高中高考数学所有二级结论《完整版》87192

高中数学二级结论
1、任意的简单
n
面体内切球半径为
简单
n
面体的表面积)
2、在任意
△ABC
内，都有t
a
n
A
+t
a
n
B
+t
a
n
C
=t
a
n< br>A
·t
a
n
B
·t
a
n
C
3、若
a
是非零常数，若对于函数y＝f(
x
)定义域内的任一变量
x
点有下
3V
(
V
是简单
S
表
n
面体的体积，
S
表
是
列条件之一成立，则函数y＝f(
x
)是周期函数，且2|
a
|是它的一个周期。
①f(
x
＋
a
)＝f(
x
－
a
) ②f(
x
＋
a
)＝－f(
x
) ③f(
x
＋
a
)＝1f(
x
) ④f(
x
＋
a
)＝－1f(
x
)
4、若函数y＝ f(
x
)同时关于直线
x
＝
a
与
x
＝b轴 对称，则函数f(
x
)必
为周期函数，且T＝2|
a
－b| 5、若函数y＝f(
x
)同时关于点（
a
，0）与点（b，0）中心对称 ，则函数
f(
x
)必为周期函数，且T＝2|
a
－b|
6、若函数y＝f(
x
)既关于点（
a
，0）中心对称，又关于直线
x
＝b轴对
称，则函数f(
x
)必为周期函数，且T＝4|
a
－b|
7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的
2
倍
4
8 、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过
椭圆相应的焦点
9、导数题常用放缩
e
x
?x?1
、
??
文案大全
1
x
x?1
?lnx?x?1
、
e
x
?e x(x?1)

x

x2
y
2
10、椭圆
2
?
2
?1(a?0,b? 0)
的面积
ab
S
为
S?πab

11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导
推论：①过圆
(x?a)
2< br>?(y?b)
2
?r
2
上任意一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
(x
0
?a)(x?a)?(y0
?b)(y?b)?r
2

x
2
y
2
②过椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上任意一点
P( x
0
,y
0
)
的切线方程为
ab
xx
0< br>yy
0
??1

a
2
b
2
x
2
y
2
③过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0 )
上任意一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为ab
xx
0
yy
0
??1

a
2b
2
12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方
程叫 做曲线的切点弦方程
①
x
0
x?y
0
y?
圆x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的切点弦方程为
x< br>0
?xy?y
D?
0
E?F?0

22
x< br>2
y
2
xxyy
②椭圆
2
?
2
?1 (a?0,b?0)
的切点弦方程为
0
2
?
0
2
? 1

ab
ab
x
2
y
2
xxyy
③双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的切点弦方程为
0
2
?
0
2
?1

ab
ab
④抛物 线
y
2
?2px(p?0)
的切点弦方程为
y
0
y ?p(x
0
?x)

⑤
文案大全

方程为二次曲线的切点弦

Ax0
x?B
x
0
y?y
0
xx?xy?y
?Cy
0
y?D
0
?E
0
?F?0

222x
2
y
2
13、①椭圆
2
?
2
?1( a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0(A·B?0)
相切的条件是
a b
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C2

x
2
y
2
②双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0(A·B?0)
相切的 条件是
ab
|A
2
a
2
-B
2
b
2
|=C
2

14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为< br>x
0
的点
P
的
距离)公式
r
1,2
?a?ex
0
（左加右减）

15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标 为
x
的点P到焦点的距离)公式，
且F
1
为左焦点，F
2< br>为右焦点，e为双曲线的离心率。
│PF
1
│=|
a
+e
x
| ，│PF
2
│=|
a
-e
x
|（对任意
x
而言，左加右减）
16、任意满足
ax
n
?by
n
?r
的二次方程，过函数上 一点
(x
1
,y
1
)
的切线方程为
ax
1
x
n?1
?by
1
y
n?1
?r

17、平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和
18、在锐角三角形中
sin A?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

19、y=kx+m
2mb
2

a
2
k
2
?b
2
x
2
y
2
与椭圆
2
?2
?1(a?b?0)
相交于两点，则纵坐标之和为
ab
20、圆锥曲线 的第二定义：
文案大全

椭圆的 第二定义：平面上到定点
F
距离与到定直线间距离之比为常数
e
(即椭圆的偏 心率，
e?
c
)的点的集合(定点
F
不在定直线上，该常数为小于< br>a
1的正数)
双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为< br>常数的点的轨迹称为双曲线
21、到角公式：若把直线
l
1
依逆时针 方向旋转到与
l
2
第一次重合时所转
的角是
?
，则
tan
θ=
k
2
?k
1

1?k
1
?k
2
x
2
y
2
22、过双曲线
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
上任意一点作两条渐近线的平行线，
ab
与 渐近线围成的四边形面积为
ab

2
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上 不与左右顶点重合的任一点
a
2
构成的直线斜率乘积为定值
?
2(a?b?0)
b

23、抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦
点弦
24、双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值
a
(长半轴长)
推论 ：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘
a
2
积为定值
?
2
(a?b?0)

b
25、面积射影定理：如图，设平面α
外的△
ABC
在平面
α
内的射影为△
ABO
，
文案大全

分别记△
A BC
的面积和△
ABO
的面积为
S
和
S′
，记△< br>ABC
所在平面和平面
α
所成的二面角为
θ
，则cos
θ
=
S′
:
S


26、角平分线定理：三角 形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与
这个角的两边对应成比例
角平分线定理逆定理： 如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条
线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角 顶点的连线是三角
形的一条角平分线
27、数列不动点：
定义：方程
f(x)?x
的根称为函数
f(x)
的不动点
利用递推数列
f(x)
的不动点，可将某些递推关系
a
n
?f(a< br>n?1
)
所确定的数
列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点 法
定理1：若
f(x)?ax?b(a?0,a?1),
p
是
f( x)
的不动点，
a
n
满足递推关系
a
n
?f(a< br>n?1
),(n?1)
，则
a
n
?p?a(a
n?1
?p)
，即
{a
n
?p}
是公比为
a
的等 比数列.
定理2：设
f(x)?
ax?b
(c?0,ad?bc?0)，
{a
n
}
满足递推关系
cx?d
a
n
?f(a
n?1
),n?1
，初值条件
a
1
?f(a1
)

文案大全

(1)
(2)
若
f(x)
有两个相异的不动点
p,q
，
a
n
?pa
n?1
?p
a?pc
?k?
则 （这里
k?
）
a
n
?qa
n?1
?q
a ?qc
(2)若
f(x)
只有唯一不动点
p
，则
11
2c
??k
（这里
k?
）
a
n
?pa< br>n?1
?p
a?d
28、三余弦定理：设
A
为面上一点，过< br>A
的斜线
AO
在面上的射影为
AB
，
AC
为 面上的一条直线，那么∠
OAC
,∠
BAC
,∠
OAB
三角 的余弦关系为：cos∠
OAC=
cos∠
BAC
·cos∠
OAB
(∠
BAC
和∠
OAB
只能是锐角)
29、在Rt△
ABC
中，
C
为直角，
内角
A< br>，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，
则△
ABC
的内切圆半径为
a?b?c
2

30、 立方差公式：
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?a b?b
2
)
立方和公式：
a
3
?b
3
?( a?b)(a
2
?ab?b
2
)

31、向量与三角形四心 ：在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边 分别是
a
，
b
，
c

(1)
OA?OB?OC?0?
O
是
?ABC
的重心 (2)
OA?OB?OB?OC?OC?OA?
O
为
?ABC
的 垂心
(3)
aOA?bOB?cOC?0?O
为
?ABC
的内心
(4)
OA?OB?OC
?
O
为
?ABC
的外心
32、正弦平方差公式：
sin
2
?
?sin
2
?
?sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?)

文案大全

33 、对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为
定值，则两交点连线所在直线过定点
34、点(
x
,
y
)关于直线
2A(Ax?By?C)2B (Ax?By?C)
??
,y?
?
x?
?

222 2
A?BA?B
??
Ax
+
B
y+
C
=0 的对称点坐标为
35、
?
a
n
?
为公差为
d
的等差数列，
?
b
n
?
为公比为
q
的等比数列， 若数列
?
c
n
?
c
n?1
?q
2
c
n
?c
1
满足
c
n
?a
n
?b
n
，则数列
?
c
n
?
的前
n
项和
S
n
为
S
n
?

(q?1)
2< br>（错位相减法）
36、若圆的直径端点
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则圆的方程为
?
x?x
1
??
x?x
2
??
?
y?y
1
??
y?y
2
?
?0< br>
37、过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于
A
、
B< br>两点，
则直线
AB
的斜率为定值
38、二项式定理的计算中不定系数 变为定系数的公式：
kC
n
k
?nC
n
k
?
?
1
1

39、三角形五心：
(1)三角形的重心：中线的交点 （1、重心到顶点的距离与重心到对边中
点的距离之比为2︰1。2、在平面直角坐标系中，重心的坐标 是顶点坐标的
算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）3，（Y1+Y2+Y3）3。3、 以
重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。）
(2)三角形的垂心：高线的交点
(3)三角形的外心：中垂线的交点(外接圆圆心，正弦定理求外接圆半径）
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(5)三角形的内心：角平分线交点（内切圆圆心，面积法求内切圆半径）
a
2?b
2
?c
2
40、在△
ABC
中，角
A，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，< br>c
，则
AB?AC?

2
41、洛必达法则：若函数
，
42、圆锥曲线弦长公式
d =
=
=

43、抛物线焦点弦长公式：

=
=
；则
和

满足：

d
=2p
x
，过焦点直线 交抛物线于A(
x
1,y1）和B(
x
2,y2）两点，则AB
弦长 ：d=p+
x
1+
x
2
44、三垂线定理：平面内搭一条直线，如 果和这个平面的一条斜线的射
影垂直，那么它也就和这条斜线垂直。由于定理中涉及三条与平面内已知直
线有垂直关系的直线（如图，PA⊥
a
，PB⊥
a
，AB⊥
a
），故称为三垂线定理。

45、向量法解立体几何公式总结
文案大全

一、 基本知识点 < br>直线
l,m
的方向向量分别为
a,b
，平面
?
,?
的法向量分别为
n
1
,n
2
（若只涉及一个
平面
?
，则用
n
表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在 面
内的情况。

3、夹角问题
1）异面直线
AB,CD
所成的角
AB
?
（范围：
C
D
0?
?
?
?
2
）
uuuu vuuuv
uuuruuur
AB?CD
cos
?
?cos?AB, CD??
uuuvuuuv


2）线面角
?
（范围：
0?
?
?
?
2
），
sin
?
?cos? a,n??
a?n
a?n

?
?
?
2
?? a,n?
?
??a,n??
?
2

3）二面角
?
（范围：
0?
?
?
?
） < br>?
?
?
??n
1
,n
2
?
uvuu v
n
1
?n
2
cos
?
??
uvuuv< br>n
1
?n
2
文案大全
?
??n
1
,n
2
?
uvuuv
n
1
?n
2
cos< br>?
?
uvuuv
n
1
?n
2

4、距离问题
1）点
A
到点
B
的距离：
AB?(x
A
?x
B
) ?(y
A
?y
B
)?(z
A
?z
B
)
2）点
A
到线
l
的距离
d

在直线
l
上任取点
B

222
cos
?< br>?cos?AB,a??
AB?a
AB?a
，
sin
?< br>?1?cos
2
?
，
?
d?AB?sin
?

3）点
A
到面
?
的距离
d

在平面
?
上任取点
B

cos
?
?cos?AB,n??
AB?n
AB?n
d?AB?cos
?
?AB?
AB?n
AB?n
?
AB ?n
n

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