高中数学《二元一次不等式(组)与平面区域》公开课优秀教学设计

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域教学设计

本节课的教学内容选自人教版A版普通高中课程标准实验教科书数学必修5第三章不等
式的第3节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题，是第1课时。
一.教学内容解析
1.

二元一次不等式（组）与平面区域地位和作用
本节是在学习不等式、 直线方程后学习，它既是这两部分内容的延伸和交汇，又是图解
法解决线性规划的基础，具有承上启下的 作用。旧教材将它安排在直线方程后学习，体现的
是它与方程的联系，而新教材将它与不等式的知识合在 一起，整章知识凸显的是通过数学的
直观性进行学习，将重要的不等关系都给出了相应的几何背景，从而 弱化了以逻辑性推导为
主的传统学习不等式的方式；在探索问题过程中渗透化归、数形结合和特殊到一般 的思想，
有效的训练了学生计算、作图的基本能力，也训练了学生数形结合、等价转化等数学思想。本节课是二元一次不等式（组）与平面区域的第一课时，它的相关概念是线性规划问题的基
础和前提 ，为后面寻求线性规划“最优解”奠定基础。
2.本课内容剖析
教科书在第3. 3.1节探求二元一次不等式所表示的平面区域时，先后以思考猜想和探究
的方式提出问题，从研究具体 不等式的解集所表示的平面区域入手，讨论直线的某一侧点的
坐标与不等式的关系，由此推广到一般的二 元一次不等式
Ax
?
By
?
C
?0
表示的平面区域 ，
并得到了二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集的结论。
新课程对这部分的处理采用数形结合，几何直观推理的方法，循序渐进，螺旋上升，符
合现阶段学生的认 知水平，本课的教学正是对这一原则践行，从图象的角度展开学习，以图
象为依托来探索二元一次不等式 （组）与平面区域。
有利因素：在初中数学学习中学生已经接触过一元一次不等式（组）和二元一次方 程（组），
所以在接受二元一次不等式（组）上会比较容易。
不利因素：1.学生的数形结合思想不够完善，学生识图、画图能力还不怎么好；
2.对平面点集与图象的对应关系理解不深。

二.教学目标设置
1. 初步体会从实际情景中抽象出二元一次方程组，进而 变为二元一次不等式组的过程，
了解二元一次不等式(组)表示的平面区域的概念，并能画出二元一次不 等式（组）表示的平
面区域。
2.综合运用以旧引新、数形结合、类比、特殊到一般等多种方 式探究二元一次不等式(组)
表示的平面区域，为下一节课解决实际问题积累方法与经验。
3 .通过学生自主探究，培养独立思考能力，学会合作意识；体会数形结合思想，类比、由
特殊到一般的分 析方法，提高学生解决复杂问题的能力。
1.教学重点
二元一次不等式(组)表示的平面区域。
2.教学难点
熟练掌握二元一次不等式（组）
表示的平面区域。

3.教学准备
1.教具：直尺、多媒体设备。
2.制作学案及上课课件。
三．学生学情分析

本节课学习的主要目的是理解二元一次不等式(组)表示 的平面区域相关概念，能确定二
元一次不等式（组）
表示的平面区域
。内容有一定难度 ，同时本班为区县重点中学的普通班，
学生间数学基础差异较大，故采用循序渐进，螺旋上升的方式，分 两课时学习本小节内容。
四.教学策略分析

1.采用控制不等式个数，先单个不等 式后不等式组分析的方法，让学生体会到由简单到
复杂、由特殊到一般的化归思想，是科学研究中常用的 方法，有助于提高学生处理复杂问题
的能力。
2.在二元一次不等式（组）平面区域的教学中 ，充分利用以前一元一次不等式和二元一
次方程的基础来学习二元一次不等式（组），让新旧知识交汇， 有利于提升学生对所表示平面
区域的理解.
3.利用几何画板辅助教学，可以对图象的特殊点 、非特殊点进行分析，有利于学生突破
探究证明任意性。
五.教学过程

设计意图 教学活动
创设情景 引入新课
由文字语
言转化 到符号
语言，建立起
二元一次不等
式的概念，使
学生经历、体
验从实 际问题
中得到二元一
次不等式（组）
这一数学模型
的抽象过程，
让学 生从已知
一家银行的信贷部计划年初投入（不多于）25 00万元用于企业和个人贷款，希望
这贷款可带来（至少）3万元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款
中获益10%.那么， 信贷部应如何分配资金呢？
设企业贷款为x万元，个人贷款为y万元
（ 由“等”到“不等”，由方程组到不等式组）

x+y?2500


12%+10%y?3

x?0

y?0

学生观察：现实中抽象出的不等式
x+y?2500
有什么特征？

概念：像这样含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次
到对未知的冲
不等 式，由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组！满足
突，从而引出
二元一次 不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y）,所有这样的有
今天要研究的
序数对（x ，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
对象。
我们从方程的思想来看，方程组是找每个方程解的公共解，那不等式也可

以找每个不等式解集的公共解。那么二元一次不等式的解表示什么图形呢？
由旧知探索新
我们不妨先来研究一个具体的二元一次不等式2x + y -6<0的解集所表示的图
知，类比一元
形。
一次不等式提
教师追问：我们 知道，一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间，那么
出问题，再以
二元一次不等式（组 ）的解集表示什么图形呢？我们知道，一元一次不等式的
二元一次方程
解集可以表示为数轴上的 区间。例如一元一次不等式
x
?3?0
，可先求出方
出发进行探讨
程
x
?3?0
的解，其中-3将数轴分成了三部分，-3右侧的
x
使得
x
?3?0
，
二元一次不等
-3使得
x
?3?0< br>，-3左侧的
x
使得
x
?3?0
。
式（组）表示
的平面区域。
教师追问：类似的，我们能否先研究二元一次方程
2
x
?
y
?6?0
的解集表示
什么图形？请你把它画在平 面直角坐标系中.并观察图形把平面内所有的点分
成了几类?（请同学作答）

教师：将方程
2
x
?
y
?6?0
转 化为同学们熟悉的一次函数
y
??2
x
?6
，直
线将平面分 成了三部分。像这样一分为三的情况还有很多，譬如生活中的上中
下，代数中的正数、负数、零；几何中 的圆把平面分为圆上、圆外、圆内。
探索一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
教师把 知
识建构的主动
权交给了学
生，以问题的
形式引导学生
自已完成，整
个过程循序渐
教师追问：我们知道直线上的点的

坐标满足2x + y -6 =0,那在直线外任意一点的坐标还满足2x + y -6 =0吗？
不等于0又有几种情况（两种？哪两种？大于和小于）那哪些点的坐标满足
2x + y -6<0，哪些点的坐标满足2x + y -6>0呢？


活动一：
进，问题的设
①设点P（x,y
0
）是直线2x + y -6 =0上的点，求出相应的 y
0

置也是先由具
体的点，再转
化为形 ，直观
形象，由浅入
深，环环相扣，
使学生学的轻
松自如.



以形助数，直
观推理







从几何画板模
拟演示，由此
引发学生猜
想，再到严谨

②当
x
??3
时，选取适当的
y
i
，使得A（x, y
i
）满足
2x + y -6<0

③将点A描绘到坐标系中
横坐标x
点P的纵坐标y
0

点
A
1
的纵坐标y
1

点
A
2
的纵坐标y
2

点
A
3
的纵坐标y
3

点
A
4
的纵坐标y
4

点
A
5
的纵坐标y
5

－3






－2


－1


0


1


2


3


学生思考：①当点A与点P有相同的横坐标时，从数来看，它们的纵坐标有什
么关系？
②从形来看，点A与点P有什么位置关系？
学生发现：点A在直线的左下方
教师追问：以二元一次不等式2x + y -6<0的解为坐标的点都在直线2x+y-6=0的左下方，
反过来，直线2x + y -6 =0左下方所有的点的坐标都满足2x + y -6<0吗?
(几何画板模拟演示特殊点的选取)

的数学逻辑证
明，层层递进。




学生猜想:对于直线2x+y-6=0同一侧的点，把它的坐标代入2x + y -6中
，
所得符号都相同，
即同侧同号，异侧异号。

活动二：
证明直线2x + y -6 =0左下方所有的点的坐标都满足2x + y -6<0
（ 教师可适当点拨：既然任意性不好办，我们就可以通过特殊桥梁来进行转化。
小组合
作，教师引
探究，理性归
纳。让学生在
学习中体会
发现知识的
过程．请学生展示探索成
果，树立学习
数学的信心.

本部分是
本课的重点内
容，做好以下
几点：一、设
如何将点和直线联系起来，就可以通过这个点作特殊的直线 ）
y

导，学生主动



6


O

x

3


2x + y -6=0
（展台展示部分学生的证明过程。）
学生得出结论：直线2x+y-6=0的左下方的点都满足不等式2x + y -6<0
由活动一得到以二元一次不等式2x + y -6<0的解为坐标的点都在直线
2x+y-6 =0的左下方，又由活动二得到直线2x+y-6=0的左下方的点都满足不等
度，逐步引领
式 2x + y -6<0，因此二元一次不等式2x + y -6<0表示的就是直线2x+y-6=0
学生探索问
左下方的平面区域。
好问题的 梯
题，充分调动
学生思维，培
养学生的逻辑
思维能力；二、
利用好计 算机
可以动态分析
任意点的特
点，对所有点
进行分析，提
升学生对二 元

教师追问:包括边界了吗? < br>类比一元一次不等式解集表示区间的方法，包含端点画实线不包含端点画空
心，故类似的，包含边 界画实线，不包含边界画虚线。
教师追问：对于不等式2x + y -6<0是特殊的，对于一般的Ax+By+C<0呢？

学生总结一般性结论：