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北京市西城区教辅资料-学习探究诊断-高中数学导数全章练习-含详细答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 12:39
tags:高中数学教辅

全国高中数学联合竞赛查询网站-高途课堂高中数学考点全解

2020年9月22日发(作者:冷茂弘)


北京市西城区学习探究诊断高中数学
全本练习册及参考答案

第三章 导 数
测试十一 导 数
Ⅰ 学习目标

1.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义.
2.能根据导数定义求函数y=C,y =x,y=x
2

y?
1
的导数.
x
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1.在导数的定义中,自变量x在x
0
处的增量?x的取值是( )
(A)?x>0 (B)?x<0 (C)?x=0 (D)?x≠0
2.质点运动规律s= t
2
+3,则在时间(3,3+?t)中,相应的平均速度等于( )
(A)6+?t (B)
6??t?
9

?t
(C)3+?t (D)9+?t
3.在曲线y=x
2
+1的 图象上取一点(1,2)及附近一点(1+?x,2+?y),则
(A)
?x?
1?2

?x
?y
为( )
?x
1

?x
(B)
?x?
1
?2

?x
x?0
(C)?x+2 (D)
2??x?
4.设函数f(x) 为可导函数,且满足
lim
(1,f(1))处的切线斜率为( )
(A)2 (B)-1
f(1)?f(1?2x)
??1
,则过曲线y=f(x)上点
2x
(C)1 (D)-2
5.下列函数中满足f(x)=
f
?
(x)的函数是( )
(A)f(x)=1
二、填空题
6.对于函数f(x),我们把式子
f( x
2
)?f(x
1
)
称为函数f(x)从x
1
到x
2
的______.即,如果自变量x在
x
2
?x
1
(B)f(x)=x (C)f(x)=0 (D)f(x)=2x
x
0
处有增量 ?x,那么函数f(x)相应的有增量f(x
0
+?x)-f(x
0
),比值 ______就叫做函数在x
0
到x
+?x之间的______.
函数y= f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是______,我们称它为函数y=f(x)在x=x< br>0
处的______,记
作______,即
f
?
(x
0
)=______.函数f(x)的导数
f
?
(x)就是x的一个函数, 我们称它为f(x)的
1


______,简称
7.导数的几何意 义:函数y=f(x)在点x
0
处的导数
f
?
(x
0
)就是曲线y=f(x)在点(x
0
,f(x
0
))处切线的
__ ____,即斜率k=______.
8.导数的物理意义:函数s=s(t)在点t
0处的导数____________,就是当物体运动方程为s=s(t)时,
物体运动在时刻t< br>0
时的瞬时速度v
0
,即v
0
=s′(t
0
).
9.一物体的运动方程为s=,当t=3时物体的瞬时速度为______.
10.如 图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),
则f(f(0))=______;函数f(x)在x=1处的导数
f
?
(1 )=______.
1
t

三、解答题
11.利用导数定义求函数y=x
2
+ax+b的导数.

12.设质点做直线运动,已知路程s是时间t的函数,s=3t
2
+2t+1. < br>(1)求从t=2到t=2+?t的平均速度,并求当?x=1,?x=0.1与?x=0.01时的平均 速度;
(2)求当t=2时的瞬时速度.



13.求函数
f(x)?



14.已知曲线y=x+< br>1
2
x
的导数
f
?
(x),并求出
f
?
(-1)及函数y=f(x)在P(2,1)处切线的方程.
4
15
上一点A(2,).
x2
(1)求曲线在A点处的斜率;
(2)求曲线在A点处切线的方程.

2


测试十二 导数的运算A
Ⅰ 学习目标

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1.设质点的运动方程为
s(t)?2t?
1
4
t
4
,则质点当t=1时的瞬时速度v(1)=( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.设函数f(x)=sinx,则
f'(
π
6
)
等于( )
(A)0 (B)
3
2
(C)
2
2
(D)
1
2

3.曲线y=x
3
+x
2
+1在点P(-1,1)处切线的斜率为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.设f(x)=ax
3
+ 3x
2
+2,若
f
?
(-1)=4,则a的值等于( )
(A)
19
3
(B)
16
3
(C)
13
3
(D)
10
3

5.若对任意的x ,有
f
?
(x)=4x
3
,f(1)=-1,则此函数的解析式为( )
(A)f(x)=x
4
(B)f(x)=4x
3
-5 (C)f(x)=x
3
(D)f(x)=x
4
-2
6.设f0
(x)=sinx,f
1
(x)=
f
0
'
( x),f
2
(x)=
f
?
1
(x),…,f
n
1
(x)=
f
?
n
(x),n∈N,则f
2 005
(x)等于( )
(A)sinx (B)-sinx (C)cosx (D)-cosx
二、解答题
7.求下列函数的导数.
(1)y=x
4
-3x
2
-5x+6 (2)y=x
2
+cosx



(3)
y?
1
x
2
(4)y=xe
x



3



(5)
y?x?
1
x





(7)y=(2x
2
+3)(3x-1)



(9)
y?x?sin
x
2
cos
x
2




(11)
y?
sinx
x

(6)y=xsinx
(8)
y?(x?2)
2
(10)
y?
x?1
x?1

(12)
y?(x?1)(
1
x
?1)

4


测试十三 导数的运算B
Ⅰ 学习目标

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1.设函数
y?
(A)-x
1
,则
y
?
等于( )
x
1
(B)
?
2

x
(C)
?
1

x
(D)-1
2.设函数y=lgx,则
y
?
等于( )
1
1
(C)
lge

x
x
π
3. 设函数f(x)=cosx,则
(f())
?
等于( )
2
(A)(B)
lg10

(A)0 (B)1 (C)-1
1

x
(D)
loga
x

1
x
(D)不存在
4.曲线y=x
2
在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为( )
3939
(D)
(?,)

2424
π
5.在函数 y=x
3
-8x的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数为( )
4
(A)(3,9) (B)(-3,9) (C)
(,)

(A)3
二、填空题
6.y=a
0
+a
1
x+ a
2
x
2
+…+a
n
x
n
(a
0
,a
1
,a
2
,…,a
n
∈R)的导数是____ __.
(B)2 (C)1 (D)0
1
在点P(1,-1)处的切线的斜率为______.
3
x
π< br>8.曲线y=cosx在点
P(,
3
)
处的切线方程为_______ _____.
6
2
7.曲线
y??
9.过原点作曲线y=e
x
的切线,则切线的斜率为______,切点坐标为______.
10.曲线y=2x
3
-3x
2
的切线中,斜率最小的切线方程为____________.
三、解答题
11.求曲线y=2x
2
-1的斜率等于4的切线方程.



12.已知函数f(x)=2x
3
+ax与g(x) =bx
2
+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公共切线,求f(x),
5


g(x)的表达式.



13.已知直线l1
为曲线y=x
2
+x-2在点(1,0)处的切线,l
2
为该 曲线的另一条切线,且l
1
⊥l
2

(1)求直线l
2
的方程;
(2)求由直线l
1
,l
2
和x轴所围成的三角形的面积.



14.设直线l
1
与曲线
y?x
相 切于P,直线l
2
过P且垂直于l
1
,若l
2
交x轴于Q点 ,又作PK垂直于
x轴于K,求KQ的长.
6


测试十四 利用导数研究函数的单调性
Ⅰ 学习目标

了解函数单调性和导数的关系;能利用 导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多项式
函数一般不超过三次).
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1.函数f(x)在区间

上可导,f
?
(x)>0是f(x)为增函数的( )
(A)充分非必要条件
(C)充要条件
(B)必要非充分条件
(D)既不充分也不必要条件
2.若函数f(x)=x
a
在区间(0,+∞)上是增函数,则
??
的取值应 为( )
(A)
??
>0 (B)
??
<0 (C)
??
>-1 (D)
??
<-1
3.函数y=3x-x
3
的单调增区间是( )
(A)(0,+∞)
4.设
f(x)?x?
(B)(-∞,-1) (C)(-1,1) (D)(1,+∞)
2
(x?0)
,则f(x)的单调增区间是( )
x
(B)(-2,0) (C)
(??,?2)
(D)
(?2,0)
(A)(-∞,-2)
5.函数f(x)=xlnx,x∈(0,1),下列判断正确的是( )
(A)f(x)在(0,1)上是增函数
(B)f(x)在(0,1)上是减函数
1
1
)
上是减函数,在
(,1)
上是增函数
e< br>e
11
(D)f(x)在
(0,)
上是增函数,在
(,1)< br>上是减函数
ee
(C)f(x)在
(0,
二、填空题
6.函数y=x
3
的单调增区间是______.
7.函数y=x-ln(1+x)的递增区间是______;递减区间是______.
8.函数
f(x)?
三、解答题
9.已知函数y=x
3
+ 3x
2
+6x-10,点P(x,y)在该曲线上移动,过P的切线设为l.
(1)求证:此函数在R上单调递增;(2)求l的斜率的范围.

7
x
?sinx
的递增区间是______;递减区间是______.
2




10.求函数f(x)=x
2
e
x
的单调区间.


11.当x>1时,证明不等式x>ln(1+x).


12.求函数
y?


1
x?ln(1?x)?1
的单调区间.
2
Ⅲ 拓展性训练

13.已知函数f(x)=x
3
-ax-1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说
明理由.
(3)证明函数f(x)=x
3
-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
8


测试十五 函数的极值
Ⅰ 学习目标

了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式
函数一般 不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次).
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1.下列判断中不正确的个数有( )
①函数f(x)在整个定义域内可能有多个极大值或极小值
②若x
0
是可导 函数f(x)的极值点,则
f
?
(x
0
)=0
③对可导函 数f(x),若
f
?
(x
0
)=0,则x
0
是函数 f(x)的极值点
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
2.函数y=f(x )是可导函数,则“
f
?
(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的( )
(A)充分不必要条件
(C)充分必要条件
(B)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
3.函数y=1+3x-x
3
有( )
(A)极小值-1,极大值1
(C)极小值-2,极大值2
(B)极小值-2,极大值3
(D)极小值-1,极大值3
4.关于函数y=(x
2
-1)
2
+1的极值点下列叙述正确的是( )
(A)极大值点x=-1
(C)极小值点x=0
5.设
f(x)?x?
(A)-2,2
二、填空题
6.数y=sinx的极值点的集合是____________.
7.函数y=e
x
-x有极______值,其值的大小等于______.
8.已知函数y=ax
3
+cx(a≠0),当x=1时,f(x)取得极值-2,那么a= ______,c=______.
9.函数f(x)=2x
3
-6x
2< br>+a的极大值是6,则a=______.
10.已知函数
f(x)?
?sinx?sin3x
,在
x?

(B)极大值点x=0
(D)极大值点x=1
4
,则f(x)的极大值点和极小值点分别为( )
x
(B)2,-2 (C)5,-3 (D)-3,5
1
3
π
处取得极值,则
?
=______.
3
9


三、解答题
11.求函数f(x)=6+12x-x
3
的极值.



12.求函数y=x-lnx的极值.



13.设f(x)为三次函数,其图像关于原点对称,当
x?



1
时f(x)的极小值为-1,求函数f(x)的解析式.
2
Ⅲ 拓展性训练

14.已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+ cx在点x
0
处取得极大值5,其导函数y=
f
?
(x)的图象经过 点(1,0),
(2,0),如图所示.
求:(1)x
0
的值;(2)a,b,c的值.

10


测试十六 函数的最值
Ⅰ 学习目标

了解函数在某点 取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式
函数一般不超过三次); 会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次).
Ⅱ 基础性训练

一、选择题
1.下列命题中真命题是( )
(A)函数的最大值一定是函数的极大值
(B)函数的极大值可能会小于这个函数的极小值
(C)函数在某一个闭区间上的极小值就是函数在这一区间上的最小值
(D)函数在开区间内不存在最大最小值
2.函数y=x
2
-4x+1在[0,5]上的最大值和最小值分别是( )
(A)6,-3 (B)6,1 (C)1,-3 (D)5,0
3.如下图所示,函数f(x)的导函数图象是一条直线l,则( )

(A)函数f(x)没有最大值也没有最小值
(B)函数f(x)有最大值,没有最小值
(C)函数f(x)没有最大值,有最小值
(D)函数f(x)有最大值也有最小值
4.函数f(x)=x+2cosx在
[0,]
取最大值时的x值为( )
(A)0
5.函数
y?x
3
?
(A)4
二、填空题
6.设函数f(x)在区间[a,b]满足
f
?
(x) >0,则函数f(x)在[a,b]的最小值为______,最大值为______.
11
π
2
π
(B)
6
(C)
π

3
(D)
π

2
3
在(0,+∞)上的最小值是( )
x
(B)5 (C)3 (D)1


1
3
12
x?x?x
,x∈[0,1]的最大最小值分别为______.
32
ππ
8.函数f(x)=sinx+cosx在
[?,]
上的最大值是______ ,最小值是______.
22
7.函数
y?
9.正三棱柱的体积是V,当 其表面积最小时,底面边长a=______.
10.函数f(x)=x-lnx+a(a∈R)在定 义域内值恒大于零,则a的取值范围是______.
三、解答题
11.求函数y=x
3
-3x,x∈[0,2]的最大最小值.



12.求函数y=xlnx,x∈(0,5)的最小值.



13.用总长14.8 m的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5
m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.



14.已知函数f(x)=-x
3
+3x
2
+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
12


测试十七 数学选修1-1自我测试题A
一、选择题
1.下列命题中真命题的个数是( )

?
x∈R,使得lgx<0;
②至少有一个数列,它既是等差数列又是等比数列;

?
x∈R,x
2
-3x+2=0.
(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个
x
2
2.椭圆
?y
2
?1
的长轴长为( )
4
(A)4 (B)2 (C)
3
(D)1
3.顶点在原点,准线方程为x=-2的抛物线方程为( )
(A)y=2x
2
(B)y
2
=2x (C)y
2
=8x (D)y
2
=4x
4.若函数f(x)=x< br>2
+bx+c的图象的顶点在第四象限,则其导函数
f
?
(x)的图象 可能是( )

5.抛物线y=x
2
的焦点坐标是( )
(A)(
1
,0)
2
(B)(1,0) (C)(0,
1
)
4
(D)(0,
1
)
26.在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x-2y=0,则< br>它的离心率为( )
(A)
5
(B)
?
5

2
(C)
3
(D)2
7.曲线y=e
x
在点( 2,e
2
)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
9
(A)
e
2

4
(B)2e
2
(C)e
2
e
2
(D)
2
x
2
y
2
8.设双曲线以椭圆
??1
长轴的两个端点为焦点,且双曲 线上一点到其两焦点的距离之差为
259
25
,则双曲线的渐近线的斜率为( )
(A)±2
二、填空题
13
(B)
?
4

3
(C)
?
1

2
(D)
?
3

4


9.曲线y=s inx在
(,
π
3
3
)
处的切线的斜率为______.
2
10.焦点在x轴上,短轴长为
23
,离心率
e?
11.
f
?
(x)是
f(x)?
1
的椭圆的标准方程为_____ _______.
2
1
3
x?2x?1
的导函数,则
f< br>?
(-1)的值是______.
3
12.函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是____________.
13.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件
|PM|?|PN|?22,则动点P的轨迹方程为
______.
y
2
14.设P为双曲线x??1
上的一点,F
1
,F
2
是该双曲线的左右焦点,若|P F
1
|∶|PF
2
|=3∶2,
12
2
则△PF< br>1
F
2
的面积为______.
三、解答题
15.已知f (x)=x
3
+3ax
2
+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,求a 的取值范围.



x
2
y
2
1
16.设b>0,椭圆方程为
2
?
2
?1
,抛物线方程为
y?x
2
?b
.如图所示,过点F(0,b+2)作
2bb
8
x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点
F
1
.求满足条件的椭圆方程和抛物线方程.




1 7.已知O为坐标原点,点F的坐标为(1,0),点P是直线m:x=-1上一动点(不在x轴上),点
M为PF的中点,点Q满足QM⊥PF,且QP⊥m.
(1)求点Q的轨迹C的方程;
( 2)若直线x=a(a>0)与曲线C相交于点A,B,若△OAB为等边三角形,求△OAB的面积.

14




18.已知函数f(x)=4x3
-3x,x∈[-1,1],求证:对任意x∈[-1,1]恒有|f(x)|≤1.



x
2
a
2
2
19.已知椭圆
2
?y?1(a?0)
,右焦点为F(c,0),直线
l:?
c
与x 轴相交于点E,
FE?OF

a
过点F的直线与椭圆相交于A,B两点,点C ,D在l上,且AD∥BC∥x轴.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)当
|BC|?



20.设a∈R,函数f(x)=3x
3
-4x+a+1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈[-2,0],不等式f(x)≤0恒成立,求a的最大值;
(3)若方程f(x)=0存在三个相异的实数根,求a的取值范围.
1
|AD|
时,求直线AB的方程.
3
15


测试十八 数学选修1-1自我测试题B
一、选择题
1.曲线y=x
2
在点(1,1)处切线的斜率为( )
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
2.下列命题中真命题的个数是( )

?
x∈R,x
2
-4x+4>0
②若“
?
p∧
?
q”为假命题,则“p∨q”为真命题
③“若x=2,则x
2
=4”的否命题
④已知a>b,
?
c∈R,ac>bc
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
1
x
2
3.已知曲线
y?
的一条 切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
4
2
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )
(A)
2
1
3
(B)
3

3
(C)
1

2
(D)
3

2
y
2
5.双曲线
x??1
的渐近线方程是( )
4
1
(A)y=±4x (B)
y??x
(C)y=±2x
4
π
6.若
0?x?
,则下列命题正确的是( )
2
223
(A)
sinx?x
(B)
sinx?x
(C)
sinx?x

πππ
(D)
y??
1
x

2
(D)
sinx?
3
x

π
7.已知对任意实数x,有f( -x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,
f
?
(x)>0,
g
?
(x)>0,则x
<0时( )
(A)
f
?
(x)>0,
g
?
(x)>0
(C)
f
?
(x)<0,
g
?
(x)>0
2
(B)
f
?
(x)>0,
g
?
(x)<0
(D)
f
?
(x)<0,
g
?
(x)<0
y
2
8.过双曲线
M:x?
2
?1
的左顶点A作斜率为1 的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线相交于B、
b
C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率为( )
(A)

1

2
(B)
3
(C)
5

16
(D)
10


二、填空题
x
2
y
2
9.双曲线
2
??1(a?0)
的一条渐近线方程为3x-2y= 0,则a=______.
9
a
10.函数y=x
2
-4x+1在 [0,5]上的最大值与最小值之和等于______.
x
2
y
2
11.已知双曲线则以双曲线中心为顶点,以双曲线左焦点为焦点的抛物线方程为______.
?? 1

5
4
1
x
2
y
2
12.椭圆
m
??1
的离心率为,则m=______.
6
2
13. 已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是
y?
1

x?2
,则f(1)+
f
?
(1)=______.
2
x
2
y
2
14.已知双曲线
2
?
2
?1(a ?0,b?0)
的左右焦点分别为F
1
,F
2
,点P在双曲线的右支 上,|PF
1
|
ab
=4|PF
2
|,则此双曲线的离心率 e的最大值是______.
三、解答题
15.求y=x-e
x
在R上的最大值.




16.已知函数
f(x)?
1
3
x?m
2
x(m? 0)

3
2
时,求m的取值范围.
3
(1)当f(x)在x=1处取得极值时,求函数f(x)的解析式;
(2)当f(x)的极大值不小于




x
2< br>17.设椭圆
?y
2
?1
的两个焦点是F
1
(-c, 0)与F
2
(c,0)(c>0),且椭圆上存在一点P,使得直
m?1
线P F
1
与PF
2
垂直.求实数m的取值范围.




17


x
2
y
2
18.双曲线
2
?
2
?1(a?1,b?0)
的焦点间距离为2c,直线l过点( a,0)和(0,b),且点(1,0)到
ab
4
直线l的距离与点(-1,0)到直 线l的距离之和
s?c
.求双曲线的离心率e的取值范围.
5





19.已知函数f(x)=x
3
+ax+b的图象是 曲线C,直线y=kx+1与曲线C相切于点(1,3).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的递增区间;
(3)求函数F(x)=f(x)-2x-3在区间[0,2]上的最大值和最小值.





20.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0), 点P、Q在双曲线的右支上,M(m,0)到直线AP
的距离为1.
(1)若直线AP的斜率 为k,且
|k|?[
(2)当
m?
3
,3]
,求实数m的取 值范围;
3
2?1
时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.
18


北京市西城区学习探究诊断高中数学
全本练习册及参考答案

第三章 导 数
测试十一
一、选择题
1.D 2.A 3.C 4.B 5.C
二、填空题
f(x
0
??x)?f(x
0)f(x
0
??x)?f(x
0
)
,平均变化率;
li m
,导数,
f
?
(x
0
),
?x?0
?x ?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
;导函数,导数; < br>lim
?x?0
?x
1
7.斜率,
f
?
(x
0
) 8.s=
s
?
(t
0
) 9.
?
10.2,-2.
9
6.平均变化率,
三、解答题 < br>11.解:?y=(x+?x)
2
+a(x+?x)+b-(x
2
+a x+b)=?x
2
+a?x+2x?x,
y'?lim
?y
?lim (?x?a?2x)?2x?a
.
?x
?x?0
?y
??x?a?2x

?x
?x ?
0
12.解:(1)?y=3(2+?x)
2
+2(2+?x)+1-(3 ×2
2
+2×2+1)=14?x+3?x
2

平均速度
v?
?y
?14?3?x

?x
当?x =1时,
v
=17;当?x=0.1时,
v
=14.3;当?x=0.01时 ,
v
=14.03.
(2)当t=2时的瞬时速度
v?lim?
? x?0
?y
?x
?x?0
lim(14?3?x)?14

13.解:
?y?
所以
lim
1111
(x??x)
2< br>??x
2
?x?x??x
2

4424
?y111 1
?lim(x??x)?x
,所以
f'(x)?x
.
?x?0< br>?x
?x?0
2422
1
所以
f'(?1)??

2
当x=2时,
f
?
(2)=1,所以在P(2,1)处切线斜率为 1,
所以所求切线方程为x-y-1=0.
14.解:(1)曲线在A点处的斜率
k
A
?lim
?x?0
f(2??x)?f(2)

?x
?y?f(2??x)?f(2)?2??x?

11?x
?(2?)??x?

2??x22(2??x)
19


?x?0
lim
f(2??x)?f(2)13
?lim(1 ?)?

?x?0
?x2(2??x)4
3
.
4
53
(2)曲线在A点处的方程为
y??(x?2)
,即3x-4y+4=0.
24
所以曲线在A点处的斜率为
一、选择题
1.C 2.B 3.A 4.D 5.D
二、解答题
7.(1)
y
?
=4x
3
-6x-5;
(2)
y
?
=2x-sinx;
(3)
y???
2
x
3

(4)
y
?

e
x
(x+1);
(5)
y??1?
1
x
2

(6)
y
?
=sinx+xcosx;
(7)
y
?
=18x
2
-4x+9;
(8)
y??1?
2
x

(9)
y??1?
1
2
cosx

(10)
y??
2
(1?x)
2

(11)
y??
xcosx?sinx
x
2

(12)
y???
1?x
2xx
.
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.D

测试十二
6.C
测试十三
20


二、填空题
6.y=a
1
+2a
2
x+3a
3
x
2
+…+na
n
x
n

1
7.3
8.
6x?12y?63?π?0
9.e,(1,e) 10.6x+4y-1=0.
三、解答题
11.解:设切点坐标P(x
0
,y
0
),则
y
?
=4x,
所以
y'|
x?x
0
=4x
0
,又由已知
y'|
x?x
0=4,所以4x
0
=4,x
0
=1,
此时y
0
=1,即切点坐标为(1,1),切线的斜率为4,
所以,所求切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.
12.解:两个函数的 图象都过点P(2,0),所以2×2
3
+2a=0,2
2
×b+c=0,
即a=-8,4b+c=0,

f
?
(x)=6x
2+a,
g
?
(x)=2bx,由已知
f
?
(2)=g
?
(2),
所以24+a=4b,
结合前面的方程,解得b=4,c=-16.
所以f(x)=2x
3
-8x,g(x)=4x
2
-16.
13.解:(1)由已知
y
?
=2x+1,
k
l
1

y
?
|
x

1
=3,
所以,l
1
:y=3x-3,
设l
2
与曲线切于点B(m ,m
2
+m-2),则
k
l
2

y
?|
x

m
=2m+1,
2

3
2 20122
所以
B(?,?)
,直线l
2
的方程为
y??x ?
.
3939
因为l
1
⊥l
2
,所以
2 m?1??,m??
1
3
?
y?3x?3,
15
?
(2)解
?
,得直线l、l的交点坐标为
(,?)

12
122
62
y??x?
?
39
?
22
,0)

3
1225125
?1|?|?|?
所以,所求三角形的面积
S??|?
.
23212
直线l
1
、l
2
与x轴 的交点坐标分别为(1,0),
(?
14.解:设P(x
0
,y
0< br>),则
y
0
?
由已知
y??
x
0

1

2x
0
1
2x
,所以,过点P切线的斜率< br>k
l
1
?
21


因为直线l
2垂直于l
1
,所以
k
l
2
??2x
0
,又直线过点P,
所以,
l
2
:y?y
0
??2x
0
(x?x
0
)
,令y=0,将
y
0
?
易知x
K
=x
0

所以,
|KQ|?|x
K?x
Q
|?
x
0
代入,可得
x
Q
?x
0
?
1

2
1

2
测试十四
一、选择题
1.A 2.A 3.C 4.C 5.C
二、填空题
6.(-∞,+∞) 7.(0,+∞),(-1,0)
8.
(2kπ?
2π2π2π4π
,2kπ?)(k?Z),(2kπ?,2kπ?
)(
k?Z
)
.
3333
三、解答题
9.解:(1)由已知
y
?
=3x
2
+6x+6=3[(x+1)
2
+1]>0恒成立,
所以,函数在R上单调递增.
(2)由(1)知
y
?
=3x
2
+6x+6=3[(x+1)
2
+1]≥3,
所以,切线l斜率k的取值范围是k≥3.
10.解:
f
?
(x) =e
x
(2x+x
2
)=e
x
x(x+2),
当 x∈(-∞,-2)或x∈(0,+∞)时,
f
?
(x)>0;当x∈(-2,0)时 ,
f
?
(x)<0.
所以,f(x)的单调增区间是(-∞,-2)和(0,+∞),单调减区间是(-2,0).
11.证明:设f(x)=x-ln(1+x),x>0,则
f'(x)?1?
1x

?
1?x1?x
当x>0时,
f
?
(x)>0,∴f( x)在(0,+∞)上是增函数,又f(1)=1-ln2>1-lne=0,
∴x>1时,f(x)>0,即x>ln(1+x)(x>1).
12.解:定义域(-1, +∞),
y??

y
?
>0得x<-1或x>1,
又x∈(-1,+∞),所以函数y的递增区间是(1,+∞),

y
?
<0同样求得递减区间为(-1,1).
22
11x?1
??
.
21?x2(1?x)


13.解 :(1)由已知
f
?
(x)=3x
2
-a,

f
?
(x)=3x
2
-a≥0在R上恒成立,即a≤3x
2
在 R上恒成立,
可得a≤0.
当a<0时,
f
?
(x)>0,f(x)在实数集R上单调递增;
当a=0时,f(x)=x
3
-1,f(x)在实数集R上单调递增;
综上,若f(x)在实数集R上单调递增,实数a的取值范围为a≤0.
(2)令
f
?
(x)=3x
2
-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x
2
在(-1,1)上恒成立,
可得a≥3.
而当a>3或a=3时,
f
?
(x)<0,
所以存在实数a≥3,使得f(x)在(-1,1)上单调递减.
(3)注意到f(-1)= a-2<a,所以函数f(x)=x
3
-ax-1的图象不可能总在直线y=a
的上方.
测试十五 函数的极值
一、选择题
1.B 2.B 3.D 4.B 5.A
二、填空题
6.
{
x
0
|
x
0
?k
π
?
三、解答题
11.解:
y
?
=12-3x
2
=3(2+x)(2-x),令
f
?(x)=0,得x=2或x=-2,
当x变化时,
f
?
(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2)


-2
0
极小值
(-2,2)


2
0
极大值
(2,+∞)


π
,k?z}
7.小,1 8.1,-3 9.6 10.2
2
f
?
(x)
f(x)
因此,当x=2时,函数有极大值f(2)=22;
当x=-2时,函数有极小值f(-2)=-10.
12.解:函数的定义域为{x|x>0},
y??1?

1x?1
?
,令
y
?
=0,得x=1,
xx
23


当x变化时,
y
?
,y的变化情况如右表:
因此,当x=1时,函数有极小值f(1)=1.
x (0,1)


1
0
极小值
(1,+∞)


y
?

y
13.解:设f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0),因为图象关于原点对称,
故f(-x)=-f(x).
得-ax
3
+bx
2
-cx+d=-ax
3
-bx
2
-cx-d,
所以,-b=b,-d=d,故b=0,d=0.
所以, f(x)=ax
3
+cx.又
f
?
(x)=3ax
2
+c,
3
?
1
f'()?a?c?0
?
?
24
依题意有
?

11c
?
f()?a???1
?< br>82
?
2
解得a=4,c=-3,故所求函数的解析式为f(x)=4x
3
-3x.
14.解:法一:(1)由图象可知,在(-∞,1)上
f
?
(x)>0,在(1,2)上
f
?
(x)<0,在(2,+∞)上
f
?
(x)
>0.
故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减.
因此f(x)在x=1处取得极大值,所以x
0
=1.
(2)由已知
f
?
(x)=3ax
2
+2bx+c,由
f
?
( 1)=0,
f
?
(2)=0,f(1)=5,
?
3a?2b?c? 0
?

?
12a?4b?c?0
,解得a=2,b=-9,c=12 .
?
a?b?c?5
?
法二:(1)同解法一.
(2)设
f
?
(x)=m(x-1)(x-2)=mx
2
-3mx+2m,
所以
f
?
(x)=3ax
2
+2bx+c,
m3
,b??m,c?2m

32
m3
f(x)?x3
?mx
2
?2mx

32
m3
由f(1)=5,即
?m?2m?5
,得m=6,
32
所以
a?
24


所以a=2,b=-9,c=12.
测试十六
一、选择题
1.B 2.A 3.C 4.B 5.A
二、填空题
6.最小值为f(a),最大值为f(b) 7.
,0
8.
2,?1
9.
a?
3
4V

10.a>-1.
三、解答题
11.解:
y
?
=3x< br>2
-3=3(x+1)(x-1),解
y
?
=0,得x=1或x=-1 .
又,在区间(0,1)上
y
?
<0,在区间(1,2)上
y?
>0,
所以x=1是函数y=x
3
-3x的极小值点,
计算f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=2,
所以函数y=x
3
-3x,x∈[0,2]的最大、最小值分别为2和-2.
12.解:∵
y??lnx?x
?
5
6
1
?lnx?1< br>,
x
11
解lnx+1>0,得
x?
;解lnx+1<0, 得
x?

ee
注意到x∈(0,5),
1
e
1 111
所以当
x?
时,y=xlnx的最小值为
?
ln??

eeee
所以y=xlnx在区间
(0,)
上单调递减,在区间
(,5)
上单调递增.
1
e
13.解:设容积底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,
高为
1
[14.8-4x-4(x+0.5)]=(3.2-2x)m,由3.2-2x>0 ,得0<x<1.6.
4
设容积为ym
3
,则y=x(x+0.5)(3. 2-2x)=-2x
3
+2.2x
2
+1.6x(0<x<1.6). 所以,
y
?
=-6x
2
+4.4x+1.6,由
y?
=0及0<x<1.6,解得x=1.
在定义域(0,1.6)内只有x=1使
y
?
=0,因此,当x=1时,y取最大值.
所以,y
最大
=- 2+2.2+1.6=1.8m
3
,这时高为1.2m.
14.解:(1)
f
?
(x)=-3x
2
+6x+9,令
f
?
(x) <0,
解得x<-1或x>3.
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(3,+∞).
25


(2)由(1)知,在区间(-1,3)上,
f
?
(x)>0,
所以,函数f(x)在(-1,2]上单调递增,
在区间[-2,-1)上单调递减,
因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2),
所以,f(2),f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
所以a+22=20,a=-2.
f(-1)=1+3-9+a=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
测试十七
一、选择题
1.B 2.A 3.C 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A
二、填空题
x
2
y
2
1< br>1
x
2
y
2
9. 10.
??1
11.3 12.
[,??)
13.
??1(x?2)

22
43
e
2
14.12
提示:
|PF
1
|:|PF
2
|=3∶2且|PF
1
|-|PF
2|=2a=2,所以|PF
1
|=6,|PF
2
|=4,

|F
1
F
2
|?213

所以|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
=|F
1
F
2
|
2

S
?PF
1
F
2
?
三、解答题
15.解:由已知
f
?
(x)=3x< br>2
+6ax+3(a+2),
依题意,?=(6a)
2
-4×3×3 (a+2)=36a
2
-36(a+2)>0,
解得a>2或a<-1.
1
16.解:由y=x
2
+b,知y=b+2时,x=±4,所以G点的坐标为(4, b+2),
8
1
|PF
1
||PF
2
|?12< br>.

2
1
y
?

x

y< br>?
|
x

4
=1,
4
过点G的切线方程为y-(b+2)=x-4即y=x+b-2,
令y=0得x=2-b,
所以F
1
点的坐标为(2-b,0),由椭圆方程 得F
1
点的坐标为(b,0),
26


所以2-b=b,即b=1,
x
2
1
?y
2
?1

y?x
2
?1
. 所以椭圆和抛物线的方程分别为
2
8
17.解:(1)设点Q(x,y),由已知得点Q在FP的中垂线上,即|QP |=|QF|,
根据抛物线的定义知,动点Q在以F为焦点、以直线m为准线的抛物线上,
∴点Q的轨迹方程为y
2
=4x(x≠0).
?
y
2?4x
(2)
?
解得
A(a,2a),B(a,?2a)
, < br>?
x?a

k
OA
?
2a3
3
所以
a
?
,得a=12.
3
3
1
S
?OAB
??a?4a?483
2
18.证明:f(x)=4x
3
-3x.所以
f
?
( x)=12x
2
-3.
1

f
?
(x)=0,可得
x??

2
11
所以当
?1?x??
或<x<1时,
f
?
(x )>0,
2
2
11
当时
??x?

f
?
(x)<0,
22
11
11
函数f(x)的增区间为
(? 1,?),(,1)
,减区间为
(?,)

22
22
又f (-1)=-1,
f(?)?1,f(1)?1,f()??1

所以对任意x∈[-1,1],恒有-1≤f(x)≤1,
所以对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1.
1
2
1
2
x
2
19.解:(1)椭圆方程为:
2
?y
2
?1 (a?0)

a
a
2

FE?OF
,所以
c
?2c
,结合a
2
-c
2
=1,解得
a?2< br>,c=1.
c2
x
2
∴椭圆方程为:.
?y
2< br>?1
,离心率
e??
2
2
a
(2)由(1)知点F坐 标为(1,0),又直线AB的斜率存在,设AB的斜率为k,
则AB的方程为y=k(x-1).
?
x
2
?
?y
2
?1

?
2
得(1+2k
2
)x
2
-4k
2
x+2k2
-2=0(*)
?
?
y?k(x?1)
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1< br>,x
2
是(*)方程两根,且x
1
<x
2

27


2k
2
?2k
2
?22k
2
?2k
2
?2
,x
2
?

x
1
?

1?2k
2
1?2k
2
∵AD∥BC∥x轴 ,且
|BC|?
1
|AD|

3
2k
2
?2k
2
?212k
2
?2k
2
?2
a
2
1a
2
?(2?)
, ∴
c
?x
2
?(< br>c
?x
1
)

2?
1?2k
2
1? 2k
2
3
3
解得k=±1.
∴直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
20.解:(1)f(x)的导数< br>f
?
(x)=9x
2
-4.

f
?
(x)>0,解得
x?
2222
,或
x??
;令
f
?
(x)<0,解得
??x?

3333
22
从而f( x)的单调递增区间为
(??,?),(,??)

33
单调递减区间为
(?,)
.
(2)由f(x)≤0,得-a≥3x
3
-4x+1.
由(1)可知,函数 y=3x
3
-4x+1在
(?2,?)
内单调递增,

(?,0)
内单调递减,
从而当
x??
22
3 3
2
3
2
3
225
时,函数y=3x
3
- 4x+1取得最大值.
39
因为对于任意x∈[-2,0],不等式f(x)≤0恒成立,
2525
,即
a??
.
99
25
从而a的最大值是
?
.
9

? a?
(3)当x变化时,f(x),
f
?
(x)变化情况如下表:
x
(-∞,-


2
)
3

2

3
(-
22
,)
33

2

3
0
极小值a-
(
2
,+
?
)
3

f
?
(x)
f(x)
0
极大值a+
25

9

7

9

257
<0或极小值
a?
>0时,方程f(x)=0最多有一个实数根; < br>99
2524
②当
a??
时,解方程f(x)=0,得
x?? ,x?
,即方程f(x)=0只有两个相异的实数根;
933
724
③当< br>a?
时,解方程f(x)=0,得
x?,x??
,即方程f(x)=0只有两个 相异的实数根.
933
①由f(x)的单调性,当极大值
a?
28


?
a?
?
?
如果方程f(x)=0存在三个相异的实数根 ,则
?
?
a?
?
?
25
?0,
9

7
?0.
9
257
,)

99
257
事实上,当
a?(?,)
时,
99
7 25
因为
f(?2)??15?a??15??0
,且
f(2)?17?a? 17??0

99
2222
所以方程f(x)=0在
(?2,?) ,(?,),(,2)
内各有一根.
3333
257
综上,若方程f(x) =0存在三个相异的实数根,则a的取值范围是
(?,)

99
解得
a?(?
测试十八
一、选择题
1.D 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D
二、填空题
9.2 10.3 11.y
2
=-12x
12.8或
9m?61
6?m1
.分情况讨论:
?

?
13.3
m4
64
2
14..提示:设|PF
2
|=m,则|PF< br>1
|=4m,
由已知2a=3m,2c≤|PF
1
|+|PF
2
|=5m(当p在x轴上时,等式成立),
5
3
5
m
35
c
2
5

a?m,c?m
,所以
e???
22
a
3
m
3
2
5
所以e的最大值为.
3
三、解答题
15.解:
y
?
=1-e
x
,由
y
?
=0,得x=0,
当x∈(-∞,0)时,
y
?
>0,函数y=x-e
x
单调递增;
当x∈(0,+∞)时,
y
?
<0,函数y=x-e
x
单调递减,
所以,当x=0时,y取得最大值,最大值为-1.
16.解:(1)
f
?
(x)=x
2
-m
2
,由已知得
f
?
(1 )=1-m
2
=0(m>0),∴m=1,
29



f(x)?
1
3
x?x

3< br>(2)
f
?
(x)=x
2
-m
2
,令
f
?
(x)=0,x=±m.
当x变化时,
f
?
(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-m)


-m
0
极大值
(-m,m)


m
0
极小值
(m,+∞)


f
?
(x)
f(x)
m
3
2
?m
3
?
,∴m
3
≥1, ∴m≥1 所以y
极大值
=f(-m)=
?
3
3
故m的取值 范围是[1,十∞).
17.解:由题设有m>0,
c?m
.设点P的坐标为(x< br>0
,y
0
),由PF
1
⊥PF
2
,得 y
0
y
0
22
·
x
0
?cx
0
?c
??1
,化简得
x
0
?y
0
?m< br>. ①
2
x
0
m
2
?1
2
1
2
2
将①与oo
m?1
?y
0
?1
联 立,解得
x
0
?,y
0
?
.
mm
m2
?1
由m>0,
??0
,得m≥1.所以m的取值范围是m≥1. < br>m
xy
18.解:直线l的方程为
??1
,即bx+ay-ab=0.
ab
2
x
0
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到 直线l的距离
d
1
?
b(a?1)
a?b
22
b( a?1)
a?b
22

同理得到点(-1,0)到直线l的距离
d
2
?

s?d< br>1
?d
2
?

s?
2ab
a
2?b
2
?
2ab
.
c
42ab4
c
,得
?c
,即
5ac
2
?a
2
?2c
2< br>.
5c5
于是得
5e
2
?1?2e
2
,即 4e
4
-25e
2
+25≤0.
解不等式,得
5
5
?e
2
?5
.由于e>1>0,所以e的取值范围是
?e?5
2
4
19.解:(1)∵切点为(1,3),∴k+1=3,得k=2. < br>∵
f
?
(x)=3x
2
+a,∴
f
?
(1)=3+a=2,得a=-1.
则f(x)=x
3
-x+b.
30


由f(1)=3得b=3.
∴f(x)=x
3
-x+3.
(2)由f(x)=x
3
- x+3得
f
?
(x)=3x
2
-1,

f
?
(x)=3x
2
-1>0,解得
x??
∴函数f(x)的增区间 为(-∞,-
(3)F(x)=x
3
-3x,
F
?
(x)=3x
2
-3

F
?
(x)=3x
2-3=0,得x
1
=-1,x
2
=1.
列出x,
F
?
(x),F(x)关系如下:
x 0

0
(0,1)

递减
1
0
极小值-2
(1,2)

递增
2

2
33

x?
.
33
3
3
),
(,??)

3
3
F
?
(x)
F(x)
∴当x∈[0,2]时,F(x)的最大值为2,最小值为-2.
20.解:(1)由条件得直线AP的方程y=k(x-1),
即kx-y-k=0.
因为点M到直线AP的距离为1,
所以,
|mk?k|
|
k?1
2
?1


|m?1|?
k
2
?11
?1?
2

|k|
k
323
,3]

?
?|m?1|?2
33
2323
解得
?1?m?3

?1?m?1 ?
33
2323
]

[1?,3]
. ∴m的取值范围是< br>[?1,1?
33
y
2
2
(2)可设双曲线方程为
x ?
2
?1(b?
?
0)
,由
M(2?1,0)
,A (1,0),
b
?
|k|?[

|AM|?2
.
又因为M是△APQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45°,直线AM是
∠P AQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此,k
AP
=1,k
AQ
=-1(不妨设P在第
一象限)
31


直线PQ方程为
x?2?2

直线AP的方程为y=x-1,
y
2
∴解得P的坐标是
(2?2, 1?2)
,将P点坐标代入
x?
2
?1

b
2

b
2
?
3?222?1

?
5?42?2?3
所以所求双曲线方程为
x
2
?
2?3< br>2
y?1
,即
x
2
?(22?1)y
2
?1

2?1
32

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