高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析

高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析

知识点一 抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹 叫做
抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
知识点二 抛物线的标准方程与几何性质

标准方
程
y
2
＝2px
(p>0)
y
2
＝－2px
(p>0)
x
2
＝
2py(p>0)
x
2
＝－
2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形

顶点
对称轴
焦点
离心率
准线
方程
范围
开口方
向

规律与方法：解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直 线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用
到根与系数的关系．
p
x＝－
2

x≥0，y∈R
向右
p
x＝
2

x≤0，y∈R
向左
?
p
?
F
?
2
，0
?

??
y＝0
?
p
?
F
?
－
2
，0
?

??
e＝1
p
y＝－
2

y≥0，x∈R
向上
p
y＝
2

y≤0，x∈R
向下
p
??
0，
?
F
2
?
??

O(0,0)
x＝0
p
??
0，－
?
F
2
?
??

(2)有关直线与抛物线的弦 长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物
线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x
1
＋x
2
＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公
式．
(3)涉及抛 物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采
用“设而不求”“整体代入”等解法 ．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．

例1 已知点P是抛 物线y
2
＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P
到该抛物线的准 线的距离之和的最小值为( )
179
A.
2
B．3C.5D.
2

例2 (20 15年10月学考)设抛物线y
2
＝2px(p>0)的焦点为F，若F到直线y＝3
x的距离为3，则p等于( )
A．2B．4C．23D．43
例3 (2016年10 月学考)已知抛物线y
2
＝2px过点A(1,2)，则p＝________，准
线 方程是________________．
例4 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点， 并且经过点M(4，－22)，
则它的标准方程为________．
例5 已知动圆M与直 线y＝2相切，且与定圆C：x
2
＋(y＋3)
2
＝1外切，则动圆
圆心M的轨迹方程为________．
例6 已知抛物线方程为y
2
＝2px(p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于
5
A、B两点，且|AB|＝
2
p，求AB所在直线的方程．

例7 过抛物线y
2
＝2x的顶点作互相垂直的两条弦OA，OB.
(1)求AB的中点的轨迹方程；
(2)求证：直线AB过定点．






一、选择题
1．抛物线y＝2x
2
的焦点坐标是( )
1
A．(
2
，0)
1
C．(0，
8
)
1
B．(
4
，0)
1
D．(0，
4
)
2．已知抛物线y＝4x
2
上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
17157
A．
16
B．
16
C．
8
D． 0
3．已知抛物线y＝ax
2
的准线方程是y＝2，则a的值为( )
11
A．－
8
B．
8
C．8D．－8
4．从抛物 线y
2
＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设
抛物线的 焦点为F，则△MPF的面积为( )
A．5B．10C．20D.15
5．已知直线l 过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，
|AB|＝12，P为C的准线上的 一点，则△ABP的面积为( )
A．18B．24C．36D．48
6．若点A的坐标 为(3,2)，F是抛物线y
2
＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，
使|MF|＋ |MA|取得最小值的M的坐标为( )
A．(0,0)
1
B．(
2
，1)

C．(1，2) D．(2,2)
7．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( )
A．y＝2x－3
C．y＝－x＋3
B．y＝－2x＋5
D．y＝x－1
8．设抛物线C ：y
2
＝16x，斜率为m的直线l与C交于A，B两点，且OA⊥OB，
O为坐标原 点，则直线l恒过定点( )
A．(8,0)
C．(16,0)
二、填空题
9．若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的 轨迹方
程是__________．
10．直线y＝kx＋2与抛物线y
2
＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
11．抛物线y
2
＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
12．设抛物线y
2
＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂
足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.
三、解答题 13．已知抛物线y
2
＝2px(p>0)的焦点为F，A(x
1
，y< br>1
)，B(x
2
，y
2
)是过F的直线与
抛物线的两 个交点，求证：
p
2
(1)y
1
y
2
＝－p，x
1
x
2
＝
4
；
2
B．(4,0)
D．(6,0)
11
(2)
|AF|
＋
|BF|
为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

答案精析
知识条目排查
知识点一
相等 焦点 准线
题型分类示例
例1 A

如图，由抛物线定义知
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，
则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，
则当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值．
1
又A(0,2)，F(，0)，
2
∴(|PA|＋|PF|)
min
＝|AF|
＝
117
?0－
2
?
2
＋?2－0?
2
＝
2
.]
p
例2 B 由抛物线y
2
＝2px(p>0)的焦点为F(
2
，0)．
F到直线y＝3x的距离为3，
3p
|
2
|
?3?＋?－1?
22
可得＝3，
解得p＝4，故选B.]
例3 2 x＝－1
例4 y
2
＝2x
解析 由题意可知抛物线的焦点在x轴上，
设方程为y
2
＝2px(p>0)或y
2
＝－2px(p>0)．

若方程为y
2
＝2px(p>0)，则8＝2p×4，得p＝1，故方 程为y
2
＝2x；
若方程为y
2
＝－2px(p>0)，则8＝－ 2p×4，得p＝－1，不符合条件，故不成立．
所以抛物线的标准方程为y
2
＝2x.
例5 x
2
＝－12y
解析 设动圆圆心M(x，y)，半径为r，
?
y<2，
根据题意可得
?
r＝|y－2|，
?
x
2
＋?y＋3?
2
＝1＋r，
解得x
2
＝－12y.
p
例6 解 方法一 焦点F(
2
，0)，


设A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
) ，若AB⊥Ox，
5
则|AB|＝2p<
2
p，
p
∴直 线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－
2
)，k≠0.
p< br>?
?
y＝k?x－?，
2
由
?
?
?
y
2
＝2px

消去x，
整理得ky
2
－2py－kp
2
＝0.
2p
由根 与系数的关系得，y
1
＋y
2
＝
k
，y
1
y
2
＝－p
2
.
∴|AB|＝?x
1
－x
2
?
2
＋?y
1
－y
2
?
2

＝
＝
1
?1＋
k
2
?·?y
1
－ y
2
?
2

1
1＋
2
·?y
1< br>＋y
2
?
2
－4y
1
y
2

k
15
＝2p(1＋
k
2
)＝
2
p，解得k＝± 2.
pp
∴AB所在直线方程为y＝2(x－
2
)或y＝－2(x－
2
)．
方法二

p
如图所示，抛物线y2
＝2px(p>0)的准线为x＝－
2
，A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
设A，B到准线的距离分别为d
A
，d
B
，由抛物线的定义知， < br>pp
|AF|＝d
A
＝x
1
＋
2
，|BF| ＝d
B
＝x
2
＋
2
，
53
于是|AB| ＝x
1
＋x
2
＋p＝p，x
1
＋x
2
＝p .
22
5
当x
1
＝x
2
时，|AB|＝2p<< br>2
p，
∴直线AB与Ox不垂直．
p
设直线AB的方程为y＝k(x－
2
)．
p
?
?
y＝k?x－?，
2
由
?
?
?
y
2＝2px，

1
得k
2
x
2
－p(k
2
＋2)x＋
4
k
2
p
2
＝0，
p?k
2
＋2?
3
x
1
＋x
2
＝
k2
＝
2
p，解得k＝±2，
pp
∴直线AB的方程为y＝2( x－
2
)或y＝－2(x－
2
)．
1
例7 (1)解 设直线OA的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－
k
x.
22
联立 直线OA与抛物线的方程知，点A的坐标为(
k
2
，
k
)，
联立直线OB与抛物线的方程知，点B的坐标为(2k
2
，－2k)，
11
则AB的中点M的坐标为(
k
2
＋k
2
，
k
－k)，故点M的轨迹方程为x＝y
2
＋2.
1
－k－
k
2
(2)证明 由(1)可知k
AB
＝
1k
＝－
1
＝－
2
，
k－1
k－
k
1

k－
k
2

1
则直线AB的方程为y－(
k
－k)
k1
＝－
2
x－(
k
2
＋k
2
)]，
k－1
k
整理，得y＝－
2
(x－2)．
k－1
所以直线经过定点(2,0)．
考点专项训练
1
1．C 抛物线y＝2x
2
的标准形式为x
2
＝
2
y，
1p1
∴p＝
4
，则
2
＝
8
，
1
∴焦点坐标是(0，
8
)．]
1
2．B 抛物线y＝4x
2
的标准形式为x
2
＝
4
y，
1
∴其准线方程为y＝－
16
，
设点M的纵坐标是y
0
，
1
由抛物线的定义，得y
0
＋
16
＝1，
15
∴y
0
＝
16
.]
3．A
4．B 设P(x
0
，y
0
)，依题意可知抛物线准线方程为x＝－1，
∴x
0
＝5－1＝4，∴|y
0
|＝4×4＝4，
1
∴△MPF的面积为
2
×5×4＝10.]
p
5．C 不妨设抛物线方程为y
2
＝2px(p>0)，依题意，l⊥x轴，且焦点F(
2，0)，
p
∵当x＝
2
时，|y|＝p，∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，
pp
又点P到直线AB的距离为
2
＋
2
＝p＝6，
11
故S
△
ABP
＝
2
|AB|·p＝
2
×12×6＝36.]

11
6．D 由题意得F(
2
，0)，准线方程为x＝－
2
.
1
设点M在准线x＝－
2
上的射影为P，
则M到准线的距离为d＝|PM|，
则由抛物线的定义得|MA|＋|MF|＝|MA|＋|PM|，
17
故当P、A、 M三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值为|AP|＝3－(－
2
)＝
2
.
把y＝2代入抛物线y
2
＝2x，得x＝2，故点M的坐标是(2,2)．]
7．A ∵抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，
p
∴－
2
＝－1，∴p＝2，
∴抛物线的方程为y
2
＝4x.
设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
2
?
y1
＝4x
1
，
则
?
2
两式相减得
?
y
2
＝4x
2
，

(y
1＋y
2
)(y
1
－y
2
)＝4(x
1
－x
2
)，
y
1
－y
2
44
∴直线AB 的斜率k＝＝＝
2
＝2，
x
1
－x
2
y
1
＋y
2
从而直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3.]
8．C 设直线l：x＝my＋b(b≠0)，代入抛物线y
2
＝16x，可得y2
－16my－16b＝
0.
设A(x
1
，y
1)，B(x
2
，y
2
)，则y
1
＋y
2
＝16m，y
1
y
2
＝－16b，
∴x
1
x< br>2
＝(my
1
＋b)(my
2
＋b)＝b
2
，
∵OA⊥OB，∴x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0，
可得b
2
－16b＝0，
∵b≠0，∴b＝16，∴直线l：x＝my＋16，
∴直线l过定点(16,0)．]
9．y
2
＝16x
解析 点P到点F的距离与到x＝－4的距离相等，由抛 物线定义，知点P轨迹
p
为抛物线，设y
2
＝2px，由
2
＝4，知p＝8.

10．1或0
?
y＝kx＋2，
解析 由
?
2

?
y＝8x，
得ky
2
－8y＋16＝0，
若k＝0，则 y＝2；若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.因此若直线y
＝kx＋2与抛物线y
2
＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.
12
11．(
8
，±
4
)
1
解析 设抛 物线上点的坐标为(x，±x)，此点到准线的距离为x＋
4
，到顶点的距
11
离为x
2
＋?x?
2
，由题意有x＋
4
＝x
2< br>＋?x?
2
，∴x＝
8
，
12
∴此点坐标为(
8
，±
4
)．
12．8
解析


如图所示，直线AF的方程为y＝－3(x－2)，与准线方程 x＝－2联立得A(－
2,43)．
设P(x
0,
43)，代入抛物线y< br>2
＝8x，得8x
0
＝48，∴x
0
＝6，
∴|PF|＝x
0
＋2＝8.
p
13．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(
2
，0)．
p
由题意可设直线方程为x ＝my＋
2
，代入y
2
＝2px，
p
得y＝2p(my＋
2
)，即y
2
－2pmy－p
2
＝0.(*)
2
因为y
1
，y
2
是方程(*)的两个实数根，所以y
1y
2
＝－p
2
.
2222
因为y
1
＝2px
1
，y
2
2
＝2px
2
，所以y
1
y
2
＝4px
1
x
2
，

2
y
2
p
4
p
2
1
y
2
所以x
1
x
2
＝
4p
2
＝
4p
2
＝
4
.
1111
(2)
|AF|
＋
| BF|
＝＋
pp

x
1
＋
2
x
2
＋
2
x
1
＋x
2
＋p
＝
pp2
.
x
1
x
2
＋
2
?x
1
＋x
2
?＋
4
p
2
因为x
1
x< br>2
＝
4
，x
1
＋x
2
＝|AB|－p，代入 上式，
11|AB|2
得
|AF|
＋
|BF|
＝
p
2
p
2
＝(定值)．
pp
＋?|AB|－p?＋
424
(3)

设AB的中点 为M(x
0
，y
0
)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作< br>111
准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|) ＝|AB|.
222
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．