杨红公式心水三者容斥问题3个公式

2020年9月25日发(作者：徐韬)
公务员行测容斥原理
容斥原理公式为：
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩
A + A∩B∩C

某校 六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其
中参加足球队的有25人，参加排球队的 有22人，参加游泳队的有
24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，
排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 答案：
25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3
问题：某调查公司对甲乙 丙三部电影的收看情况向125人进行调查，
有89人看过甲电影，47人看过乙电影，63人看过丙电 影，其中有
24人三部电影全看过，20人一部也没看过，求只看过两部电影的人
数？ 为什么这道题我用容斥原理去解答得到的答案是错误的，而且和上面
的例题相比较，两道题几乎一样 ，谁能告诉我原因？就是用容斥原理
去解答错误出现在什么地方
公式一：若条件给出A∩B，A∩C，B∩C，A∩B∩C的值
对于图中的全集I来说相当于 整个图中所有部分之和，即I=A∪
B∪C+D（D为非A非B非C的区域），那么这里面我们算得A∪ B
∪C需要把其A、B、C中重复的区域扣除，如果我们把A,B,C加在
一起，其中对于A∩ B（①+②）的区域是在A,B中各参与计算一次，
需要减一个A∩B，同样的道理对于A∩C（①+③ ），B∩C（①+④）
均需要减去一个，对于重复的A∩B∩C（①）在我们把A、B、C加
和 时计算了三次，在减去A∩B，A∩C，B∩C均包含①区域则又减去
三次，要保证没有遗漏需要在加回 一次A∩B∩C，则A∪B∪
C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。
公式总结：
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
I=A∪B∪C+D=A+B+C-A∩B-
A∩C-B∩C+A∩B∩C+D
公式二：若条件给出包含两种元素（②+③+④）和包含三种元
素（①）的值
同样的 I=A∪B∪C+D，那么这里面我们算得A∪B∪C依旧需
要把其A、B、C中重复的区域扣除，那么 对于包含两种元素（②+
③+④）的区域，②在A、B中各加一次，重复一次；③在A、C中
各 加一次，重复一次；④在B,C中各加一次，重复一次,均重复一次，
则需整体减去一倍的包含两种元素 （②+③+④），对于重复的包含
三种元素（①）在我们把A.B.C加和时计算了三次，则需要减去2 倍
的包含三种元素（①），即A∪B∪C=A+B+C-含有两种元素-2*含
有三种元素
公式总结：
A∪B∪C=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素
I=A∪B∪C+D=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素+D
【例1】：某调查 公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135
人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有 63人看过丙
片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、
丙片为32 人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有
看过呢?
【解析】：既看过甲、乙片 为30人是包含只看过甲乙还有甲乙
丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过< br>乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里
面W、N、X都是有包含三者 这个区域，根据把重复数的次数变为1
次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式 转
化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32) +
24+Y，Y=5人。

结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地 方有1
层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区
域分别多计算一次和 两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故
三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B
∩C。