高中数学《导数在研究函数中的应用》公开课优秀教学设计.doc

普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-2
1.3.1单调性
【教学内容解析】
1．导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主
干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的
重要工具之一。
2．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必
修1的学习中定义了 单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数
图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性 .
3．这节课我们是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义和
几何意义之后， 试图通过导数来研究函数的单调性，为研究单调性提供了更一般
的方法，是后面学习函数的极值、最值的 知识铺垫、能力基础和方法指导。起到
了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。
4．教学重 点：导数与函数单调性的关系的探索和发现；利用导数研究函数
的单调性.这节课将结合例题研究二次函 数、三次函数以及三角函数的单调性。
【教学目标设置】
1．借助几何直观，通过实例归纳函数的单调性与导数的关系；
2．理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数单调区间；
3．通过用定义 与用导数在研究函数单调性时的两种方法的比较，体会导数
方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同 时感受和感悟数学自身发展的一般
规律．
【学生学情分析】
1. 已有的知识储备 ：（1）本节课的授课对象是南通中学高二年级的学生，他
们在经历了高一一学年的数学学习后，已经基 本了解高中数学的基本思想和研究
方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力 。
（2）学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质，而且已经掌握
了导数的定义、 导数的计算以及其几何意义，已经具备了用导数探究函数单调性
的知识储备。
存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生的抽象概括能力还不够；

解决方法：需引导学生通过不断探究，数学联想，逐步得出导数研究函数单
调性 的结论。
2. 教学难点：发现和揭示导数与函数单调性的关系；并利用导数研究函数的
单调性．
突破策略： 课堂中引导学生通过探究、验证、回归逐步得出导数研究函数单
调性的结论，再结合例题研究二次函数、 三次函数以及三角函数的单调性。
【教学策略分析】
1. 精心设计教学内容
站 在系统的高度组织教学内容，从生活情境入手，精心设问，帮助学生联想、
抽象出数学问题，整个教学过 程，将经历设问——探究——归纳——应用——反
思，五个方面，层层递进。
2. 充分开展学生活动
站在学生的角度，根据学生的思维特点和认知基础，给学生提供课堂参与机
会，让学生在动手操作和尝试探索中验证猜想，掌握方法，体会思想，形成技能.
3. 渗透提炼思想方法
通过典型例题及其变式的教学，由浅入深，逐层递进，给学生提供比较、分
析、归纳、综合的机会，帮助学生在解题和反思中领悟数学思想方法在数学学习
中的作用.
【教学过程设计】
一、创设情境 生活实例中导入
1 情境：前一阶段我们已经学 习了导数的定义及其几何意义，导数有什么实
际应用呢，今天我们一起来研究。
问题1：先请同学们观看下面一段视频，你有什么发现？（第一次播放视频）

问题 2：同学们看了这个视频后有没有产生什么联想？能不能把这个动画与
数学联系起来，看出其中的数学问 题？(分组讨论、第二次播放视频)

问题3：同学们建立了数学模型，那我们可以将曲线看做是函数y=f (x)在某
区间I上的图象，对应的函数有具有怎样性质呢？（建系，教师第三次播放动画）

【师生活动】
（1）动画视频引入，直观感知；
（2）几何画板演示，猜想结论.
抽象出数学问题：
山坡 灯光向上 上坡

曲线 切线斜率k>0 上升

函数
y?f(x)

f
?
(x)?0
？ 递增
(x?I)

感知可以通过函数图象上每一点处的切线的斜率，即函数f(x) 在该点处的导
数来研究函数的单调性.
2 猜想：导数与函数的单调性有什么联系呢？
（再次播放函数图象上每一点处的切线斜率随函数单调性的变化情况）
从图象上，我们发现， 单调递增区间上，每一点处的切线倾斜角均为锐角，
斜率大于0，曲线呈上升趋势，函数单调递增；在单 调递减区间上，每一点处的
斜线倾斜角为钝角，斜率小于0，曲线呈下降趋势，函数单调递减．
于是，可以猜想结论:
对于函数
y?f(x)
，
如果在某区间上
f
?
(x)?0
，那么
f(x)
为该区间上的增函数； < br>如果在某区间上
f
?
(x)?0
，那么
f(x)
为该 区间上的减函数．
【设计意图】本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而

这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以这里利用生活中的常见问
题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，引导学生发现道路可以抽象成函数的图
象，灯光可以抽象为切线 ，这样问题就转化为切线斜率正负与函数增减之间的联
系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知 欲，也体现了“生活中处处有
数学”的教学理念.

二、动手操作 合作学习中探究
问题4：我们要善于用数学的眼光看世界，刚才我们同学将实际问题抽象为
一个数学问题，并且 还建立了数学模型，数学语言来描述了这个问题，提出了一
个猜想。这个猜想对不对呢？我们如何探究呢 ？
学生方案1：举出几个常见的函数，探究导数与函数单调性之间的联系，验
证前面猜想的结论.
函 数
图 象
单调性
导 数
符 号
【师生活动】
（1）独立验证，合作释疑，展示成果；
（2）教师从学生中选择具有代表性的函数进行汇报展示.
【设计意图】前面已经猜想出结论 ，但是该结论是否正确，还有待检验，学
生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结 论的理解.
学生方案2：从以前所学的导数和函数单调性的知识入手，进行探究。
“数”的角度：从函数单调性与导数的定义入手
如果函数f(x)在区间（a,b)上是增函数，那么对任意x
1
, x
2< br>∈
(a,b)，当x
1
2
时，
都有f(x
1
) < f(x
2
)，此时x
1
-x
2
与 f(x
1
) -f(x
2
)同号，从而有
f(x
2
)?f(x
1
)
?0
，即
x
2
?x
1















?y
?0
，
这表明，导数大于0和函数单调递增之间存在着密切联系。
?x

导







数



？

大于0

单 调 性
增函数
?y
?0
?x
密切相关
f(x
2
)?f(x
1
)
?0

x
2
?x
1
于是，从“数、形”两方面，我们都可以感知导数大于0 和函数单调递增之间
存在着密切联系。
【设计意图】从“形”的角度，对具体例子进行动态演 示，通过观察、猜想
到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，又从“数”的角度，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼
一般性的结论，变灌 注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的
主体．

三、知识建构 生成演练中应用
对于函数
y?f(x)
，
如果在某区间上
f?
(x)?0
，那么
f(x)
为该区间上的增函数；
如果在某 区间上
f
?
(x)?0
，那么
f(x)
为该区间上的减函数 ．
注意：（1）如果在某区间上
f
?
(x)?0
恒成立，则
f(x)
为该区间上的常函数．
（2）“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优
先”．
例1 确定函 数
f(x)?x
2
?4x?3
在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数．
【教学预设】对于学生熟悉的二次函数，学生可能首先想到的是图象直观，
然后再 提出根据定义、利用导数，在合作学习中比较各种方法.
法一：图象直观





O
-1
法二：根据定义

y
f (x)= x
2
–4x+3
2
1
3
x

任取
x
1
,x
2
?(2,??)
x
1
,x
2
?(2,+?)
，且
x
1?x
2
，
f(x
1
)?f(x
2
)
2
=(x
1
2
?4x
1
?3)?(x
2
? 4x
2
?3)
?(x
1
?x
2
)(x
1< br>?x
2
?4)
Q
2?x
1
?x
2
? x
1
?x
2
?0,x
1
?x
2
?4?0< br>?f(x
1
)?f(x
2
)<0.

所以，f(x) 在
(2,+?)
上单调递增，同理：f(x)在
(??,2)
上单调递减.

法三：利用导数
f
?
(x)?2x?4
，
令
f
?
(x)?0
，解得
x?2
．
因此 ，在区间
(2,??)
上，
f
?
(x)?0
，
f( x)
是增函数；
在区间
(??,2)
上，
f
?
( x)?0
，
f(x)
是减函数．
总结：利用导数判定函数单调性的步骤：
①确定函数
f(x)
的定义域；
②求出函数的导数
f
?
(x)
；
③在定义域内解不等式< br>f
?
(x)?0或f
?
(x)?0
；
④下结论，确定函数的单调区间．
【设计意图】
（1）例题1，由“形”到“数”的解决了该函数的单调性问题，加强了对
结论的应用和理解；
（2）规范了利用导数研究函数单调性的书写；
（3）例题1的解决说明，判定函数单调性增加了一种新的方法——导数法.

例2 确定函数
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
在哪些区间上是增 函数．
【教学预设】对于求解该三次函数的单调性而言，学生对于其图象不太熟悉，
定义法对代数变形的要求比较高、较繁琐，所以选择导数法比较方便．
解：
f(x)
的定义域为R，
f
?
(x)?6x
2
?12x
．
令
f
?
(x)?0
，

解得
x?0
或
x?2
．
因此，在区间(??,0)
上
f
?
(x)?0
，
f(x)
是 增函数；
在区间
(2,??)
上
f
?
(x)?0
，
f(x)?0
也是增函数．
即
f(x)
的单调递增区间为
(??,0)
和
(2,??)
．
问题 能否根据三次函数所求的单调区间，画出这个函数的大致图象呢？

y
f(x)=2x
3
－6x
2
+ 7
原函数看增减





y
f '(x)= 6x
2
－12x
2
O
x
导函数看正负



【师生活动】先根据函数的单调性画出原函数的大致 图象，同时对应作出导
函数图象，行进比较，加深巩固导函数图象的正负与原函数增减之间的关系.
【设计意图】
（1）从图象上感知原函数与导函数的关系，加深对结论的认识；
（2）例题2由“数”到“形”解决了该三次函数的单调性，强化了应用；
（3）例题2体现 了导数法研究函数单调性的优越性：当图象直观、根据定
义不太容易解决函数单调性时，还可以利用导数 来解决．

例3 确定函数
f(x)?sinx (x?(0,2?))
的单调减区间．
【教学预设】学生看到三角函数的单调性，首先想到 的是利用图象直观解决，
但是此时作三角函数图象只是建立在五点法作图的基础上，根据定义来解决时对
代数变形要求也比较高，此时可以利用导数来解决.
解: 定义域为
(0,2π)
,
f
?
(x)?cosx
．
令
f
?
(x)?0
，即
cosx?0
．
O
2
x

又
x?(0,2?)
，
?3?
所以
x?(,)
．
22
?3?
故所求的单调减区间是
(,)
．
22
y
f (x)= sinx


3π
2
O
π
2

2π

x
y
f '(x)= cosx


O
π
2
3π
2

2π

x

【师生互动】 解三角不等式的时候，学生会有一定的困难，此时可以借助于
导函数 图象来解决，题目做完后再作正弦函数的图象时，不仅仅局限于五点法，
还可以根据图象的性质来作图， 会更加清晰明确.同时由学生对原函数图象与导
函数图象进行比较，深化对结论的理解.
?3 ?
【变式】证明函数
f(x)?sinx
在区间
(,)
上是单调减函 数.
22
证明:
f
?
(x)?cosx
．
因为
?3??3?
，所以
cosx?0
，即
f
?
( x)?0
在
(,)
上恒成立，
?x?
2222
?3 ?
故f(x)在区间
(,)
上单调递减．
22
【设计意图】

（1）解三角不等 式时，画出
f
?
(x)?cosx
的图象帮助解决．解完后再画出
f (x)?sinx(x?(0,2?))
的图象，直观的验证答案的正确性．解题过程始终注意
“数”“形”结合；
（2）例题3和变式题再次体现利用导数来研究函数单调性的优越性：不能
根据解决的，利用导数仍可以解决.
（3）从二次函数、三次函数到三角函数，体现了导数法研究函 数单调性的
一般性和普遍适用性．

四、课堂小结 回顾整理中提炼
通过这节课的研究，你学会了什么知识，能解决了哪些问题？你的收获与感
受是什么呢？











确定函数单调区间
证明函数单调性
对于函数y=f(x)，如果在某区间上：
切线斜率与函数单
调性之间的联系
导数与函数单调性定
义之间的联系
“形”

“数”

?f
?
(x)?0?f(x)
在该区间上单调增；
?f
?
(x)?0?f(x)
在该区间上单调减.
应 用 < br>【设计意图】培养学生学习——总结——学习——反思的良好习惯，同时通
过自我的评价来获得成 功的快乐，提高学生学习的自信心.

五、自主作业 巩固训练中拓展
必做题：课本P29 第1、3、4题．
选做题：如果f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f(x)>0吗？
【设计意 图】知识巩固，反馈信息，同时注意个体差异，因材施教，必做题
为基础训练，选做题既是对本节课的提 升训练，也为下节课做好铺垫.
六、教学设计说明

导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知
识， 它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要
工具之一．单调性作为函数的 主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在
必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三 角函数时,能够借助于函
数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性. 那为什么还要用导数研究函
数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调
性？循着这样的思路 ，整个教学过程，从创设情境—实例验证—揭示本质—强化
应用—回顾反思，五个方面入手，层层递进， 螺旋上升．
关注生活 自然导入
本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系， 而这两个概念都
是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入阶段，利用生活中的常见问题汽
车灯光的指向与上下坡之间的联系，第一次抽象：引导学生发现道路可以抽象成
函数的图象，灯光可以抽 象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与曲线上升
下降的联系；适当建系后，第二次抽象：将曲线看 做是函数y=f(x)上的一段图象，
那么切线斜率即为函数在该点处的导数，顺势猜想结论，感知导数 正负与函数单
调性之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生
活中处处有数学”的教学理念.
关注探究 合作生成
前面已经猜想出结论，但是该结论是否 正确，还有待检验，学生首先想到的
就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解. 再从“形”回到
“数”，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知
识为学生主动获取知 识，从而使之成为课堂教学活动的主体．
关注应用 数形结合
在典例演练，强化应用的过程中，例题1由“形”到“数”， 规范了用导数研究
单调性的书写 ，加深了对结论的理解；例题2在了解函数的性质基础上，要求学
生画出三次函数的大致图象，经历由“ 数”到“形”的过程，并对导函数图象与原函
数图象进行对比、深化理解，突显了利用导数研究函数单调 性的优越性；例题3
由三角函数图象很快能得出结论，但在变式题中证明函数单调性又回到“数”，解三角不等式时，学生可以画出导函数图象辅助解题，题目解完后再次画出原函

数图象加以验证，数形结合思想，贯穿始终，并且突显了利用导数研究函数单调
性的一般性．三道例题逐层推进，体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和
有效性，由形到数，由数 到形，数形结合贯穿始终．

生活中抽象 合作中探究 数学中回归
——
《1.3.1单调性》教学评析
一、巧创情境，让抽象的数学不再抽象
美国数学教育学家G·波利亚指出：“抽象的数学道理虽然重要，但要用一
切办法使它 们看得见、摸得着。”《数学课程标准（2011年版）》指出：“数学知
识的形成依赖于直观。”i
在这节课一开始，执教者精心创设了汽车上下坡这样一
个生活情境，并把山坡抽象为一条 曲线、把汽车抽象为曲线上的动点、把汽车前
灯发出的光线抽象为过动点的切线，……。通过这样精心设 计的教学情境引导学
生回归生活，这不仅充分地激发起了学生抽象的乐趣，而且也为抽象提供了生动的抽象素材和坚实的认知起点，让抽象变得更直观、更具体、更容易理解，让抽
象不再是无源之水、 无本之木，一句话，就是让学生对抽象的数学不再觉得抽象。
而更重要的作用则在于，通过这一抽象过程 ，还可以进一步培养学生用数学的眼
光观察生活的能力及用数学的语言描述和解释生活现象的能力。这是 数学课程改
革一直倡导的核心理念。关于情境创设，需要说明的一点是，许多人认为情境一
定要 生活化，一定要是学生熟悉的情境，这是一种庸俗的情境观，是为了生活而
生活，情境创设固然需要联系 生活，但不能完全把立足点放在生活上，甚至用生
活绑架情境，生活情境是用来为教学服务的，是实现教 学目标的手段，而不是反
过来教学为生活情境服务，数学虽然来源于生活，但又高于生活，不能让教学情
境喧宾夺主，更不能为情境而情境，因此在创设情境时应该把立足点放在数学上，
应该根据所教 学的内容选择与之最贴近的生活情境。就本节课而言，虽然汽车上
下坡这一问题学生并不是十分熟悉，但 这个情境与所教学的导数与函数单调性关
系非常贴近，而且在教师展示几何动画以后学生很快就能明白是 怎么一回事，因
此这样的情境既符合教学规律也贴近学生的生活实际，这从学生的课堂反馈也可
以得到说明。
二、精设问题，让神秘的探究不再神秘
一直以来，人们都对数学探究 敬而远之，总认为数学探究高不可攀。其实，
数学探究就在我们的身边，世事洞明皆学问，只要我们善做 有心之人，常怀探究
之心，就能发现数学教学中到处都蕴含着探究的题材。在本节课的教学中，无论是导数与函数单调性关系猜想的发现，还是对所发现猜想的验证与证明过程；无

论是新知识的探索与发现过程，还是新知识的巩固与应用过程，随处都可见到 探
究活动的展开。然而，在目前的数学教学中，探究教学开展的情况还不尽人意，
许多教师也明 知道要启发学生进行探究，但在具体教学中要么是因为启而不发而
不得不“灌”，要么是教师精心编制一 系列的问题串让学生去“钻”或挖掘一个
又一个的陷阱让学生去“跳”，目的只有一个，那就是借学生之 口说出或逼学生
说出教师想说的话。这样的提问根本不能叫启发，充其量只能说是“诱发”、“逼
发”。真正的启发应该深入到学生的思维层面，教师应该把启发学生思维作为目
的而不是把获得结论当 成目的。教师最需要关注的是学生“在不在想？”“在想
什么？”“是怎么想的？”，“为什么这么想？ ”等问题，而不要太在乎你所要获
得的那个结果，结果应该是学生在教师正确启发下自然而然产生的。而 现在有许
多教师热衷于按照自己的想象去筑渠、固渠，而不善于根据地形地势（知识的内
在特点 ）和水的流势（学生的思维特点）因势利导地开渠引水，更不愿意去蓄水
（创设问题情境）、引水，结果 要么是渠已成而无水流，要么是有水流但渠未成，
最后不得不徒劳地去“堵”、去“塞”。涂荣豹先生曾 经指出：“启发探究最重要
的就是要在教学中尽可能多采用一些元认知提问，少采用一些认知性的提问， 即
要通过提高问题的开放性强来激发学生探究的积极性。”如本节课中：“看到这段
视频动画同 学们有什么发现？”“同学们看了这个视频后有没有产生什么联想？”
“能不能把这个动画与数学联系起 来，看出其中的数学问题？”“有哪位同学这
个过程用数学语言来描述一下”等多处由于有意识地采用元 认知提问而收到了很
好的教学效果。
三、善用回归，让“枯燥”的数学不再枯燥
长期以来，许多人对数学一直存在偏见，认为数学是枯燥的、难学的，这样
一种错误的 数学观对数学教学是很有害的，它像腐蚀剂一样不断侵蚀着学生学习
数学的积极性和自信心。因此，数学 课堂教学中首要的也是最重要的事应该是充
分激发学生学习数学的兴趣，好学不如乐学，教师要采取各种 有效措施让抽象、
“枯燥”的数学变得生动有趣，只有学生对数学产生了兴趣，学生才能乐学、好
学、才能学好。而要激发学生学习数学的兴趣，关键是教师能否准确确定学生的
思维之源，如学生思维 的兴奋点、生长点、发散点，……，问渠那得清如许，为
有源头活水来，只有找准学生的思维之源，教师 的启发之渠才会有活水源源不断
地流过。这正如美国著名教育家D.P.奥苏伯尔在其名著《教育心理学 ——认知

观点》扉页上的名言所指出的那样:“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一
条原理的话，那么，我 将一言以蔽之曰：影响学习的唯一重要的因素，就是学习
者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进 行教学。”因此，在教学中教师
要善于运用回归策略，找准学生的思维起点，才能顺利地将学生的思维引 向所要
达到的教学目标。即“只有返回到思想产生的根源，这些思想才可能得到真正的
ii理解。”在本课中执教者多处运用了回归这一教学策略，比如在课堂情境创设阶
段采用回归生活的策 略不仅极大地激发了学生的学习兴趣，而且为后面的探究和
数学抽象奠定了坚实的基础；又比如在猜想发 现过程中采用的由“数”到“形”
的回归，在猜想证明过程中采用的回归定义策略和由“形”向“数”的 教学策略，
则不仅为学生证明思路的探索指明了方向，而且有利于学生科学思维能力的培
养。再 比如，在定理巩固阶段采用的回归基本原型策略步步为营让学生将新知识
的学习牢牢建立在学生已有知识 的基础上，不仅大大地降低了学生学习的难度，
而且充分地激发了学生学习数学的兴趣、激励了学生学好 数学的自信心。
iii


参考文献


i
教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育《数学课程标准（2011年版）》[ M].北京师范大学出
版社.2012.6.68.

ii
[德].汉斯- 格奥尔格·加达默尔著.洪汉鼎译.真理与方法[M].上海：上海译文出版社. 2005,5.190.

iii
钟志华.回归：一种重要的数学教学策略[J].教 学与管理.2008,1.49-51.