
.故
e?
2
|a?22|
x
2
y
2
??1
. 当
a?32
时,椭圆方程为
189
x
2
?y
2
?1
.而此时
M(2, 1)
在椭圆外. 故舍去. 当
a?2
时,椭圆方程为
2
x
2
y
2
??1
. 则所求椭圆方程为
189
(3)由题设知
AB:y??x?3
.椭圆
x?2y?a?0

22 2
?
y??x?3
22
22
??12?12(18?a)?0
故
a?6

3x?12x?18?a?0
得有
?
22 2
?
x?2y?a?0
?
2
?
|a?22|?2
? 1
即
?
又由(2)知
e?
故
a
的范围是
(6,22)(22,2?22)
.
|a?22|
?
?
a?22? 0
则长轴
2a
的范围是
(26,42)

56、解：(1)
?
(42,4?42)
.
1
a
n?1
?f(a
n
)??4?
1
a
n
且a
n
?0
∴
2
1
a
n?1
?4?
1
a
n
2

∴
1
a
n?1
2
?
1
1
1
?4(n?N*)
n ∴数列是等差数列，首项
{}
?1
公差d=4
2
2
2a
n
a
n
a
n
2
∴
1
an
2
?1?4(n?1)
∴
a
n
?
1

4n?3
∵
a
n
?0
∴
a
n
?
1
(n?N*)
…………（4分）
a n
?3
T
n?1
2
(2)由
a
n
?
1
4n?3
a
n
,?16n
2
?8n?3

得
(4n?3)T
n?1
?(4n?1)T
n
?(4n?3)(4n?1)

∴
T
n?1
T
n
T
??1
∴
n
?T
1
?n?1
∴
T
n
?(4n?3)(T
1
?n?1)

4n?14n?34n?3
n?N*
若
{b
n
}
为等差数列，则
T
1
?1?0,T
1
?1即b
1
? 1
∴
b
n
?8n?7
(3)
a
n ?
1
4n?3
∴
a
n
?
224n?3
?
2
4n?3?4n?1
?
4n?1?4n?3
2
∴
S
n
?a
1
?a
2
? ??a
n
?
1
(5?1)?(9?5)
???(4n?1?4n?3 )

2
?

1
4n?1?1
2
n?N*
……………………12分
57 、解：（1）
na
n?1
?(n?1)a
n
?a
n
?2n,

a
1
?2,a
2
?s
1
?2,?a
2
?a
1
?2,
a
n?1
?a
n
?2(n?2)

所以{a
n
}等差a
n
?2n

（2）
a
n
2nn23n

??,T?1???
?
?
n
nnn?12n?1
2
22222
112n?1n
T n
??
2
???
n?1
?
n
22
2 22

11n?2
T
n
?2?(n?2)
n
,T
n
?4?
n?1
2
22

58、解：（Ⅰ）设P（x，y）是函数
y?f(x)
图象上的任意一点，它在函数
y?g(x)
图象上的对应
1
?
?
x?x?
?
?
a
…………2分点
P
?
(x
?
,y
?
)
，则由平移公式，得
?
?
y
?
?y?
1
?
2 a
?
1
?
?
x?x?
?
1
2
? a
∴
?
代入函数
y?f(x)?ax?a
中，得
2
?
y?y
? ?
1
?
2a
?
111
?a(x
?
? )
2
?a.
………………2分
2a2a
11
2
1
.
…………1分 ∴函数
y?g(x)
的表达式为
g(x)?a(x?)?a?
2a2a
1 （Ⅱ）函数
g(x)
的对称轴为
x??0.

a

y
?
?

①当
0?
12
?2 即 a?
时，函数
g(x)
在[
2,2
]上为增函数，
a2
∴
h(a)?g(2)??2
………………2分
②当
2?
11
a
?2即
2
?a?
2
2
时，
h(a)?g(
11
a
)??a?
2a
.
 ∴
h(a)??a?
1
2a
??(a?
1
2a
)??2a?
1
2a
??2

当且仅当
a?
2
2
时取等号； …………2分
③当
1
a
?2即0?a?
1
2
时，函数
g(x)
在[
2,2
]上为减函数，
∴
h(a)?g(2)?a?2?
1 3
2
?2??
2
.
…………2分
?
?
?2,a?
2
?
2
综上可知，
h(a)?
?
? ?a?
1
,
1
?a?
2
.
?
2a2 2

?
?
a?2,0?a?
1
?
2
∴当 a?
2
2
时，函数
h(a)
的最大值为
h(
2
2
)??2.

59、（1）证明：过B
1
点作B
1
O⊥BA。∵侧面ABB
1
A
1
⊥底面ABC
∴A
1
O⊥面ABC ∴∠B
1
BA是侧面BB
1
与底面ABC倾斜角
∴∠B
?
1
BO=
3
在Rt△B=2，∴BO=
1
1
OB中，BB
1
2
BB
1
=1
又∵BBBO=
1
1
=AB，∴
2
AB ∴O是AB的中点。
即点B
1
在平面ABC上的射影O为AB的中点
（2）连接AB
1
过点O作OM⊥AB
1
，连线CM，OC，
∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA
1
BB
1
∴OC⊥平面AABB。
∴OM是斜线CM在平面AA
1
B
1
B的射影 ∵OM⊥AB
1

∴AB
1
⊥CM ∴∠OMC是二面角C—AB
1
—B的平面角
在Rt△OCM中，OC=
3
，OM=
3
2
,?tan?OMC?
OC
OM
?2
∴∠OMC=cosC+sin2
∴二面角C—AB
1
—B的大小为
arctan2.

（3）过点O作ON⊥CM，∵AB
1
⊥平面OCM，∴AB
1
⊥ON
…………4分
…………8分

∴ON⊥平面AB
1
C。∴ON是O点到平面AB
1
C的距离
在 Rt?OMC中,OC?3,OM?
OM?OC
?
CM
3?
338 .?CM?3??
242

?ON?
3
2
?
15
5
15
2
连接BC
1
与B
1
C相交于点H，则H是BC
1
的中点
∴B与C
1
到平面ACB
1
的相导。
又∵O是AB的中点 ∴B到平面AB
1
C的距离
是O到平面AB
1
C距离的2倍
是G到平面AB
1
C距离为

60、解：（1）证明取SC的中点R，连QR, DR. 由题意知：PD∥BC且PD=BC;
QR∥BC且QP=BC,
?
QR∥PD且QR=PD.
1
2
1
2

215
.

5
…………12分
?
PQ∥DR, 又PQ
?
面SCD,
?
PQ∥面SCD.

…………（6分）
（2）法一：连接SP，
SP?AD,面SCD?面ABCD,?SP?面ABCD.

的中点H，连Q，得H
QH

取PB
S,P
?Q?H面AB
.
CD
作HG?PC于G, 连QG,由三垂线定理知：?QGH即为所求二面角的平面角.

而QH＝SP?2
11
2
?
3
2
a?
3
4
a ,
3
2
a,BC?a?PC?
7
2
a.
3

在?PBC中，?PBC?90,PB?
?HG?PH?sin?BPC?
3
4
a?
a
7
2
a
?
3
27
a.
?tan?QGH?
QH
HG
?
4
3
27
a
?
a
7
2
，
?二面角B?PC?Q的大小为
arctan
7
.

…………（12分）
2
（2）法二：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，
则S（
0,0,
33333
a
），B（
0,a,0
）,C（
?a,a,0
），Q（
0,a,a
）.
2
224 4
3
a
）,设
n?(x,y,z)
为面PQC的一个法向量， 2
面PBC的法向量为
PS?
（
0,0,
?
?
33
az?0
?
n?PQ?0
?
ay?
3
??44
由
?
?
?
?n?(,3,?3)
，
2 3
?
n?PC?0
?
?ax?ay?0
??
?4?

cos
?n,PS??
3
?a
2 333
a?
22
??
2
11
??
2
11
，
11
?二面角B?PC?Q的大小为
arccos
高考资源网
211
.
…………（12分）
11
61.（本小题满分16分）
（1）解：设等差数列{a
n
} 的公差是d，则a
1
+2d=4，3a
1
+3d=18，解得a
1 =8，d=－2，
所以
S
n
?na
1
?
由
n(n?1)
d??n
2
?9n
……………………………………2分
2
S
n
?S
n?2
1
?S
n?1
?[(?n
2
?9n)?(n?2)
2
?9(n?2)?2(n?1)
2
?18(n?1)]
=－1＜0
22
S
n
?S
n?2
?S
n?1
,
适合条件①；
2
2
得又
S
n
??n?9n??(n?)?
9
2
2
8 1
所以当n=4或5时，S
n
取得最大值20，即S
n
≤20，适合条件②
4
综上，{S
n
}∈W………………………………………………4分
n?1nn
（2）解：因为
b
n?1
?b
n
?5( n?1)?2?5n?2?5?2

所以当n≥3时，
b
n?1
?b
n
?0
，此时数列{
b
n
}单调递减；
当
n
=1，2时，
b
n?1
?b
n
?0
，即
b
1
＜b
2
＜b
3
，因此数列{
b
n }中的最大项是
b
3
=7
所以M≥7………………………………………………8分
（3）解：假设存在正整数k，使得
c
k
?c
k?1
成立
由数列{
c
n
}的各项均为正整数，可得
c
k
?c
k?1
?1即c
k?1
?c
k
?1

因为
c
k
?c
k?2
?c
k?1
,所以c
k? 2
?2c
k?1
?c
k
?2(c
k
?1)?ck
?c
k
?2

2
由
c
k?2
?2c
k?1
?c
k
及c
k
?c
k?1
,得c
k?2
?2c
k?2
?c
k?1
?c
k?1
,故c
k?2
?c
k?1
?1

因为
c k?1
?c
k?3
?c
k?2
,所以c
k?3
?2c
k?2
?c
k?1
?2(c
k?1
?1)?ck?1
?c
k?1
?2?c
k
?3

2
*
……………………依次类推，可得
c
k?m
?c
k
?m (m?N)

设
c
k
?p(p?N),则当m?p时，有c
k?p
?c
k
?p?0

这显然与数列{
c
n
}的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意n∈N,都有
c
n
?c
n?1
成立.( 16分)
*
*

62．（本题满分14分）数列
?
a
n
?
和数列
?
b
n
?
（
n?N +
）由下列条件确定：
（1）
a
1
?0
，
b
1
?0
；（2）当
k?2
时，
a
k
与 b
k
满足如下条件：当
a
k?1
?b
k?1
?0
时，
a
k
?a
k?1
，
2
b
k
?
a
k?1
?b
k?1
a?ba?b
；当
k?1k?1
?0
时，
a
k
?
k?1k?1
， b
k
?b
k?1
.
222
解答下列问题：（Ⅰ）证明数列
?
a
k
?b
k
?
是等比数列；
（ Ⅱ）记数列
?
n(b
k
?a
n
)
?
的前 n
项和为
S
n
，若已知当
a?1
时，
lim
（Ⅲ）
n(n?2)
是满足
b
1
?b
2
?
解：（Ⅰ）当
n
S
n
.
?0
，求
lim
n??
n??
a
n
?b
n
的最大整数时，用
a
1
，
b
1
表示
n
满足的条件.
a k?1
?b
k?1
a?b
1
?0
时，
bk
?a
k
?
k?1k?1
?a
k?1
?(b k?1
?a
k?1
)
，
2
22
a?ba?b
1
当
k?1k?1
?0
时，
b
k
?a
k
?b
k?1
?
k?1k?1
?(b
k?1
?a
k?1
)
，
2
22
1
所以不论哪种情况，都有
b
k
?a
k
?(b
k?1
?a
k?1
)
，又显然
b
1
?a
1
?0
， 2
故数列
?
a
k
?b
k
?
是等比数列.…（4分）
1
n
，
2
2
n?1
23n?1 n1123n?1n
S
n
?(b
1
?a
1
)(1? ?
2
??
n?2
?
n?1
)
，所以
Sn
?(b
1
?a
1
)(?
2
?
3??
n?1
?
n
)

2222222222
1 111n12n
所以
S
n
?(b
1
?a
1
)(1??
3
??
n?1
?
n
)
，
Sn
?(b
1
?a
1
)[4(1?
n
)?
n
]
，…（7分）
2222222
n
又当
a?1
时，
lim
n
?0
，故
limS
n
?4(b1
?a
1
)
.（8分）
n??
n??
aa?b
（Ⅲ）当
b
1
?b
2
??b
n
(n?2)
时，
b
k
?b
k?1
(2?k?n)
，由（2）知
k?1k?1
?0
不成立，故
2
a
k?1
?b
k?1
a?b
?0
，从而对于
2?k?n
，有
a
k
?a
k?1
，
b
k
?
k?1k?1
，于是
a
n
?a
n?1
??a
1
，故22
1
n?1
，…………（10分）
b
n
?a
1
?(b
1
?a
1
)()
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
b
n
?a
n
?(b
1
?a
1
)( )
n?1
，故
n(b
n
?a
n
)?(b
1
?a
1
)?
a
n
?b
n
1
?a?b
n
a?b
11
?
?
?
a
1?[a
1
?(b
1
?a
1
)()
n?1
]
?
?a
1
?(b
1
?a
1
)()n
.
若
n
?0
，则
b
n?1
?
nn
，
22
?
22
2
2
?
1
??
1
?
1
?
b
n?1
?b
n
?
?
a
1
?(b
1
?a
1
)()
n
?
?
?
a
1
?(b
1
?a
1)()
n?1
?
??(b
1
?a
1
)()n
?0
，所以
b
n
?b
n?1
，这与
n
是满
2
??
2
?
2
?
足
b1
?b
2
?
而
?b
n
(n?2)
的最大整数矛盾.因此
n
是满足
a
n
?b
n
?0
的最小整数.（12分）
2
a
n
?b
n
b?aa?b 1
?0?a
1
?(b
1
?a
1
)()
n
?0?
11
?2
n
?log
2
11
? n
，
22?a
1
a
1

因而， n
是满足
log
2
a
1
?b
1
?n
的最小整数.（14分）
a
1
11ax
2
?x?1
63. (1)
f
?
(x)??
2
?a?

2
x
xx
当
a
≥0时，
ax
2
?x?1
在[2，＋∞)上恒大于零，即
f
?
(x)?0
，符合要求；
当
a
＜0时，令
g(x)?ax
2
?x?1
，
g
(
x
)在[2，＋∞)上只能恒小于零
?
?
1?4a?0
1
?
故△＝1＋4
a
≤0或
?
g(2)?0
，解得：
a
≤
?

4
?
1
?2
?
?
?
2a
1
∴
a
的取值范围是
(??，?]?[0，??)

4
x?1
(2)
a
= 0时，
f
?
(x)?
2

x
当0＜
x
＜1时
f
?
(x)?0
，当
x
＞1时
f ?
(x)?0
，∴
f(x)
min
?f(1)?1

x
b1
(3)反证法：假设
x
1
=
b
＞1，由
(2)ln
n
?
，
?1?lnxn
?
bx
n
x
n?1
b1
∴
?lnb?(n?N
*
)

x
n
x
n?1
b111lnb11
故
1??lnb??lnb?(lnb?)?lnb??
2
(lnb?)??

x
1
x
2
bx
3
bx
4
b
11111
lnb?1
①
lnb
，即
?(1??2
???
n
??)lnb?
1
1
b
bb
1?
1?
b
b
11
1
lnb?1
又由(2 )当
b
＞1时，
lnb??1
，∴
lnb?1??
1
b
b
1?
b
2分
6分
8分
与①矛盾，故
b
≤1，即
x
1
≤1，同理可证
x
2
≤ 1，
x
3
≤1，…，
x
n
≤1(
n
∈N)

64．解：（Ⅰ）
f'(x)?3x?2ax?b
。依题意则有：
2
*
14分
?
f(1)?4
?
1?a?b?4 ?
a??6
32
，所以，解得，所以
f(x)?x?6x?9x
；
???
?
f'(1)?0
?
3?2a?b?0
? b?9
f'(x)?3x
2
?12x?9?3(x?1)(x?3)
，由
f'(x)?0
可得
x?1
或
x?3
。
f'(x),f(x)
在区间
(0,4]
上的变化情况为：
x

0

0
(0,1)

+
增函数
1
0
4
(1,3)

—
减函数
3
0
0
(3,4)

+
增函数
4

4
f'(x)

f(x)

所以函数
f(x)?x?6x?9x 在区间
[0,4]
上的最大值是4，最小值是0。
（Ⅱ）由函数的定义域是正数知，
s?0
，故极值点
(3,0)
不在区间
[s,t]
上；
（1）若极值点
M(1,4)
在区间
[s,t]
，此时
0?s≤≤1t?3
，在此区间上
f(x)
的最大值是4，不
可能等于
t
；故在区间
[s,t]
上没有极值点；
（2）若
f(x)?x ?6x?9x
在
[s,t]
上单调增，即
0?s?t≤1
或
3?s?t
，
32
?
?
s?2
?
f(s)?s ?
s?6s?9s?s
则
?
，即
?
3
，解得不合要求；
?
2
?
?
t?4
?
f(t)?t?
t?6t?9t?t
32
32
?
f(s)?t
（3）若
f(x)?x?6x?9x
在
[s,t]
上单调减，即
1
，
≤s?t≤3
，则
?
f(t)?s
?
32
两式相减并除
s?t
得：
(s?t)?6(s?t)?st?10?0
， ①
两式相除并开方可得
[s(s?3)]?[t(t?3)]
，
即s(3?s)?t(3?t)
，整理并除以
s?t
得：
s?t?3
， ②
22
2
则①、②可得
??
s?t?3
2
，即
s,t
是方程
x?3x?1?0 的两根，
?
st?1
即存在
s?
3?53?5
， t?
满足要求；
22
（Ⅲ）同（Ⅱ），极值点
(3,0)
不可能在区间
[s,t]
上；
（1）若极值点
M(1,4)
在区间 [s,t]
，此时
0?s≤≤1t?3
，
?
?
? 故有①
?
?
?
?
0?s≤1≤t?3
kt?4
ks?f(s)
f(s)≤f(t)
?
?
?
或②
?
?
?
?
0?s≤1≤t?3
kt?4
ks?f(t)
f( s)≥f(t)

①由
k?
4
4
，
1≤t?3知，
k?(,4]
，当且仅当
t?1
时，
k?4
； t
3
2
再由
k?(s?3)
，
0?s≤1
知，
k?[4,9]
，当且仅当
s?1
时，
k?4

由于
s?t
，故不存在满足要求的
k
值。
②由
s ?
1tt(3?t)
2
f(t)?f(t)?[]
，及
0?s≤1 可解得
2≤t?3
，
k42
4
4
所以
k?
，
2≤t?3
知，
k?(,2]
；
t
3

即当
k?(,2]
时，存在
t?
且
f(s) ≥4s?
4
3
41tt(3?t)
2
?[2,3)
，
s?f(t)?f(t)?[]?(0,1]
，
k
k42
4
f(t)?f(t)
，满足要求。
k
（2）若函数
f(x)
在区间
[s,t]
单调递增，则
0?s?t≤ 1
或
3?s?t
，
?
f(s)?ks
2
且
?
，故
s,t
是方程
x?6x?9?k
的两根，
?f(t)?kt
由于此方程两根之和为3，故
[s,t]
不可能同在一个单调增区间；
（3）若函数
f(x)
在区间
[s,t]
单调递减，即
1≤s?t≤3
，
?
2222
?
f(s)?kt
， ?
f(t)?ks
两式相除并整理得
s(s?3)?t(t?3)
，由 1?s?t?3
知
s(s?3)?t(t?3)
，即
s?t?3
，
再将两式相减并除以
s?t
得，
?k?(s
2
?s t?t
2
)?6(s?t)?9?(s?t)
2
?6(s?t)?9?st ??st
，
即
k?st?(
s?t
2
99
)?
。即
k?(0,)
，
s,t
是方程
x
2
?3x?k?0
的两根，
244
即存在
s?
3?9?4k3?9 ?4k
，
s?
满足要求。
22
综上可得，当
0?k?9
时，存在两个不等正数
s,t
(s?t)
，使
x?[s,t]
时，函数
4
f(x)?x
3
?6x
2
?9x
的值域恰好是
[ks,kt]
。
65．解：（1）
a
2
?2,a
3
?3,a
4
?4

（2）
na
n?1
?2(a
1
?a
2
?...?a
n
)

○
1
(n?1)a
n
?2(a
1
?a
2
?...?a
n?1
)

○
2
1—
○
2得
na
n?1
?(n?1 )a
n
?2a
n
即：
na
n?1
?(n?1)a n
，
○
，
a
n?1
n?1
?
a
n
n
所以
a
n
?a
1
a
2
a
3
a
n
23n
...?1...?n(n?2)
所以
a
n
?n(n?N
*
)

a
1
a
2
a
n?1
12n?1
，
（3）由（2）得：
b
1
?
11
2
,b
n?1
?b
n
?b
n
?b
n
?b
n?1
?...?b
1
?0
，
2k

所以
{b
n
}是单调递增数列，故要证：
b
n
?1(n?k)
只需证
b
k
?1

若
k?1
，则
b
1
?
11
2
1
?1
显然成立；若
k?2
，则
b
n?1
?b
n
?b
n
?b
n
b
n?1?b
n

2
kk
，
所以
111
111 111k?1k?1
???
?(?)?...?(?)????2?
因此：
b
n?1
b
n
k
，
b
k
b
kb
k?1
b
2
b
1
b
1
kk
所以
b
k
k
?
k?1
?1
所以
b
，
n
?1(n?k)
。

66、（1）函数的定义域为
?
?1,??
?
,
f
?
?
x
?
?2
?
?
?
x?1
?
?
1
?
?
x?1
?
?
?
2x
?
x?2
?
x?1 .
由
f
?
?
x
?
?0
得
x?0
; 2分
由
f
?
?
x
?
?0
得
?1?x?0
, 3分
则增区间为
?
0,??
?
,减区间为?
?1,0
?
. 4分 (2)令
f
?
?
x
?
?
2x
?
x?2
?
x?1
?0,
得
x?0
,由(1)知
f
?
x
?
在
?
?
1
?
e
? 1,0
?
?
?
上递减,在
?
0,e?1
?
上递增,
由
f
?
?
1
?1
?
?
?
1
2
1
?
e
?
e
2
?2,f
?
e?1
?
?e
2
?2
,且
e?2 ?
e
2
?2
, 8分
?x?
??
1
?
e
?1,e?1
?
?
?
时, f
?
x
?
的最大值为
e
2
?2
, 故
m?e
2
?2
时,不等式
f
?
x
??m
恒成立.
(3)方程
f
?
x
?
?x2
?x?a,
即
x?1?2ln
?
1?x
?
? a
.记
g
?
x
?
?x?1?2ln
?
1? x
?
,则
g
?
?
x
?
?1?
2 x?1
1?x
?
x?1
.由
g
?
?
x?
?0
得
x?1
;由
g
?
?
x
?
?0
得
?1?x?1
.
所以
g
?
x
?
在
?
0,1
?
上递减;在
?
1,2?
上递增.
而
g
?
0
?
?1,g
?
1
?
?2?2ln2,g
?
2
?
?3?2ln3 ,
?g
?
0
?
?g
?
2
?
?g
?
1
?
10分
所以,当
a?1
时,方程无解;
当
3?2ln3?a?1
时，方程有一个解;
当
2?2ln2?a?3?2ln3
时,方程有两个解;
当
a?2?2ln2
时,方程有一个解;
当
a?2?2ln2
时,方程无解. 13分
1分
6分
9分



综上所述,
a?
?
1,??
?
?
? ??,2?2ln2
?
时,方程无解;
a?
?
3?2ln3 ,1
?
或
a?2?2ln2
时,方程有唯一解;
a?(2?ln2,3?2ln3]
时,方程有两个不等的解. 14分

67、解：（1）当
a?1时,?(x)?(x
2
?x? 1)e
?x
,?'(x)?e
?x
(?x
2
?x)
.…（1分）
当?'(x)?0时,0?x?1;当?'(x)?0时,x?1或x?0.
……（3分）
∴
?(x)
的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：
(??,0)
，
(1,??)
.
……（4分）
（2）切线的斜率为
k?g'(0)??e
?x
|
x?0
??1
，
∴ 切线方程为
y??x?1
.……（6分）
所求封闭图形面积为
11
111
S?
?
[e
?x
?(?x?1)]dx?
?
(e
?x
?x?1)dx?(?e
?x ?x
2
?x)|
1
??
.
0
00
22e
……（8分）
（3）
?'(x)?(2x? a)e
?x
?e
?x
(x
2
?ax?a)?e
?x
[?x
2
?(2?a)x]
， ……（9分）
令
?'(x)?0,得x?0或x?2?a
. ……（10分）
列表如下：
x (－∞，0) 0 （0，2－a） 2－a (2－a，+ ∞)
?'(x)

－ 0 + 0 －
?(x)

↘ 极小 ↗ 极大 ↘
由表可知，
?(x)
极大
??(2?a) ?(4?a)e
a?2
. ……（12分）
设
?(a)?(4?a)e
a?2
,
?
'(a)?(3?a)e
a? 2
?0
，
∴
?
(a)在(??,2)
上是增函数，……（13分）
∴
?
(a)?
?
(2)?2?3
，即
(4?a)e
a?2
?3
，
∴不存在实数a，使
?(x)
极大值为3. ……（14）

3b
2
2
,得
2
?1?e?;
（2分） 68、解：（1）由
e?
33
a
由直线
l:x? y?2?0与圆x?y?b相切,得
222
2
2
?|b|.所以,b?2,a ?3

x
2
y
2
??1.
（4分）所以椭圆的方程是
32
（2）由条件，知|MF
2
|=|MP|。即动点M到定点F
2
的距离等于它到直线
l
1
:x??1
的距离，由抛
物线的定义得点M的轨迹C
2
的方程是
y?4x
。（8分）
2
y
1
2
y
2
y
1
2
,y
1
),S(,y
2
),所以QR?(,y
1
)
（3）由（2），知Q（0，0）。设
R(
444
2


2
y
2
?y
1
2
RS?(,y
2?y
1
).
4
2
y
1
2
(y
2
?y
1
2
)
由QR?RS?0,得?y
1
(y 2
?y
1
)?0.
16
16
因为y
1
?y
2
,化简得y
2
??y
1
?
?????? (10分)
y
1
2
?y
2
?y
1
2
?

256256
2
?32?2256?32?64(当且仅当y? ,即
1
22
y
1
y
1
y
1
??4 时等号成立).
?????
(12分)
2
y
2
1
2 22
?|QS|?()
2
?y
2
?(y
2
?8) 2
?64,?y
2
?64.

44
2
所以当
y
2
?64,即y
2
??8时,|QS|
min
? 85.

故
|QS|
的取值范围是
85.??
。

69、解：（1）由已知，点P
(?2,1)
在椭圆上 ∴有
又
?
?
21
?
2
?1
①
┉┉┉┉1分

2
ab
PM?F
2
M?0
，M在y轴上，∴M为
P、F
2
的中点，
┉┉┉┉2分

2
.
┉┉┉3分
∴由
a
2
?b
2
?2
， ②
┉┉┉4分

22
∴
?2?c?0,c?
2
解① ②,解得
b?2
（
b??1
舍去），∴
a?4

x
2
y
2
??1
。
┉6分
故所求椭圆C 的方程为
42
（2）∵点
M(x
0
,y
0
)
关于直线
y?2x
的对称点为
M
1
(x
1
,y 1
)
，
?
y
0
?y
1
4y
0
?3x
0
?
?2??1,
x?
?
?
?
x
0
?x
1
?
1
5
∴
?
┉┉┉8分
解得
?
┉┉┉┉10分
3y?4x
0
?
y
0
?y
1
?2?
x
0
?x 1
.
?
y?
0
1
?
?
5
?
?22
∴
3x
1
?4y
1
??5x
0.
┉┉┉┉┉┉11分

x
2
y
2
??1上，∴
?2?x
0
?2,
∴
?10??5x
0
?10
。 ∵点P
(x
0
,y
0
)
在椭圆C:42
即
3x
1
?4y
1
的取值范围为［－10，10］。
┉┉┉┉┉┉┉┉12分

70、解:(Ⅰ)因为
AC?F
1F
2
?0
，所以有
AC?F
1
F
2

所以
?AF
1
F
2
为直角三角形；
?AF
1
cos?F
1
AF
2
?AF
2
…………………………2分
则有
9AF
1
?AF
2
?9AF
1
AF
2
cos?F
1
AF
2
?9AF
2
所以，
AF
1
?3AF
2
……………… …………3分
又
AF
1
?AF
2
?2a
，
?AF
1
?
22
2
?AF
1
?AF
1 
2
2
3aa
,AF
2
?
………………………4分
22
2
在
?AF
1
F
2
中有
AF
1
?AF
2
?F
1
F
2

?3a
??
a
?
2
2
即
??
?
??
?4(a?1)
，解得
a?2

?
2
??2
?
x
2
?y
2
?1
…………………………6 分所求椭圆
M
方程为
2
(Ⅱ)
PE?PF?NE?NP?NF?NP

2
22
?????
?
?NF?NP
?
?
?
NF?NP
?
?
?
?NP
?
?NF
2
2
?NP?1

2
从而将求
PE?PF
的最大值转化为求
NP
的最大值…… ……………………8分
x
2
22
P
是椭圆
M
上的任一点，设
P
?
x
0
,y
0
?
，则有0
?y
0
?1
即
x
0
?2?2y
0 
2
又
N
?
0,2
?
，所以
NP? x
0
?
?
y
0
?2
?
??
?y
0
?2
?
?10
………………………10分
222
2
2
而
y
0
?
?
?1,1
?,所以当
y
0
?1
时，
NP
取最大值
9

故
PE?PF
的最大值为
8
…………………………12分

71解：（Ⅰ）由已知得
2
OA?OB?(m,3m)?(n,?3n) 1分

1
??2mn??
2
?m?n?
1
…………4分
4
（Ⅱ）设P点坐标为（x，y）（x＞0），由
OP?OA?OB
得

(x,y)?(m,3m)?(n,?3n)
，
?(m?n,3(m?n))
…………5分
∴
?
?
?
x?m?n
消去m，n可得
?
?
y?3(m?n)

y
2

x??4mn
，又因
mn?
1
8分
4
3
y
2
2
∴ P点的轨迹方程为
x??1(x?0)

3
它表示以坐标原点为中心，焦点在
x
轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线
y
2
2
x??1
的右支 …………9分
3
2
（Ⅲ）设直线l的方程为
x?ty?2
，将其代入C的方程得 3(ty?2)?y?3

即
(3t?1)y?12ty?9?0

2
易知
(3t?1)?0
（否则，直线l的斜率为
?3
，它与渐近线平行，不符合题意）
222
22
22
又
??144t?36(3t?1)?36(t?1)?0

12t
,yy?
设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
，则
y
1
?y
2
?
?
2
12
3t?1
∵ l与C的两个交点
M,N
在
y
轴的右侧
9

3t
2
?1
x
1
x
2
?(ty
1
?2 )(ty
2
?2)
?t
2
y
1
y
2
?2t(y
1
?y
2
)?4

?t
2
?
9
?2t?
?12t
?4
3t?13t
2
?1
2
3t
??
2
?4
?0
3t?1
2
2
2
∴
3t?1?0
，即
0?t?
1

3
2
又由
x
1
?x
2
?0
同理可得
0?t?
1
…………11分
3
由ME?3EN
得
(2?x
1
,?y
1
)?3(2?x 2
,y
2
)
，∴
?
?
2?x
1?3(2?x
2
)

?
?y
1
?3y
2
t
得
y?
由
y
1
?y
2
??3y
2
?y
2
??2y
2
??
12
2
2
3t?1
2
由
y
1
y
2
?(?3y
2
)y
2
??3y
2
?
6t

3t
2
?1
9
得
y
2
??
3

2
3t
2
?1
3t
2
?1
2
36t
??
2
3
，解之得：
t
2
?
1
，满足
0?t
2
?
1
…………13分消去
y
2
得
22
15
3
(3t?1)3t?1 故所求直线l存在，其方程为：
15x?y?25?0
或
15x?y?25?0
…………14分
72.

73解: (Ⅰ)当
0?x?1
时，
?1??x?0
，则
f(x)??f( ?x)?
2x
3
?5ax
2
?4a
2
x?b
． ……………………………2分
当
x?0
时，
f(0)??f(?0)?f(0)?0
． ……………………………3分
?
2x
3
?5ax
2
?4a
2
x?b,(?1?x?0),
?
?f(x)?
?
0, (x?0),
…………………………4分
?
2x
3
?5ax
2
?4a
2
x?b,(0?x?1).
?
(Ⅱ) 当
0?x?1
2a
)(x?a)
． ………5分
3
时， f
?
(x)?6x
2
?10ax?4a
2
?2(3x ?2a)(x?a)
?6(x?

(1)当
22a
3
??1
，即
1?a?
时，
33 2
?
?
2a
??
2a
?
?
x?
时，，当
f(x)?0
??
,1
?
时，
f
?
(x)?0
，
3
??
3
?
当
x?
? 0,
?
2a
??
2a
?
?f(x)
在
?
0,
?
单调递增，在
?
,1
?
上单调递减，
?
3
?
?
3
?
?g(a)?f(
2a28
3
)?a?b
． ……………………………7分
327
2a3
(2)当
1??2
，即
?a?3
时，
f
?
(x)?0
，
?f(x)
在
?
0,1
?
单调递增．
32
?g(a)?f(1)?4a
2
?5a?2?b
， ……………………………9分
3
?
28
3
a?b,(1?a?),
?
?
272
?g(a)?
?
……………………………10分
?
4a
2
?5a?2?b,(
3 ?a?3).
?
2
?
(Ⅲ) 要使函数
f(x)
在 ?
0,1
?
上恒有
f(x)?0
，必须使
f(x) 在
?
0,1
?
上的最大值
g(a)?0
．
也即是对满足
1?a?3
的实数
a
，
g(a)
的最大值要小于或等于
0
． ………………11分
（1）当
1?a?
28 2
3
3
时，
g
?
(a)?a?0
，此时g(a)
在
(1,)
上是增函数，
2
29
3
7
7
7
28
?
3
?
则
g(a)
?
??
?b
??b
．
??b?0
，解得
b?
． ………① ………………12分
2
2
2
27
?
2
?
（2）当
3
? 3
?
?a?3
时，
g
?
(a)?8a?5?0
，此时，
g(a)
在
?
,3
?
上是增函数，
g (a)
的最大值是
2
?
2
?
g(3)?23?b
．
?23?b?0
，解得
b?23
．………② ……………………………13分
由①、②得实数
b
的取值范围是
b?23
． ……………………………14分
x
2
y
2
22
74解：（ Ⅰ）设椭圆
C
的方程为：
2
?
2
?1(a?b?0)
，则
a?b?1
．……①……1分
ab
b
2
b
2
?
当
l
垂直于
x
轴时，
A,B
两点坐标分别是
(1,)
和
(1,?)
，
a
a
b
2
b
2
b
4
b
4
5
?OA?OB?(1, )?(1,?)?1?
2
，则
1?
2
?
，即
a2
?6b
4
．………② …3分
6
aa
a
a
由①，②消去
a
，得
6b?b?1?0
．
?b?
42
2
11
2
或
b??
（舍去）．
23

2x
2
13
2
?2y
2
?1
．……………………………5分当
b?
时，
a?
．因此，椭圆
C
的方程为
3
22
2
（Ⅱ）设存在满足条件的直线
l
．
2b
2
6
?
(1)当直线
l
垂直于
x
轴时，由（Ⅰ）的解答可知
AB?
，焦点
F
到右准线的距离为
a3
3
a
2
1
AB
．
d??c?
，此时不满足
d?
2
c2
因此，当直线
l
垂直于
x轴时不满足条件． ……………………………7分
（2）当直线 l
不垂直于
x
轴时，设直线
l
的斜率为
k
，则直线
l
的方程为
y?k(x?1)
．
?
y?k(x?1 ),
?
2222
(6k?2)x?12kx?6k?3?0
，由
?
2x
2
?
2
?2y?1
?
?
3
6 k
2
6k
2
?3
设
A,B
两点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
和
(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
?
，
x1
x
2
?
．
3k
2
?16k
2?2
AB?1?k
2
x
1
?x
2
?(1?k 2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]

6k
2
2
6k
2
?3
?(1?k)[(
2
)?4(
2
)]
?
3k ?16k?2
2
6(k
2
?1)
． ……………………9分
2
3k?1
又设
AB
的中点为
M
，则
x M
x
1
?x
2
3k
2
??
2
．
2
3k?1
当
?ABP
为正三角形时，直线
MP的斜率为
k
MP
??
1
．
k
3
11 33k
2
1?k
2
3(k
2
?1)
．
? x
P
?
，
?MP?1?
2
x
P
?x
M
?1?
2
?(?
2
)??
2
2
3k? 1kkk
2
2(3k
2
?1)
…………………………11分
336(k
2
?1)
1?k
2
3(k
2
?1) AB
，即
?
当
?ABP
为正三角形时，
MP?
＝，
?
2
22
22
3k?1
k2(3k?1)
解得
k?1
，
k??1
． …………………………13分
因此，满足条件的直线
l
存在，且直线
l
的方程为
x?y?1?0 或
x?y?1?0
．……14分
2
75解：（Ⅰ）
?
12
11
?(?1)
n
?
?(?1)
n
?(?2 )[?
(
?
1)
n?1
]
，……………3分
， ?
a
n
a
n?1
a
n
a
n?1

?
1
1
n
?
?(?1)?3
，
?
数列
?
?
?
?1
?
?
是首项为
3
，公比为
?2
的等比数列．……5分又
?
a
1
?
a
n
?
(?1)
n?1
1
nn?1 ?(?1)?3(?2)
，即
a
n
?
. ………………6分
n?1
a
n
3?2?1
n?12n?1n?1 （Ⅱ）
b
n
?(3?2?1)?9?4?6?2?1
．
1? (1?4
n
)1?(1?2
n
)
S
n
?9??6? ?n?3?4
n
?6?2
n
?n?9
． ………………9分
1?41?2
(2n?1)
?
(?1)
n?1 1
n?1
（Ⅲ）
?
sin
． ……………………
?(?1)
，
?c
n
??
n?1nn? 1
2
3(?2)?(?1)3?2?1
10分
当
n?3
时，则
T
n
?
1111

?????
3?13?2?1
3?2
2
?13?2
n?1
?1
?
1111111
??????
23n?1
47
3?2
28
3?23?2
1
12
n?2
[1?(
1
)]
2
1?
1
2
4
?[1?()
n?2
]?????
．
286228684847
4
?T
1
?T
2
?T
3
，
?
对任意的
n?N
?
，
T
n
?
． ………………………14分
7
1
ax
76、（1）
f'(x)?e (ax?2)(x?1),f(0)??,f'(0)??2

a
1
所以切线方程为
2x?y??0

a
?
令f'(x)?0
（2）
2
则x??,x?1
a
当
a??2
时，
f(x)在(??,?)和(1,??)上单调递减,在 (?
2
a
2
,1)上单调递增

a
当a??2时,f'(x)?0,f(x)在R上减函数

当
?2 ?a?0
时，
f(x)在(??,1)和(?
（3）当
a?0
时，
22
,??)上单调递减,在(1,?)上单调递增

aa
2
(?,1)

a
-
减
1
0
极小值
x

32
(?,?)

aa
+
增
2
?

a
0
极大值
(1,??)

+
增
f'(x)

f(x)

3
f(?)?0,f(1)?0

a
1
?f(1)??e
a
为最小值

a
1 3
?
3
?
??e
a
??0对x?
?
?,? ?
?
恒成立

aa
?
a
?
?a?
?
0,ln3
?

77、（1）
a?2
时，
f(x)?
x?2
，
l nx
f
?
(x)?
xlnx?x?21
?
，，……………… ………2分
f(2)?
2
ln2
xlnx
又
f(2)?0

1
(x?2)
………………………2分
ln2
x?a
（2 ）1°当
0?x?1
时，
lnx?0
，则
?x
?a?x?x lnx

lnx
所以切线方程为
y?
令
g(x)?x?xl nx
，
g
?
(x)?
2x?2?lnx
2x
1x
?
1
?
x
，
再令
h(x)?2x?2?l nx
，
h
?
(x)?
x?1
?0

x当
0?x?1
时
h
?
(x)?0
，∴
h(x)
在
(0,1)
上递减，
∴当
0?x?1
时，
h(x)?h(1)?0
，
∴
g
?
(x)?
h(x)
2x
?0
，所以
g(x)
在
(0,1)
上递增，
g(x)?g(1)?1
，
所以
a?1
……………………5分
2°
x?1
时，
lnx?0
，则
x?a
?x
?a?x?xlnx
?a?g(x) 
lnx
由1°知当
x?1
时
h
?
(x)? 0
，
h(x)
在
(1,??)
上递增
当
x?1 时，
h(x)?h(1)?0
，
g
?
(x)?
h(x )
2x
?0

所以
g(x)
在
(1,??)
上递增，∴
g(x)?g(1)?1

∴
a?1
；………………………5分
由1°及2°得：
a?1
………………………1分
78、解：（I）依题意知：直线
l
是函数
f(x)?lnx
在点（1，0）处的切线，故其斜率k?f(1)?
1
?1
1

所以直线
l
的方程为
y?x?1

?
y?x?1
1
2
9
?
?x?(m?1)x??0
又因为直线
l
与
g(x)
的图像相切所以由
?
1
2
7
22
y?x?mx?
?
?22
2
得
??(m?1)?9?0?m?2(m?4不合题意，舍去）

1?x
（Ⅱ）因为
h(x)?f(x?1)?g(x)?ln(x?1)?x?2(x??1),
所以
h'(x)?

?1?
x?1x?1
当
?1?x?0
时， h'(x)?0;
当
x?0
时，
h'(x)?
0
因此，
h(x)
在
(?1,0)
上单调递增，在
(0 ,??)
上单调递减。
因此，当
x?0
时，
h(x)
取得最大值
h(0)?2

b?a
（Ⅲ）当
0?b?a
时，?1??0
，由（Ⅱ）知：当
?1?x?0
时，
h(x)?2
，即
ln(x?1)?x
2a
a?bb?ab?a
因此，有
f(a?b )?f(2a)?ln
即
a?2af(a?b)?b?2af(2a)

?ln(1?)?
2a2a2a
79、 (1)法一：由已知
M(?1,0)
………………………………1分
设A(x
1
,y
1
)
，则
|AM|?1?k
2 |x
1
?1|
，……………………………1分

|A F|?(x
1
?1)
2
?y
1
?(x
1
? 1)
2
?4x
1
?|x
1
?1|
，………………… ……1分
2
由
4|AM|?5|AF|
得，
41?k
2
?5
，
3
………………………2分
4
法二：记A点到准线距离为
d
，直线
l
的倾斜角为
?
，
5
由抛物线的定义知
|AM|?d
，………………………2分
4 解得
k??
∴
cos
?
??
d4
??
，
|AM|5
∴
k?tan
?
??
3
………… ……………3分
4
（2）设
Q(x
0
,y
0
) ，
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2 ,y
2
)

?
y
2
?4x
2
由
?
得
ky?4y?4k?0
，………………………1分 ?
y?k(x?1)
首先由
?
?
k?0
?
16 ?16k?0
2
得
?1?k?1
且
k?0

kQA
?
y
0
?y
1
y
0
?y
1
4
4
k?
?
2
?
，同理……………………2分
QB
2
y?y
x
0
?x
1
y?y
y
0
y
02
01
?
1
44

由
QA?QB
得
44
???1
，…………………………2 分
y
0
?y
1
y
0
?y
2
即：
y
0
?y
0
(y
1
?y
2
)?y
1
y
2
??16
，
∴
y
0?
2
2
4
y
0
?20?0
，…………………… ……2分
k
55
4
?k?
且
k?0
，
??()
2
?80?0
，得
?
55
k
由
? 1?k?1
且
k?0
得，
?
5
??
5
?
?
0,,0
?
?
k
的取值范围为
?
???
5
?
…………………………3分
5
????

80.
解析：（1）设动圆心P(x,y)
因为动圆P与定园F内切，则
若
若
则
则
为准线的抛物线,

故动圆心P的轨迹是以F为焦点，
其方程为： ……4分
(2) ①当直线m的斜率存在，由
设则
而
若则无解，此时不存在。 ……8分
，显然成立. 当直线m的斜率不存在时，则
故存在直线m使成立.此时直线m: ……9分
②当直线m的斜率存在时，由①
当直线m的斜率不存在时，

故对于任意的直线m,为定值. ……13分

81 解：⑴由题意知：
a?1，b?0
，
?f?
x
?
?x?2x
2
2'

设函数
y ?f
?
x
?
图象上的任意一点
Q
?
x
0 ，y
0
?
关于原点的对称点为P（x,y）,
则
x
0
??x，y
0
??y
，……………………4分
因为点
Q
?
x
0
，y
0
?
在y?f
?
x
?
的图像上，

??y?x
2
?2x,?y??x
2
?x,?g
?
x
?
??x
2
?2x??7' 
⑵
F
?
x
?
??x
2
?2x? ?
x
2
?2x??
?
1?
?
?
x 2
?2
?
1?
?
?
x

??
F
?
x
?
在
?
?11，上是增函且
连续，
F
'
?
x
?
??2
?
1?
?
?
x
?2
?
1?
?
?
?0
恒成立……9分
?
即
?
?
由
1?
x
2
??
1在
?
?
1，1
?
上恒成立
，………………..10分
1?
x
1?
x
2
?
1
在
?
-1
，
1
?
上为减函数，………………..12分
1
?
x
当
x?1
时取最小值0，………………..13分
故
?
?0,所求
?
的取值范围是
?
??，0
?
另解：
14'

F
?
x
?
在
?
?1,1
?
上是增函数
，
?F'
?
x
?
?
?
?2?2
?
?
x?
?
2?2
?
?
在
?
?1,1
?
上非负

?
?
?
?2?2
?
?
?
?
2?2
?
?
?0
?
?
，解得
?
?0

?2?2?
?1?2?2
?
?0
?????
?
?
?82（1）由已知
a
2
?a
1
??2
，
a3
?a
2
??1

?
公差
d??1?
?
?2
?
?1
………1分
?a
n?1
?a
n
?(a
2
?a1
)?(n?1)?1?n?3
………2分
?a
n
?a
1
?(a
2
?a
1
)?(a
3
?a
1
)???(a
n
?a
n?1
)
?6?(?2)?(?1)?0???(n?4)

?
(?2)?(n?4)
?
(n?1)
n
2
?7 n?18
＝ ………4分
?6?
2
2
由已知
b
1
?2?4,b
2
?2?2
………5分
1
? 1
?
所以公比
q?
，
?b
n
?2?
?
b
1
?2
?
??
2
?
2
?n?1
?
1
?
?4?
??
?
2
?n?1
………6分
?
1
?
?b
n
?2?8?
??
………7分
?
2
?
（2）设
f(k)?a
k
?b
k

k2k
7
? 49
?
?
1
2
7
?
?
?
1
?
?
1
?
??
1
?
?
?
k?k?9
?
?
?
2?8?
??
?
?
? ?
k?
?
?
?
?8?
??
?7
…8 分
22
?
4
?
?
2
?
?
?2
?
?
?
2
?
??
2
?
? ?
?
n
所以当
k?4
时，
f(k)
是增函数。………10分
又
?f(4)?
11
，所以当
k?2
时 f(k)?
，………12分
22
又
?f(1)?f(2)?f(3)?0
，………13分
所以不存在
k
，使
f(k)?
?
0,
?
。………14分

83．本小题考查等差数列通项与前n项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题。解法：（1）证明：∵
n?2时，a
n
?S
n
?S
n? 1
…………（1分）
∴
S
n
?S
n?1
（3分）
∴
2
2S
n
2
，∴
(S
n
?S
n?1
)(2 S
n
?1)?2S
n
，∴
S
n?1
?S
n
?2S
n
S
n?1
……………
?
2S
n
?1
?
?
1
?
2
?
11
??2 (n?2)
， ………………（5分）
S
n
S
n?1
1 1
}是以?1
为首项，以2为公差的等差数列。（6分）
S
n
S 1
数列
{
（2）由（1）知
1
11
?1?(n?1) ?2?2n?1
，∴
S
n
?,
∴
S
n?1
?.
…（7分）
S
n
2n?12n ?1
，则设
F(n)?
(1?S
1
)(1?S
2
)
?
(1?S
n
)
2n?1
F(n?1)
(1?S n?1
)2n?1

?
F(n)
2n?3

?
2n?2
(2n?1)(2n?3)
?
4n
2?8n?4
?1.
…………（10分）
4n
2
?8n?3
∴
F(n)在n?N*
上递增，要使
F(n)?k
恒成立，只需[F(n)]
min
?k

∵
[F(n)]
min?F(1)?
222
3
，∴
0?k?3,?k
max
? 3.
………………（12分）
333
84．本小题考查椭圆简单几何性质、直线与椭圆的位置关系及向量知识的应用， ?
2c?|F
1
F
2
|?2,
?
2
?
a
?1?|NF
1
|?1,
解：（1）由于
F 1
F
2
?2NF
1
,|F
1
F
2 |?2
，
?
?
?
c
?
a
2
?b
2
?c
2
.
?
2
?
x
2?
a?2
2
?y?1.
………………（3分）解得
?
，从而所求椭圆的方程为
2
2
?
?
b?1

?NA?
?
NB,?A,B,N
三点共线，而点N的坐标为（－2，0）.
设直线AB的方程为
y?k(x?2)
，其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0.
?
y?k(x?2),
2k
2
?1
2
4
1
?
2
22
y?y?2?0.
由
?
x
消去 x得
(y?2)?2y?2
，即
2
2
k
k
k
?
?y?1
?
2
?
4
2
2k
2
?1
?0,
2
?
??()?8?
2
0?|k|?.
………………（5分）根据条件可知
?
解得
k
k
2
?
k?0.
?
4k
?
y?y?,
12
2
? ?2k?1
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则根据韦达定理，得
?

2
?
yy?
2k
.
12
?
2k
2
?1
?
又由
NA?
?
NB,得(x
1
?2,y
1
)?
?
(x
2
?2,y
2
)

4k ?
(1?
?
)y?,
2
2
?
?
x 1
?2?
?
(x
2
?2),
(1?
?
)
2
8
?2k?1
y得?.

?
?
从而
?
消去
2
2
2
?
2k?1
?y
1
?
?
y
2
.
?
?
y2
?
2k
.
2
?
2k
2
?1
?
令
?
(
?
)?
(1?
?
)
2 ?
1111
?
2
?1
,
?
?[,],
，则
?
?
(
?
)?(
?
??2)
??1?
2
?.

2
53
?
??
由于
1111
?
?
?，所以
?
?
(
?
)?0.
?
?
(
?
)是区间[,]
上的减函数，
53
53

从而
?
()?
?
(
?
)?
?
()
，即
1
3
1
5
1636
，
?
?
(
?
)?
35
?
1683621
16836
?
2
?，解得?|k|?
，，
?
?
2
?
3
2k?1
562
3
2k?1
5
221
，??k?.

262
21
,].
………………（7分）
62
而
0?k?
因此直线AB的斜率的取值范围是
[

（3）上半椭圆的方程为
y?1?
1
2
11
2
x ，且y
1
?1?x
1
2
,y
2
?1?x
2
，
222
求导可得
y
?
?
?x
21?
1
2
x
2

所以两条切线的斜率分别为
k
PA
??
x
1
21?
1
2
x
1
2
??
x
1
,k
PB
??
2y
1
x
2
21?
1
2
x
2
2
??
x2
（8分）
2y
2

x
1
x
1xx
1
2
?2y
1
2
[解法一]：切线PA的方程是 y?y
1
??
.
(x?x
1
)，即y???
2y
1
2y
1
2y
1
又
x
1
? 2y
1
?2
，
从而切线PA的方程为
y??
22
x
1
x
1
xx
1
?
，同理可得切线PB的方程为
y
1
??
2
?.

2y
1
y1
2y
2
y
2
x
1
x
1
2( y
2
?y
1
)
?
?
y???
x??
?
?
0
2y
1
y
1
x
2
y1
?x
1
y
2
?
?
由
?
可解得点P的坐标
(x
0
,y
0
)满足
?
xx
x?x
1
21
?
y??
2
?
? y?
0
?
?
2y
2
y
2
x
2
y
1
?x
1
y
2
?
?
再由
?
?
x
1
?2?
?
(x
2
?2)
x?2x
2
?2
??x
2
y
1
?x
1
y
2
?2(y
2
?y
1
).

，得
1
y
1
y
2
?
y
1
??
?y
2
2(y
2
?y
1
)
?
x????1
?
0
2(y?y)
?
21
∴
? ……………………（11分）
x?x
1
21
?
y?? 0
?
2(y?y)2k
AB21
?

又由（1）知
32
211
.

?k
AB
??2??32
，∴
1?y
0
?
2
62k AB
32
] ……（12分）
2
因此点P在定直线
x??1
上，并且点P的纵坐标的取值范围是[1，
[解法二]：设点P的从标为
(x
0
,y
0
)
，则可得切线PA的方程是
y?y
0
? ?
x
1
(x?x
0
),

2y
1
而点
A(x
1
,y
1
)
在此切线上，所以有
y1
?y
0
??
x
1
(x
1
?x
0
)
，即
2y
1
x
0
x
1
?2y
0
y
1
?x
1
2
?2y
1
2
…（9分）
所以有
x
0
x
1
?2y
0
y
1
?2
， ①
同理可得
x
0
x
2
?2y
0
y
2
?2.
②
根据① 和②可知直线AB的方程为
x
0
x?2y
0
y?2

而直线AB过定点N（－2，0），∴
?2x
0
?2?x
0
??1
，直线AB的方程为
?x?2y
0
y?2,

∴
k
AB
?
1
………………………………（11分0
2y
0
21
21132
?k
AB
?
，所以有
???1?y
0
?
62
62y
0
22
32
]
……（12分）
2
又由（1）知
因此点P在定直线
x??1
上，并且点P的纵坐标的取值范围是
[1,
85．本小题考查利用导数研究函数的单调区间以及用导数的方法讨论方程根的情况。
3
,0)?(0,??).

2
12(x?1)(x?3)
对
f(x)
求导得
f
?
(x)?
…………（2分）
?
2
?
3
x
3
x?x
2
(x?)
22
3
由
f
?
(x)?0，得??x??1或x?3，由
f
?
(x)?0，得?1?x?0或0?x?3.

2
3
??)
是函数
f(x)
的增区间；因此
( ?,?1)和（3，
2
解：（1）函数
f(x)
的定义域是
(?（－1，0）和（0，3）是函数
f(x)
的减区间 ………………（5分）（2）[解法一]：因为
g(x)?
111
x?m?lnx?x?m?m?lnx ?x.

222

所以实数m的取值范围就是函数
?
(x)?lnx?
对
?
(x)求导得
?
?
(x)?
1
x
的值域 …………（6分）
2
11
?.

x2
令
?
?
(x)?0，得x?2，并且当x?2时，
? ?
(x)?0;当0?x?2时，
?
?
(x)?0

∴当x=2时
?
(x)
取得最大值，且
?
(x)
max?
?
(2)?ln2?1.

1
x
无限趋近于0，
2
11
进而有
?
( x)?lnx?x
无限趋近于－∞.因此函数
?
(x)?lnx?x
的值域是
(??,ln2?1]

22
又当x无限趋近于0时，
lnx
无限趋近于
??,?
即实数m的取值范围是
(??,ln2?1]
………………（9分）
[解法二]：方程
g(x)?
并且当直线
g(x)?
设直线
y?
11
x?m
有实数根等价于直线
g(x)?x? m
与曲线y=lnx有公共点，
22
1
x?m
与曲线y=lnx相切时，m取得最大值. ……（6分）
2
1
x?t与曲线y?lnx
相切，切点为
T(x
0
,y
0
).则对y?lnx
求导得
2
?
11
?
2
?
x
0
?
1
?
y
?
?，根据相切关系得
?
y
0
?lnx0
，解得
x
0
?2,y
0
?ln2，进而t?ln2?1.

x
?
1
?
y
0
?x
0
?t
? 2
?
1
所以m的最大值是
ln2?1
。而且易知当
m ?ln2?1时，直线y?x?m
与曲线y=lnx总有
2
公共点。
因此实数m的取值集合是
(??,ln2?1].
………………（9分）
（3）结论：这样的正数k不存在。 ………………（10分）
下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程
f(x)?kg(x)
有两个不相等的实数根
x
1
和x
2
，则
32
? ln(x?)??klnx
1
,
1
?
2x
1
?
f(x
1
)?kg(x
1
)
?
?
?? f(x)?kg(x)
22
?
?
ln(x?
3
)? 2
?klnx.
22
?
2x
2
?
根据对数函数定义域知
x
1
和x
2
都是正数。
①
…………（11分）
②
又由（1）可知，当
x?0时，f(x)
min ?f(x)?ln(3?)?
3
2
2
?0

3

∴
f(x
1
)
=
ln (x
1
?
3232
)?,f(x
2
)?ln(x
2
?)??0.

2x
1
?02x
2
再由k>0，可得
g(x
1
)?lnx
1
?0,g(x
2
)?ln x
2
?0?x
1
?1,x
2
?1.

由于
x
1
?x
2
,所以
不妨设
1?x
1
?x
2
，
3232
ln(x
1
?)?ln(x
2
?)?
2x
1
2x
2
由 ①和②可得
?
lnx
1
lnx
2
3232
ln (x
1
?)??lnx
1
ln(x
2
?)??lnx
2
2x
1
2x
2
利用比例性质得
?
lnx
1
lnx
2
ln(1?
即
3232
)?ln(1? )?
2x
1
x
1
2x
2
x
2
?. (*)
…………（13分）
lnx
1
lnx
2
由于 lnx是区间(1,??)
上的恒正增函数，且
1?x
1
?x
2
,?
又由于
ln(1?
lnx
1
?1.

lnx
2
32
)?是区间(1,??)
上的恒正减函数，且
1?x
1
?x
2
.
∴
2xx
3
)?2x
1
3
ln(1?)?
2x
2
ln(1?
2
x
1
?1.

2
x
2
ln(1?
23232
ln(1?)?ln(1?)?
x
1
2x
1
x 1
2x
2
x
2
??
，这与（*）式矛盾。
2
lnx
1
lnx
2
x
2
3
)?
lnx
1
2x
1
?
∴
3
lnx
2
ln(1?)?
2x
2
因此满足条件的正数k不存在 ……………………（14分）
86、 (Ⅰ)设直线
l
方程为
x?ky?4
，代入
y?2 px
得
y?2kpy?8p?0

设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
，则有
y
1
?y
2
?2kp,y
1
y
2
??8p

而
OP?OQ?0
,
故
0?x
1
x
2 ?y
1
y
2
?(ky
1
?4)(ky
2?4)?8p?ky
1
y
2
?4k(y
1
?y
2
)?16?8p

即
0??8kp?8kp?16?8p
，得p?2
，焦点
F(1,0)
.
22
2
22

(Ⅱ)设
R(x,y)
，由
FP?FQ?FR
得(x
1
?1,y
1
)?(x
2
?1,y
2)?(x?1,y)

所以
x
1
?x
2
?x? 1,y
1
?y
2
?y

而
y
1
? 4x
1
,y
2
?4x
2
，可得
y(y
1 ?y
2
)?(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?4(x
1
?x
2
)

又
FR
的中点坐标为
M(
22
x?1y
,)
，
2 2
当
x
1
?x
2
时，利用
k
PQ
y
4
y?y
2
2
?k
MA
有
?
1

?
x?1
yx
1
?x
2
?4
2
整理得，
y?4x?28
.
当
x
1
?x
2
时，
R
的坐标为
(7,0)
,也满足
y?4x?28.
所以
y?4x?28
即为动点
R
的轨迹方程.

87、解析：(1)由题意可知
a?c?
2
2
2
2?1且
c
2
?b
2
?2
，解得
a?2,b?c?1
，

?
椭圆的方程为
x
2
2
?y
2
?1
；
（2）由（1）得
F(1,0)
，所以
0?m? 1
.假设存在满足题意的直线
l
，设
l
的方程为
x
2
y?k(x?1)
，代入
?y
2
?1
，得
(2 k
2
?1)x
2
?4k
2
x?2k
2
?2 ?0
，
2
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2?
4k
2
2k
2
?2

,xx?
12
2k
2
?12k
2
?1
①
?y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
?2)?
?2k
，
2
2k?1
4k
2
?2k ?CA?CB?(x
1
?m,y
1
)?(x
2
?m, y
2
)?(
2
?2m,
2
)
，
2k?1 2k?1
?(CA?CB)?AB,
而
AB
的方向向量为
(1,k)
,
4k
2
?2k

?
2
?2m?
2
?k?0?(1?2m)k
2
?m
2k?12k?1

1
m
?
当
0?m?
时,
k??
,即存在这样的直线
l
;
2
1?2m
当
1
?m?1
时,k
不存在,即不存在这样的直线
l

2
x
2
y
2
88、解：（1）依题意，设椭圆方程为
2
?
2
?1(a ?b?0)
，则其右焦点坐标为
ab
F(c,0),c?a
2
?b
2
， ………… 1分

由
|FB|?
2
，得
( c?2)?(0?2)?2
，
2
即
(c?2)?2?4
，解得
c?22
。 ………… 3分
22
x
2
y
2
??1
。 ……4分又 ∵
b?2
，∴
a?c?b?12
，即椭圆方程为
124
222
（2）由
|AM|?|AN|
知点
A
在线段
MN
的垂直平分线上，
?
y?kx?2
?
22
由
?
x
2
消去
y
得
x?3(kx?2)?12

y
2
?1
?
?
?
124
即
( 1?3k)x?12kx?0
（*） ………… 6分
由
k?0
，得方程（*）的
??(?12k)?144k?0
，即方程（*）有两个不相等的实数根。
…………7分
设
M(x
1
,y
1
)
、 N(x
2
,y
2
)
，线段
MN
的中点
P(x
0
,y
0
)
，
则
x
1
?x
2
?
22
22
x
1
?x
2
6 k
12k
?
x??
，，
0
2
2
2
1?3k
1?3k
6k
2
?2(1?3k
2
)
? 2
6k?2
?

y
0
?kx
0
?2??
，即
P(,)
……… 9分
1?3k
2
1?3k
2
1?3k
2
1?3k
2
?2
?2
2
?2?2(1?3k
2
) 1?3k
?
，……………10分
?k?0
，∴直线
AP的斜率为
k
1
?
6k
6k
1?3k
2
?2?2(1?3k
2
)
?k??1
， …………………… 11分由
AP?MN
，得
6k
2
∴
2?2?6k?6
，解得：
k??
33
，即
tan
?
??
， …… 12分
33
又
0?
?
?
?
，故
?
?
?
6
，或
?
?
5
?
，
6
∴ 存在直线
l
满足题意，其倾斜角
?
?

89、解：
?
6
，或
?
?
5
?
。…………… 13分
6

90、解：(Ⅰ)由已知得
a
1?a?1,a
2
?4,a
3
?2a
，又
a
1 ?a
3
?2a
2
，

2

?(a?1)?2a?8,
即
a?3
． …………………………（2分）
?a
1
?2
，公差
d?a
2
?a
1
?2
．
由
S
k
?ka
1
?
k(k?1 )
d
，得 …………………………（4分）
2

2k?
k(k?1)
?2?2550

2
即
k?k ?2550?0
．解得
k?50
或
k??51
(舍去)．
?a?3,k?50
． ……（6分）
(Ⅱ)由
S
n
?na
1
?

?b
n
?
n(n?1)n(n?1)
d,
得
S
n
?2n??2?n
2
?n

.
……（8分）
2
2
S
n
?n?1
……（9分）
?
?
b
n
?
是等差数列．
n
?b
4n?1
?(3?1)?(7?1)?(11?1)??(4n?1?1)
?
则b
3
?b
7
?b
11
?
(4?4n)n
……(11分)
2

?b
3
?b
7
?b
1
?
1
高考资源网
?b
n?4
?
1
2n
2
?2n
……………………(12分)
91．解：（1）令a=b=1 求得
f
?
1
?
?0
2分
1
1
?
?
1
?
??
1
? 1
又
f
?
1
?
?f
?
2?
?
?2f
??
?f
?
2
?
∴
f
??
??
5分
4
2
? ?
2
?
??
2
?
2
（2） f2
?n
?f2
?1
?2
1?n
?2
?1f2
1?n
?2
1?n
f2
?1
，∴
2n
f2
?n
?2
n?1
f2
1?n
?2
?1
.
令
b
n
?2
n
f2
?n
， ∴
b
n
?b
n?1
?2
?1
， 9分
∴ 数列
?
b
n
?
是以公差d=?
????????????
??
1
1
?
1
?

b
1
?2f
??
??
的等差数列 12分
2
2
?
2
?
n
n
?
1 ?
∴
b
n
?b
1
?
?
n?1
?
?
?
?
?
， ∴
b
n
??
，∴
f2
?n
??
n?1
14分
2
2
?
2
?
??


92．解：（1）充分性：若
a
2
?b
2
?0
∴a=b=0
∴
f
?
x
?
?xx
对任意的
x?R
都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
? 0

∴
f
?
x
?
为奇函数，故充分性成立. 2分
必要性：若
f
?
x
?
为奇函数
则对任意的
x?R
都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
?0
恒成立，
即
?x?x?a?b?xx?a?b?0

令x=0 ，得b=0；令x=a ，得a=0 。∴
a
2
?b
2
?0
6分
（2）由
b
＜
22?3
＜0，当x=0时
a
取任意实数不等式恒成立
当0＜x≤1时
f
?
x
?
＜0恒成立，也即
x?
令
g
?
x
?
?x?
bb
＜
a
＜
x?
恒成立
xx
b
在0＜x≤1上单调递增，∴
a
＞
g
max
?
x
?
?g
?
1
?
?1?b
10分
x
b
令
h
?
x
?
?x?
，则
h
?
x
?
在
0,?b
上单调递减，
?b,??
单调递增
x
b
1
?
当
b
＜
?1
时
h
?
x
?
?x?
在0＜x≤1上单调递减
x
?
??
?
∴
a
＜
h
mi n
?
x
?
?h
?
1
?
?1?b
。 ∴
1?b
＜
a
＜
1?b
。 12分
2
?
当
?1
≤
b
＜
22?3
时，
h
?
x
?
?x?
b
≥
2?b
，
x
∴
a
＜
h
min
?
x
?
?2?b
，∴
1?b
＜
a
＜
2?b
14分

93．解：（1）
又
f(x)?a
2
?x
2
?(a?3)x?3a?0
，
?(x?3)(x?a)?0
对
x ?[1,2]
恒成立，
x?3?0
恒成立，
?x?a?0
对
x?[1,2]
恒成立，
?a??x,
又
?x?[?2,?1]
，
?a??2.

（2）由
?
?(a?3)
2
?4( a
2
?3a)?0
得：
?1?a?3
，
不妨设
a?p
，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：
①
p?q?r?3,qr?a
2
?3a,

?
② p
2
?q
2
?r
2
?a
2
?(q? r)
2
?2pr?a
2
?(3?a)
2
?2(a
2
?3a)?9

③而
p
3
?q
3
?r3
?a
3
?(q
3
?r
3
)?a
3 ?(q?r)[q
2
?qr?r
2
]
?3a
3
?9a
2
?27.

设
g(a)?3a
3
?9a
2
?27
，求导得：
g(a)?9a
2
?18a?9a(a ?2)

当
a?[2,3]
时，
g(a)?0,g(a)
递增；当
a?[0,2]
时，
g(a)?0,g(a)
递减；

当
a?[?1,0]
时，
g(a)?0,g(a)
递增，
?g(a)
在
[?1,3]
上的最小值为
min{g(?1),g( 2)}?min{15,15}?15

11
（3）
H(a)??[g(a) ?27]??(3a
3
?9a
2
),
如果
a?(0,1) ，则
66
31
H
?
(a)?3a?a
2
? 3a(1?a)?0

22
1
?H(a)
在
(0,1)为递增函数，
?H(a)?(H(0),H(1))?(0,1),a
n?1
?H (a
n
)??(3a
n
3
?9a
n
2
) 
6
?a
1
?(0,1)?a
2
?(0,1)??a
n
?(0,1)?

131
又
a
n?1
? a
n
??a
n
3
?a
n
2
?a
n
??a
n
(a
n
?2)(a
n
?1)?0
，
?a
n?1
?a
n
.

222
94．（1）由c=1知B（0，1），∵
OH?(3?23)HB
， ∴
x
H
?0,y
H
?
3?23
4?23
?
3

2
即
H(0,
313
),
点C在单位圆上，∴
C?(,)

222
x
2
y
2
设双曲线E的方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0).

ab
?
2
3
?
a
2
?b
2
?1,
?
a ?1?
??
2
由点C的双曲线E上，半焦距c=1有：
?
1解得
?
3
?
2
?
2
?1,
?
b
2
?
3
4b
?
4a
?
2
?所以双曲线E的方程为：
x
2
1?
3
2
?
y 2
3
2
?1.

（2）证明：∵A
1
（－c，0），B（0，c），由
OH?(3?23) HB得:H(0,
22
313
c),C(c,c),

222
?
a
2
?b
2
?c
2
①
xy
?
22
设双曲线E的方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0),
∴
?
c

3c
ab
?
2
?
2?1②
4b
?
4a
①代入②，化简整理得
3a?6ab?b?0,?()?6()?3?0

解得
()?3?23.

4224
b
a
4
b
a
2
b
a
2
c
2
b
2
又
e?
2
?1?()?4?23.
∴
e?4?23?3?1
，即双曲线 E的离心离是与c无
a
a
2
关的常数。

（3）假设存在实数
?
,使A
1
F?
?
FC恒成立，A1
(?c,0),C(,
c
2
3c
)
2
?c?
有
x
F
?
c3
?
?
?
?
2
,y?
2

F
1?
?
1?
?
?
c
2
3c
2
?
2
?
2
?1
③
4b
c(
?
?2)3c
?
?
4a 点F
(

,,
点C，F都在双曲线E上，故有
?
22 22
2(1?
?
)2(1?
?
)
?
c(
?
?2)
?
3c
?
④
2222
?
4a(1?
?
)4b(1?
?
)
?
3c
2
c
2
e
2
?4
由③得
e?
2
?4?
2
?
⑤
3
bb
2
e
2
(
?
?2 )
2
?
2
222
⑤代入④得
?(e?4)??1,化简整理得?
?
e?e?2
?
?1

22
4(1?
?
)4(1?
?
)
e
2
?13?231?3
即?
?
2
,利用（2）小题的结论得：
?
??,

4
e?2
6?23
故存在实数
?
?
'
1?3,使A
1
F?
?
FC
恒成立.
4
2'
95．（1）
?f(x)?ax?2bx?c,
由题意及导数的几何意义得
f(1) ?a?2b?c?0
①
f
'
(m)?am
2
?2bm?c??a
②
又 a?b?c,可得4a?a?2b?c?4c,即4a?0?4c,故a?0,c?0

由①得
c??a?2b，代入a?b?c,再由a?0,得?
2
1b
??1 ③
3a
2
将c=－a－2b代入②得
am?2bm?2b?0即方程 ax?2bx?2b?0
有实根，
故判别式
??4b?8ab?0,得()?2() ?0,得
由③、④得
0?
b
?1

a
2
b
a
2
b
a
bb
??2,或?0
④
aa
（2）由
f(x)?ax?2bx?c的判别式??4b?4ac?0

知方程
f(x)?ax?2bx?c?0(*)
有两个不等实根，设为x
1 ，x
2
，
又由
f(1)?a?2b?c?0知，x
1
?1为方程
（*）的一个实根，
则由根与系数的关系得
x
1
?x
2
??
'
'2
'2'2
2b2b
,x
2 ???1?0?x
1

aa

当x＜x
2
，或x＞x
1
时，
f(x)?0,当x
2
?x?x1
时f(x)?0

故函数f（x）的递增区间为[x
2
，x 1
]，由题设知[x
2
，x
1
]=[s，t]，
因此
|s?t|?|x
1
?x
2
|?2?
（3）由
' '
2b
a
,由（1）知0?
b
a
?1得|s?t|的取值范围为[2，4)

f
'
(x)?a?0,即ax
2
?2bx ?a?c?0即ax
2
?2bx?2b?0

因此a＜0，得
x2
?
2b
?
2b
?0,整理得(2x?2)?
b
?x
2
?0

xaa
bbb
设
g()?(2x? 2)??x
2
,可以看作是关于
的一次函数，由题意，
aaa
g( 1)?0
?
x
2
?2x?2?0
?
bb
?
g()?0对于0??1
恒成立故
?
即
?
2
得x??3?1 或x?3?1

aa
?
g(0)?0
?
?
x?0 由题意
[k,??)?(??,?3?1)?[3?1,??)，故k?3?1,因此k的最小值为3?1

，由f(x)?0
恒成立知： 96．（1）∵
f(? 1)?0
，∴
b?a?1
??b
2
?4a?(a?1)
2 ?4a?(a?1)
2
?0
，
2
?
(x?0)?
(x?1)
∴a=1，从而
f(x)?x?2x?1,?F(x)?
?

2
?
(x?0)
?
?(x?1)
2
（2 ）由（1）知
f(x)?x?2x?1,?g(x)?f(x)?kx?x?(2?k)x?1,

由
g(x)
在[－2，2]上是单调函数知：
?
22
2 ?k2?k
??2或??2，得k??2或k?6.

22
（3）∵
f(x)
是偶函数，∴
f(?x)?f(x)而a?0,?f(x)在[0,??)
为增函数，对于
F(x)
，
?x?0,F(?x)??f(?x)??f(x)??F (x)，当x?0时，
当
x?0时，

?x?0,

F(? x)?f(?x)?f(x)??F(x)
，∴
F(x)
是奇函数，且
F(x )
是在
[0,??)
上为增函数，
当mn<0，m、n异号，
(i)当m?0,n?0时，由m??n?0知F(m)?F(?n)??F(n)
∴
F(m)?F(n)?0.

(ii)当m?0,n?0时，由n??m?0知F( n)?F(?m)??F(m)
，∴
F(m)?F(n)?0.

综上可知
F(m)?F(n)?0.

97、解：（1）设P点坐标为
(x,y)
，则
(x?1)
2
?y
2
(x?1 )
2
?y
2
?
2
22
，化简得
(x?3) ?y?8
，
2

所以曲线C的方程为
(x?3)?y?8
；
（2）曲线C是以
(?3,0)
为圆心，
22
为半径的圆，曲线 C'
也应该是一个半径为
22
的圆，点
22
(?3,0)关于直线
y?x
的对称点的坐标为
(0,?3)
，所以曲线
C'
的方程为
x
2
?(y?3)
2
?8
，
该圆的圆心
(0,?3)
到直线
y?x?m?3
的距离
d
为
d?
|0?(?3)?m?3|
1?(?1)
22
?
|m|
2
，
S
△
ABO
11m
2
m
2
2
??d?|AB|??d?28?d?(8?)??7

2222
m
2
m
2
??1
，或
?7
，所以，
m?? 2
，或
m??14
。
22

98. ⑴解:设
a
n?1
?2a
n
?n
2
?3n可化为a
n?1 ?
?
(n?1)
2
?
?
(n?1)?2(a
n
?
?
n
2
?
?
n)
，
即
a
n?1
?2a
n
?
?
n
2
? (
?
?2
?
)n?
?
?
?
…………………………… (2分)
?
?
??1
?
故
?
?
?2
?
?3
?
?
?
??
?0
?
?
?
??1
…………………………… (4分)
解得
?
?
?
?1
22 2
∴
a
n?1
?2a
n
?n?3n可化为a
n?1
?(n?1)?(n?1)?2(a
n
?n?n)
………(5分)
又
a
1
?1
2
?1?0
……………………………………………………………………(6分)
故存在
?
??1 ,
?
?1使得数列
?
a
2n?1
⑵证明：由⑴得
a
n
?n?n?(a
1
?1?1)?2
∴
a
n
?2
n?1
?n
2
?n
，
n
2
?
?
n
2
?
?
n
?
是等比数列 ……………(7分)
故
b
n
?
∵
b
n
?
11
?
……………………………………………… (8分)
a
n
?n?2
n?1
n
2
14422
………………………… (9分)
????
222
n4n4n?12n?12n?1
222222
∴
n?2时,S
n
?b
1
?b
2
?b
3
??b
n
?1?(?)?(?)??(?)

35572n?12n?1
225

?1???
……………………………………（11分）
32n?13
现证
S
n
?
6n
(n?1)(2n?1)
(n?2)
.
当
n?2时S
n
?b
1
?b
2
?1?6n12454
15
??,?
，
?,
而
(n?1)( 2n?1)3?5545
44
故
n?2
时不等式成立 ………………………………………………（12分）
1111
当
n?3时,由b
n
?
2
?
得
??
n(n?1)nn?1
n
1111111
S
n
?b
1
?b
2
?b
3
?
?
?b
n
?(1?)?(?)?(?)?
?
?(?)

22334nn?1
1n
6
，且由
2n?1?6
，
?1??
得1?
n?1n?1
2n?1

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