学科网高中数学理科-高中数学必修四综合题目答题
2.4 二次函
典例精析
题型一 求二次函的解析式
【例1】已知二次函y=f(x)的图象的对称轴方程为x=-2,在y轴上的截距为
1,在x轴上截
得的线段长为22,求f(x)的解析式.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c
(a≠0),由已知有
[]
11
解得a=,b=2,c=1,所以f(x)=x2+2x+1.[]
22
【点拨】求二次函的解析式,要根据已知条件选择恰当的形式,三种形式可以相
互转,若二次函图象与
x轴相交,则两点间的距离为|x1-x2|=
b2-4ac
.
|a|
【变
式训练1】已知二次函y=x2+bx+c的图象过点A(c,0),且关于直线x=2
对称,则这个二
次函的解析式是 .
【解析】由已知x=c为它的一个根,故另一根为1.
b
所以1+b+c=0,又-=2?b=-4,所以c=3.[]
2
所以f(x)=x2-4x+3.
题型二 二次函的最值
【例2】已知二次函f(x)的二次项系为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等实根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正,求a的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1,3).
所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①
由f(x)+6a=0?ax2-(2+4a)x+9a=0,②
1
由②知,Δ=[-(2+4a)]2-4a×9a=0?5a2-4a-1=0,所以a=1或a=-.
5
1163
因为a<0,所以a=-,代入①得f(x)=-x2-x-.
5555
(2)由于f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-
a2+4a+1<
br>又a<0,可得[f(x)]max=-.
a
?
a
2
?4a
?1
?0,
?
?
a
?
?
a?0
由
?
?a<-2-3或-2+3<a<0.
1+2aa2+4a+1
)2-,
aa
【点拨】(1)利用Δ=0;(2)利用配方法.[]
【变式训练2】已知二次
函y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3和最小值2,
则m的取值范围是 .
【解析】[1,2].
题型三 二次函在方程、不等式中的综合应用
【例3】设函
f(x)=ax2+bx+c
(a≠0),x1<x2,f(x1)≠f(x2),对于方程
1
f(x)=[
f(x1)+f(x2)],求证:
2
(1)方程在区间(x1,x2)内必有一解; 1b
(2)设方程在区间(x1,x2)内的根为m,若x1,m-,x2成等差列,则-<m2.
[]
22a
1
【证明】(1)令g(x)=f(x)-[
f(x1)+f(x2)],
2
111
?
则g(x1)g(x2)=[
f(x1)-f(x2)] [ f(x2)-f(x1)]=- [
f(x1)-f(x2)]2
224
<0,
所以方程g(x)=0在区间(x1,x2)内必有一解.
(2)依题意2m-1=x1+x2,即2m-x1-x2=1,
1
又f(m)=[
f(x1)+f(x2)],即2(am2+bm+c)=ax21+bx1+c+ax22+bx2+c.
2
整得a(2m2-x21-x22)+b(2m-x1-x2)=0,
a(2m2-x21-x22)+b=0,
bx21+x22
所以-=m2-<m2.
2a2
【点拨】二次方程ax2
+bx+c=0的根的分布问题,一般情况下,需要从三个方
面考虑:①判别式;②区间端点对应二次函
的函值的正负;③相应二次函的对称
轴x=-
b
与区间的位置关系.
2a<
br>【变式训练3】已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),α,β是f(x)=0的两根(α<β),则实α,β,a,b大小关系为( )
A.α<a<b<β
C.a<α<b<β
【解析】A.
总结提高
1.二次函的表达式有多种形式,形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论
的特征而定.
2.利用二次函的知识解题始终要把握二次函图象的关键要素:①开口方向;②
对称轴;③与坐
标轴的交点.
3.二次函、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,相互渗透,解题
时要注意三者的相互转,重视用函思想处方程和不等式问题.
B.a<α<β<b
D.α<a<β<b
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