裁衣服公式圆锥曲线弦长公式

2020年9月26日发(作者：廖新学)

圆锥曲线弦长公式

关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代 入曲
线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理
及弦长公式求出弦长， 这种整体代换，设而
不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于
过焦点 的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用
圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦 点弦长公式就更为简捷。.
椭圆的焦点弦长 若椭圆方程为
焦点
B两点，求弦长圆定义得
，设过
。解：连结
，半焦距为
的直线的倾斜角为
，设< br>，
交椭圆于A、
，由椭
，由余弦定理得
，整理可得，同理可求得
，则弦长

同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为
轴，b为短半轴，c为半焦距）

结论：椭圆过焦点弦长公式：

二

（a为长半


. 双曲线的焦点弦长

设双曲线
，过
点，求弦长|AB|。

，其中两焦点坐标为
的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两
。


解：（1）当
两个交点A、B在同一交点上，连
双曲线定义可得
时，（如图2 ）直线与双曲线的
，设，由
，由余弦定理可得
整理可得，同理
，则可求得弦长




（2）当或
，设
时，如图3，直线l与双曲线
，则，
，


交点A、B在两支上，连
，由余弦定理可得
整理可得，则


因此焦点在x轴的焦点弦长为


同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式


三



其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛
物线的焦点弦长


若抛物线
若的倾斜角为
与过焦点的 直线相交于A、B两点，
，求弦长|AB|（图4）

为垂足，设
，点B横坐标为


，
，
解：过A、B 两点分别向x轴作垂线
，则点A的横坐标为
由抛物线定义可得
即

则

同理的焦点弦长为



的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为


由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明
确，应予以掌握。

一