《高等数学》2.3复合函数的导数公开课教案

广东省高级技工学校文化理论课教案
（首页）（代号A—3）
JSZ-024-2

共 5 页
科 目
高等数学
2.3复合函数的导数（1）
授 课
日 期
2013年
12月25日
课
时
1
章节名称 班 级 2013级高幼03班
授
课
方
式
讲练法、演示法、归纳法
作 业
题 数
3
拟用
20分钟
时间
教
学
目
的
1.理解复合函数的含义。
2.能够正确分析复合函数的结构并将复合函数拆解成
基本初等函数。
3.能够初步对简单的复合函数求导
选
用
教
具
挂
图
无
重
点

1. 复合函数的结构分析
2. 掌握复合函数求导的步骤
难
复合函数的结构分析
点

教
学
回
顾

基本初等函数类型
基本初等函数的导数公式
1、教材中对于复合函数求导法则的解释比较抽象，讲授时需要借助 实例结合定义讲解，讲解重点
说

明

放在复合函数的“拆解”上。
2、在理解复合函数定义的基础上，基本初等函数的复合较容易理解，此处不做重点讲解。
3 、复合函数的结构分析为本节课的重点及难点，此处加强练习。学生理解中的难点通常在于对“基
本初等 函数类型”分不清，讲解中着重强调每个函数的类型。
授课人：

审阅签名：

教 学 过 程
(代号A-4)
JSZ-024-3
第 2 页


【教学回顾】（3分钟）
（利用多媒体演示）

五大类型基本初等函数及导数公式。（其中
a
代表任意常数）
?
?ax
a?1
1．幂函数：
(x
a
）
?
?a
x
lna
【特别的
(e
x
)
?
?e
x
】 2．指数函数：
（a
x
）
?
?
3．对数函数:
（log
a
x）
11
?
?
】 【特别的
（lnx）
xlnax
?
?cosx

(cosx)
?
??sinx

(tanx)
?
?sec
2
x
4．三角函数：
（ sinx）
(cotx)
?
??csc
2
x

(secx)
?
?secxtanx

(cscx)
?
??cscxcotx

5.反三角函数：
(arcsinx)
?
?

(arctanx)
?
?
1
1?x
2

(arccosx)
?
??
1
1?x
2

11
?

(arccotx)??
22
1?x1?x
【新课导入】 （
2
分钟）

在学习完导数公式及导数的四则运算法则之后，形如：
(sinx?3x
2
)
?
，
(2lnxarctanx)
?
之
类函数我们都可以计算出其导数，但是函数类型也只局限于有两个或几个基本初等函数经过< br>加、减、乘、除之后形成的函数。可计算的函数范围还是很小。
引例：
y?sinx
2
。 （板书）
提问：这个函数中包含了哪几种基本初等函数？
答：正弦函数（三角函数）与幂函数。
说明：两种函数并不是以加减或者乘除的形式组合在一 起的，这种“组合形式”我们称
之为复合函数，本节课我们就来学习复合函数的求导方法。 （板书课题）

【新课讲授】
1.复合函数
（8分钟）

在讨论复合函数求导法则之前，我们先来看一下两个函数是如何复合到一起的。
例1：已知
y?lnu
，
u?cosx
，求以
y
为因变量
x< br>为自变量的函数表达式？
解：将
u?cosx
代入
y?l nu
容易得到
y?lncosx
。

教 学 过 程
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第 3 页


说明：注意上题涉及到的3个函数中自变量与因变 量都不相同，例如
y?lnu
与
y?lncosx
因变量都是
y，但是由于自变量的不同所以表示不同的函数，为了不至于混淆在
y?lncosx
表示函 数时通常加上下脚标来标注自变量，即
y
u
?lnu
,
u
x
?cosx
,
x
.


例2：已知y
u
?e,u
v
?tanv,v
x
?x
，求以
y
为因变量
x
为自变量的函数表达式？
u2
解：将
v
x
?x
2
代入
u
v
?tanv< br>得
u
x
?tanx
2
，
tanx
再将u
x
?tanx
2
代入
y
u
?e
u< br>得到
y
x
?e
即可。

（多媒体演示师生共同解题）
2

2.求导法则
（3分钟）

由此可见由16种基本初等函数像是组成机器的零件，经过复合的形式“ 组合”到一起，
可以演变出很多种函数。想要对这些函数求导我们先来看一下复合函数的求导法则：

??
y
?
x
?y
u
?u
x

（板书）

2
?
,u
?
分析：由于式 子中涉及到
y
ux
两个符号，所以当我们遇到形如
y?sinx
的复 合函数时，首先
应考虑将复合函数“拆解”为基本初等函数，然后分别求导，最后将求导的结果相乘即可 。
即：
拆解 求导 组合（相乘）
（板书）


接下来我们回顾一下我们课堂一开始提出的问题，首先我们来进行第一步：拆解。
I拆解： （15分钟）

例3 分析下列函数结构，并求
y
?
x
。 （板书）
1）
y?sinx
2）
y?e
lnx

说明：请同学们观察16条导数公式中（即 基本初等函数中）每条公式包含一种运算，
引导学生得到结论，复合函数都是包含有两种或两种以上的运 算，若想将复合函数拆解成基
本初等函数，要保证拆分后的每个函数只保留一种运算。
解：1）
u
x
?x
2
，
y
u
?sinu< br>
2）
u
x
?lnx
，
y
u
?e
u

练习题：
【课堂练习】（1）（2）

随机点提问两名学生回答问题，并进行点评
2

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第 4 页

II求导：（继续完善例3中两题的步骤）（4分钟）
?
?e
u

?
?cosu
2）
u
?

1）
u
?
x
?2x
，
y
u
，
y
u
x
?
1
x
请 学生对照导数公式独立完成练习（1)、（2）中的求导计算。
III“组合”（相乘） （6分钟）
2
?
?u
?

1）
y?
x
?y
ux
?cosu?2x?2xcosx

1e
lnx
??
2）
y
?

?
x
?y
u
?u
x
?e?
xx
u
说明：注意在完成第三步“组合”时，最后给出的函数形式为
y
x
，即必须以
x
为自变
量，表达式中不可再出现中间量“
u
”，需将
u
代换回来。
随机点提问两名学生补充完课堂练习的求导部分。
【课堂练习】（1）
y?arctan(e
x
)
（2）
y?(tanx)
4

【小结】（3分钟）
1. 复合函 数求导的步骤：拆解、求导、组合。
??
y
?
x
?y
u?u
x

2. 拆解函数过程中需注意拆分出的函数只能保留一种运算。
3. 组合时注意式子中不能再出现中间量
u
。
课后思考：形如
y ?(lnsinx)
3
由3种基本初等函数复合而成的函数该如何进行求导？
【作业布置】（1分钟）
课本P55.1.（6）（7）（8）
【板书设计】








2.3复合函数的导数
例 分析下列函数结构，并求
y
?
x
。
1）
y
课堂练习：
??
y
?
x
?y
u
?u
x

1）拆解
2）求导
3）组合
y?arctan(e
x
)

y?(tanx)
4

?sinx
2
2）
y?e
lnx





解：