墙砖计算公式构建公式模型

2020年9月30日发(作者：龚贤永)
构建公式模型，实现“原理”简约化──我这样教
学《抽屉原理》的第1课时

2011-06-28 20:58:41| 分类： 典型教案篇|举报|字号 订阅
构建公式模型，实现“原理”简约化
──我这样教学《抽屉原理》的第1课时
湖北省襄阳市保康县二堂八一希望小学 宋 瑜



设计背景
自己上过、也曾听过其他教师执教《抽屉原理》一课。在该内容的教、学中，
学生往 往很难透彻理解 “总有、至少”的意思。而教师为了让学生明白其意思、
掌握其求法，可谓是“想千方 设百计”。尽管如此，学生却依然“雾里看花”，而导
致教师“愁在心头”。为此，我一直在思索、寻求 一种能把这节课上的轻松、简明
易懂的方法。现将自己的教学实践与所思浅呈出来，与同行探讨。
教材简析：
《抽屉原理》是人教版课标操作教材六年级下册p70-p73页数学广角内容，
它主要研究的是与“存在性”有关的一类数学问题，如3名学生中，一定有2名学
生同一个性别 ；367名学生过生日，一定有2个或2个以上的同学在同一天过生
日……在这类问题中，只需要确定某 个物体（或某个人）的存在就可以了，并不
需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方 式把这个存在的物
体（或人）找出来。这类问题依据的理论，就称之为“抽屉原理”。
教材这 部分内容由3个例题和一个练习组成，分3课时完成（根据实际情
况也可划分为2课时）。它借助3个例 题呈现了抽屉原理的2种基本形式：
【原理1】如果把a+1只鸽子分成a个笼子，那么不管怎么分， 都存在一个
笼子，其中至少有两只鸽子。
【原理2】如果有a个笼子，Ka+1只鸽子，那么不管怎么分，至少有
一个笼子里有K+1只鸽子。
具体编排如下：
通过课 时主题图可以看出：教材编排十分注重以“操作、观察、交流、推理、
表述”等学习方式，引导学生经历 “数学证明”的过程，理解“抽屉原理”隐藏和蕴含
的数学方法，培养“模型”思想，在建模过程中引导 学生学会用一般性的数学方法
思考问题，发展学生解决问题的能力。
认知基础分析：
在日常生活中，在学生的身边，“抽屉原理”的应用例子很多。除了前面提到
的，还有，如：把3个足 球放进2个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子至少
放进2个或2个以上的足球。又如：任意13个人中 ,至少有2个人或2个以上
的人是在同一个月份出生的。可见，这类问题在学生现实生活中是有一定感性 经
验的。
教学内容：六年级下册第五单元数学广角p70-p72：例1、例2
教学目标：
1、在具体情境中感知“抽屉原理”的存在与应用。
2、从具体问题情 景的结果分析入手，引导经历“抽屉原理”的探究过程，理
解“总有和至少”的意思，掌握“至少数”的 求法。
3、通过操作、观察、推理、交流、表述等学习活动，发展学生的推理能力，
构建公式 模型，渗透建模思想。
4、会用“抽屉原理”解决简单的实际问题，通过“抽屉原理”的灵活应用感受数
学的魅力。
教学重难点：理解“总有和至少”的意思、构建公式模型求“至少数”
教具准备：课件、3个文具盒、4支铅笔
教学过程
一、开门见山，宣读课题，引出内容
出示课题：“抽屉”
师：认识这两个字吗？我们一起大声读出它。
问：在生活中，抽屉是用来干什么的？（装东西）
师：对，抽屉是用来装东西的，不过，生活 中除了抽屉，能装东西的容器还
有很多，那装东西的事件里面隐藏着什么学问呢？这节课我们就一起来研 究“抽
屉原理”。【板书：原理】
[教学思考：“抽屉”是学生非常熟悉的物体，生活中见的 多，用的多。开课和
学生齐读课题，然后用简洁的语言说明抽屉的作用，以“装东西的事件里面隐藏着什么学问呢？”宣布探究内容。由于好奇，学生会质疑：抽屉还有学问？这种“熟
悉而又陌生”、 “一知还有不解”的心理会促使学生产生强烈的继续探究欲望。]
二、操作验证，经历过程，发现规律
1、实物操作，初次感知“总有、至少”
把3支笔装进2个笔筒。
（1）动手分一分，看看有几种不同的分法。
（2）指名边演示、边口述、边课件显示：

问：谁看清楚了每种分法他是怎样拿、放铅笔的？边说边做给大家看。
生1：第一种是一次拿3支放到第一个笔筒里。
生2：第二种是先拿2支放到第一个笔筒里，再把剩下的1支放到第二个笔
筒里。
师：第二种情况还有不同的拿、放方法吗？
生：先把每个笔筒各放1支，然后再把剩下的1支放进其中的一个笔筒。
[随生的回答，板书图示]

师：[引导学生看图]这种拿放方法， 可以让我们一目了然的看出：3支铅笔放进2个笔筒，不管怎么装，总有一
个笔筒会装进2支铅笔。
[板书：总有]
问：“总有”是什么意思？
生：就是一定会有的意思。
[课件显示]

师：[引导学生看图]通过分的结果可以看出：把3支铅笔装进 2个笔筒，虽
然分法不同，拿、放的过程不同，但是不管怎么分，每种分法中总有一个笔筒会
装 进2支或2支以上的铅笔。这时，我们就说：“3支铅笔装进2个笔筒，不管
怎么分，总有一个笔筒至少 会装进2支铅笔。”
【课件显示表格，并完善内容（师在“总有”、“至少”下面加着重号，以强调
引起重视）】
待分物
品
3支铅
笔
[教学思考：从最小数据开始操作研究，便于 让学生简洁、明了的经历不同
的拿、放过程,使学生“一看就懂”，为正确理解“至少”作铺垫；同时体 现数学建模
简约性原则。]
要分的
份数
2个笔筒
操作结论
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 2支铅笔。
2、勾忆“平均分”，切入新知“生长点”
把4支铅笔装进3个笔筒。
（1）动手分一分，看看有几种不同的分装法，说一说，你是怎么拿的。
（2）全班交流：指名边演示，边口述，教师根据交流有序显示不同的分法：

师：在这些分法中，你能发现什么吗？
生1：第三种两个笔筒都装了2支，一样多。
生2：第三种、第四种分法中，都有一个笔筒装了2支。
生3：第一、二种分法中，有一个笔筒的铅笔数都多于2支。
师：谁能综合表述一下这些同学的发现？
生：把4支铅笔装进3个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒会装进2支或2
支以上的铅笔。 < br>师：说得真好。这时，我们就可以说：把4支铅笔装进3个笔筒，不管怎
么分，总有一个笔筒至少 会装进2支铅笔。
[师边说边完善表格里的内容]
待分物
品
3支铅
要分的
份数
2个笔筒
操作结论
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 2支铅笔。
笔
4支铅
笔
师：刚才有同学们提到了“一样多”这几个字，你能根据这几个字联想起我们
学过的什么知识吗？
生：在除法中，每份分的一样多，就是平均分。 [板书：平均分]
师：那我们能把4支铅笔平均分到3个笔筒吗？会遇到什么问题？
学生操作，指名演示给大家看。
生：我先把每个笔筒各放进1只，但是还余下了1支铅笔。然 后把余下的1
支铅笔在放进其中任意一个笔筒。
师：是这样吗？随着学生的操作表述，师用图示板书：
3个笔筒 不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 2支铅笔。

师：[引导学生看图示]这种先平均 分总数，再分余数的方法，我们一目了然
就可以看出：“4只笔装进3个笔筒，不管怎么分，总有一个笔 筒至少会装进2
支铅笔”。
完善板书：

[教学思考:教学中要善于 捕捉学生学习活动中出现的与探究新知有利的一切
资源，以促进教学目标的有效达成。如：这一环节，学 生动手摆放铅笔后，发现、
交流：有2个笔筒装的一样多，都是2支。此时，我抓住“一样多”这个词， 引导
学生联想到“平均分”时，每份要分的“一样多”，从而诱导学生发现4（2、1、1）
这 种分法不仅可以2支、1支、1支的拿，还可以先1支、1支、1支的拿，然
后再装余下的1支。最后再 借助简明的图示表述不同的分法，把学生的“逐次罗
列” 繁琐思维慢慢转移到“平均分”的简洁思维上来，为后面构建公式模型作铺
垫。]
3、自主合作，再次感知、理解“至少”的意思
把5支铅笔装进3个笔筒。
（1） 同桌合作：动手分，用“塔式”分解法记录出所有不同的分装法，说一
说你们的发现。[建议：罗列时注 意有序操作和记录]
（2）全班交流：
①指名投影展示记录的分法。[教师板书]

师：罗列出所有的不同分法，我们把这种方法称为“枚举法”。
[板书：枚举法]
②对比观察罗列出的分法，你有什么发现？
生1：我发现每种分法中都有一个笔筒装进了2支或2支以上的铅笔。
生2：我发现每种分法中，笔筒中装得最多的支数分别是5、4、3、2支。 [师：
板书：最多 （并用圆圈圈出5、4、3、2）]

师：在每种分法中，你 发现了哪个笔筒中铅笔支数最多，那在这些最多的支
数中，谁又是最少的呢？
生：2支最少。 [师：板书：最少（再次用方框圈出2）]

师：像我们刚才这样，在罗列的所有分法中， 先找出每种分法中笔筒装铅笔
的最多数，然后再找出的最多数中的最少数，这个数就是我们要认识的“至 少”
数。 [板书：至少]
师：现在，能用自己的话说一说什么是“至少”吗？
生：就是先找最多，然后在最多的数中再找最少，这个数就是至少。
师：谁听清楚了？谁还能和他说的一样好？ [指多名学生说]
师：“至少”数，我们可以这样精要、简明的说它是“最多的最少”。 [完善板
书：最多中的最少]
生3：我还发现“2、2、1”的分法，可以用“平均分”的方 法分。也就是先每个
笔筒各放1支，然后把余下的2支再平分到任意的2个笔筒中。[随生的交流，板书图示]

师：通过这种分法，我们可以较快的知道：“5支铅笔装进3个笔筒，不 管
怎么装，总有一个笔筒至少会装进2支铅笔”。这种先平均分，再平分余数的方
法，我们称为 “假设法”，当待分的物品数较大时，用“假设法”更简便。[板书：假
设法]
问：通过刚才的分析，我们可以得出什么结论？
生：把“5支铅笔装进3个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少装进2支
铅笔”。
[完善表格]
待分物
品
……
要分的
份数

操作结论

5支铅
笔

3个笔筒 不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 2支铅笔。
[教学思考：“至少”到底是什么意思？这是理解 抽屉原理的难点和关键点，在
以往的教学经验中，学生认为“至少”就是“最少”。如果用单纯的讲解是 很难让学
生明白的。为了突破这个难点，我以教材为指针，给学生提供充分的实验操作、
自主合 作、发现交流机会，引导学生充分经历“枚举法”：找“最多中的最少”；“假
设法”：先平均分总数， 再平均分余数等探究活动，让学生在具体、清晰的拿、
放操作中，在简明形象的图示观察中，充分经历知 识的构建过程，逐步实现思维
由具体形象到抽象的过渡，透彻理解“至少”的含义，有效突破教学重难点 。]
4、寻找规律，构建公式模型求解“至少数”
把“5支铅笔装进2个笔筒，不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进几支铅
笔？
师：请同桌合作：分一分、写一写、想一想、说一说,用刚才的方法尝试着
得出结果。
生尝试探究后交流。
生1：“5支铅笔装进2个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少装进3支铅
笔”。
生2：我同意他的结论。
师：说说你是怎样得出这个答案的？
生1：我先把2个笔 筒都放进2支，再把余下的1支放进其中任意一个笔筒，
就发现，不管怎么放，总有一个笔筒至少装进3 支铅笔。 [随生的回答，板书
图示]

师：这位同学用的是“假设法”，先把 2个笔筒各装进2支，这样就装进了4
支，然后再把余下的放进其中一个笔筒。所以得出：“5支笔放进 2个笔筒，不
管怎么分，总有一个笔筒至少装进3支铅笔”。还有不同的方法吗？
生2：我用 的是枚举法，我发现在每种分法中，最多的支数分别是5、4、3
支，在5、4、3中，最少的是3支， 所以我知道“5支铅笔装进2个笔筒，不管
怎么放，总有一个笔筒至少装进3支铅笔”。 [随生的回答，板书图示]

师：条理很清晰，现在我们可以在表格中填上自己的发现了。
[完善表格]
5支铅
笔
5、对比、感受优化的方法
师：现在我要考考同学们，看谁能够又快又对的答出我的问题！[借助表格，
依次显示]
待分物
品
7支铅
笔
8支铅
笔
15支铅
笔
25支铅
笔
65支铅
笔
分的
份数
2个
笔筒
3个
笔筒
4个
笔筒
4个
笔筒
8个
笔筒
操作结论
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 ？
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 ？
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 ？
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 ？
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 ？
支铅笔。




我的发
现

2个笔筒 不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 3支铅笔。
……
生1：
7支铅
笔
生2：
8支铅
笔
生3：
15支铅
笔
生4：
25支铅
笔
生5：
65支铅
笔

2个
笔筒
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 4
支铅笔。

3个
笔筒
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 3
支铅笔。

4个
笔筒
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 4
支铅笔。

4个
笔筒
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 7
支铅笔。

8个
笔筒
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 9
支铅笔。

师：你们用什么方法判断的这么快？
生：用“先平均分，再分余数”方法。
问：有同学用“枚举法”吗？为什么不用“枚举法”？
生：铅笔的总支数太多了，不管是画图分析，还是用塔式法记录，都要写很
多，也很费时间。
师：是啊，当待份物品数量较大的时候，用枚举法就比较麻烦，而用“假设
法”就非常简便，比 如把65支铅笔，装进8个笔筒，我们先假设每个笔筒各放进
8支，这样就装进了64支铅笔，还余1支 ，把它放进8个笔筒中的任意一个笔
筒中，这样就能很快知道：不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进9 支铅笔。
[教学思考：枚举法是直观形象的让学生知道“至少”的来历，当数据较大时，
再 用枚举法就显得麻烦。因此枚举法还兼带着“抛砖引玉”的作用：引出假设法。
假设法是解决该类问题的 优化方法，也正是我们应该渗透给学生的思想方法。学
生在对比中自然会感知到假设法的简明优越性，进 而，不难发现“商+1”的规律。]
6、探究“至少”的形成过程，构建公式模型
师：我 们已经会正确求解“至少”数，和同桌一起观察表中的结论，说一说“至
少”数是怎样得来的？有没有更 简便，更优化的方法得出“至少”数？
生讨论交流。
待分物
品
3支铅
笔
4支铅
笔
5支铅
笔
5支铅
笔
7支铅
笔
8支铅
笔
15支铅
笔
25支铅
笔
65支铅
笔
……
分的
份数
2个
笔筒
3个
笔筒
3个
笔筒
2个
笔筒
2个
笔筒
3个
笔筒
4个
笔筒
4个
笔筒
8个
笔筒

操作结论
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 2
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 2
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 2
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 3
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 4
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 3
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 4
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 7
支铅笔。
不管怎么分，总有一个笔筒至少会装进 9
支铅笔。









我的发
现

生1：我发现“至少”数可以用除法来计算。比如第一题用“3÷2= 1（支）……1
（支），再用 1+1=2”，就知道了总有一个笔筒至少会放进2支铅笔。第二题用
“4÷3= 1（支）……1（支），再用 1+1=2”，就知道了总有一个笔筒也至少会放
进2支铅笔。
师：他的发现对不对呢？我们一起用他的方法在本上写一写，算一算。
生写后，展示。[课件完善板书]
5÷3= 1（支）……2（支） 1+1=2
5÷2= 2（支）……1（支） 2+1=3
7÷2= 3（支）……1（支） 3+1=4
8÷3= 2（支）……2（支） 2+1=3
15÷4= 3（支）……3（支） 3+1=4
25÷4= 6（支）……1（支） 6+1=7
65÷8= 8（支）……1（支） 8+1=9
问：计算的结果与表中的结论相同吗？关于“至少”数的求解方法，你有新发
现吗？
生1：我发现“至少”数可以用我们以前学过的有余数的除法计算得到。
生2：我发现了“至少”数，就是用计算出的“商加上1”。
[板书：商+1]
……
师：同学们真是善于观察、善于思考、善于总结。综合2个同学的回答，你
能用 关系式表示出“至少”数的求解方法吗？
生1：被除数÷除数=商……余数 至少数=商+1
生2：待分物品数÷要分的份数=每份数……余数
至少数=每份数+1
师：这两位同学的方法都很好。他们总结的方法可以帮助我们解决生活中类
似的许多问题。
三、联系实际，拓展运用，巩固方法
看谁说的又快又好。
（1）23个梨分给7个人，至少有几个梨要分给一个人？
（2）在任意13人中，至少有2个人的生日在同一个月,想一想，这是为什
么？
（3）31个同学做课间操要站成4行，总有1行至少要站几个人？
（4）一副扑克牌，去掉 大小王，在52张牌中任意抽出5张，至少有2张
牌的花色是一样的，为什么？
（5）六（一）班54个同学，要分成4组，不管怎么分，总有一个组至少
要做几个同学？ < br>[教学思考：思想方法是数学学习的灵魂和精髓。所谓思想，是指对数学知
识和方法本质及其规律 的认识；所谓方法，是指解决数学问题的根本策略和程序，
它是数学思想的具体化反应。教学中，做为教 师应“授之以渔”，教会学生用一个
方法，解决多个问题，培养他们“迁移类推、举一反三、活学活用” 的能力。因此，
每一节课我都十分注重引导学生观察、发现、总结知识的规律、解决问题的方法，
如本节课，借助有余数的除法，引导学生用操作、观察、图示、表格等方法构建
解决“抽屉原理”问题 的公式模型，就显的比较简明易懂；让学生遇到这类问题，
觉得“有据可依”！当学生能够利用“商+1 ”的规律快速判断出至少数是几时，说明
方法已经理解掌握，“模型”已经存在于他们的脑海了。]
四、抓住重点，精要交流，余味课外
师：把你认为在本节课中最重要的知识、认为理解最好的知识或还有疑惑的
知识说给同学们听！
生1：我认为最重要得就是找至少数。我知道可以用枚举法找至少数，首先
把所有的分法都罗列 出来，然后找出每种分法中最多的数，最后在找出的最多的
数中再找到最少的数，就是“最多中的最少” 。
生2：我知道用除法就可以很快找到“至少数”。
生3：我知道“至少数”的意思，就是 在分人或分物品的时候，先平均分，然
后把余数再平均分，至少数就是两次平均数的和。【板书：两次平 均分】
生4：我知道求“至少数”就是用“商+1”。
……
师：关于“至少数” 的相关问题，早在19世纪，就有德国数学家迪里赫莱进
行了研究，后来他把发现的规律、方法进行了总 结，推广，并运用于解决其它数
学问题，也就是我们今天学习的内容：抽屉原理，因为是他最先发现研究 的，所
以又称为“迪里赫莱原理”，也被称为“鸽巢原理”。
希望同学们在生活中也学会用数 学的眼光观察问题、发现问题、思考问题，
相信会有更多的原理出现！
[教学思考：在教学中 ，艺术的导入和精彩的讲授可以描绘出课堂知识的大
体轮廓，使教学有其形；而课尾的总结，围绕重难点 简明、精要的回味却犹如“画
龙点睛”，不仅有助于学生理清知识结构，沟通内在联系，巩固理解知识， 强加
技能方法，还可首尾呼应，保持教学结构的完整性，促进教学过程更完美，余味
课外。]

课后反思：
曾看到一位个老师发表了《把数学教的简单些》的文章，原文这样写 道：我
认识的一位数学老师，每次听他的课，总觉得时间过的很快，问起他的学生，学
生也有这 种感觉，而且都说，老师讲的很简单，很好懂。尽管如此，他教的班级
数学成绩却总是最好的。于是，我 向这位老师讨教上课的诀窍，这位老师说的很
简单：“数学本身是复杂的，老师应该讲的简单一些。”… …这段话引起我强烈的
共鸣：学生缺少生活问题的处理经验，他们很难把数学学习与生活问题联系沟通< br>起来，脱离具体的实例情景研究问题，无异于“隔山打牛”难上加难！数学本身就
是抽象、深奥的 ，若不把它讲的简明一些，自然一些，我们的学生怎能明白和理
解？这个观点深深的影响着我，并一直促 使我在教学中换位思考着、探索着、改
进着教学方法。《抽屉原理》一课，几年来我自己讲过也曾听其他 老师讲过，可
教学效果一直不如想象中的完美。经过多次的思考和尝试我认为：以“有余数的
除 法”作为新知教学的生长点，从小数据“分铅笔”开始，引导学生充分实践操作，
通过观察、发现、交流 、描述、总结等活动，把“抽屉原理”问题转化为一般的“数
量问题”，把发现的方法和规律形成一个明 确的关系、公式，对学生而言，在解
决此类问题时“有据可依”，似乎简单一些。
经历了这一 次教学思考，我深切感受到：要想收获理想的教学效果，教师首
先必须在课前做到“博览群书”，装满自 己的“一桶水”，对所教知识理清“来龙去脉”；
其次，必须充分研究学情，清楚学生的已知和未知，估 计他们学习的“障碍点”，
并依此思考探究新知的“切入点”，为他们解决“障碍”找到最有效的途径； 再次，
必须采用操作验证、合作交流、发现总结多种学习方式、方法，和多媒体手段辅
助教学， 让学生充分经历知识的构建过程；最后，必须关注和巧妙处理课堂教学
中的细节，才能收获成功；如：关 键点、重难点的简明板书，要在恰当时机快速
出现；学生交流中的关键字、词，要认真倾听，启发联想； 不同的观点、重要的
发现、精要的总结等等，都应让不同的学生重复、转述、用自己的话表达，依次巩固理解、体现主体……这一些的教学活动都需要教师细心发现，灵活处理。……
上好一节课是不容 易的，但是只要我们不断的思考，不断的改进，我相信能把课
上的更好！