九宫魔方公式O.Stolz公式及其应用

2020年10月3日发(作者：全贤)
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公式及其应用

作者：张雁磊

来源：《现代职业教育·高职高专》2017年第11期

[摘 要] Stolz公式可以说是序列里的洛必达法则，它对求序列的极限很有用。给出Stolz公
式的 两种形式，并列举了几个用Stolz公式求序列极限的典型例子。
[关 键 词] Stolz公式；序列；极限
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）31-0119-01
一、Stolz公式及其证明
定理1（■Stolz公式）设xn严格递增（即？坌n∈N有xn
Stolz公式 的几何意义[1]，把（xn，yn）看成平面上的点Mn，公式的意义是，假设点Mn
的横坐标xn单 调递增且趋于+∞，那么当■的斜率以a（有限数），或+∞，或-∞为极限时，则■
的斜率也以a，或 +∞，或-∞为极限。
定理2（■Stolz公式），设■yn=0，xn严格递减 （即？坌n∈N，有xn>xn+1），且
■xn=0，若■■=a（其中a为有限数，或a为+∞，或 a为-∞），则■■=a。
定理1，其名为■型，其实只要求分母xn严格递增，且
■xn=+∞，至于分子xn是否趋于无穷大，无关紧要。定理2则是■名符其实的型 ，因为定
理条件要求分子分母都必须以0为极限。
这里只给出定理1的证明[2]，定理2的证明与定理1的证明类似。
证：
（一）（a为有限数）要证■■=a，有序列极限的定义，只需证明：？坌ε>0，？ 埚N>0，
当n>N时，有■-a0，？埚N>0，当n>N时，有αn
yn=yn-1+（αn+a）（xn-xn-1）（再迭代使用此式）
=yn-2+（αn-1+a）（xn-1-xn-2）+（αn+a）（xn-xn-1）
=……
=yN+（αN+1+a）（xN+1-xN）+…+（αn+a）（xn- xn-1）