高二数学选修1-1综合测试题

高二数学选修1—1综合测试题
一、 选择题（每小题5分，共60分）
1、已知命题
p
、
q
，如果
?p
是
?q< br>的充分而不必要条件，那么
q
是
p
的（ ）
（ A ）必要不充分条件 ( B )充分不必要条件 ( C )充要条件 ( D )既不充分也不必
要
2、命题“若
?C?90
，则
?ABC
是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题
这四个命题中，真命题的个数是（ ）
（ A ） 0 ( B ) 1 ( C ) 2 ( D ) 3
3、一动圆的圆心在抛物线
y
2
?8x
上，切动圆恒与 直线
x?2?0
相切，则动圆必定过
点（ ）
（ A ）（4，0） ( B ) （2，0） ( C ) （0，2） ( D ) （0，-2）
4、抛物线
y?2px
上一点Q
(6,y
0
)
,且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距
离是（ ）
（ A ） 4 ( B ) 8 ( C ) 12 ( D ) 16 < br>5、中心点在原点，准线方程为
x??4
，离心率为
2
0
1< br>的椭圆方程是（ ）
2
x
2
y
2
x< br>2
y
2
??1
( B )
??1
（ A ）
4334
x
2
y
2
22
?y?1
( D )
x??1
( C )
44
x
2
y
2
6、若方程
2
??1
表示准线平行于
x
轴的椭圆，则m
的范围是（ ）
m(m?1)
2
（ A ）
m?
1111
( B )
m?
( C )
m?
且
m?1
( D )
m?
且
m?0

2222
7、设过抛物线的焦点
F
的弦为
PQ
，则以
PQ
为直径的圆与抛物线的准线的位置关系
（ ）
（ A ） 相交 ( B )相切 ( C ) 相离 ( D ) 以上答案均有可能
x
2
y
2
8、如果方程
??1
表示双曲线，那么实数
m
的取值范围是（ ）
|m|?1m?2
（ A ）
m?2
( B )
m?1
或
m?2

( C )
?1?m?2
( D )
?1?m?1
或
m?2

9、已知直线
y?kx
与 曲线
y?lnx
相切，则
k
的值为（ ）
（ A ）
e
( B )
?e
( C )
11
( D )
?

ee
1

10、已知两条曲线
y?x
2
?1
与y?1?x
3
在点
x
0
处的切线平行，则
x
0
的值为（ ）
（ A ） 0 ( B )
?
22
( C ) 0 或
?
( D ) 0 或 1
33
11、已知抛物线
x
2
?y?1
上一定点
A(?1,0)
和两动点
P
、
Q
，当
PA?PQ< br>时，，点
Q
的横坐标的取值范围（ ）
（ A ）
(??,?3]
( B )
[1,??)
( C )
[?3,?1]
( D )
(??,?3]?[1,??)

12、过双曲线
x
2
?y
2
?1
的右焦点且与右支有两个 交点的直线，其倾斜角范围是
（ ）
（ A ）
[0,
?
)
( B )
(
( C )
(
??
?
?
3
?
,)?(,)

4224
?
?
3
?
4
,)
( D )
(0,)?(,
?
)

422
二、填空题 （每小题4分，共16分）
13、命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是 。
14、抛物线
y
2
?4x
上一点
A
到点
B(3,2)
与焦点的距离之和最小，则点
A
的坐标
为 。 x
2
y
2
x
2
y
2
15、双曲线2
?
2
?1
的离心率为
e
1
，双曲线
2
?
2
?1
的离心率为
e
2
，则
e
1
?e
2
abba
的最小值为 。
x
2
y
2
16、已知椭圆
2
?
2
?1
，
(a?b?0)
，
A
为左顶点，
B
为短轴端点，
F
为右焦点，
ab
且
AB?BF
，则这个椭圆的离心率等于 。
二、 解答题 (17～21每小题12分，22题14分)
2
17、已知抛物 线
y?ax?bx?c
通过点
A(1,1)
，且在
B(2,?1)< br>处与直线
y?x?3
相切，
求
a
、
b
、
c
的值。
17、解：
y'?2ax?b

则
y'|
x?2
?4a?b?1
????????????①
又抛物线过点
A(1,1)
则
a?b?c?1
??????②
点
B(2,?1)
在抛物线上
4a?2b?c??1
????③
,c?9
解①②③得
a?3,b??11


2
Y
M(x,y)
o
F
A(a,0)
X

18、点
M(x,y)
为抛物线
y
2
?4x
上的动点，
A(a,0)
为定点，求
|MA|
的最小值。
解：解：
y
2
?4x

2p?4


p
?1

2
|MA|?(x?a)
2
?y
2

?x
2
?2ax?4x?a
2

?
?
x?(a?2)
?
2
?4a?4
根号下可看作关于
x
的二次函数，这里
x?0

4a?4

若
a?2?0

a?2

< br>x?a?2
时，
|MA|
min
?
若
a?2?0，
a?2
时，
|MA|
min
?|a|

19 、已知椭圆的中心在原点，它在
x
轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，切此
焦 点和
x
轴上的较近端点的距离为
4(2?1)
，求椭圆方程。
x< br>2
y
2
解：设椭圆的方程为
2
?
2
?1，
(a?b?0)

ab
?
a?c?4(2?1)
?< br>a?42
?
222
根据题意
?
c

b?a?c?16

2
解得
?
0
?
c?4
?
a
?cos45?
2
?
x
2
y
2
??1
椭圆的方程为
3216
22
20、讨论直线
l:y?kx?1
与双曲线
C:x?y?1
的公共点的个数。
解：解方程组
?
?
y?kx?1

22
?
x?y?1
22
消去
y
得
(1?k)x?2kx?2?0

2
当
1?k?0
，
k??1
时
x??1

当
1?k?0,k??1
时
??(?2k)?4?2(1?k)?8?4k

2
由
??0

8?4k?0
得
?2?k?
2222
2


3

由
??0

8?4k?0
得
k??2

由
??0

8?4k?0
得
k??2
或
k?
2
2
2

综上知 ：
k?(?2,?1)?(?1,1)?(1,2)
时，直线
l
与曲线C
有两个交点，

k??2
时，直线
l
与曲线
C
切于一点，
k??1
时，直线
l
与曲线
C
交于一
点。
21、在直线
l:x?y?9?0
上任取一点
M
，过
M
作以
F
1
(?3,0),F
2
(3,0)
为焦点的椭
圆，当
M
在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭 圆方程。
分析：因为
|MF
1
|?|MF
2
|?2
，即问题转化为在直线上求一点
M
，使
M
到
F
1
,F
2
的距离的和最小，求出
F
1
关于
l
的对称 点
F
，即求
M
到
F
、
F
2
的和最 小，
FF
2
的长就是所求的最小值。
解：设
F
1
(?3,0)
关于
l:x?y?9?0
的对称点
F(x,y)
< br>?
x?3y
?
2
?
2
?9?0
?
x ??9
则
?

?
?
y?0
?
y?6
?
??1
?
x?3
F(?9,6)
，连
F
2
F
交
l
于
M
，点
M
即为所求。
1
F
2
F
：
y??(x?3)
即
x?2y?3?0

2

解方程组
y
M
’
F
M
F
1
L
O
F
2
X
?
x?2y?3?0
?
x??5

???
?
y?4
?
x?y?9?0
M(?5,4)
当 点
M
'
取异于
M
的点时，
|FM
'
|?| M
'
F
2
|?|FF
2
|
。
满足题意的 椭圆的长轴
2a?|FF
2
|?(?9?3)
2
?6
2?65

222
所以
a?35

c?3

b?a?c?45?9?36

x
2
y
2
??1
椭圆的方程为：
4536
22、如图，由
y?0,x?8,y?x
围城的曲边三角形，在曲线
OB
弧 上求一点
M
，使得
过
M
所作的
y?x
的切线
PQ
与
OA,AB
围城的三角形
PQA
的面积最大。
2
2

4

解： 设
M(x
0
,y
0
)

PQ:y?k(x?x
0
)?y
0

Y
M
B
Q
则
y
2
0
?x
0
，
y'?2x|
x?x
0
?2x
0

O
P
即
k?2x
0
所以
y?2x
0
(x?x
0
)?y
0

令
y?0
则
x?x
y
0
0
?
2x< br>?2x
x
0

P(
0
,0)
0
2

令
x?8
则
y?16x
22
0
?x
0

Q(8,16x
0
?x
0
)

S?
S
1
2
(8?
x
0
2
2
2
) (16x
0
?x
0
)
?64x
0
?8x
0
?
1
4
x
3
?PAQ
?
0
S'?64?16x
3
0
?
4
x
2
0

令
S'?0
，则
x
16
0
?16
（舍去） 或
x
0
?
3

即当
x
16
0
?
3
时
S
4096
max
?
27

y
16256 16256
0
?(
3
)
2
?
9

M(
3
,
9
)



附参考答案

一、选择题
1、B , 2、B, 3、B , 4、B , 5、C, 6、D , 7、 B ，
9、C , 10、 C , 11、 D, 12、 C
三、 填空题
13、若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数。
14、（1，2）
15、
22

e
b
2
a
2
解：< br>M?
1
?e
2
?1?
a
2
?1?
b
2

2
?
b
2
a
2
b
2
a
2
M?2
a
2
?
b
2
?22?
a
2
?
b
2
?2?2?2?2?8

M?22
16、
5?1
2


5
X
A
8、D ,

解：
BO
为直角三角形
ABF
斜边上的高，则
BO
2
?AO?FO< br>
222
即
b?ac

a?c?ac
解得

c5?1

?
a2

6