基本不等式及其应用(公开课)

基本不等式及其应用


高考命题趋势：
基本不等式是 每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求最值
问题。特别是求最值问题往往在基本不 等式的使用条件上设置一些问题。考察学生恒
等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。
教学目标
1． 知识与技能
理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。
会运用基本不等式解决相关的问题。
2． 过程与方法
通过师生互动、学生主动的 探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，
学会学习，学会探究。
3． 情感态度与价值观
鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学< br>生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
重点：运用基本不等式求最值
难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件
教学过程：
一、 要点梳理
1、基本不等式
若a、b∈R,则a
2
+b
2
≥2ab,当且仅当a=b时取“=”
若a、b∈R
+,
,则
a?b
?ab
，当且仅当
2
a=b时取“=”
2、常用变形形式：
a?ba
2
?b
2
?
a?0,b?0
?
④
?
①
ab?
22
2
a
2
?b
2
?
a?b
?
?
2
?
?
?
②
ab?
?
⑤
2
??
a
2
?b
2
?2ab
x?
1
?2
x
ab③
b
?
a
?2(a、b同号）

3、求最大值、最小值问题
（1）如果x、y∈(0,+∞),且xy=p（定值），那么当x=y时，x+y有 。

（2）如果x、y∈(0,+∞),且x+y=s（定值），那么当x=y时，xy有 。

概括为：“一正，二定，三相等”

二、 例题精讲

例1、若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围。
例2、已知x>0、y>0,且
19
??1
，求x+y的最小值。
xy
变式训练：设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值
例3、 已知a>0,求函数
y?
练习:设x>-1求函数
y?
三、基础巩固
1、函数f(x)=x+
x
2
?a?1
x?a
x?1
2< br>的最小值。

?
x?5
??
x?2
?
的最值。

1
?4
(x>2),则f(x)有( )
x?2
A.最大值0 B.最小值0 C. 最大值-2 D. 最小值-2
2、下列各式中最小值是2的是（ ）
xy
x
2
?5
A.
?
B. ?+cot? D.
2
x
?2
?x

yx
x
2
?4
3、已知2a为1-b、1+b的等比中项，则ab的最大值是 ；
b
a+的最大值是 。
2
四、[考题印证]


(1)[2010·安徽卷] 若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写< br>出所有正确命题的编号
11
①ab≤1；②a＋b≤2；③a
2
＋b
2
≥2；④a
3
＋b
3
≥3；⑤
a
＋b
≥2.
(2)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a
2
＋b
2
＋c
2
，
1
ab＋bc＋ca、
3
的大小关系是________．
（3） (2010·山东高考)若对任意
x
>0，
x
≤
a
恒成立， 则
a
的取值范围是
x
2
＋3
x
＋1
___ _____．
五、小结
1、基本不等式及其常见变形形式；
2、利用基本不等式的放缩作用求函数的最值，要特别注意使用的条件。

六、作业
活页练习P242