高中数学学科网组卷-初高中数学教材下载百度文库
课题：等比数列的前n项和
一、教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数
学教科书·数学（必修5）》（北
师大版）第一章第三节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等
比
数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中
有着广泛的实际应用
，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导
过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和
方程等思想方法，都
是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学情分析
从学
生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式
的形成、特点等方面进行类比，这是积极
因素，应因势利导。不利因素是：
本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对
学
生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽
视，尤其是在后
面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，
虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，
逻辑思维能力也初步形成，
但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、<
br>不严谨。
三、设计思想
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在
教师的启发引
导下，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，深入探
讨。让学
生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，
在“探究”中创新。设计思路如下：
创设情境
布疑激趣
观察实验
建立模型
探寻特例
提出猜想
深入思考
证明猜想
简单应用
总结评估
四、教学目标
1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相
关问题。
2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类
讨论的思想方法。 <
br>3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价
值、应用价值，发展数学
的理性思维。
五、教学重点与难点
重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决
相关问题。
难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
六、教学过程
（一）复习回顾
1、（提问）等比数列的定义？通项公式？性质？
2、（提问）等差数列前n项和公式是什么？
（二）创设问题情景
引例：“一个穷人到富人
那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人
一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一
天借给穷人1
万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但
借钱第
一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上
一天的两倍,30天后互不相欠.穷
人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想
到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座
的同学思考
讨论一下,穷人能否向富人借钱?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学
生注重力，使其马上进入
到研究者的角色中来！启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。]
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：
(1?30)?30
'
?1?2???30??465
（万元） 穷人30天
借到的钱：
S
30
2
穷人需要还的钱：
S
30
?1
?2?2
2
???2
29
?
?
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
教师紧接着把如何求
S
30
?1?2?2
2
???2
29
?
？的问题让
学生探
究：
S
30
?1?2?2
2
???2
29
①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
2S
30
?2?2
2
??
?2
29
?2
30
②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
(分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元）
S
30
?2
3
0
?1?1073741823
答案:穷人不能向富人借钱
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
提出问题:如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿
以上方法推导
）
学生A：
S
n
?a
1
?a
1
q?a<
br>1
q
2
???a
1
q
n?2
?a
1
q
n?1
(1)
qS
n
?a
1
q?a
1
q
2
?
?
?a
1
q
n?
1
?a
1
q
n
(2)
（1）-（2）有
(1?q)S
n
?a
1
?a
1
q
n
q?1
?
na
1
,
?
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)a
1
?a
n
q
,q?1
?
1?q
?<
br>1?q
?
学生B：
s
n
?a
1
?a
1
q???a
1
q
n?2
?a
1
q
n?1
?a
1
?qa
1
?a
1
q?
?
?
a
1
q
n?2
?a
1
?qs
n?1
?a<
br>1
?q
?
s
n
?a
n
?
?a
1
?qs
n
?a
n
q
??
?s
n
?qs
n
?a
1
?a
n
q
?s
n
?
a
1
?a
n
q
(q?1)
1?q
推导等比数列前n项和
S
n
的公式，引导学生类比前面的特例完成以
上推导课本上的推导方法后，
教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发
言）
学生C：
?
a
2
?
a
3
?
?
?
a
n
?q
?
a
2
?a
3
?
?
?a
n
?q
即
a
1
a
2
a
n?1
a
1
?a
2
?
?
?a<
br>n?1
s
n
?a
1
a?a
n
q
?q
?s
n
?
1
(q?1)
s
n
?a
n
1?q
。
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！
教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设
问题情景调动了学生参
与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥
了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在
在的主体活动者、
成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ ]
【基础知识形成性练习】
1． 在公比为q的等比数列
{a
n
}
中
(1)若
a
1
?
2
,q?
1
，则
S
n
?
________；
33
（2）若
a
1
?
2,q?2,n?8
，则
S
n
?
________；
（3）若
a
1
?8,q?2,a
n
?
1
，
则
S
n
?
________；
2
2．判断正误：
111
n
1
（1）
++?+（）?1?
n
2422
1?(1?2
n
)
（2)
1?2?4?
8?
?
?(?2)?
1?2
n
23n
1?(1?
2)
（3)
1?2?2?2?
?
?2?
1?2
n
?1
n
c(1?c)
(4)c
1
?c
2
???c<
br>n?1
?c
n
?
1-c
(四)新知应用
1111
,?
的前8项的和．
24816
1111
变式1
：求等比数列
,,,,?
的第6项到第10项的和．
24816
例1、求等
比数列
,,,
例2、求数列
1?a?a
2
?a
3
?
?
a
n?1
?
?
(a?0)
的前n项和。
变式2：求
1111
?
2
?
3
???
n
的值
xxxx
[例1例2教师板演示范，强调解题的规范。变式1，变式2学生分
析解
法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过
程。]
（五）课堂小结
等差数列 等比数列
求和公式
推导方法
公式应用
[由学生完成课堂总结，教师完善，点评]
（六）布置作业
六、教学反思
<
br>本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。所以采用了探究教
学的方式，大部分内容由学生
自行探究讨论完成。教学设计从学生的角度
出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探
究”相结合
的方法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引
导学生数
学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数
学应用（5）知识评估。学生在未经预
习不知等比数列求和公式和证明方
法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，
感
受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、
情感目标均得到了
较好的落实。
导学案:等比数列的前
n
项和
班级________姓名_________
【知能目标】
1.掌握等比数列的前
n
项和公式的推导方法--
错位相减法，并能用其思想
方法求某类特殊数列的前
n
项和.
2.掌握等比
数列前
n
项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列
前
n
项
的问题.在应用时，特别要注意
q
=1和
q
≠1这两种情况.
3.能够利用等比数列的前
n
项和公式解决有关的实际应用问题.
【重难点】
重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前
n
项和公式解决有关问
题.
难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握.
【学习过程】
一、复习回顾
1、等比数列的定义？通项公式？性质？
2、等差数列前n项和公式是什么？
二、情境导入
引例：“
一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人
一口答应了下来,但提出了如下条件：在30
天中，富人第一天借给穷人1
万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但
借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上
一天的两倍,30天
后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想
到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很
为难。”请在座的同学思考
讨论一下,穷人能否向富人借钱?
三、自主探究
推导：等比数列的前n项和公式
方法1（主要重点方法：错位相减法）
方法2（提取公因式法）
方法3（等比定理法）
四、辨析练习
1．
在公比为q的等比数列
{a
n
}
中
(1)若
a
1
?
2
,q?
1
，则
S
n
?
___
_____；（2）若
a
1
?2,q?2,n?8
，则
33
S
n
?
________； （3）若
a
1
?8,q?2,a
n
?
S
n
?
________
；
2．判断正误：
111
n
1
（1）
++?+（）?1?
n
2422
n
n?1
1?(1?2)
（2)
1?2?4?8?
?
?(?2)?
1?2
n
23n
1?(1?2)
（3)
1?2?2?2?
?
?2?
1?2
n
c(
1?c)
(4)c
1
?c
2
???c
n?1
?c<
br>n
?
1-c
1
，则
2
五、新知应用
例1、求等比数列
,,,
变式1：求等比数列
,,,
1111
,?
的第6项到第10项的和．
24816
1111
,?
的前8项的和．
24816
例2、求数列
1?a?a
2
?a
3
?
?
a
n?1
?
?
(a?0)
的前n项和。
变式2：求
1111<
br>?
2
?
3
???
n
的值
xxxx
六、课时小结
（由学生完成课堂总结，教师完善，点评）
七、自测自评
1、在等比数列
?
2
?
中，前n项和
S
n
=
（ ）
n
(A) 2n -1 (B) 2n-2
(C) 2n+1-1 (D) 2n+1-2
2、在等比数列
?
a<
br>n
?
中，公比q=2，且前5项和为1，那么前5项和等于
(A) 31 (B) 33 (C) 35 (D) 37
3、数列
?
?1
?
?
n?2
?
中，前n项和为S
，则S
n
2009
_____________
4、在等比数列
?
a
n
?
中：
（1）已知
a<
br>1
?2,S
3
?26,
求q和
a
3
；
17
S?3
（2）已知q=，
5
，求
a
1
与
a
4
8
2
思考题：
求和
x+2x
2
+3x
3
+?+nx
n
.
评《等比数列的前n项和》这节课
听了张老师的课，留下了年轻、干练，课堂教学条理清晰，教学设计
新颖，具有扎实的教学基本功和良好
的数学素养的印象。下面我谈谈听了
这节课的感受：
1、回忆旧知引入新课，创设情境激发兴
趣。通过回忆旧知，类比等差数
列的学习思路引入课题，简洁自然。紧接着创设“穷人向富人借钱”的问
题情境，吸引学生注意力，激发学生解决问题、探究新知的兴趣。
2、采用探究式课堂教学模
式。在教学过程中，在教师的启发引导下，让
学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，深
入探寻公式的
推导方法。让学生在活动中学习，在主动中发展，在合作中增知，在探究
中创新。
充分体现了课改的新理念，恰到好处的发挥了老师的主导作用，
突出了学生的主体地位。
3、
注重数学思想方法的渗透和引导。整节课渗透类比、化归、分类讨论、
整体变换和特殊到一般等数学思想
方法，为学生以后学习新知、探索新知
打下了坚实的基础。
4、课堂教学重点突出，难点突破
方法新颖。选题用心，出题、改编题由
浅入深，符合学生的认知规律。重视解题过程逻辑推理的严密性和
书写格
式的规范性，起到了良好的示范作用。
建议：
1、课堂教学一切都在预设之
中，但应及时捕捉各个层面学生新生成的一
些问题，为学生学习新课扫清障碍。
2、课件是课
堂教学的辅助工具，重要的知识、公式尽可能体现在黑板上，
便于学生理解、记忆、应用和总结。 3、错位相减法是数列的核心内容，也是高考考察的重点，除了学生的自
主探究，教师还应再强调它
的重要性与主要用途。