高中数学《函数的单调性与导数》公开课优秀教学设计

教学设计




普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1
（人教A版）





（第一课时）









函数的单调性与导数
《函数的单调性与导数》教学设计
课题:函数的单调性与导数
教材:人教A版《数学》选修1-1
课时:1课时
教材分析:

函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容.
《数学课程标准》中 与本节课相关的要求是：结合实例，借助几何直观探
索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研 究函数的单调性，会
求不超过三次的多项式函数的单调区间.
函数的单调性是函数的重要性质 之一.在必修一中学习了利用函数单
调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利 用导
数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应

用.
在前几节课中，学生学习了平均变化率，瞬时变化率，导数的定 义和
几何意义等内容，在本节课中，学生将要在此基础上学习通过导数来研究
函数的单调性，掌 握研究函数单调性的更一般方法，进而为后面学习函数
的极值，最值等作出知识铺垫，打下能力基础，进 行方法指导，因此，本
节课可以起到承上启下，完善建构，拓展提升的作用.
学生学情分析:
课堂学生为高二年级的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性
的概念是在高一第一学期学 过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同
时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调 性联系起来是
一个难点.
在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的
四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停
留在表面上.本节课应 着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单
调性.
教学目标:
结合实 例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系：能利
用导数研究函数的单调性，会求不超过三 次的多项式函数的单调区间.
重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单
调区间.
难点：探索并了解函数的单调性与导数的关系.
借助几何直观，通过实例探索并了解函数的单调 性与导数的关系；理解
并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的单调区间；体
会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学发
展的一般规律.
教学策略分析:
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一
是能探索函数的单调性与导数的关系；二是掌握判断函数单调性的方法；
三是能由导数信息绘制函数大致 图象.
本节课的教学设计也是围绕这些目标，让学生自主探究，充分参与课
堂，并从中体会学 习的成功和快乐.
本节课时学习过导数的概念和运算后，首次运用导数解决函数相关问
题的一 节课，如何激发学生的兴趣，使其探索和运用新的工具即导数解决
单调性问题是本节课的关键，利用手边 胡工具，更好的分析这个过程，运
用信息技术确认加深理解.
充分利用学生已有的基 础，分析原函数的单调性与导数正负之间的关
系，本着由形到数，由数到形，数形结合的思想.
（一）创设情境，引发冲突.
< /p>

师：在北方，进入十月，就能感觉到阵阵寒意，今天我们就从一个气温的
实际问题 开始数学之旅.
师：我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示，从2时到5时的
C
随
C
与时间
t
可近似的用函数
C(t)?t?4lnt?1
拟合，气温 问：这段气温
t
的变化趋势如何？ 时间
回答这个问题，我们需要了解这个函数的什么性质？
生：函数的单调性.
师：如何判断这个函数的单调性呢？
生：画图象，用定义.
师：有的同学说画图象，有的说用单调性的定义，我们动手来做一下吧
生：动手操作.
师：选择画图的同学们，可以画出图象么？
生：不可以.
师：哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决.
生：在区间2到5上，任意选取
t
1
，t
2
且
t
1
?t
2
，我们需要判断
C(t
1
)?C(t
2
)
的符号，
师：可以判断么？
生：不可以.
师：好，请坐，也就是我们已有的方法都遇到了困难，如何解决这个单调
性问题呢？
设计意图：
通过学生熟悉的生活情景，激发学生迫切知晓函数单调性的欲望，尝试运用所学知识解决非初等函数的单调性，引发学生的认知冲突，思考如何
将未知化为已知，激发了学 生主动学习新知识的热情.
（二）回归定义，寻求方法.
师：追本溯源，我们重新回到定义.请一位同学回答单调性的定义.
(a,b)
内，满足对于任意的
x
1
,x
2
?( a,b)
生:在函数
f(x)
的定义域内的某区
f(x
1
)?f(x
2
)
，是增函数. 且
x
1
?x
2
，都有
师：很好，也就是我们要需要判断
f(x

1
)?f(x
2
)
的符号， 我们把这个形式变
形，判断
生：大于0.
师：即函数值的改变量与自变量改变量的比值:
生：大于0
师：函数
f(x)
在区间
(a,b)
内是减函数，满足对于任意的
x
1
,x
2
?(a,b)
且
x
1
?x
2
，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，也就是
f(x
2
)?f(x
1
)
x
2
?x
1
生：小于 0.
即函数值的改变量与自变量改变量的比值:

f(x
2
)?f(x
1
)
x
2
?x
1
的符号，结果为:

生：小于0.
师：我们发现，函 数的单调性与这样一个比值的符号相关，在本章的学习
中，我们知道这叫做----
生：函数的平均变化率.
师：我们运用无限趋近于的方式，可以由平均变化率得到瞬时变化率 ，反
过来，瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况，我们知道瞬时变
化率，即----
生：导数.
师：非常棒！我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性.
板书：3.3.1函数的单调性与导数.
设计意图：
注意到知识的联系，尝试在学 生原有认知的基础上建立新知，通过回
顾函数单调性的定义，将其形式改变，联想平均变化率，运用无限 趋近于
的方式，得到瞬时变化率，即导数，引发学生思考导数与单调性的关系，
这个过程由浅入 深，层层深入，合乎学生的逻辑思维.
（三）观察发现，探索规律.
师：要研究函数的单调 性与导数的关系，我们来观察，函数单调递增时，
平均变化率大于0，函数单调递减时，平均变化率小于 0，那么，导数的符
号是否与函数的单调性有关呢？
师：我们从最熟悉的函数开始研究，我们都学过哪些基本初等函数呢？
生：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数.
师：对于这些函数，我们都是通过函数的形， 也就画出图像的方式来研究，
同样的，导数的形，也就是导数的几何意义是什么呢？
生：函数的图像在该点处切线的斜率.
师：根据导数的几何意义，我们一起来看研究的方法.
师：给出函数的图像，指出其单调区间，用牙签靠近图像，使其作为该点
处的切线，移动牙签， 观察斜率即导数的正负情况.
师：拿出坐标纸，作出你研究的函数图像，利用牙签，得出结论，并填写
下面的表格.
师：可以进行讨论，到前面展示你的结果.
师：我们一起来看同学们的展示，可以得到什么结论呢？
生：导数为负数时函数单调递减，导数为正数时单调递增.
师：熟悉的初等函数，得到这样的结论，数学来源于生活，我们再来看生
活中的例子:
t
变化的函数，来研究运动员运动状态的给出高台跳水运动员的高
h
随时间
变化情况.
生：可以画出这个二次函数的图像，得到高度的变化情况，从
(0,a)
时刻，
高度上升，
(a,b)
时刻高度下降.

师：也就是高度函数先单调递增，而后单调递减，运动状态除了高度，还
有速度 ，我们进一步研究.
师：给出导函数即速度函数的图像，有什么结论？
生：导函数即速度图 像在
x
轴的上方时高度函数单调递增，导函数图像在
x
轴下方时函数单调递减 .
设计意图：
从基本初等函数入手，让学生动手操作，通过观察、归纳，提炼，激
发学生的自主探究欲望.让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联
系.培养学生共同解决问题、探 讨问题的能力和合作意识，从而培养学生的
探究意识和探究能力.引导学生从形的角度来验证，降低了学 生的思维难
度，又能体会导数研究单调性的一般性.生活实例高台跳水是我们从导数概
念就开始 使用，把抽象的概念与物理背景结合，能迅速的突破难点，高度
函数的单调性与速度函数的关系,再次确 认了结论.
（四）结论总结，揭示本质.
师：我们一起来总结一下函数的单调性与导数的关系.
一般地，函数
y?f(x)
在某个区间
(a,b)
内
1) 如果恒有
f
?
(x)
>0，
那么
y?f(x)
在这个区间
(a,b)
内单调递增；
2) 如果恒有
f
?
(x)
<0，
那么
y?f(x)
在这个区间
(a,b)
内单调递减.
导函数值的正负 与单调性之间存在这样的关系，这个结论也印证了我们本
节课一开始的思考和分析.
若恒有
f
?
(x)
=0呢？思考一下
板书：结论内容
师：有结果了么？
生：常函数.
设计意图：
由观察、猜想到 归纳、总结，让学生体会知识的发现的过程，使学生
的思维、行动积极主动地参与课堂教学.从猜想到验 证的发现过程，使自主
探究成为学生的一种学习习惯.
（五）自主分析，多维验证.
师：这里我们分析了我们熟悉的函数，其他的函数呢？我们不妨来分析一
下我们遇到困难的函数
f(x)
.
师：运用我们探究出的结论，求出函数
f(x)
的单调区间， 如何运用导数知
识来解决呢？
生：先给出定义域，求出导函数，导函数大于0的部分为增区间，小于0
的部分为减区间.

师：非常好！我们 把完整的过程展示出来，发现利用导数这个工具，可以
便捷的解决这个单调性问题.
借助于作图工具，我们来看.
师：做出函数的图像，在图像上任意选取一点，移动该点，我们可以观察
到什么？
生：函数单调递减然后单调递增.
师：这个函数的单调性与导数之间有我们刚才得到的关系么 ？利用导数的
几何意义，做出该点处的切线，显示其斜率即导数值，让点运动起来.
师：有什么发现？
生：导数值为正数时函数单调递增，函数值为负数时函数单调递减.
师：我们可以做出导数点，动态生成导函数图像，再次印证了我们的结论

作出该点出的切线，观察斜率即导数值得变化.

作出导数点，观察导函数的形成过程.

对比函数和导函数的图像，得出函数的单调性和导数正负的关系.
设计意图：
让学生见证导数在研究函数单调性问题上的威力，感受数学来源于
生活又服务于生活.教师使用GGB来 动态演示，引导学生从“形”的角度验
证，实现多维验证，降低学生思维的难度，体现了导数方法在研究 单调性
问题中的一般性和优越性.
（六）数学应用，体会价值.
32
例：求函数
f(x)?x?3x
的单调区间，并画出函数的大致图像.

师：一起解决，并进行板书.展示学生的绘图.
生:共同回答.
32
练习：求函数
f(x)?()x?()x?()x
的单调区间.
师：用GGB展示结果.
设计意图：
开放函数系数，激发学生自我挑战的 学习欲望，为学生创设“应用导
数研究函数单调性”的自由平台，感受到书法的通用性和优越性，充分展
现导数在研究函数问题中的强大工具作用，同时高效重温二次不等式的解
法，避免因解不等式的 障碍冲淡核心知识的学习，起到一题多用的效果.
（七）方法小结，课堂提升.
师：通过本节课的学习，思考下面的问题
生：学习了函数的单调性与导数的关系，能够用利用 导数求函数的单调区
间，研究中体现了数形结合的思想.
师：我们从一个无法解决的实际问题 出发，回归定义寻求方法，从熟悉的
函数到实际生活，得出结论，并能运用到陌生的函数中，探究过程中 体现
了数形结合的思想.
设计意图：
作为本节课的总结，从知识、 方法、思想三个角度进行总结，对整
节课探究过程进行回顾，体会数学研究问题的方式和其中的数学思想 .尝试
学生回顾本节的学习，培养“学习-总结-反思”的良好习惯.
（八）回归生活，感悟数学.
师：最后我们放松一下，一起来坐过山车
生：过山车时视线向上时高度上升，视线向下时高度下降.
师：这如同函数的单调性与切线斜率即导数正负的关系.
师：人生犹如过山车，站在人生的每 个瞬间的点上，我们都能向上看，人
生轨迹就会是持续上升趋势；相反，如果我们被负面情绪萦绕，我们 就会
走下坡路.只要饱含正能量，脚踏实地走好每一步，相信同学们的前途会一
片光明！
设计意图：
体会数学可以回归生活.再次加深对本节课的感性认识，体会数学的
人文精神.
（九）分层作业，因材施教.
必做题：教材98页， 习题3.3A组 1、2 题.
选做题：结合所学知识，举几个函数实例，比较定义法、图像法、导数法
求单调区间的特点.
设计意图：
学生巩固所学知识，为学有余力的同学留进一步探索、发展的空间.

点评:
现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习 状态和情感
体验，本节课围绕这一思想进行设计.
首先从一个实际问题出发，给出一个无法用 已有知识解决的函数，产生
了问题与已有知识的矛盾，激发学生发现问题，解决问题的欲望.
本节课利用单调性的定义，把单调性的判断转化为平均变化率的符号
的判断，然后从平均变化率引出瞬 时变化率即导数，在这个过程中，实现
在已有知识上生长出新的理解，把这个理解与导数紧密结合起来, 解决了研
究工具的问题.
本节课的结论暂时无法证明，因此让学生发现规律，认同其一般性和 科
学性是十分重要的.设计用做图纸画出函数和利用牙签来研究，能充分调动
学生的参与热情， 重视学生对过程的体验；实现师生、生生互动.让学生解
决引入中提出的函数，体会信息技术的直观，增 加对结论的认同感.
GGB是一个结合几何代数与微积分的动态教学软件，能直观的解决许多
数学问题，本节课充分利用信息技术提供的便利性，让学生通过观察，发
现导数在单调性问题上体现出的 规律性，动态展示导函数的绘制过程，体
会两者之间的关系.
数学是用一种最科学、一种人生 的哲学的方式解决问题，过山车这个环
节，体现了数学的人文价值
当然本节课已有遗憾的地方 ，如果能够更多的调动学生，脱离时间的要
求，能够更多的设计强化的练习就更好了.