高中数学必修四《弧度制》名师教学设计

课题：1.1.2 弧度制 教学设计
一
、
教学目标
知识与技能
1.理解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数；
2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算；
3.了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；
4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.
过程与方法
1.经历弧度制的探 索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利
于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度 与角度的换算方法，领悟从特殊
到一般的思想.
2.通过设置问题启发，发展学生观察、分析 、归纳概括解决问题的方法，提
高解决问题的能力.
情感态度与价值观
1.使学生 领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是
是互相联系的、辩证统一的，进一步加 强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.
2.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任 何新知识的学习都
会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.
二
、
教学重点、难点
1.教学重点：理解弧度制意义,能进行角度制与弧度制的互化.
2.教学难点：弧度制的概念及弧度与角度的换算.
三
、
教学方法与教学手段

1.教学方法：问题教学法、合作学习法.
2.教学手段：多媒图片、 几何画板、PPT课件.
四
、
教学过程
（一）创设情境
1.师 提出问题：2019年10月1日中华人民共和国成立70周年，同学们有没
有看阅兵式?
1

【设计意图】以时政热点为话题导入新课，极大地调动了学生的学 习热情，而
且能提高学生的参与度，对培养学生的综合能力和提升课堂效率都很有帮助.
2. 问题情境1：中国国土面积960万平方千米，故宫面积约1080亩；中国领
海宽度12海里；中国高 铁运营里程达到3万公里，位居世界第一；中国黄金储备
6245盎司；中国钢铁产量超过10亿吨，连 续16年位居世界第一.
【设计意图】以祖国的成就设为问题情境，调动学生的学习积极性，同学们都
能够感受到祖国的强大，激起同学们浓烈的爱国思想；类比研究面积、长度、质
量可以选择不同 的单位，不同的单位制能为我们解决问题带来方便，引出度量角
的另一种单位制.
3.问题情境2：回忆初中学习的锐角三角函数定义，教师引出其他版本教材
有不一样的定义.
提出问题：为什么有的教材将锐角的正弦、余弦、正切定义成三角比呢？请你结
合高中函数的定 义进行分析.
【设计意图】通过引出其他版本教材有不一样的定义，利用新旧知识所蕴含
的矛 盾引发认知冲突一方面引出本节课的主题，另一方面学生发现问题、提出问
题的能力在潜移默化中得到培 养，这个问题是本节知识的切入点是引发学生思考，
培养学生素养的关键.
（二）探究新知，得到概念
1.教师提出问题：在半径为
r
的圆
O
中，当
B
点在圆周
上运动时，你发现了什么？（教师几何画板演示）
学生活动1：学生讨论后总结，弧长变大，圆心角变大，
因为我们要用实数度量圆心角，所以由
l?
n?
180l
?
?r
.
n?r
，变形得< br>180
B
l
Or
A
师继续追问：当半径发生变化时，你发现了 什么？能不能仅用弧长或者半径
来度量圆心角？（教师几何画板演示）
学生活动2：学生讨论后总结，不能仅用弧长或者半径来度量圆心角的大小.
教师再总结：仅 用半径和弧长中的一个量不能度量圆心角的大小，但它又与
半径
r
和弧长
l< br>相关.
2

教师继续追问：同学们觉得圆心角可能会由谁的值控制？
l
学生得出与有关后，继续追问这个猜想合理吗？教师几何画板演示.
r
学 生活动3：从理论上证明猜想的正确性,由弧长公式
l?
n?
n?r
，稍作变 形得
180
180ll
l
?
，这说明当圆心角确定时，就确定；是随 着圆心角的确定而唯一角
r
?rr
确定.
【设计意图】通过设置问题启发， 发展发展学生观察、分析、归纳概括解决问
题的方法，提高解决问题的能力.在探索的过程中,让学生总 结归纳出当角确定时，
l
l
是随着圆心角的确定而唯一角确定.学生体会用度量角的合 理性，从而比较顺
r
r

利的引出1弧度角的概念.
l
2 .教师总结：来度量圆心角的大小就是今天要学习的度量角的另一种单位
r
制——弧度制. < br>3.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad
表示，读作弧度， 单位也可以省略不写.用弧度作为角的单位制来度量角的单位制
称为弧度制.
（三）深入探究，理解概念
1.度量角的弧度数
通过度量使学生进一步感受到l?2r
时，
?
?2
；
l??3r
时，
???3
；

l??r
时，
???
；
l?2?r
时，
??2?
；

动点从点
A
逆时针经过的弧长为
l
则这段弧所对的圆心角为多少弧
度？

l

?
?
学生活动：得出
r

l
?
O
B
r
A
教师追问：这个等式能否推广为求解任意角弧度数的一般公式
呢？
【设计意图】通过不断追问，引导学生得出任意角弧度数的一般公式，
?
?
并 加以强调
l
为动点经过的弧长.
3

l
,
r

2.引入弧度制数学史，向学生介绍角度制 到弧度制的跨越有千年，我们就是引
用数学家的思想方法进行探究的.
【设计意图】数学史的 引入，将弧度制的由来置于丰富的数学文化内涵之中，
进一步表明引入弧度制解决了进位制统一的问题， 让学生真正感受到现实世界需
要这种文化内涵以及引入弧度制的可能性.让学生感知数学家探求知识的艰 难，培
养学生探索科学的精神.
3.推导出任意角的弧度数公式后，再去度量一个角，既可以 用原有的角度制，
也可以用弧度制，教师抛出问题：构建起角度与弧度互化的等式是什么呢？
学生活动：
360
?
?2?rad
，
180
?
?? rad

师追问：用类似的方法，你能够求出特殊角的弧度数吗？
90?
?
????
rad
，
60
?
?rad
，
45
?
?rad
，
30
?
?rad
，

0
?
?0rad

2346
从而很顺利得出角度与弧度互化的关系式.
1??
?180
rad
?0.01745rad
；
1rad
?()??57.30?

180?
??
就表示< br>33
用弧度制表示角时，“弧度”可略去不写.如
?
?2
表示2弧度的 角，
弧度的角；角度表示角时，单位“度”不能省略.
【设计意图】抛出问题让学生尝试不同 方法求出相应的弧度数，实现角度与弧
度的换算，让学生经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的 、特殊的情况
着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，
领 悟从特殊到一般的思想.
（四）巩固新知，应用概念
1.练习1：把下列角从角度化为弧度：
（1）
?210
?
（2）
67
?
30
?

练习2：把下列角从弧度化为角度：
(1)
4?
（2）
?3.5

5
结论：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是零.
这样就在任意角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.这也是引入弧 度制的意
义.
4

【设计意图】使学生领悟到 角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不
同，但是是互相联系，相互统一的，更容易看清楚与实 数的一一对应关系.
2.教师追问：在弧度制下，你能推导出弧长公式和扇形面积公式吗？（用
r
表
示半径，
l
表示弧长，
S
表示扇形面积，
?
表示圆心角的弧度数）（
??2?
）
（师生共同回忆初中扇形的弧长与面积公式，学生尝试推导弧度制下的公式过程）
l
解：弧长公式：由公式
|
?
|?
可得：
l?
?
r< br>.
r
扇形面积公式：
S?
?
2?
??r
2
?
1
?r
2
（用弧长表示扇形面积）
2
1
又因为
l?
?
r
，所以有
S?lr
（用圆心角的弧度数表 示扇形面积）
2
【设计意图】通过对比让学生发现：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式< br>简单了，这也是引入弧度制的好处.
3.师生总结：回过头来再去看问题情境2：通过弧度制的 学习，可以将角转化
成实数，它不再是三角比，它就是真正意义上的三角函数.
追问学生：我们后面将要研究什么？
【设计意图】前后呼应，再一次让学生体会到引入弧度制 的必要性，为我们
今后学习三角函数奠定了基础.
五、课堂小结：
l
(1 )1弧度的角，弧度制定义，任意角的弧度数公式
|
?
|?
；
r
(2)弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系；
(3)角度制与弧度制是度量角的两种单位制，它们之间可以进行换算；
(4)掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.
六、课后作业：
课本第9页练习1到6题
七、板书设计：

弧度制
一、1弧度的角定义
5

四、弧度制下扇形的弧

二、弧度数公式
|
?
|?
l

r
长与面积公式
l?
?
r

S?
11
?r
2
?lr

22
三、角度与 弧度换算
360
?
?2?rad
，
180
?
??r ad

1??
?
rad
?0.01745
rad
180
180
1rad
?()??57.30?

?

八、教学设计说明
通过通过时政话题创设教学情境，极大地调动了学生 的关注度，积极性，拉
近与学生的距离，运用几何画板课件动态演示作图过程，实施信息技术与学科课< br>程整合教学设计，引发学生学习兴趣，从而较好地完成教学任务.几何画板动态效
果的展示形成对 视觉的强刺激，把通常惯用的语言描述生动形象地刻画出来，促
进学生对重点难点知识的理解掌握． < br>建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授获得的，而是学习者在一定
的情境即社会文化背景 下，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得
的．本课教学设计重点是学习环境的设计，强调学 生自主学习．关注学生的学习
兴趣和经验，引导学生主动参与、乐于探究、培养学生处理信息的能力． 本节课
的设计思想中体现着由特殊到一般，由具体到抽象的化归思想．
本节本人遵循由浅入深 ，循序渐进的原则，从学生熟悉的基本单位入手，体
会不同的单位制能给解决问题带来方便引导学生去思 考，寻找另一种度量角的单
位制. 经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手， 更利
于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊
到一般的思 想.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方
法，提高解决问题的能力 . 使 学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者
虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一 步加强对辩证统一思想的
理解，欣赏数学之美.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何 新
知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.同时，
6

本课的教材也是培养学生逻辑思维能力、观察、分析、归纳等数学能力的重要素
材．


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