紫云公式斐波那契数列的通项公式推导解析

2020年10月1日发(作者：齐越)

斐波那契数列的通项公式推导
山西省原平市原平一中 任所怀
做了这些 年的数学题，我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题
的解题技巧很妙，甚至有 点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的
技巧，其实是一种再正常不过的想法 ，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的
技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题 的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时
要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的 进步。



下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。



中，
（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题）



例1
在数列，求数列的通项。
分析
：此题可分两步来进行，首先 由
，并写出的通项；然后利用
，由累加法，就可求出数列


构造一个等比数列
，两边同除以
的通项。

，其中
得
解：

设

，则
（

（）所以数列
。
为等比数列，且首项为
，公比为3。所以
于是有，两边都除以得


设，则有


由累加法可得




因为

于是有


所以（）
。
总结：
上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推
关系 化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。

下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。



已知数列


，其中，，求数列的通项。

解：
首先我们要构造一个等比数列，于是设

则有

则由已知

。 （1）
得 （2）

对照（1）（2）两式得

我们取前一解，就会有

设，则有
解得 或 。
。


所以数列为等比数列，首项为，公比为




所以 。即 （3）

再次构造等比数列，设


则有

对照（3）式，可得

于是有
所以 x=.

设
于是
，则有数列
=
为等比数列，首项为，公比为，


所以有。