人教版高中数学必修第二册抛物线的定义及其标准方程

第二章 圆锥曲线教案 抛物线的定义及其标准方程教案

教学目标
1．使学生理解并掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步用它们解决有关
的简单 问题．
2．在复习椭圆、双曲线定义共性的基础上，引发学生对未知曲线的猜想，激发学生的求
知欲，培养学生发现问题和探索问题的能力，提高学生自主学习的能力。
3．培养学生运用数形结合的数学思想解决问题的习惯．
教学重点与难点
抛物线定义的探索和标准方程的推导是教学重点，利用定义解决问题是难点．
教学过程
一、椭圆和双曲线的共同定义的复习．
(利用计算机演示动画，学生网上参与。)
P

P
F
F




(1)不妨设定点F到定直线
l
的距离为p．
(2)通过提问，让学生思考 随着e的变化曲线的形状的变化规律．同时演示动画，让学生
充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1 时曲线形状奠定基础．
师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！
(可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．)
我们利用电脑精确地计算展 示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹．用
电脑模拟。

不同 点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y
2
，右端是2px；当抛物线的焦点在y
轴上时，方程左端是x
2
，右端是2py．②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在 x轴(y
轴)的正半轴上，方程右端取正号．
开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号．
例1 (1)已知抛物线的标准方程是y
2
=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

(2)分析 要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值．

例3 经过抛物线的焦点F，作一条弦AB
（1）设两端点的纵坐标为y
1
，y< br>2
．求y
1
·y
2
的值；
（2）若AB斜率为1，求|AB|
（1）解： 若AB垂直于x轴，则显然有y
1
·y
2
=-p
2


若AB不垂直于x轴，则设AB的方程为my=x-p2，代入抛物线方程整理得：
y
2
-2pmy+p
2
=0，由韦达定理得，y
1
·y2
=-p
2

（2）分析：利用普通的弦长公式来求AB长，比较麻烦， 注意到AB过焦点，从而可把
|AB|
拆成|AF|+|BF|来求。
设AB的方程为：y=x-p2,代抛物线方程得，x
2
+-px+p
2
4=0
设A、B横坐标分别为x
1
、x
2
, 则有
x
1
+
x
2
=p,又设A、B两点到准线的距离分别为 |AM|、
|BN|，则|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=x
1
+p2+x
2
+p2=2p

作业：略