蔡襄怎么读-龙卷风成因
欧拉四面体求积公式
问题内容:历史上欧拉提出了这样一个问题:如何用四面体的六 条棱长去表示
它的体积。试用矢量代数知识来解决这个问题。并计算棱长分别为10米,15
米 ,12米,14米,13米,11米的四面体形状的花岗岩巨石的体积。
问题应用背景
几何
涉及的知识点
(知识点的标准说法
参见知识框架结构图)
知识点一:
知识点二:
矢量的数量积
矢量的向量积
解题方法
(解题思路、解题提
示、解题要点等)
用六条棱长表示的四面体体积公式
内容:将四面体放入直角坐标系内,利用矢量混合 积的几
何意义及坐标运算公式,结合矢量数量积的坐标运算公式、
定义及余弦定理得到用六条棱 长表示的四面体体积公式。
解题过程
(详细过程)
第一步:建立直角坐标系,设A,B,C三点的坐标分别为
和,并设四面体的
六条棱长分
别为
。
第二步: 由空间解析几何知,该四面体的体积V等于以矢
量为棱的平行六面体的体积的,即
将上式平方后得
V=
由于行列式转置后其值不变,将第二个行列式进行转值后再相乘,
得
V=
=
(1)
解题过程
(详细过程)
第三步: 根据矢量数量积的坐标表示及数量积的定义得
又根据矢量数量积的坐标表示、定义及余弦定理得
第四步:将以上各式代入第二步的(1)式便得
这就是利用四面体的六条棱长去计算四面体体积的欧拉四
面体求积公式。
欧拉四面体求积公式
第五步:计算花岗岩巨石的体积。
设l=10米,m=15米,n=12米,p=14米,q=13米,r=11米,
代入四面体体积计算公式得
故得花岗岩巨石体积近似为
(米
3
)。
花岗岩巨石体积
数学实验
其他
可执行的文件名及其原文件;
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