高中数学基本功 试题-高中数学是a版
《函数的单调性与导数》教学设计
前言:
同学们,前几节课我们已经学习了
平均变化率与导数,知道他们都可以来描述函数
的变化情况,今天,我们想利用导数来研究函数的性质,
函数最重要的性质是单调性,
我们先回顾增函数的定义:
1.回顾增(减)函数的定义.
增函数定义:
如果函数
y?f(x)
在区间
I
上有定义,
?x
1
,x
2
?I,x
1
?x
2
,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,
那么称函数y?f(x)
是区间
I
上的增函数.
增函数这个定义的伟大之处:将一个区间上函数的变化趋转化为任意两个函数值的
比较。
下面,我来问大家这样一个问题:
请大家拿起计算器接受我的问题,并提交答案。
问题1:函数
y?f(x)
在区间
I
上是增函数
?
?x1
,x
2
?I
,都有
f(x
1
)?f(x2
)
?0
.
x
1
?x
2
很
容易证明这个命题是正确的。大家观察这个比值,它的几何意义是什么?平均变
化率!
通过这
个命题,我们知道,原来单调性的判断不仅可以用定义,还可以用过任意两
点的割线的斜率(平均变化率
)来判断。
2.提出本节课的研究问题.
接下来,我们看一个具体的例子:
问题2:你能判断函数
f(x)?0.9x?sinx
的单调性吗?
(请动手画图)
到现在为止,我们判断函数的单调性有哪些方法了?
图象法、定义
法、平均变化率的方法,当然,平均变化率的方法与定义法实质是一
样的。我们不妨用最直观的方法——
图象法来研究。请大家画出函数的图象,再告诉我
这个函数的单调性。
我们感觉
f(
x)
的图象是上升的,但通过放大局部图象可以发现其图象有升有降,
显然
f(x)<
br>并非增函数.我们还可以计算几个具体的值,可以发现从左往后,函数值有
大有小。
这说明,利用函数的图象观察其单调性很不可靠.
既然如此,还是回到定义的方法比较可靠,那么:
问题3:你能利用增(或减)函数的定义判
断函数
f(x)?0.9x?sinx
在
(,)
上的
单调性吗?
1
ππ
32
请大家在草稿纸上面进行演算推理。
证法一:
?x
1
,x
2
?(,)
且
x1
?x
2
,则
ππ
32
f(x
1
)
?f(x
2
)?(0.9x
1
?sinx
1
)?(0.9x
2
?sinx
2
)
?0.9(x<
br>1
?x
2
)?(sinx
1
?sinx
2
)
.
难!
证法二:
?x
1
,x
2
?(,
)
且
x
1
?x
2
,则
ππ
32
f(x
1
)?f(x
2
)0.9(x
1
?x
2)?(sinx
1
?sinx
2
)
?
x1
?x
2
x
1
?x
2
?0.9?
sinx
1
?sinx
2
.
x
1
?x
2
通过函数
y?sinx
(
ππ
sinx
1
?sinx
2
?x?
)的图象观察,平均变化率似乎小于
32
x
1
?x
2
0.9
,从而
ππ
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
,于是判断
f(x)
在
(,)
上为增函数.这一方法看似自
32
x
1
?x2
然,但不能这样证明.
刚才这个问题,我们用了图象法、定义法、平均变化率的方法,三种方法都不行!
为此,我们
必须寻找新的出路!刚才我们已经提到,函数的单调性与平均变化率有
关,而平均变化率的极限是导数,
那么,函数的单调性与导数是否有关呢?它们有什么
样的关系呢?我们不妨从最熟悉的函数,高台跳水这
个实例入手研究。
3.寻找判断增(减)函数的新方法.(不用念题,让学生动与讲) <
br>问题4:10米高台跳水运动员以每秒2米的初速度起跳,运动员离开水面的高度随
时间变化的函
数为
h(t)??4.9t
2
?2.5t?10
,
运动员从起跳
到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
如何刻画运动员不同的运动状态?
师生互动:大家观察图象的升降,函数的增减与导数有什么样的关系?
为了方便观察,我们画
出任意一点的切线,现在,我们就来观察函数的单调性与切
线的斜率的关系。
我们拖动切线,
发现当运动员从起跳到最高点,切线是上升的,即函数为增函数时,
导数大于0;当运动员从最高点到入
水这个时间段,切线都是下降的,即函数减函数时,
导数小于0.这个规律是否普遍适用呢?让我们观察
更多的图象,请大家研究以下问题。
说明:点班级,观察学生的情况(可显示姓名),并放某个学生的动作。
问题5:观察下图4种典型函数的图象,你能说出它们的单调性与导数的关系吗?
2
师生互动:分别喊4个同学,让他们讲讲单调性与导数的关系。
那我们是不是可以得到这样的结论:
若可导函数
f(x)
是区间
I
上的增函数,则
f
?
(x)?0
?
我们仔细观察函数y
=x^3,该函数在R上为增函数,但是,它的导数为y=3x^2,当
x<0时,导数大于0;当x=
0时,导数等于0,当x>0时,导数大于0,可见,
若可导函数
f(x)
是区间<
br>I
上的增函数,则
f
?
(x)?0
.
今天我们这节课要关心的不仅仅是函数为增,则导数大于等于0
,而是函数满足什
么条件时,它一定是增函数。
请大家回答这个问题:
问题6:可导函数
y?f(x)
在区间
I
上满足
,则
f(x)
是区间
I
上的增函数.
(1)
?x
1
,x
2
?I
且
x
1
?x
2
,<
br>f(x
1
)?f(x
2
)
?0
;
(2)
f
?
(x)?0
;
x
1
?x
2<
br>f(x
1
)?f(x
2
)
?0
;
(4)
f
?
(x)?0
x
1
?x
2
; (3)
?x
1
,x
2
?I
且
x
1
?x
2
,
A.①或②
B.①或④ C.③或② D.③或④
根据增函数的定义我们已经知道(1)与(3),选(
3),那么(2)、(4)应该选哪
一个?
注意到(2),对于常数函数,其导数恒为0,所
以不对,应该将导数大于等于0,
加强为大于0。
因此,我们得到这样一个猜想:
f
?
(x)?0
,则
f(x)
是区间
I
上的增函数.
我们能从理论进行证明吗?
问题7:如果可导函数
y?f(x)
在区间I
上都有
f
?
(x)?0
,你能证明
f(x)
是区间
I
上的增函数吗?
根据定义,要证明增函数,可以是图象法、定义法、平均变
化率的方法,你希望哪
个方法?也就是将问题转化为:
如果
f
?
(
x)?0
,那么
?x
1
,x
2
?I
,
f(
x
1
)?f(x
2
)
?0
.
x
1
?x
2
也就是证明,如果导数大于0,则平均变化率大于0,从几何的角度来讲,就是证明函数在任意一点的切线的斜率为正,那么在任意两点的割线的斜率为正。
也就要找切线与割线斜率之间的关系。
为了方便大家研究,我们不妨用一个增函数,例如
y?x
,还试一试。
有发现,….
我们有发现,事先给一条割线,总有一条切线与之是平行的,即给一个平均变化
率,
总存在一个点的导数值与之相等。找一条割线试试?
3
是不是对任意一条割线,都有这个结论呢?
我告诉大家,著名的数学家拉格朗日早就发现了这个结论,这个结论就是
介绍:拉格朗日中值定理:
如果函数
f(x)
满足:(1)在闭区间
?
a,b
?
上连续;(2)在开区间
?
a,b
?
内可导;那么在
?
a,b
?
内至少存在一点
?
,使得f
?
?
?
?
?
f
?
b
??f
?
a
?
.
b?a
现在,允许你直接使用这个定理,证明问题7,请你动笔
证明:
?x
1
,x
2
?I
,根据拉格朗日中值定理,必存在一点
?
?I
,使得
f
?
?
?
?
?
由已知,
f
??
?
?
?0
,所以
f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
?x
2
f(x
1
)
?f(x
2
)
?0
,
x
1
?x
2
所以,
f(x)
是区间
I
上的增函数.
(5)得出结论: 如果可导函数
y?f(x)
在区间
I
上都有
f
?
(x)?0
,那么
f(x)
是区间
I
上的增函数;
如果
可导函数
y?f(x)
在区间
I
上都有
f
?
(x)
?0
,那么
f(x)
是区间
I
上的减函
数.
<
br>这真是一个伟大的进步,如果说增函数的定义是将函数在一个区间上的变化趋势转
化为任意两点的
平均变化率,那么用导数来判断单调性,则是用函数的任意一点导数.
1.利用导数判断函
数
f(x)?0.9x?sinx
在
(,)
上的单调性;
2.利用
导数判断函数
f(x)?x
3
?3x
的单调性,并求出单调区间.
归纳判断函数的单调性的步骤:
(1)确定函数
f(x)
的定义域;
(2)求出函数的导数;
(3)解不等式
f
?
(x)?0
,得函数的单调增区间;解不等式
f
?
(x)?0
,得函数的单
调增
区间.
学习小结
让学生谈谈今天的学习体会:解决了哪些问题?有什么收获?
4
ππ
32