显著性检验公式如何理解格林公式？

2020年10月5日发(作者：汤蕴求)
如何理解格林公式？

格林公式阐述了一个简单而又重要的物理事实，守恒 。
比如，打台球：它的能量守恒是这样的：击球的能量产生在
桌面上，所以调整一下守恒式，就 得到了格林公式：下面让
我们一步步建立物理模型来解读上面的描述，并推导出格林
公式。
本人不才，下面的物理都主要重视直观理解，不求严格性，
恳请物理大咖指点纠正。
1 关于旋转的物理问题在剑桥大学的小路上，正在思考的乔
治·格林被一个学生拦住了，学生 愁眉苦脸的说：“老师，您
好，有个问题我一直没有想清楚，您帮我合计合计。”
学生继续说 道：“这个问题就是，我应该怎么去分析水流中，
螺旋桨的做功情况？”“这是一道应用题，”格林眉毛 一拧：“肯
定是先建模啊。”2 模型的建立首先，水流作用到螺旋桨上，
表现为力，因此先把水流转为力场 ：把这样的螺旋桨：抽< br>象一下，放入到力场中去，就会旋转起来（手动移动下螺旋
桨的位置，还会发现在不同的位置旋转 速度不一样）：
此处有互动内容，点击最下面的“阅读原文”进行操作。
进一步简化一下，我们只研究其中某一个点的在旋转中的做
功：
等价于研究某一点在 圆形路径上的做功：格林说：“问题就被
转化为了沿路径做功了，我们看看物理层面怎么解答。”
3 物理的解答3.1 旋转方向与有向路径
首先，规定逆时针旋转为正方向：旋转有了方向 之后，此点
走过的路径也就有了方向，我们称为“有向路径”。
根据旋转的正方向，就可定义点走过的路径的正方向：点要
是反着转，那么走过的路径自然就是 。
3.2 做功分析根据微积分的思想，我们把路径切成无数个微
小的曲线段：
根 据我们已知的两个知识（已知的意思，其实是我不想解释
了）：根据微积分“以直代曲”的思想，这些微 小的曲线段可以
用切线来代替根据物理知识，我们知道，力只在路径方向做
功结合上述两点，我 们可以得到，每个微小的曲线段上做的
功为：那么，很明显，整段封闭曲线做功可以表示为如下：
“哇，清晰多了！”同学搓搓手，递上一只大前门香烟：“老师，
可是怎么计算呢？”
格林抽出笔来，刷刷地写道：“就这么算！”
4 数学计算4.1 矢量形式转为标量形式
矢量形式 不太好计算，让我们转为标量形式。根据我们一
元微积分的知识，我们知道 在 方向的分量为：那么，有
和 ，所以， ，所以：4.2 非常简单的加减运算
我们 给出一个简单的力场，这个力场的特点是：只有水平方
向的力在同一个垂直高度上，力的大小一样随着垂 直高度的
增加，力逐渐减小画出来就是这样的（矢量的方向表示力的
方向，矢量的长度表示力的 大小）：计算在此力场中，某点
围绕正方形路径一圈所做的功，已知：正方形边长为3上边
受力 大小为1，下边受力大小为4力与左右两边垂直，所以
在这两边不做功如图：所以，算出某点围绕正方形 路径一圈
所做的功为：把正方形均分为9宫格，每块都是变长为1的
正方形，每条正方形的边所 在力场的大小我也标注在图里了：
可见，两种运算方法得到的结果都是一样的。
这是一个简单 的演算，可以推广为，任意的路径边界上的功，
等于路径围成的区域内的所有微分矩形（矩形也符合“以 直代
曲”的微积分思想）的边界上的功之和：这也就是我刚开始说
的守恒，虽然功和能量还不是 一回事，不过也算紧密相关，
允许我这个物理民科这么去直观理解。
4.3 计算微小矩形边 界上的功怎么计算微分矩形上做的功呢？
让我取一个微分矩形出来，我把矩形的边和顶点、以及矩形的区域都标注出来了：下面是代数推断了，我觉得过程还是
很清晰明了的。
首先，注意到在 上 为0（因为 方向没有变化）， 上 为
0，然后我们继续推 下去：微分矩形的边界做功求出来了，
结合我们之间的结论，边界的做功＝微分矩形做功之和我们
可以得到最终的结论：其中 为 围成的区域。
同学之前听得屏息凝视，现在才有机会长出了口气：“真是精
彩啊！”格林反问道：“你知道 会得到什么吗？” 是法向量。
5 通量 代表力在运动方向做功，但是力并不会在与运动的
垂直方向做功，那么 代表了什么？
如果把 看作流速，或者电流密度，那么 就在流体力学、
电磁学中被称为通量。关于通量 更详细的可以看我另外一个
回答散度和旋度的物理意义是什么，其中回答了为什么是法
向量方向 。比如，对于我们头顶上的太阳：我们要计算穿过
（包括射出和进入）太阳表面的能量总量：这就是通量 ，记
作：太阳内部时时都在发生核聚变，以及其他的能量活动：
根据能量守恒，内部的能量总量，必然等于穿过太阳表面的
能量总量。
也就是说，通 量和内部能量总量相等。定了这个基调之后，
然后按照之前分析做功的方式，最终我们可以得到：格林说
完之后，突然发现，自己发现了不得了的东西，对于数学有
重要的意义，相当于把封闭曲线的线 积分转为了二重积分。
所以，赶快去发表论文吧。6 总结
乔治·格林（1793 — 1841），英国科学家，格林公式的发明
者。
根据不同的物理意义，格林得到了两种格林公 式的形式：做
功的形式（电磁学、流体力学也可以把 看作流速，下面就
称为环流量）：通量的形式：旋度和散度也出现在公式中了。
本文轻度调侃 了乔治·格林，并非不敬。在我眼中科学家才是
真正的英雄，希望我可以写出这些科学大咖风采的一二， 借
用《红楼梦》中的一句话，但使大家知道“科学界历历有人”。