高中数学实验活动-高中数学微课程文档
函数的奇偶性教学设计
1教材分析
函数的奇偶性是继函数的单调性之后的又一重要性质。“奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。在函数的单调性学习中,
教材先
是从几个特殊的函数图象开始,学生通过对函数图象的观察,也即对“形”的认识,
从数学直观上体验到
函数图象的上升和下降,又进一步从“数”的角度给出函数的单调性定
义。在奇偶性的教学中教材的教学
方式和单调性的教学方式是一致的,因此在教学中采用类
比的方法进行。从知识结构看,它既是函数概念
的拓展和深化,也是为继续研究指数函数、
对数函数、幂函数、三角函数奠定基础。因此,本节课起着承
上启下的重要作用。
2学情分析
初中时学生已经学习过中心对称和轴对称图形的相关概念。
学生对
f(x)?kx,f(x)?ax,f(x)?
2
k
等函数的
图象比较熟悉。因此在此基础上引
x
入“奇偶性”的概念。在引入概念时始终结合具体的函数图
象,学生在学习时始终处于“最
近发展区”,符合学生的认知规律
。
3教学目标
知识与技能:《数学课程标准(实验)》要求,结合具体函数,了解奇偶性的含义
。能够
说出函数奇偶性的定义;根据奇偶性的定义学会判断函数的奇偶性;根据函数的奇偶性能够
说出函数的分类;能够领悟判断函数奇偶性的一般方法和步骤。并能进一步领悟数形结合思
想。
过程与方法: 通过几个具体函数,学生能够获得直观上的奇偶性的认识,然后利用表
格探究数
量变化特征,通过代数运算,发现定义域中的任意一个x都成立,最后在这个基础
上建立奇偶函数的概念
。通过具体的特例学生进一步形成对函数奇偶性的深刻认识。
情感、态度与价值观:
数学是
美的也是自然的,但需要学生的领悟,不但能够直观看到函数曲线的对称美,还
要体会逻辑美。因此概念
的生成不能僵硬,要调动学生参与数学学习的热情和兴趣,这样的
课堂不但能够更好的学习知识还具有很
强的育人作用。
4教学重点与难点
重点:(1)函数的奇偶性定义及几何意义(2)数形结合思想的体现
难点:(1)学生通过
对几个函数图象的观察,从“形”的角度能观察出函数图象关于y
轴对称或关于原点对称,但如何将观察
到的“形”的问题转化成“数”的形式是本节课的难
点。(2)判断函数的奇偶性。
5教学方法
采用自主合作交流,问题导学、教师点拨的教学方法。同时利用几何画板和pppt进行
辅助教学。
6教学策略分析
从一线教学来看,函数的奇偶性教学要比单调性的教学较为容易一些,也正因
如此一
些一线教师对奇偶性的教学重视不够,基本上是以广而告之式的教学方式进行教学,然后抛
1
出大量的习题让学生去做。事实上,高一的学生还没有完全适应高中数学的特点,这种教学
方式不仅会让
一部分学生不能适应,而且还会造成学生不重视概念课的教学,不能体会到概
念的形成过程、不能对概念
的本质进行深入的挖掘、不能形成对概念的深刻认识。学生会错
误的认为高中数学就是解题。长此以往对
学生的学习极为不利。为此在教学中学生要领悟概
念的生成过程,体会数学的基本思想和方法,本节课的
核心思想是数形结合思想。高一的学
生在领悟思想方法的过程中需要过程和载体,本节内容就是一节体会
思想方法的重要载体的
课。在教学中,给学生较多的时间去作图,思考、举例、沟通是非常重要的。也是
符合新课
程理念的。因此在教学中采用自主合作,问题导学等教学方法。
教学以“
数学知识发生发展的过程和理解数学知识的心理过程为基本线索”让知识自
然的流入学生的头脑之中。在
得到函数的的奇偶性定义时尽可能多的让学生多举出奇函数或
偶函数的例子,如果调动学生的能力不够或
启发不当,会造成学生的学习不自然,教师的教
学强加于人,同时概念教学培养学生思维能力的作用会大
打折扣。本节课的教学流程如下:
引言
7教学过程
(1) 教学引言—直击课题
引言 在函数的单调性学习中,我们先是
从几个特殊的函数图象开始,通过对函数图象
的观察,也即对“形”的认识,从数学直观上体验到函数图
象的上升或下降,又进一步从“数”
的角度给出函数的单调性定义。本节课我们用同样的方法来研究函数
的奇偶性。
设计意图 所谓好的开始是成功的一半,老师的几句引言对本节课的学习起到提纲挈领的作用。同时也为学生的学习指明方向,奠定这节课的好的开始。
(2)偶函数的定义生成过程
完成表格,做出函数
f(x)?x
和
f(x)?x
的图象,思考下列
问题:
2
偶函数定义
奇函数定义
概念的深化与应用
布置作
业
学生总结
课堂检测
x
f(x)?x
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
f(x)?x
-3 -2 -1 0
源学科网
1
2
3
(1) 这两个函数图象有什么共同特征?______________________
_________
(2)
相应的函数值是如何体现的这些特征的?_________________
(3)如何利用函数解析式描述函数图象这个特征呢?______________________
(4)偶函数的定义:____________________________________
______________
(5)偶函数的图象特征:___________________
_____________________________
(6)函数
f(x)?x,
x?
?
?1,2
?
是偶函数吗?
偶函数的定义域有什么特征?
2
[—_____——————---来源学§科§网Z§X§X§K]
__________________________________________________
_______________
(7)你能举出一些偶函数的例子吗?
2
_________________________
______________________________________
设计意图
先给出几个特殊的函数的图象,通过学生的列表,描点,连线,从“形”的角
度获得函数图形的感性认识
,也即从“形”的角度认识函数的奇偶性。如何从数的角度对函
数图象关于y轴对称是教学的难点。这个
过程也是学生从感性认识上升为理性认识的关键。
因此在教学中偶函数的定义不能过早的给出,要一点一
点的慢点挖掘,使概念自然的生成。
在学生给出偶函数的定义后,对定义要再进一步的认识,对“任意一
个”变成“存在一个”
的探讨,把定义域变成不关于原点对称问题的探讨。设计的开放性问题,“你能举
出一些偶
函数的例子吗?”使课堂的讨论达到最为热烈的程度,事实上课堂中生成了幂函数的图象,为今后的幂函数学习形成了一定的认识。从概念教学的角度来看,在教学中遵循了从特殊到
一般,又
从一般到特殊的认知过程。通过一系列问题串的设计学生能够形成对偶函数定义的
深刻理解。偶函数的定
义挖掘的深刻,对于奇函数的学习自然是水到渠成。
(3)奇函数的定义生成过程
2做出函数
f(x)?x
和
f(x)?
质。
1
的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性
x
x
f(x)?x
-3 -2
-1 0 1 2 3
x
1
f(x)?
x
-3 -2 -1 1
源学科网
2
3
(1)奇函数的定义:
________
__________________________________________________
____
(2)奇函数的图象特征:
______________________
__________________________________
(3)函数
f(
x)?x,x?
?
?1,2
?
是奇函数吗?
奇函数的定义域有什么特
征?
_________________________________________
___________________________________
(4)你能举出一些奇函数的例子吗?
______________________
__________________________________________________
_____
(5)函数奇偶性定义:如果一个函数是奇函数或是偶函数则称这个函数具有奇偶性。
____________________________________________
_________________________________
设计意图:
该部
分内容完全类比偶函数的学习,设计问题串。结合具体函数,通过作图直观获得对
奇函数的认识,然后利
用表格探究数量变化特征,学生自主合作交流得到奇函数的定义,结
合实际情况由学生在课堂中进行展示
,教师进行点拨。
学生通过类比很容易得到奇函数的定义。学生在举奇函数的例子时,若能举
出
f(x)?x
3
,
f(x)?x
5
等例子,而这些函数图
象都经过原点,若能引导学生探究出奇函数
f(0)?0
(0在定义域内)这一性质,再从奇函
数的定义出发给出证明的话,那么无疑学生
会从冰冷的定义中获得智慧。
(4)概念的应用
例1. 判断下列函数的奇偶性.
3
(1)
f(x)?x?
11
(2)
f(x)?
2
x
x
x
3
?x
2
22
(3)
f(x)?
(4)
f(x)?x?4?4?x
x?1
设计意图 通过例1,学生能够根据函数的奇偶性将函数分成4类,也即
奇函数、偶函
数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。
通过例1解决,学生能够掌握判断
函数奇偶性的一般方法,定义法和图象法。用定义法
判断奇偶性的一般步骤是,第一步:判断定义域;第
二步;判断
f(?x)与f(x)
的关系;第三步:
下结论。
对第(4)小
题进行了探究,让学生构造出了多个既是奇函数也是偶函数的例子,并从
中发现,这样的函数满足的条件
是函数值必须为0,定义域关于原点对称即可。学生又一次
经历了对奇偶性概念的深刻认识和自我应用。
例2(1)函数
f(x)?x
,
x?(?5,a)
为偶函数,求a
。
(2)函数
f(x)?x?b
为奇函数,求
b
。
设计意图 (1)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称。(2)若一次
函数是
奇函数,则必过原点。同时可适度变式训练,总结出二次函数是偶函数,则解析式应为
f
(x)?ax
2
?c
。
f(x)?
k
(k?0)
是
奇函数。
x
8 归纳总结—布置作业
1下列函数为奇函数的是( )
A
y??x
B
y?3?x
C
y?
2. 已知f(x)=a-
1
2
D
y?x?4
3
x
2
是定义在R上的奇函数,则a=
.
x
2
?1
2
3若二次函数f(x)=ax+bx+c是偶函数,
则g(x)=ax+bx+cx是 函数。
4
若函数f(x)=ax
?bx?7
,有f(5)=3则f(-5)=
5(3)f(x)是[-2,2]上的奇函数,若在[0,2]上f(x)有最大值5,则f(x)在[
-2,0]上有最大
值还是最小值,值是多少?
设计意图 作业的布置紧紧围绕本节课的
重点判断奇偶性和奇偶性定义的初步应用。为奇
偶性的其他方面性质做好进一步铺垫。
9反思 课堂中学生的参与热情很高,学生学得效果较好,学生对奇偶性概念的理解透彻。
究其原因,在
教学设计中充分尊重了学生的主体地位,对问题串的设计较为合理,通过提问
的方式与学生进行了有效的
沟通,对学生的思维进行了有效的培养。
3
3
2
参考文献
1李兴贵
基于六环节模式的“函数的单调性”教学设计[J].数学通报,2014,8:54-59
2刘明
“数列”起始课的教学设计[J].数学通报,2015,1:17-21
3顾继玲.数学“学案导学”研究评述[J]数学通报,2012,12:1-3
4
《函数的奇偶性》点评
从整个教学过程来看,本节课亮点很多,各个环节清晰自然。其中主要取得的成绩有如
下几个方面:
第一问题导学设计精彩。学生已经熟悉关于y轴对称的二次函数,和关于原点对称的正
比例函数和反比例函数。本节课的生长点也基于此。老师给学生充足的时间来做出
f(x)?x
2
,
f(x)?x
、
f(x)?x
和
f(x)?
1
的图像。在作图的过程中老师充分体现了
x
作图的基本方法也即列表、描点、连线的方
法。通过学生的展示我们可以看到学生在作图方
面是非常规范的,养成了比较好的学习习惯。在做完图之
后,探究偶函数的概念时老师所设
设计的一系列问题串非常好。如:这两个函数图象有什么共同特征?相
应的函数值是如何体
现的?如何利用函数解析式描述函数图象这个特征呢?偶函数的定义?偶函数的图象
特征?
问题串的设计环环相扣最终揭示问题的本质。通过整节课来看各个环节对问题串的处理都有
体现,教师十分熟悉问题串在教学实践中的应用。这些问题提的精到而准确,有的可以帮助
学生理解数
学概念的双向性,有的可以潜移默化影响学生重理解轻机械化记忆的上乘学习方
法。这种做法值得学习。
第二 教学目标达成有效。该教师把本节课的教学目标设置为:“能够说出函数奇偶性的
定义;
根据奇偶性的定义学会判断函数的奇偶性;根据函数的奇偶性能够说出函数的分类;
能够学会判断函数奇
偶性的一般方法和步骤。并能进一步领悟数形结合思想”。教师制定的
教学目标可操作性强,同时也容易
进行检测。通过学生回答问题情况和黑板板演情况来看,
本节课的教学目标达成是有效的。尽管教师没有
安排大量的练习,但是本节课紧紧围绕概念
有条不紊的进行推进,这种做法学生学会的是对概念的深刻理
解和对方法的深入思考。
第三 课堂生成精彩。在关于偶函数的教学中,教师提问:“你能举出其它偶
函数的例子
吗”?在学生举出几个之后,老师追问:“你是怎样想到的”?学生的回答是从“形”的角<
br>度得到,还有学生是从“数”的角度得到的。使得学生深刻的体会到了“数形结合思想”。
教师在
点评即是奇函数又是偶函数的例题时,对如何构造这类函数的提问也很自然流畅,没
有强加给学生。
第四 数学思想方法落实的到位。本节课的核心思想是“数形结合思想”,函数的奇偶性
概念本
身就是从数与形这两个角度进行揭示。教师在教学中的较高立意就是数形结合思想的
体现,应该说站在较
高的立意之处课才能上的游刃有余。
总的来说,本节课是一堂很有典型意义的概念课,需要注意的是问题串的呈现方式。
5
《函数的奇偶性》点评
本节课是一节概念课,概
念课的教学要强调概念的自然生成。从整个过程来看脉络清
晰,教学任务完成较好。其中以下几个方面给
人的印象非常深刻。
第一 教师的执教理念符合学生的认知规律。在第一环节偶函数定义的生成过程中
,教
师先让学生作图,做完图之后,教师设计了一系列的问题串进行点拨。在生成偶函数的定义
之后教师继续对概念进行了深入的挖掘,比如说把“任意一个”换成“存在一个”或“有些”
的探讨。从
而加深学生对概念的深入理解。偶函数的定义得到后,让学生自主合作交流得到
奇函数的定义。这种处理
提高了课堂的效率,学生之间的合作交流也很好。
第二善于追问。追问既是聆听的一种延续,又是对学
生思维中的一些不足的引导和点拨。
在学生对问题的表述不够准确或者不够精炼时,教师都能及时地通过
追问的方式加以引导。
第三注意概念的理解与深化。概念课难上。因为一堂好的概念课,从问题情境的
设置到
问题的生成再到问题的分析探究及至概括总结,都必须精心设置,以达到行云流水,自然生
成的效果方为上乘。再者,概念课还应让学生理解概念中的种种精微之处,对这些精微之处
应通过多手
段让学生加以辨析,琢磨,体会。教师在提问过程中一直把握着整个课的脉络,
也即数与形的统一。通过
问与追问进行思辨,通过数与形相互辉映,通过练习与总结加以巩
固等手段帮助学习深刻理解了函数奇偶
性的本质。
6
《函数的奇偶性》
听《函数的奇偶性》一节课,总结如下:
第一 教师素养方面。不论是老师的写还是
学生的板演,整个板书设计美观大方,字迹
清秀得体,能够体现本节课的教学目标。从语言方面来看,教
师一直在启发学生的思考,设
计的问题串也比较得体。其中最为引人注目的是,学生利用投影进行展示环
节,学生的语音
洪亮,思维逻辑严谨,充分体现了乌兰浩特一中学生的整体风貌。信息技术方面,教师利
用
ppt和几何画板比较娴熟,充分体现了信息技术在课堂中的作用。另外教师有着很强的驾驭
课堂的能力。
第二 教学环节。 整个流程比较自然,遵循了从特殊到一般的认知规律,各个
环节教学
目标的达成比较有效。自主合作交流的过程所占时间较多,学生有着自己深刻的思考。概念探究环节,概念生成的比较自然,生成概念后对概念的内涵挖掘比较充分。总结环节,学生
不但从思
想方法上给出总结,还从知识与技能反面给出总结。最后老师的总结谈到:下节课
中我们还要研究奇偶性
与最值之间的关系,奇偶性与单调性之间的关系,使得学生的思绪更
加宽阔。
第三
教师的习题观。概念课的学习不在于题做了多少,而是学生对概念的来龙去脉是
否学得透,用的明白。教
师在整节课所配备的习题难度不大,但是每道题都有着独特的作用。
黑板上所选4道题目,正好对应着利
用奇偶性进行分类的四类函数。在学生讲解完之后,教
师没有急着进行下一环节,而是提出了一些变式,
进一步又让学生总结除了判断函数奇偶性
的一般方法和步骤。这种教学模式很好,学生很受用,不但能会
做题,还要学会方法。
第四教材的处理。教师在深入研读教材的基础上,形成了自己的认识。并
设计出了一系
列的逻辑严谨的问题串,对课本中的例题也有所变动,从这个意义上讲,教师是在用教材而
不是在教教材。
第五“高立意”与“低起点”。本节课思路清晰 ,其中关键因素是
教师对思想方法的挖
掘比较到位,在具体操作中起点比较低。使得数形结合、特殊与一般的思想方法深入
人心。
从而取得了不错的效果。
值得探讨的地方是,把偶函数的定义也放手给学生去研究效果或许会更好。
7