高中数学考到140-苏教版高中数学矩阵知识点
兴宁一中教辅资料
(必修5)
2009年3月修订
目录
第一章:解三角形
1.1.1
正弦定理(一)………………………………………………………….2
1.1.1
正弦定理(二)………………………………………………………….4
1.1.2
余弦定理 (一)…………………………………………………………6
1.1.2
余弦定理 (二)…………………………………………………………8
1.1.3 正余弦定理的综合应用…………………………….……………………10
1.2
应用举例(一)………………………………………………………………...12
1.2
应用举例(二)…………………………………………………………………15
本章测试
………………………………………………………………………………17
第二章:
数列
2.1数列的概念和简单表示……………………………………………………………20
2.2
等差数列……………………………………………………………………………23
2.3等差数列 的前n项和……………………………………………………………..25
2.4 等比数列………………………………………………………………………….27
2.5
等比数列的前n项和……………………………………………………..………29
本章测试
…………………………………………………………………………………31
第三章: 不等式
3.1
不等关系
………………………………………………………………..…..…35
3.2
一元二次不等式及其解法
………………………………………………….37
3.3.1
二元一次不等式(组)与平面区域………………………………………….39
3.3.2简单的线性规划问题…………………………………………………………….44
3.4
基本不等式
……………………………………………………………………..46
本章测试
………………………………………………………………………………...49
必 修 五 模 块 测 试 题一
…
…………………………………………………...53
必 修 五 模 块 测 试 题二
………………………………………………...58
参考答案
……………
………………………………………………………………...62
第一章
解三角形
1.1.1.正弦定理(一)
典型例题:
1.在△ABC中,已知
a?52,c?10,A?30
0
,则∠B等于(
)
A.
105
B.
60
C.
15
D.
105或15
答案:D
2.在△ABC中,已知
a?6,b?2,A?60
0
,则这样的三角形有_
________个.
答案:1
3.在△ABC中,若
a:b:c?1:3:5
,求
解 由条件
∴
sinA?
00
000
2sinA?sinB
的值.
sinC
asinA1
??
csinC5
1
sinC
5
3
同理可得
sinB?sinC
5
13
2?sinC?sinC
2sinA?sinB1
55
∴==
?
sinC5
sinC
练习:
一、 选择题 1.一个三角形的两内角分别为
45
与
60
,如果
45
角所对的边长是6,那么
60
角所对
的边的边长为( ).
A.
36
B.
32
C.
33
D.
26
2.在△ABC中,若其外接圆半径为R,则一定有( )
0000
abc
???2R
B.
asinB?2R
sinAsinBsinC
C.
sinA?2aR
D.
b?RsinB
A.
3.在△ABC中,
ab
?
,则△ABC一定是( )
cosBcosA
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
二、填空题
4.在△ABC中,已知
a?8,b?6,
且S
△
ABC
=
123
,则C=_______
5.如果
1?cosAa
?
,那么△ABC是_______
1?cosBb
B
的值.
2
三、解答题
6.在△ABC
中,若AB=2,BC=5,面积S
△
ABC
=4,求
sin
7.在△ABC中,
a,b,c,分别为内角A,B,C的对边,若
b?2a,B?A?60
,求A的值.
0
1.1.1.正弦定理(二)
典型例题:
1.在△AB
C中,已知
b?2,c?1,B?45
0
,则
a
的值为 (
)
A.
6?26?2
B. C.
2?1
D.
3?2
22
答案:B
2.在△ABC中,已知<
br>a?5,B?105
0
,C?15
0
,则此三角形的最大边长为___
______
答案:
3.△ABC的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是
方程
5x?7x?6?0
的根,求△ABC
的面积.
解 设两边夹角为
α,而方程
5x?7x?6?0
的两根
x
1
?2,x
22
2
152?56
6
??35
∴
cos
?
??
3
5
∴
sin
?
?1?()?
∴S
△ABC
=
3
5
2
4
5
14
?3?5??6cm
2
25
练习:
一、选择题
1.在△ABC中,已知
a?8,B?60,C?75
,则
b
等于(
)
A.
42
B.
43
C.
46
D.
2.在△ABC中,已知
a?xcm,b?2
cm,B?45
0
,如果利用正弦定理解三角形有两解,则
x的取值范围是 (
)
00
32
3
<x<
22
B.
2
<x
?22
C.
x
>
2
D.
x
<
2
A.
2
3.△ABC中,若sinA:sinB:sinC=m:(m+1):2m, 则m的取值范围是(
)
A.(0,+∞) B.(
1
,+∞) C.(1,+∞)
D.(2,+∞)
2
二、填空题
4.在△ABC中,若sinA=2cosBsinC,则△ABC的形状是______
___
5.在△ABC中,已知
a?32,cosC?
三、解答题
6.已知方程<
br>x
2
?(bcosA)x?acosB?0
的两根之积等于两根之和,且
a,b
为△ABC的
两边,A、B为两内角,试判断这个三角形的形状
7.在△ABC中,
a?c?2b,A?C?
1
,S
△
ABC
=
43
,则
b?
_________
3
?
3
,求sinB的值。
1.1.2.余弦定理(一)
典型例题:
1.在△ABC中,已知
a?8,b?43,c?13
,则△ABC的最小角为(
)
A.
?
??
?
B. C.
D.
12
344
答案:B
2.在△ABC中,已知
b
?1,c?3,A?60
0
,则
a?
_________
答案:
7
3.在△ABC中,已知
b?5,c?53,
A?30
0
,求
a、B、C
及面积
S
解
由余弦定理,知
a?b?c?2bccosA
222
?5
2
?(53)
2
?2?5?53sin30
0
?25
∴
a?5
又∵
a?b
∴
B?A?30
∴
C?180?A?B?120
00
0
S?
11253
bcsinA??5?
(53)sin30
0
?
224
练习:
一、选择题
1.在△ABC中,如果
(a?b?c)(b?c?a)?3bc
,则角A等于(
)
A.
30
B.
60
C.
120
D.
150
2.在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( )
A.
b?10,A?45,C?75
B.
a?7,b?5,A?80
C.
a?60,b?48,C?60
D.
a?14,b?16,A?45
00
000
000
0
3在△ABC中,已知
a
4
?b
4
?c<
br>4
?2c
2
(a
2
?b
2
)
则角C
=( )
A.
30
B.
60
C.
45或135
D.
120
二、填空题
4.已知锐角三角形的边长为1、3、
a
,则
a
的取值范围是___
______
5.在△ABC中,三边的边长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三
角形三边的长分别
为_________
三、解答题
6.在△ABC中,已知A>B>C,且A=2C,
b?4,a?c?8
,求
a、c
的长.
7.已知锐角三角形ABC中,边
a、b
为方程
x?2
3x?2?0
的两根,角A、B满足
2
00
00
0
2sin
(A?B)?3?0
,求角C、边c及S
△
ABC
。
1.1.2.余弦定理(二)
典型例题:
1.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形
D.非钝角三角形
答案:C
2.在△ABC中,若sinA:sinB:sin
C=2:3:4,则角B的余弦值是_________
答案:
3.如图,已
知梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,AC=
19
,∠BAD=
60
,
求梯形的高.
解 如图所示,作DE⊥AB ,
垂足为E,则DE就是梯形的高。
∵∠BAD=
60
∴在Rt△ADE中,DE=ADsin
60<
br>=
0
0
0
0
11
16
3
AD
2
在△ACD中,∠BAD=
120
,又CD=2,
AC=
19
,由余弦定理,得
AC
2
?AD
2
?
CD
2
?2AD?CD?cos?ADC
即
(19)?AD?2?2?AD?2?cos120
解得AD=3或AD=-5(舍去)
∴DE=
2220
333
AD=
22
练习:
一、选择题
1.在△ABC中,
a?c?b?ab
,则角C为( )
A.
30
B.
60
C.
45或135
D.
120
00
00
0
222
2.在△ABC中,已知AB=
的值为(
)
A.
466
,
cosB?
,AC边上的中线BD=
5<
br>,则sinA
36
70707010
B. C.
D.
17121414
3.在△ABC中,若
(a?b?c)(b?
c?a)?3bc
,并有sinA=2sinBcosC,那么△ABC是
( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C. 等腰三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题
4.△ABC中,AB=2,BC=5,S
△
ABC
=
4,则AC=_________
5. 在△ABC中,已知
b?1,A?60
0
,S
△
ABC
=
3
,则
三、解答题
a
?
_________
sinA
a
2
?b
2
sin(A?B)
?
6.在△ABC中,角A、B、C对边分别为
a,b,c
,证明。
2
sinC
c
7.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=D
A=4,求四边形A
BCD的面积
1.1.3.正余弦定理的综合应用
典型例题:
1.在△ABC中,有sinB=2cosCsinA,那么此三角形是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C. 等腰三角形 D.等腰直角三角形
答案:B
2.在△ABC中,∠A满足条件
3sinA?cosA?1,
AB?2cm,BC?23cm
,则∠A=
_________
,△ABC的面积等于_______
答案:
3. 在△ABC中,角A
、B、C对边分别为
a,b,c
,已知
b
2
?ac,且a
2
?c
2
?ac?bc
,
(1)求∠A的大小;
(2)求
2
?
;
3
3
bsinB
的值
c
解 (1)∵
b
2
?ac,a
2
?c
2
?ac?bc
∴
b?c?a?bc
在△ABC中,由余弦定理得
222
b
2
?c
2
?a
2
bc1
cosA???
2bc2bc2
∴∠A=
60
0
bsin60
0
(2)在△ABC中,由正弦定理得
sinB?
a
∵
b?ac,?A?60
20
bsinBb
2
sin60
0
3
??sin60
0
?
∴
cca2
练习:
一、选择题
1.在△ABC中,有一边是另一边的2倍,并且有一个角是
30
,那么这个三角形(
)
A.一定是直角三角形 B.一定是钝角三角形
C.可能是锐角三角形 D.一定不是锐角三角形 0
os
2.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为
a,b,
c
,且
c
的值为( )
A.
A?
1
2
B?C
?cos2A
,则
sin
32
1111
B.
?
C. D.
?
9910
10
22
3.已知△ABC中,
(a
2
?b
2
)
sin(A?B)
=(
a?b
)
sinC
成立的条件是( )
0
A.
a?b
B.
?C?90
00
C.
a?b
且
?C?90
D.
a?b
或
?C?90
二、填空题
4.已知在△AB
C中,A=
60
,最大边和最小边的长是方程
3x?27x?32?0
的两实
根,那么 BC边长等于________
5.在△ABC中,AB=5,BC=
8,∠ABC=
60
,D是其外接圆
AC
弧上一点,
且CD=3,则
AD的长是________
三、解答题
6.在△ABC中,角A、B、C对边分别为
a,b,c
,S为△ABC的面积,且有
0
0
2
4sinBsin
2
(
?
4
?
B
)?cos2B?1?3
,
2
(1)求角B的度数;
(2)若
a?4
,S=
53
,求
b
的值
22
7.△ABC中的三
a,b,c
和面积S满足S=
c?(a?b)
,且
a?b?2
,求面积S的最大
值。
1.2 应用举例(一)
典型例题:
1.海上有A、B两个小岛
相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C
岛和A岛成75°的视角,则B、C间
的距离是( )
A.10
3
海里 B.
106
3
C. 5
2
D.5
6
海里
答案:D
2.一树干被台风吹断折成与地面成30°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则树干原
来的高度为
答案:20
3
米
3.在湖面上高h处,测得云彩仰角为?,而湖中云彩影的俯角为?,求云彩高.
解
C、C解’关于点B对称,设云高CE = x
则CD = x ? h,C’D = x +
h,
在Rt△ACD中,
AD?
在Rt△AC’D中,
AD?
CD
x?h
?
tan?tan?
C'Dx?h
?
,
tan
?
tan
?
∴
x?hx?h
?
tan?tan?
解得
x?h?
tan
?
?tan
?
sin(
??
?
)
.
?h?
tan
?
?tan
?
sin(
?
?
?
)
练习:
一、选择题
1.从
A
处望
B处的仰角为α,从
B
处望
A
处的俯角为β,则α、β的关系为 (
)
A.α>β B.α=β C.α+β=90°
D.α+β=180°
2.海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成6
0°的视角,从B岛望C
岛和A岛成75°的视角,则B、C间的距离是 ( )
A.10
3
海里 B.
106
3
C.
5
2
海里 D.5
6
海里
3.如图,△ABC是简易遮阳棚
,A、B是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线
与地面成
40°角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角为 ( )
阳光
C
B
D
地面
A
A.75° B.60°
C.50° D.45°
二、填空题
4.一树干被台风吹断折成与地面成30°
角,树干底部与树尖着地处相距20米,则树干原
来的高度为
<
br>5.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30
°,则甲、乙两楼的高分别是
三、解答题
6.如图:在斜度一
定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15?,
向山顶前进100m后,又从
点B测得斜度为45?,假设建筑物高50m,求此山对于地平面的
斜度?
7.某船在海上航行中不幸遇险,并发出呼救信号,我海上救生艇
在A处获悉后,立即测出
该船的方位角为45?,与之相距10
nmail的C处,还测得该船正沿方位角105?的方向以每小
时9
nmail的速度向一小岛靠近,我海上救生艇立即以每小时21
nmail的速度前往营救,试
求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。
1.2 应用举例(二)
典型例题:
1.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它
在一条直线上,继续
航行半小时后,看见一灯塔在船的南60°西,
另一灯塔在船的南75°西,则这只船的速度
是每小时( )
A.5
B.5
3
海里 C.10 D.10
3
海里
答案:C
2某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处,此时得知,该
渔船沿北
偏东105°方向,以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速21海里,则舰艇到达渔<
br>船的最短时间是
答案:
2
小时
3
3.某船在海上航行中不幸遇险,并发出呼救信号,我海上救生艇在A处获悉后,
立即测出
该船的方位角为45?,与之相距10
nmail的C处,还测得该船正沿方位角105?的方向以每小
时9
nmail的速度向一小岛靠近,我海上救生艇立即以每小时21
nmail的速度前往营救,试
求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。
解:
t小时,在点设所需时间为B处相遇(如图)
在△ABC中,?ACB = 120?, AC =
100, AB = 21t, BC = 9t, 由余弦定理,得
(21t)
2
= 10
2
+ (9t)
2
?
2×10×9t×cos120?
整理得:36t
2
?9t ? 10 = 0
解得:
t
1
?
25
,t
2
??
(
舍去)
312
由正弦定理,得
23
(9?)?
ABBC
32
?
33
∴?CAB
= 21?47
??sin?CAB?
2
14
sin120
?sin?CAB
21?
3
练习:
一、选择题
1.台风中心从A地以20 kmh的速度向东北方向移动,离台风中心30
km内的地区为危险
区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的时间为( )
A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h
2.已知D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A
的点仰角分别为α、
β(α>β)则A点离地面的高AB等于( )
A.
asi
n
?
sin
?
asin
?
sin
?
aco
s
?
cos
?
B. C.
sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)sin(
?
?<
br>?
)
D.
acos
?
cos
?
cos(
?
?
?
)
3.在△ABC中,已知b=2,B=45°,如果用正弦定理解三角形有两解,则边长a的取值范
围是( )
A.
2?a?22
B.
2?a?4
C.
2?a?2
D.
2?a?22
二、填空题
4.我
舰在敌岛A南50°西相距12nmileB处,发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以
10nmile
h的速度航行,我舰要用2小时追上敌舰,则需要速度的大小为
5.在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°,塔底俯角为45°,那么这
座塔的高为_______
三、解答题
6.如图所示,对于同一高度(足够高)的两个定
滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,
并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体,另在两个滑轮中
间的一段绳子悬挂另一物体,为使
系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的
重量)
F
1
4 kg
F
2
2
kg
mkg
7.海岛上有一座高出水面1000米的山,山顶上设有观察站A,上
午11时测得一轮船在A
的北偏东60°的B处,俯角是30°,11时10分,该船位于A的北偏西6
0°的C处,俯角
为60°,
(1)求该船的速度;
(2)若船的速度与方向不变,则船何时能到达A的正西方向,此时船离A的水平距离是多
少?
(3)若船的速度与方向不变,何时它到A站的距离最近?
解三角形测试题
一、选择题
1.在△ABC中,
tanA?sinB?tanB?sinA
,那么△ABC一定是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
2.△ABC中
a?4sin10?,b?2sin
50?,?C?70?
,则S
△
ABC
=
A.
22
( )
( )
11
B.
84
C.
1
2
D.
1
3
3.在△ABC中,一定成立的等式是( )
A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB
C.asinB=bsinA D..cosB=bcosA
4.若,
sinAcosBcosC
??
,则△ABC为( )
abc
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.有一个内角为30°的直角三角形 D.有一个内角为30°的等腰三角形
5.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
6.设A是△ABC中的最小角,且
cosA?
a?1
,则实数a的取值范围是
a?1
( )
A.a≥3 B.a>-1
C.-1<a≤3 D.a>0
7.△ABC中,A、B的对边分别为a,b,且A=60°,( )
a?6,b?4
,那么满足条件的△ABC
A.有一个解 B.有两个解
C.无解 D.不能确定
8.在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( )
A.b =
10,A = 45°,B = 70° B.a = 60,c = 48,B =
100°
C.a = 7,b = 5,A = 80°
D.a = 14,b = 16,A = 45°
9.在△ABC中,
sinA
:sinB:sinC?2:6:(3?1)
,则三角形最小的内角是 ( )
A.60° B.45° C.30° D.以上都错
10.有一长为1
公里的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要伸长
( )
A.1公里 B.sin10°公里 C.cos10°公里
D.cos20°公里
二.填空题
11.在△ABC中,B=135
0
,C=15
0
,a=5,则此三角形的最大边长为
12.在△ABC中,a+c=2b,A-C=60°,则sinB= .
13.在△ABC中,已知AB=l,∠C=50°,当∠B=
时,BC的长取得最大值.
14.△ABC的三个角A
三、解答题:
15.在△ABC中,a+b=1,A=60
0
,B=45
0
,求a
,b
16.在△ABC中,S
△
ABC
=
123
,
ac?48
,
a?c?2
,求
b
.
17.已知在ΔABC中,2B=A+C ,求
tan
ACAC
?tan?3tan?tan
的值
2222
18.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线
AD?
19.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,
7
,求边BC的长.
2
D
A
2
1
153
∠ABC=60
0
,AC=7,AD=6,S
△
ADC
=,求AB的长.
2
0
B
60
C
20.一缉私艇在岛B南50°东相距 8(
6?2
)n
mile的A处,发现一走私船正由岛B
沿方位角为
10
方向以
8
2
n
mile/h的速度航行,若缉私艇要在2小时时后追上走私船,
求其航速和航向.
第二章 数列
2.1数列的概念和简单表示
一
、典型例题
【例1】 求出下列各数列的一个通项公式
13579
(1),
,,,,…
48163264
2468
(2),,,,…
3183563
2n?1
解 (1)
通项公式为:a
n
=
n+1
.
2
(2)所给数列的通项公式为:
2n
a
n
?.
(2n?1)(2n?1)
【例2
】已知数列a
n
满足:a
1
=1,a
n
=a
n-1
+n(n≥2)
(1)写出这个数列a
n
的前七项为
。
(2)试猜想这个数列a
n
的通项公式
。
解 a
n
?a
n?1
?n?a
n
?a
n?1
?n(n?2)
(2+n)n(-1)n
2
+n-2
a
n
=+1=+1
22
11
=n
2
+n(n?2
)又Qn1时,a
1
=1
22
1
2
1
满足上式a
n
=n+n(n?1)
22
a
1=1,a
2
=3,a
3
=6,a=
4
10,
a
5
=15,a
6
=21,a
7
=28
1
a
n
=
a
n
?
1
【例3】
已知+
n(n
?
1)
(n
≥
2),
a
1
?1
,
(1) 写出数列的前5项; (2) 求a
n
.
解(1)
由已知
a
n
=
a
n
?
+
1
1
(n
2)
a
=
1
得
≥
1
n
(
n
?
1)
1
3
?
?
a
2
=
1
2
·
(
2
?
1)
2
3
1
9
?
1
5
?
?
a
3
=
?
2
3
2
6
3
·
51217
???
312124
71369
???
420205
51
a
4
=??<
br>34·3
71
a
5
=??
45·4
(2)由第(1)
小题中前5项不难求出.
a
n
?
2n?11
(或a
n?2?)
nn
二、练习
1
求出下列各数列的一个通项公式.
(1)2,0,2,0,2,…
1
1
1
1
(2)
?
,
,
?
,
,…
3
8
15
24
1
9
25
(3)
,
2
,
,
8
,
…
2
2
2
2
已知数列
a
n
满足:a=5,
a=a
1nn
-
1
+3(n≥2)
(1)写出这个数列
(2)这个数列
a
n
的前五项为__________________________。
a
n
的通项公式是__________________________。
3 已知数列
2,5,22,11
4 已知数列
,
则25是这个数列的第____项.
a
n
满足:a=1
,a=2a+1,求数列
a
n
的通项公式.
1n+1n
5 数列{a
n
}中,a
1
=
1,对所有的n≥2,都有a
1
·a
2
·a
3
·…·an
=n
2
.
(1)求a
3
+a
5
;
(2)
256
是此数列中的项吗?
225
6 已知数a
n=(a
2
-1)(n
3
-2n)(a=≠±1)是递增数列,试确定a的
取值范围.
2.2等差数列
例题:
1.在等差数列
?<
br>a
n
?
中,已知
a
1
=
2,
a
2
?a
3
=13,
则
a
4
?a
5
?a
6
等于(
)
(A)40 (B)42 (C)43 (D)45
【答案】B
【分析】:由已知
a
1
?2,a
2
?
a
3
?2a
1
?3d?13
得公差d=3,
所以
a
4
?a
5
?a
6
?3a
5
=
3(a
1
?4d)?3?(2?12)?42
2.已知等差数列
{a
n
}
中,
a
7
?
a
9
?16,a
4
?1,则a
12
的值是________
.
【分析】:由
a
7
?a
9
?a
4
?a
12
,得
a
12
?15
3.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11…都有100项,问它们有多少相同的项?
【分析】:
分析一:两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列
,且公差为原来两个
公差的最小公倍数。
解:设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数
列为
?
a
n
?
,则
a
1
?11
又因为数列5,8,11,…和3,7,11…的第100项分别是302和399,
∵数列
5,8,11,…和3,7,11…的公差分别为3与4
?
?
a
n
?
的公差d?3?4?12,?a
n
?12n?1
?a
n<
br>?12n?1?302即n?25.5,又n?N
?
,
所以两个数列有25个相
同的项。
分析二:由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程的求解法来求解。
解:设数列5,8,11,…和3,7,11…分别为
?
a
n
??<
br>,b
n
?
,则a
n
?3n?2,b
n
?4n
?1
设
?
a
n
?
中的第n项与
?
b
n
?
中的第m项相同,即
4
m?1,
又
m,n?N
?
,
3
?
设
m?3r,(r?N
?
)
得
n?4r?1
3
n?2?4m?1?n?
根据题意得:
?
1?3r?100
解得:1?r?25(r?N
?
)
?
?
1?4r?1?100
从而有25个相同的项,且公差为12.
课后练习:
1.等差数列的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则a的值为 (
)
A.1 B.-1 C.0 D.2
2.已知数列
{a
n
}
的
a
1
?1
,
a
2
?2
且
a
n?2
?2a
n?1
?a
n
,则
a
2007
?
( )
A.2005 B.2006 C.2007 D.2008
3.已知b是a,c的等差中项,且曲线
y?x
2
?2x?6
的顶点是(a,c),则b等于( )
A.3 B.2 C.1
D.0
4.如果
a
1
,
a
2
,…,
a
8
为各项都大于零的等差数列,公差
d?0
,则( ) <
br>A.
a
1
a
8
?
a
4
a
5
B.
a
8
a
1
?
a
4a
5
C.
a
1
+
a
8
?<
br>a
4
+
a
5
D.
a
1
a
8
=
a
4
a
5
5.一架飞机
在起飞时,第一秒滑行了2.3米,以后每秒都比前一秒多滑行4.6米,又知离地
前一秒滑行了66.
7米,则这架飞机滑行起飞的所用时间为_________秒.
6.在1和25间加入5
个数,使它们成等差数列,则通项公式a
n
=_______________。
85
7.已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,求这5个数.
9
8.等差数列
?
a
n
?
中,已知
a1
?
1
,
a
2
?a
5
?4,a
n
?33
,试求n的值
3
2.3等差数列的前n项和
例题:
1.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为
A.5 B.4 C. 3 D. 2
【分析】:
?
5a
1
?20d?15
.
?
?d?3
,故选C.
5a?25d?30
?
1
Sn
2.等差数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+1,其前n
项和为S
n
,则数列{}的前10项和为
n
___________.
S
n
n(a
1
+a
n
)3+2n+110(3+1
2)
【分析】:===n+2,其前10项和为: =75.
n2n22
3.已知
?
a
n
?
为等差数列,前10项的和为
S
10
?100,
前100项的和
S
100
?10
,求前11
0项的和
S
110
.
【分析】:
11
1
?
?
a??
10a??10?9d?100
1
?
1
?
50
2
解法一:设
?
a
n
?
的首项为
a
1
,公差
d
,则
?
解得:
?
11099
?
100a
1
??100?99d?10
?d?
2100
?
?
1
?S
110
?110a<
br>1
??110?109d??110
2
分析二:运用前n项和变式:
S
n
?An
2
?Bn
解法二: ?
a
n
?
为等差数列,故可设
S
n
?An2
?Bn
,
则
?
?
100A?10B?100
解得110A?B??1
10000A?100B?10
?
?S
110
?110
2<
br>A?110B?110(110A?B)??110
解法三:
?S
100
?S
10
?
?a
11
?a
100
(
a
11
?a
100
)?90
??90
2
??2
?S
110
?
110(a
1
?a
110)(a
11
?a
100
)?110
???110
22
课后练习:
1.若等差数列{
a
n
}的前
三项和
S
3
?9
且
a
1
?1
,则
a
2
等于( )
A.3 B.4 C.5
D.6
2.设等差数列
?
a
n
?
的公差为
d,如果它的前n项和Sn=-n,那么 ( )
2
A.
B.
a
n
?2n?1,d?2
a
n
?2n?1,d??2
C.
D.
a
n
??2n?1,d?2
a
n
??2n?1,d??2
3.等差数列
{a
n
}
中,
a
1
?a
2
?a
3
??24,a<
br>18
?a
19
?a
20
?78
,则此数列前20项和
等于
( )
A.160 B.180 C.200
D.220
4.设数列
?
a
n
?
是等差数列,
a
2
??6,
a
8
?6
,S
n
是数列
?
a
n
?
的前n项和,则( )
A.S
4
<S
5
B.S
4
=S
5
C.S
6
<S
5
D.S
6
=S
5
5.已知数列的通项
a
n
??5n?2
,则其前
n
项和
S
n
?
.
6.已知数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
?n
2
?9n
,则其通项
a
n
?<
br> ;若它的第
k
项满足
5?a
k
?8
,则
k?
.
7
.(1)设等差数列的前n项之和为S
n
,已知a
3
=12,S
12
>0,S
13
<0,求公差d的取值范围。
(2)指出S
1
,S
2
,S
3
,…S
n
中哪一个值最大,并说明理由。
8.已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?3?2
n
,
求
a
n
2.4等比数列
例题:
1. 已知等比数列
{a
n
}
中,
an
?0,a
1
,a
99
为方程
x?10x?16?0<
br>的两根,则
a
20
?a
50
?a
80
的值为( B)
A、32 B、64 C、256
D、
?64
解:
a
20
?a
50
?
a
80
=16
?
4=64
2.
已知a、b、c成等比数列,如果a、x、b和b、y、c都成等差数列,则
解法一 赋值法
2
ac
?
=___
xy
解法二
b=aq,c=aq
2
,x=
1111
(a+b)=a(1+q),
y=(b+c)=aq(1+q),
2222
1
2
1
aq(1?q
)?a
2
q
2
(1?q)
ay?cx
2
ac
2
?
?
==2
1
2
xy
xy
2
aq(1?q)
4
3. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项。
解:设这个等比数列的第1项为
a
1
,公比为
q
,那么
a
1
q
2
?12
①
a
1
q
3
?18
②
3
③
2
16
把③代入①,得
a
1
?
3
163
??8
因此,
a
2
?a
1
q?
32
①÷②,得
q?
课后练习:
1. 等比数列
?<
br>a
n
?
中,
a
2
?a
3
?6,a<
br>2
a
3
?8,则q?
( )
A.2
2. 在等比数列中,
a
1
?
A.3
B.
11
C.2或
22
D.-2或
?
1
2
912
,a
n
?,q?
,则项数n为( )
833
C.5 D.6 B.4
3.已知实数
a、b、c
满足
2
a
?3,2
b
?6,2
c
?12
,那么实数
a、b、c
是(
A.等差非等比数列
B.等比非等差数列
C.既是等比又是等差数列 D.既非等差又非等比数列
4.若
a、b、c
成等比数列,则关于x的方程
ax?bx?c?0
( )
A.必有两个不等实根 B.必有两个相等实根
C.必无实根 D.以上三种情况均有可能
5. 已知等差数列
?
a
n
?
的公差
d?0
,且
a
1
,a
3
,a
9
成等比数列,则
2
)
a
1
?a
3
?a
9
的值是
a
2
?a
4
?a
10
6.已知等比数列
{a
n
}中,a
3
=3,a
10
=384,则该数列的通项
a
n
=__________________.
7. 数列
{
a
n
}
满足
a
1
?1
,
a
n?1
?2a
n
?1
。
①求证
{a
n
?1}
是等比数列;
②求数列
{a
n
}
的通项公式。
8.在等比数
列
{a
n
}
中,
a
n
?0
,且
a
1
a
9
?64
,
a
3
?a
7?20
,求
a
11
。
2.5等比数列的前n项和
例题:
1. 数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?7n
2
?8n
,则
a
100
?
( A )
A.1385 B.-99 C.69200
D.1399
解析:
a
100
?S
100
?S
99
?7?100
2
?8?100?7?99
2
?8?99?138
5
2. 数列
1,1?2,1?2?2
2
,,1?2?
2
2
??2
n?1
,
的前n项和是_
2
n?1?n?2
__。
解析:先求通项
a
n
?2
n
?1
,再分组求和
3. 在等比数列
?
a
n
?
的前n项和中,a
1
最小,且
a
1
?a
n
?66,a
2
a
n?1
?128
,前n项和
S
n
?126,求n和公比q
a?a
n
?66
解:因为
?
a
n
?
为等比数列,所以
a
1
a
n
?a
2
a
n?1
?
?
,且a
1
?a
n
,解得a
1
?2,a
n
?64
?
a<
br>1
a?128
?
1n
依题意知
q?1
?
S
n
?126,?
?
2q
n?1
?64,?n?6
a
1
?a
n
q
?126?q?2
1?q
课后练习:
1. 在递增的等比数列
{a
n
}<
br>中,
a
5
?a
6
?324
,
a
5<
br>?a
6
??162
,则
S
6
?
( )
A.-364 B.364 C.108 D.243
2.在等比数列
{a
n
}
中,
a
n?0
,且
a
2
a
4
?2a
3
a
5
?a
4
a
6
?25
,则
a
3
?a
5
?
( )
A.5 B.10
C.15 D.20
3.在等比数列
{a
n
}
中,
a
1
?1,a
k
?243,q?3
,则
S
k
=( )
A.182 B.364
C.91 D.273
4.在等比数列中,
S
30<
br>?13S
10
,
S
10
?S
30
?140<
br>,则
S
20
?
( )
A.90
B.70 C.40 D.30
5. 数列前n项和为S
n
?n
2
?3n
,则其通项
a
n
?
_____
6. 在公比为整数的等比数列
?
a
n?
中,如果
a
1
?a
4
?18,a
2
?a
3
?12,
那么该数列的前8项之
和为_____
7 设{a
n
}为等差数列,{b
n
}为等比数列
,a
1
=b
1
=1,a
2
+a
4
=b3
,b
2
·b
4
=a
3
,分别求出{a
n
}及{b
n
}的
前10项和S
10
及T
10<
br>
8.(2006年福建卷)已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1
(n∈N)
(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(Ⅱ)若数
列
?
b
n
?
满足
4
b
1
?1?4
b
2
?1
?4
b
3
?1
??4<
br>b
n
?1
?
?
a
n
?1
?
n
(n∈N*),证明:
?
b
n
?
是等差数列;
b
?
本章测试
一.选择题
1、等差
数列
a
1
,a
2
,a
3
,
?
,a
n
的公差为d,则数列
ca
1
,ca
2
,ca3
,
?
,ca
n
(c为常数,且
c?0
)是( )
A.公差为d的等差数列
B.公差为cd的等差数列
C.非等差数列
D.以上都不对
2、在数列
?
a
n
?
中,a
1
?2,2a
n?1
?2a
n
?1
,则a
101
的值为( )
A.49 B.50 C.51
D.52
3、已知
a?
1
3?2
,b?
13?2
,
则
a,b
的等差中项为( )
A.
3
B.
2
C.
1
3
D.
1
2
4、等差数列
?
a
n
?
中,
S
10
?120
,那么
a
1
?a
1
0
的值是( )
A.12 B.24 C.36 D.48
5、
ac?b
2
是
a、b、c
成等比数列的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6、设
a
2a
1
?a
2
1
,a
2
,a
3
,a
4
成等比数列,
其公比为2,则
2a
的值为( )
3
?a
4
A.
11
4
B.
2
C.
1
8
D.1
7、数列3,5,9,17,33,…的通项公式
a
n
等于( )
A.
2
n
B.
2
n
?1
C.
2
n
?1
D.
2
n?1
8、数列
?
a
1
n
?
的通项公式是a
n
?
n?n?1
,若前n项的和为10,则项数n为(
A.11 B.99 C.120 D.121
)
9、计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低
9年后的价格可降为( )
A.2400元 B.900元
1
,现在价格为8100元的计算机,
3
C.300元
D.3600元
10、数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
都是等差数列,其中
a
1
?25,b
1<
br>?75,a
100
?b
100
?100
,那么
?a
n
?b
n
?
前100项的和为( )
A.0
B.100 C.10000
D.102400
11、若数列?
a
n
?
的前n项和为
S
n
?n
2<
br>,则( )
A.
a
n
?2n?1
B.
a
n
?2n?1
C.
a
n
??2n?1
12、等差数列—3,1,5,…的第15项的值是( )
A.40 B.53
C.63 D.76
二、填空题
13、在等差数列
?
an
?
中,已知
a
1
?a
2
?a
3?a
4
?a
5
?20
,那么
a
3
等于
14、某厂在1995年底制定生产计划,要使2005年底的总产量在原有基础上翻两番,则年平均增长率为
15、数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1,a
n
?
D.
a
n
??2n?1
1
a
n?1
?1
,则
a
4
?
16、已知在等比数列
?
a
n
?
中,各项均为正数,且a
1
?1,a
1
?a
2
?a
3
?7,
则数列
?
a
n
?
的通
项公式是
a
n
?_________
三、解答题
17、(本小题满分14分) 已知
数列
{log
2
(a
n
?1)},(n?N
*
)<
br>为等差数列,且
a
1
?3,a
3
?9.
(
1)求数列
{a
n
}
的通项公式;(2)求数列
{a
n}
的前n项和
S
n
。
18.(本小题满分
14分)数列
(Ⅰ)求
?
a
n
?
前n项和记为
S,
a
1
?1,
a
n?1
?2S
n
?1,(n
?1)
,
n
?
a
n
?
的的通项公式;
(Ⅱ) 等差数列
?
b
n
?
的各项为正,其前n项和为T,
且
T
n3
?15,
又
a
1
?b<
br>1
,
a
2
?b
2
,a
3
?b
3
成等比数列,求
T
n
.
19.已知等比数列
{a<
br>n
}
中,
a
n
?0
,数列
{b
n<
br>}
满足
b
n
?log
2
a
n
,且<
br>b
1
?b
2
?b
3
?3
,
b
1
b
2
b
3
??3
,求数列
{a
n}
的通项公式。
20、数列
?
a
n
?
中,
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?3n,n?N
*
,求数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
21、已知等 比数列
?
b
n
?
与数列
?
a
n
?
满足
b
n
?3
n
,n?N
*
a
(1) 判断
?
a
n
?
是何种数列,并给出证明;
(2) 若a
8
?a
13
?m,求b
1
b
2
?b
20
第三章
不等式
3.1 不等关系和不等式
一.例题
1.如果a (A)
)
aa11
?1
(B)
ab?1
(C)
?1
(D)
?
bbab
答案
利用不等式的基本性质 c
2.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程,第一天
完成了60土方,现在要比原计
划至少提前两天完成任务,则以后几天平均每天至少要完成的土方数x
应满足的不等式
为 。
答案3x≥300-60
3 比较大小:
解
(1)根据不等的比差性质,作差比较:
(2)[法一]作差比较:
二.课后练习
1、下列命题中正确的是…………………………………………… ( )
(A)
若a?b,则a
2
?b
2
(B)
若a
2
?b
2
,则a?b
(C)
若a?b,则a
2
?b
2
(D)
若a?b,则a
2
?b
2
2、设
11
??0
,则 ……………………( )
ab
(A)
a
2
?b
2
(B)
a?b?2ab
(C)
ab?b
2
(D)
a
2
?b
2
?a?b
3、若
a?b?c,a?b?c?0
,有……………… ( )
(A)
ab?ac
(B)
ac?bc
(C)
ab?bc
(D)以上皆错
4、以下命题:⑴a>b
?
|a|>b
⑵a>b
?
a
2
>b
2
⑶|a|>b
?
a>b ⑷a>|b|
?
a>b
正确的个数…………………… ( )
(A) 1个
(B) 2个 (C) 3个 (D)4个
5、如果二次函数y?f(x)
的图象过原点,并且1≤
f(?1)
≤2,3≤
f(1)<
br>≤4,则
f(?2)
的取
值范围__________________.
6、已知
a?2,b?2
,试比较
a?b与ab
的大小_
_____________。
7.某蔬菜收购点租用车辆,将100t新鲜辣椒运往某市
销售,可租用的大卡车和农用车分别
为10辆和20辆,若每辆卡车载重8t,运费960元,每辆农用
车载重2.5t,运费360元,据此,
安排两种车型,应满足那些不等关系,请列出来.
3.2一元二次不等式及其解法
一.例题
1
例1 若0<a<1,则不等式(x-a)(x-)<0的解是
[ ]
a
A.a<x<
1
C.x>或x<a
a
11
B.<x<aD.x<或x>a
aa
1
a
1
分
析 比较a与的大小后写出答案.
答案A
a
例2
不等式
解:
x?1
?0
的解集是 .
x?2
x?1
?0
?(x+1)(x-2)?0?x?-1或x?2.
x?2
2
例3、已知f(x)=-3x+a(6-a)x+b
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)当不等式f(x)>0的解集为(-1,3)时,求实数a,b的值。
解题思路分析:
(1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a+6a+b-3
∵ f(1)>0
∴ a-6a+3-b<0
△=24+4b
当b≤-6时,△≤0
∴
f(1)>0的解集为φ;
当b>-6时,
3?b?6?a?3?b?6
∴ f(1)>0的解集为
x|3?b?6?a?3?b?6
2
2
2
?
?
(2)∵
不等式-3x+a(6-a)x+b>0的解集为(-1,3)
∴
f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解
∵
3x-a(6-a)x-b<0解集为(-1,3)
a(6?a)
?
2?
?
?
3
∴
?
b
?
3?
?
3
?
2
?
?
a?3?3
解之得
?
?
b?9
?
二.课后练习
1.一元二次不等式ax
2
+bx+c>0的解集为(α, β)
(α>0),则不等式cx
2
+bx+a>0的解集为
( )
(A)(
1
?
,
1
?
)
(B)(-
1
?
, -
1
?
)
(C)(
1
1
1
1
,) (D)(-, -)
?
?
?
?
x?1
?2
的解集为( ).
x
A.
[?1,0)
B.
[?1,??)
C.
(??,?1]
2.不等式
D.
(??,?1](0,??)
x
2
?px?q
3.已知不等式x+px+q<0的解集为{x|
1
>0的解集为( )
x?5x?6
2
(A)(1, 2)
(B)(-∞, -1)∪(1, 2)∪(6, +∞)
(C)(-1, 1)∪(2, 6)
(D)(-∞, -1)∪(6, +∞)
4.已知集合M={x|
-2
x?m
>1的解集是P,若P
?
M
,则实数m的取值
2x?1
11
, 5] (B)[-3,
-]
22
11
(C)[-3, 5] (D)[-3,
-)∪(-, 5]
22
(A)[-
3x
2
?kx?2k
5.不等式>2的解集为R,则k的取值范围是
.
2
x?x?2
6.
若不等式x+ax+1?0对于一切x?(0,
2
1
)成立,求a的取值范围
2
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
一、例题讲解
例题1:不等式x+2y-6<0表示的平面区域在直线x+2y-6=0的
( )
A.左下方 B.右上方 C.左上方 D.右下方
分析解答:
(1) Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组
成的平面区域,不含边界,画
边界时画成虚线
(2) Ax+By+C≥0表示直线A
x+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,包含边界,画
边界时画成实线
(3)
对于直线Ax+By+C=0某一侧所有点(x,y)代入Ax+By+C符号都相同。因此可用
其中一
点试一下,便可判断符号
(4) 当C≠0时,常用原点作为特殊点来验证是否在区域内。
记f(x,y)= Ax+By+C,
若f(0,0)>0,
则在(0,0)同一侧的所有点都有f(x,y)>0
若f(0,0)<0,
则在(0,0)同一侧的所有点都有f(x,y)<0
根据这些知识就很快可以知道答案:A
例题2.在下角坐标系内,满足不等式
x
2
?y
2
?0
的
点(x,y)的集合(用阴影表示)
是( )
分析解答:可以把
x?y?0化成(x?y)(x?y)?0
即可可以很快知道答案选
B
22
例题3画出不等式组
?<
br>x?y?5?0
?
?
x?y?0
?
x?3
?
表示的平面区域
分析解答:我们可以划出每一条的区域,交集即是它表示的区域
Y
x+y=0
O
X
x-y+5=0
x=3
注:不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。
二、练习
1.画出下列不等式表示的平面区域:
(1) x-y+1<0
(2) 2x+3y-6>0
(3)
2x+5y-10≥0 (4)
4x-3y≤0。
2.用不等式组表示两条直线y=x和x+y+1=0上方的平面区域.
3.画出不等式表示的平面区域
?
x?y?5?0
?
?
x?y?0
?
x?3
?
4.画出下列不等式组表示的平面区域:
?
y?x
?
(1)
?
x?2y?4
?
y??2
?
?
x?3
?
2y?x
?
(2)
?
?
3x?2y?6
?
?
3y?x?9
5.用不等式组表示由三条直线y=2,y=x,和y=-x所围成的三角形区域(包括边界).
3.3.2简单的线性规划问题
一、例题:
?
x?y??
1
?
1.设变量
x,y
满足约束条件
?
x?y?4
,则目标函数
z
=2
x
+4
y
的最大值为( )
?
y?2
?
(A)10
答案:C
(B)12
(C)13 (D)14
?
x?y?2
?
2. 已知实数
x,y
满足
?
x?y?2,
则
z?2x?y
的取值范围是
________.
?
0?y?3
?
答案:
?
?5,7
?
3. 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为
500
元分钟和200元分钟,规定甲、
乙
两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少
万元?
解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为
x
分钟和
y
分
钟,总收益为
z
元,由
?
x?y?300,
?
题意得
?
500x?200y?90000,
?
x?0,y?0.
?
目标函数为
z?3000x?2000y
.
?
x?y≤300,
?
二元一次不等式组等价于
?
5x?2y≤900,
?
x≥0,y≥0.
?
y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.
如图:
400
300
l 200
100
0 100 200 300
M
500
x
作直线
l:3000x?2000y?0
,
即
3x?2y?0
.
平移直线
l
,从图中可知,当直线<
br>l
过
M
点时,目标函数取得最大值.
联立
?
?
x?y?300,
解得:
x?100,y?200
.
?
5x?2y?900.
200)
.
?点
M
的坐标为
(100,
?z
max
?3000x?2
000y?700000
(元)
答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做20
0分钟广告,公司的收益最大,最
大收益是70万元.
二、课后练习:
1.下面给出四个点中,位于
?
A.
(0,2)
?
x?y?1?0,
表示的平面区域内的点是( )
?
x?y?1?0
C.
(0,?2)
D.
(2,0)
B.
(?2,0)
?
x?
y?5??,
?
2.若不等式组
?
y?a,
表示的平面区域是一个三
角形,则
a
的取值范围是( ).
?
0?x?2
?
A.
a?5
B.
a?7
C.
5?a?7
D.
a?5
或
a?7
3.在平面直角坐标系
xOy
,已知平面区域
A?{(x,y)|x?y?1,
且
x?0,
y?0}
,则平面区
域
B?{(x?y,x?y)|(x,y)?A}
的面积
为( ).
A.
2
B.
1
C.
11
D.
24
?
2x?
3y?0
?
4.已知
?
x?y?0,
则
z?3x?y
的最小值为 .
?
y?0.
?
?
x
?2y?5?0,
?
5.
z?2x?y
中的
x,y
满足约束
条件
?
3?x≥0,
则
z
的最小值是 .
?
x?y≥0,
?
6. 制
定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打
算投资甲、乙两个
项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪,可
能的最大亏损分别为30
﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资
金亏损不超过1.8万元.
问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
3.4
基本不等式
ab?
一、例题讲解
a?b
2
例题1.
若不等式
x?22xy
?
a(x+y)
对一切正数x、y恒成立,则正数a的最小值为( B )
A 1 B 2
C
2?
1
D
22?1
2
分析 分离系数解出a
?
解
x?22xyx?22xy
,求a的最小值,转化为求的最大值
x?yx?y
x?0,y?0
?x?y?0,
?
原不等式可化为 a
?
x?22xy
恒成立。
x?y
又
x?22xy
x?x?2y2x?2y
???2
x?yx?y
x?y
?
a
?2
2
例题2.设
a?b?0
,
a?
16
的最小值是
b(a?b)
解 :由
161664
??
2
,此时等号成立
条件是
b?a?b
即
a?2b
,所以
b?a?b
2
a
b(a?b)
()
2
a
2
?
6464
1
6
?a
2
?
2
?264?16
。此时等号成立条件是,a
2
?
2
即
a?4
,所以
aa
b(a
?b)
此时
b?2
。
两次使用基本不等式是指连续两次使用不等式,使用时要注意等号要同时成立。
二、练习
1.若 x>0,y>0, 且x+y=s,xy=p, 则下列命题中正确的是
( )
A 当且仅当x=y 时s有最小值
2p
s
2
B当且仅当 x=y 时p 有最大值
4
C当且仅当
p为定值 时s有最小值
2p
s
2
D 当且仅当 x=y 时
有最大值
4
2函数
f
(x)
?x?
1
的值域是
( )
x
A
?
2,??
?
B
?
2,??
?
C R D
?
??,?2
?
3. 已知
x?
4.若正数 a,b 满足ab=a+b+3 , 则ab 的取值范围是
5. 设
x?5
,函数
y?x?
6.
已知a>0,b>0,且a+b=1,则
(
7.
设a、b、c都是正数且a+b+c=1,
求证:(
?
2,??
?
5
1
函数
y?4x?2?
的最大值是
4x?5
4
3
的最小值是
x
11
?1)(?1)
的最小值为 _________
22
ab
111
-1)(-1)(-1)≥8.
abc
8. 用长为4a的铁丝围成一个矩形,怎样才能使所围矩形的面积最大?
9.
某村计划建造一个室内面积为800 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右两侧与后侧内
墙各保留1
宽的通道,沿前侧内墙保留3
宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜
的种植面积最大。最大种植面积是多少?
10. 甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米时.已
知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v
...
.....
(千米时)的平方成正比、比例系数为b;固定部分为a元.
I.把全程运输成本
......
y(元)表示为速度v(千米时)的函数,并指出这个函数的定义域。
II.为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
......
第三章 不等式 测试题
一.选择题
1.如果
a?0,b?0
,那么,下列不等式中正确的是( )
(A)
1
a
?
1
b
(B)
?a?b
(C)
a
2
?b
2
(D)
|a|?|b|
2.“a
>
b
>
0”是“
ab<
a
2
?b
2
2
”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不允分也不必要条件
3.不等式
1
x
?
1
2
的解集是( )
(A).
(??,2)
(B).
(2,??)
(C).
(0,2)
(D).
(??,0)
?
(2,??)
4.下列结论正确的是 ( )
A.当
x?0且x?1时,lgx?
1
lgx
?2
B.
当x?0时,x?
1
x
?2
C.
当x?2时,x?
1
x
的最小值为2
D.当
0?x?2时,x?
1
x
无最大值
5.若x,y
是正数,则
(x?
1
2y
)
2
?(y?
1
2x
)
2
的最小值是 ( )
A.3
B.
7
2
C.4
D.
9
2
6.若a?0,b?0,则不等式-b?
1
x
?a等价于( )
A.
-
1
b
?x?0或0?x?
111
a
B.-
a
?x?
b
C.x?-
1
a
或x?
1
b
D.x?
-
1
b
或x?
1
a
7.设f(x)=
?
?
?
2e
x?1
,x?2,
?
log
则不等式f(x)>2的解集为 (
?
2
)
3
(x?1),x?2,
(A)(1,2)
?
(3,+∞)
(B)(
10
,+∞)
(C)(1,2)
?
(
10
,+∞)
(D)(1,2)
8.若关于
x
的不等式
(1?k
2<
br>)x
≤
k
4
+4的解集是M,则对任意实常数
k
,总
有(
(A)2∈M,0∈M;
(B)2
?
M,0
?
M;
(C)2∈M,0
?
M; (D)2
?
M,0∈M.
)
9.若
a、b、c?R,a?b
,则下列不等式成立的是( )
(A)
10.若
a,b,c?0
且
a
2
?2ab?2ac?4bc?12
,则
a?b?c
的最小值是( )
(A)
23
(B)3 (C)2
(D)
3
11.已知函数f(x)=ax
2
+2ax+
4(01
,x
1
+x
2<
br>=1-a,则( )
A.f(x
1
)
)
B.f(x
1
)=f(x
2
)
C.f(x
1
)>f(x
2
)
D.f(x
1
)与f(x
2
)的大小不能确定
12.若
a
,
b
,
c
>0且
a
(
a
+
b
+
c
)+
bc
=4-2
3
,则2<
br>a
+
b
+
c
的最小值为( )
(A)
3
-1 (B)
3
+1 (C)
2
3
+2 (D) 2
3
-2
二、填空题
13.不等式
14.非负实数x、y满足
?
ab
11
?
2
.
(D)
a|c|?b|c|
.
?
.
(B)
a
2
?b
2
.
(C)
2
c?1c?1
ab
1?2x
?0
的解集是
.
x?1
?
2x?y?4?0
,则x?3y
的最大值为
?
x?y?3?0
?
x?y?3?0
?
x?2y?5?0<
br>?
15.已知实数
x,y
满足
?
,则
y?2x
的最大值是_________.
x?0
?
?
?
y?0
三、解答题
16.已知x>0,y>0,x+y=1 求证: (1+
1
1
)(1+)≥9
x
y
17.解关于x的不等式
ax?1
?1
,其中|a|≠1
x?a
18.设f(x
)=3ax
2
+2bx+c.若a+b+c=0
,f(0)>0,f(1)>0,求证
:
(Ⅰ)a>0且-2<
a
<-1;
b
(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
19.行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前行驶一段距离才能停止,这段距离叫做< br>刹车距离,在某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米小时)满足下列关
系:y=
1
1
nx+x?(n为常数,且n是正整数)我们做过两次刹车实验,有关数据是 当
100
400
x
1
=40,5≤y
1
≤7,当x< br>2
=70,13≤y
2
≤15.
⑴求出n的值
⑵要使刹车距离不超过18.4米,则行驶的最大速度应是多少?
20.某工厂库存A、B、C三种原料,可用来生产Z、Y两种产品,市场调查显示可获利润等
各数据如下表:
库存量(件)
Z(每件用料)
A
100
1
B
125
2
3
C
156
3
1
每件产品利润
(I)
2000
1000
(II)
1000
3000
Y(每件用料)
4
问:若市场情况如(I),怎样安排生产能获得最大利润?
若市场情况如(II),怎样安排生产才能获得最大利润?
必 修 五 模 块
测 试 题(一)
一、选择题(50分)
:
1、若a、b为实数,
且a+b=2, 则3+3的最小值为 ( )
A.18 B.6
C.2
3
0
ab
D.2
4
3
2、
已知
?ABC
中,a=5, b = 3 , C = 120
,则sinA的值为( )
A、
53533333
B、
?
C、 D、
?
14141414
2
3、
若不等式
ax?bx?2?0
的解集
?
x|??
?
11
?
?x?
?
则a-b值是( )
23
?
A、-10 B、-14 C、10
D、14
4、
我市某公司,第一年产值增长率为p,第二年产值增长率q,这二年的平均增长
率为x,
p?q
那x与大小关系(
p?q)
是( )
2
p?qp?qp?q
A、x< B、x=
C、x> D、与p、q联值有关
222
?
x?4y?3?0
?
5、
. 目标函数
z
?2x?y
,变量
x,y
满足
?
3x?5y?25
,则有
( )
?
x?1
?
A.
z
max
?12,z
min
?3
B.
z
max
?12,
z
无最小值
C.
z
min
?3,z
无最大值
D.
z
既无最大值,也无最小值
2
6、
若关于
x
的不等式
2x?8x?4?a?0在1?x?4
内有解,则实数
a
的取值范围
是( )
A.
a??4
B.
a??4
C.
a??12
D.
a??12
1
7.已知△ABC的
周长为
2?1,且sinA?sinB?2sinC.
若△ABC的面积为
sinC,
6
则角C的度数为( )
A.30° B.45° C.60°
D.90°
8.一艘轮船按照北偏西50°的方向,以15浬每小时的速度航行,一个灯塔M
原来在轮船的北偏东10°方向上.经过40分钟,轮船与灯塔的距离是
53
浬,
则灯
塔和轮船原来的距离为( )
A.2
x
2
?1
2
浬 B.3浬 C.4浬 D.5浬
9
.若
2
?
(
1
)
x?2
,则函数
y?2<
br>x
的值域是( )
4
B.
[,2]
A.
[,2)
1
8
1
8
C.
(??,]
1
8
D.
[2,??)
10.某公司一
年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元次,一年的总存
储费用为4x万元,要使一年
的总运费与总存储费用之和最小,则x=( )
A、10 B、20 C、30
D、不确定
二、填空题(25分)
11、已知等比数列
{a
n
}
的公比
q??
,则
1
3
a
1
?a
3
?a
5
?a
7
等于
a
2
?a
4
?a
6
?a
8
12、
设
x?0,y?0且x?2y?1,求?的最小值.
?
x?1
?
13、已知
?
x?y?1?0
求
x
2
?y
2
的最小值_____________
?<
br>2x?y?2?0
?
14.如图,一个粒子在第一象限运动,在第一秒末,它从原点运动
到(0,1),
接着它按如图所示的x轴、y轴的平行方向来回运动,(即(0,0)→
(0,
1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→…),且每秒移动一个单
位,那么第2008秒末这个粒
子所处的位置的坐标为__ 。
三、解答题: oo
15(本小题满分12分)△ABC中,D在边BC上,且BD=2,DC=1,∠B=60,
∠ADC=150,
求AC的长及△ABC的面积。
A
1
x
1
y
B 2 D 1 C
16题(12分). 设{a
n
}是一个公差为d(d≠0)的等差数
列,它的前10项和S
10
=110,
且a
1
,a
2
,a
4
成等比数列.(I)证明a
1
=d;
(II)求公差d的值和数列{a
n
}的通
项公式
.
解:
17题(12
分).在等比数列
{a
n
}
中,
a
n
?0(n?N
*)
,公比
q?(0,1)
,
a
1
a
5
?2a
3
a
5
?a
2
a
8
?25
, 且
2
是
a
3
与
a
5
的等比中项,⑴求
数列
{a
n
}
的通项公式;
⑵设
b
n
?
log
2
a
n
,数列
{b
n
}
的前
n
项和为
S
n
,当
解:
S
S
1
S
2
????<
br>n
最大时,求
n
的值.
12n
18题(12
分)、某工厂用7万元钱购买了一台新机器,运输安装费用2千元,每年投保、动
力消耗的费用也为2千
元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为2
千元,第二年为3千元,第三年为4
千元,依此类推,即每年增加1千元.问这台机器最佳
使用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值.
解:
19题(13分).在△ABC中,a,b,c是三个内角A,B,C的对边,关于x的不等
式x
2
cosC+4xsinC+6<0的解集是空集. (1)求∠C的最大值;
73
3
,求当∠C取最大值时a+b的值.
(2)若
c?,?ABC的面积S?
22
解:
20题(13分).已知数列{
a
n
}的前n项和为S
n
,首项为a
1
,且1,a
n
,S
n
成等差数
列(n∈N
+
) (1)求数列{a
n
}的通项公式;(2)设T
n
为数列{
若对于
?n?N<
br>?
,总有T
n
?
解:
<
br>1
}的前n项和,
a
n
m?4
成立,其中m∈N
+<
br>,求m的最小值.
3
必修五模块测试(二)
一、选择题
1.若
a?b?0
,则下列不等式中不成立的是( )
A.
|a|?|b|
B.
1111
?
C.
?
a?baab
D.
a?b
22
2.下列不等式的解集是
R
的为( )
3.在
△
ABC
中,
a?b?c?bc
,则
A
等于( )
4.在各项都为正数的等比数列
{a
n
}
中,
a
1
=3,前三项和为21,则
a
3
+
a
4
+
a
5
=( )
5.一个等差数列共有10项,其中偶数项的和为15,则这个数列的第6项是( )
6.数列{
x
n
}满足
x
1
?1,x<
br>2
?
A.3 B.4 C.5 D.6
A.33 B.72 C.84
D.189
A.60° B.45° C.120° D.30°
222
2
A.
x?2x?1?0
B.
x
2
?0
C.
()?1?0
D.
1
2
x
11
?3?
xx
2112
,且??(n?2)
,则
x
n
等于(
)
3x
n?1
x
n?1
x
n
2
3
C.
()
A.
1
n?1
B.
()
n?1
2
3
n
D.
2
n?1
7.在△
ABC
中,若
a
、
b
、
c
成等比数例,且
c
= 2
a
,则cos
B
等于( )
8.正数
a
、
b
的等差中项是
A.3
A.
1
4
B.
3
4
C.
2
4
D.
2
3
111
,且
?
?a?,
?
?b?,则
?
?
?
的最小值是( )
2ab
C.5 D.6 B.4
9.在△<
br>ABC
中,若
lgsinA?lgcosB?lgsinC?lg2
,则△ABC
是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形
D.等腰直角三角形
10.某人为了观看2008年奥运会,从2001年起,每年5
月10日到银行存入
a
元定期储蓄,
若年利率为
P
,且保持不变,并
约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2008
年5月10日将所有存款和利息全部取回,则可
取回的钱的总数(元)为( ) A、
a(1?p)
7
B.
a(1?p)
8
C.
a
[(1?p)
7
?(1?p)]
p
D.
a
[(1?p)
8
?(1?p)]
p
二、填空题
11.在△
ABC
中,
sinA:sinB
:sinC?3:2:4
,则cosC的值为 _______
12.若关于
x
的不等式
?
13.△ABC中,A(2,
4)、B(-1,2)、C(1,0),D(x,y)在△ABC内部及边界运动,则
z=x-y的最大
值为 最小值为
14.根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第
n
个图中有
个点.
827
15.在
和<
br>之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积
32
为
.
三、解答题
1
2
x?2x?mx
的解集为
{x|0?
x?2}
,则
m
的值为 .
2
16.已知
a?0,集合A?{x|x
2
?x?6?0},B?{x|x
2
?2x?8
?0},C?{x|x
2
?4ax?3a
2
?0}
,
且C?
(
A
∩
C
R
B
).求实数
a的取值范围.
17.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ,由此点向塔底
沿直线行走30米,测得塔
顶的仰角为2θ,再向塔前进
103
米,又测得塔顶的仰角
为4
θ,求塔高。
18、设函数
f
(
x
)=|lg
x
|, 若0<<
br>a
f
(
a
)>
f
(
b).证明:
a
b<1.
19、 数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,且
a
n?1
?2a
n
?1
,又设
b
n
?a
n
?1
(1)求证:数列
?
b
n
?
是等
比数列;
(2)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(3)设
c
n
?
前
n
项的和
S
n
n?1
(
n?N*
),求数列
?
c
n
?
的
a
n<
br>?1
20.(本小题满分12分)某小区要建一个面积为500平方米的矩形绿地
,四周有小路,绿地
长边外路宽5米,短边外路宽9米,怎样设计绿地的长与宽,使绿地和小路所占的总
面
积最小,并求出最小值。
21.(本小题满分12分)数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,a
1
?1
,
a
n?1
?2S
n
(n?
N
*
)
.
(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项
a
n
; (Ⅱ)求数列
?
na
n
?
的前
n
项和
T
n
.
第一章
解三角形参考答案
1.1.1.正弦定理(一)
1.A 2.A 3.D
4.
60或120
5.等腰三角形
00
1
acsinB
2
14
??5?2sinB?5sinB?4
∴
sinB?
25
3
当B为锐角时,
cosB?
5
1?cosB1
2
B
??
由
sin
225
6.解 由条件
c?2,a?5,
S
△ABC
=
∴
sin
B5
?
25
3
5
当B为钝角时,
cosB??
由
sin
2
B1?cosB4
??
225
∴
sin
B25
?
25
0
7.解∵B=A+
60
∴
sinB?sin(A?60)
0
sinB?
13
sinA?cosA
22
又
b?2a,2RsinB?4RsinA
∴
sinB?2sinA
∴
2sinA?
13
sinA?cosA
22
3sinA?3cosA
∴
tanA?
∴
A?30
0
3
,
又∵
0
0
<A<
180
0
3
1.1.1.正弦定理(二)
1.C 2.A 3.B
4.等腰三角形 5.
23
6.由方程两根之积为
a
cosB
,方程两根之和为
bcosA
,∴
acosB?bcosA
由正弦定理,得
sinAcosB?sinBcosA
即
sin(A?B)?0
∵
?180
<A
?B
<
180
∴A-B=0
∴A=B
∴三角形为等腰三角形
7.解
由正弦定理,得sinA+sinC=2sinB
00
A?CA?CA?CA?C
?;C??
2222
A?CA?C
cos?2sinB
得
2sin
22
A?C
?
cos?sinB
即
s
in
26
由
A?
即
sinB?
3A?C
sin
22
∵A+B+C=
?
∴B=
?
-(A+C)
B
?
A?C
??
222
B
?
A?CA?C
)?sin
∴
cos?c
os(?
2222
∴
2sin
BB3B
cos?cos
2222
∵
cos
B
B3
?0
∴
sin?
2
24
∴
cos
B313
<
br>?1?()
2
?
244
BB31339
cos?2???
22448
∴
sinB?2sin
1.1.2.余弦定
理(一)
1.B 2.D 3.C
4.
22
<a<
10
5.
23
6.由正弦定理,得
∵A=2C
ac
?
sinAsinC
ac
?
sin2CsinC
∴
a?2csinC
∴
又
a?c?8
∴
cocC?
由余弦定理,得
8?c
①
2c
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?4ccosC?16?16cosC
222
②
?
16
c?
?<
br>?
5
?
c?4
或
?
(舍)
①代入②,得
?
24a?4
?
?
a?
?
5
?
∴
a?
2416
,c?
55
2
7.解
x?23x?2?0
,得
X
1
=
3?1
,
X
2
=
3?1
∵
sin(A?B)?sin(
?
?C)?sinC
∴
sinC?
3
2
0
由于△ABC为锐角三角形,∴C=
60
由余弦定理,得
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
<
br>?x
1
?x
2
?2x
1
x
2
cos
C
?(3?1)
2
?(3?1)
2
?2(3?1)(3?1)cos
60
0
∴
C?6
?6
S
△
ABC
=
22
11
3
acsinC?(3?1)(3?1)sin60
0
?
22
2
1.1.2.余弦定理(二)
1.A 2.C 3.B
4.
17或41
5.
239
3
6.解 由余弦定理,知
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
∴
a?b?b?a?2bccosA?2accosB
2222
a
2
?b
2
sinAcosB?cosAsinB
?
sinC
c
2
sin(A?B)
?
sinC
7.解
如图,连结BD,则四边形面积
S=S
△
ABD
+S
△
BCD
=
11
AB?AD?sinA?BC?CD?sinC
22
∵A+C=180
0
∴sinA= sin C
∴S=
1
(AB?AD?BC?CD)sinA
2
=16
sinA
由余弦定理,知在△ABC中,
BD
2
?2
2
?4
2
?2?2?4cosA?20?16cosA
在△CDB中,
BD?52?48cosC
∴
20?16cosA?52?48cosC
又
cosC??cosA
2
1
cosA??,
∴A=120
0
2
∴S=16sinA=
83
正余弦定理的综合应用
1.B 2.B 3.D
4.7 5.5
6.解
(1)
由二倍角公式,已知等式化简为
2sinB(1?sinB)?2cos
2
B?2?3
∴
sinB?
0
3
2
∴B=
60
或120°
(2)?S?
∴
c?5
1
13
acsinB,<
br>∴
53??4c?
2
22
当B=
60
时,由余弦定理,得
0
b?a
2
?b
2
?2accosB?21
当B=120°时,由余弦定理,得
b?
22222
61
7.∵
c?(a?b)?c?a?b?2ab
?2ab?(a
2
?b
2
?c
2
)
由余弦定理,得
a?b?c?2abcosC
∴
c?(a?b)?2ab(1?cosC)
22
222
S?
1
acsinB
2
∴
sinC?(1?cosC)
∵
sinC?cosC?1
∴
17cosC?32cosC?15?0
2
22
15
或cosC?1(舍去)
17
8
∴
sinC?
17
144
ab?a(2?a)
∴
S?acsinC?
2
1717
44
??(a?1)
2
?
1717
∵
a?b?2,
∴0<
a
<2
4
∴当
a?1,b?2
时,Smax =
17
cosC?
1.2应用举例(一)
1.B 2.D 3.C
4.
203米
5.
203米
40
3米
3
6.解:在△ABC中,AB =
100m , ?CAB = 15?, ?ACB = 45??15? = 30?
由正弦定理:
100BC
?
∴BC = 200sin15?
sin30
?
sin15
?
在△DBC中,CD = 50m ,
?CBD = 45?, ?CDB = 90? + ?, 由正弦定理:
50200si
n15
?
?
??
sin45sin(90?
?
)
?cos? =
3?1
∴? = 42.94?
7.解:设所求最大圆的半径为x,
则在△ABC中
15
2
?
(10?x)
2
?(5?x)
2
30?x
cos
?
??
2?15?(10?x)30?3x
又在△ACD中:
(10?x)
2
?5
2
?(15?x)
2
5x?10
cos??
?
2?(10?x)?5x?10
又在△ACD中:
(10?x)
2
?5
2
?(15?x)
2
5x?10
cos???2?(10?x)?5x?10
30?x5x?10
??7x
2
?40x?300?0
30?3xx?10
30
?x
1
?,x
2
??10(舍去
)
7
1.2应用举例(二)
1.B2.A 3.A
4.14nmileh 5.20(1+
3
) m
6.解:设所求物体质量为m kg时,系统保持平衡,再设F
1
与竖直方向的夹角为
θ
1
,F
2
与竖直方向的夹角为θ
2
,则有
4gsin
?
1
?2gsin
?
2
①
4gcos
?
1
?2gcos
?
2
?mg
②
(其中g为重力加速度)
2
2
由①式和②式消去
?
2
,得
m?8mcos
?
1
?12?0
即
m?4co
s
?
1
?24cos
?
1
?3
. ③
2
∵
cos
?
2
>
0
,由②式知,③式中
m
?4cos
?
1
?24cos
?
1
?3
不合题意,舍去
2
又∵4cosθ
1
-3≥0,解得
3
?
cos
?
1
?1
2
经检验,当
c
os
?
1
?
3
时,
cos
?
2
?
0
,不合题意,舍去.∴2
3
<m<6
2
综上,所求物体的质量在2
3
kg到6
kg之间变动时,系统可保持平衡.
7.解:设AD=x,AC=y,
即x
2
?y
2
?xy?441
①
而在△ABC中,
(x?20)
2
?y
2
?2(x?20
)ycos60??31
2
,
即
x
2
?y
2
?xy?40x?20y?561
②
②—①得
y?2x?6
,
2
代入①得
x?6x?135?0
得
x?15(km)
,即此人还需走15km才能到达A城.
一、选择题
解三角形测试题
1.D 2.C 3.C 4.B 5.B
6.A 7.C 8.D 9.B 10.A
二、填空题
11.
52
12.
三、解答题
15.
a?3?6
b?6?2
16.
b?213
或
b?237
39
13. 40 14. 1:2:3
8
17.tan
ACAC
?tan?3tan?tan?3
2222
18. BC=8
19.AB=9
20.
缉私艇应以8
3
n mile h的速度按方位角 355°方向航行.
第二章 数列
2.1数列的概念和简单表示
1 解 (1)所给数列可改
写为1+1,-1+1,1+1,-1+1,…可以看作数列1,-1,
1,-1,…的各项都加1,因
此所给数的通项公式a
n
=(-1)
n+1
+1.所给数列亦可看作
2,0,2,0…周期性变化,因此所给数列的
?
2
(n
为奇数
)
通项公式
a
n
=
?
)
?
0
(n
为偶数
这一题说明了数列的通项公式不唯一.
(2)从所给数列的前5项可知,每一项的分子都是1,而分母所组成的数列
3,8,15,
24,35,…可变形为1×3,2×4,3×5,4×6,5×7,…,即每一项可以
看成序
号n与n+2的积,也即n(n+2).各项的符号,奇数项为负,偶数项为正.因此,
所给数列的通项公式为:
a
n
?(?1)
n
·
1
.
n(n?2)
1
4
9
16
25
(3)
所给数列可改写为
,
,
,
,
2
2
2
2
2
,…分子
组成的数列为
1,4,9,16,25,…
是序号n的平方即n
2
,分母均为2.因此所
n
2
给数列的通项公式为a
n
=.
2
2 解 (1)5,8,11,14,17 (2)a
n
=3n+2.
3 解
由所给数列的前四项可得数列的通项公式为
a
n
?3n?1
,
即<
br>25?3n?1
,解得n=7,即
25
是这个数列的第7项.
4 解
由a
1
=1,a
n+1
=2a
n
+1可得
a
n
?2a
n?1
?1
?2
?
2a
n
?2
?1
?
?1?2
2
a
n?2
?2?1
?2
2
?
2a
n?3
?1
?
?2?1?2
3
a
n?3
?2
2
?2?1
?2
n?1
a
1
?2
n?2
??2?2?1
?2
2
?2?12
?2
n?1
?2
n?2
?
?2
n
?1
即 a
n
?2
n
?1
5 解 由已知:
a
1
·a
2
·a
3
·…·a
n
=n
2
a
n
?
a
n
?
a
1
·
a
2
·
a
3
·……·
a
n
a
1
·
a
2
·
a
3
·……·
a
n
?
1
n
2
2
.
,
n
≥
(
n
?
1)
2
(
n
≥
2
,
n
∈
N
*)
由于
a
1
=
1
不适合于此等式.因此
?
1
?
a
n
=
?
n<
br>2
?
(n?1)
2
,
?
n=1
n≥2且n∈N*
3
2
5
2
61
(1)
a
3
+a
5
=
2
?
2
?
1624
256n
2
(2)令?,解方程可得n=16
225(n?1)
2
256
∵n=16∈N*,∴是此数列的第16项.
225
说明 (1)“知和求差”、“知积求商”是数列中常用的基本方法.
(2)运用方程思想求n,若n∈N*,则n是此数列中的项,反之,则不是此数列中
的项.
6 解法一
∵数列{a
n
}是递增数列,∴a
n+1
>a
n
a
n+1
-a
n
=(a
2
-1)[(n+1)
3<
br>-2(n+1)]-(a
2
-1)(n
3
-2n)
=(a<
br>2
-1)[(n+1)
3
-2(n+1)-n
3
+2n]
=(a
2
-1)(3n
2
+3n-1)
∵(a
2
-1)(3n
2
+3n-1)>0
又∵n∈N*,∴3n
2
+3n-1=3n(n+1)-1>0
∴a
2
-1>0,解得a<-1或a>1.
解法二
∵{a
n
}是递增数列,∴a
1
<a
2
即:
(a
2
-1)(1-2)<(a
2
-1)(8-4)
化简得 a
2
-1>0
∴a<-1或a>1
2.2等差数列答案
1~4 CCAB 5.15 6.
a
n
=4n-3(1≤n≤7)
7.
解:设第三个数为a公差为d则这5个数依次为
?
(a?2d)?(a?d)?a?(a?d
)?(a?2d)?5
?
a
1
-2d, a-d, a, a+d,
a+2d.依题意:
?
85
22222
(a?2d)?(a?d)
?a?(a?d)?(a?2d)?
?
9
?
?
a?1
?
即
?
2
17
∴
2
a
?2d?
?
9
?
当d=
?
a?1
?
2 .
?
d??
?
3
?
21157
时,这5
个数分别是-、、1、、;
33333
27511
当d=-时这5个数分别是、、1、、-.
33333
8.解:
1
a
2
?a
5
?a
1
?d?4d?2a
1
?5d?4,又a
1
?
3
21221
?d?,a
n
??(n?1)??n?<
br>33333
21
a
n
?33,
?n??33得n?50
33
2.3等差数列的前n项和答案
1~4 ACBB
5.
?
7. 解:(1)
n(5n?1)
6. 2n-10
8
2
S
12
?12a
1
?
?
2a
1
?11d?0
12?1112?13
d?0
,
S
13<
br>?13a
1
?d?0
,即
?
,
a?6d?0
22
?
1
由
a
3
?a
1
?2d?12<
br>,代入得:
?
(2)
24
?d??3
。
7
解一:由
S
12
?6
?
a
6
?a
7?
?0
,
S
13
?13a
7
?0
可知
:
a
6
?0,a
7
?0
,所以S
6
最大。
解二、
S
n
?
24
d
2
?
5d<
br>?
??d??3
可知,它的图象是开口向下的抛物线上,由
n?
?12?n
?
7
22
??
的一群离散的点,根据图象可知S
6
最大。
245d?2413
d
?
5d?24
?
d5d?24
2
??d??36??
解三、
S
n
??
n?
,由得
?()
?
72d2
2
?
2d
?
22d
又抛物线开口向下,所以S
6
最大。
8.解
:
S
n
?3?2,S
n?1
?3?2
nn?1
2<
br>,a
n
?S
n
?S
n?1
?2
n?1
(n?2)
?
5,(n?1)
而
a
1
?S1
?5
,∴
a
n
?
?
n?1
?
2,(n?2)
2.4等比数列答案
1~4 CBAC 5.
13
-
6. 3·2
n3
16
a
n?1
?2a
n
?1
?
a
n?1
?1?2a
n
?2?2(a
n
?1)
7 . 1)证明:
又
a
1
?1
?
a
n
?1?0
故
a
n?1
?1
?2
?
{a
n
?1}
是等比数列
a
n
?1<
br>②解:
{a
n
?1}
是等比数列,且
a
1
?
1?2,q?2
?
a
n
?1?2?2
n?1
?2
n
故
a
n
?2
n
?1
aa?
6
4
a
3
?
16
a
3
?
4
8.解:
依题意可得
{
a
3
?
7
解得 或
{
{
a
7
?
4
a
7
?
16
3
a
7
?
20
a?
16
a
?
4
1
4
当
{
a
3
?
16
时
,q
4
?4
?
a
11
?a
7
q
4
?64
当
{
a
3
?
4
时
,q?
?
a
11
?a
7
q
4
?1
7
7
4
2.5等比数列的前n项和答案
1~4 BABC 5.
2n?2(n?N
?
)
6. 510
7.解 ∵{a
n
}为等差数列,{b<
br>n
}为等比数列,∴a
2
+a
4
=2a
3
,
b
2
·b
4
=b
3
2
,
已知a
2
+a
4
=b
3
,b
2
·b
4
=
a
3
,∴b
3
=2a
3
,a
3
=b
3
2
,
11
,a
3
=
24
13
由a
1
=1,a
3
=,知{a
n
}的公差d=-,
48
10?9
55
∴S
10
=10a
1
+
d=-
2
8
22
1
由b
1
=1,b
3
=,知{b
n
}的公比q=或q=-,
22
2
得b3
=2b
3
2
,∵b
3
≠0,∴b
3
=
b
1
(1?q
10
)
312
当q?时,T
10
??(2?2);
21?q32
当q??
b(1?q)
312
时,T
10
?
1
?(2?2).
21?q32
10
*
8.(I)解:
a
n?1
?2a
n
?
1(n?N),
?a
n?1
?1?2(a
n
?1),
?
a
n
?1
?
是以
a
1
?1?2
为首项,2
为公比的等比数列。
?a
n
?1?2
n
.
即
a
n
?2
2
?1(n?N
*
).
(II)证法一:
4
b
1
?1
?4
b
2
?1
?4
b
3
?1
??4
b
n
?
1
?
?
a
n
?1
?
n
,
b?4
(b
1
?b
2
?...?b
n
)?n?2
nb
n
.
?2[(b
1
?b
2
?...?b
n
)?n]?nb
n
,
①
2[(b
1
?b
2
?...?b<
br>n
?b
n?1
)?(n?1)]?(n?1)b
n?1
. ②
②-①,得
2(b
n?1
?1)?(n?1)b
n?1
?nb
n
,
即
(n?1)b
n?1
?nb
n
?2?0,
③
nb
n?2
?(n?1)b
n?1
?2?0.
④
③-④,得
nb
n?2
?2nb
n?1
?nb
n
?0,
即
b
n?2
?2b
n?1
?b
n
?0,
<
br>?b
n?2
?b
n?1
?b
n?1
?b
n<
br>(n?N
*
),
故
?
b
n
?
是等差数列.
本章测试答案
一、
题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
号
答
B D A B B A B C A C A B
案
二、13、4
14、
10
4?1
15、
5
n
3
16、
2
?1
三17解:(1)设等差数列
{log
2<
br>(a
n
?1)}
的公差为d.
由a
1
?3,a
3
?9得,2(log
2
2?d)?lo
g
2
2?log
2
8,
解得d=1. 分
所以
l
og
2
(a
n
?1)?1?(n?1)?1?n,
?
an
n
?2?1.
(2)
a
n
?2
n
?1.
?S
n
?a
1
?a
2
??a
n
?(2?1)?(22
?1)??(2
n
?1)
?(2?2
2
??2
n
)?n
?
2(?1
n
2
1?2
?n
)
?2
n?1
?n?2
18.解:(I)由a
n?1
?2S
n
?1
可得
a
n
?2
S
n?1
?1
?
n?
?
2
,
a
n
?1
?a
n
?2a
n
,a
n?1
?3a
n
?
n?2
?
又
a
2
?2S
1
?1?3
∴
a
2
?3a
1
故
?
a
n
?
是首项为
1
,公比为
3
得等比数列
两式相减得
∴
a
n
?3
n?1
(Ⅱ)设
?
b
n
?
的公比为
d
由
T
3
?15
得,可得
b
1
?b
2
?b
3
?15
,可得
b
2
?5
故可设
b
1
?5?d,b
3
?5?d
又
a
1
?1,a
2
?3,a
3
?9
由题意可得
?
5?d?1
??
5?d?9
?
?
?
5?3
?
解得
d
1
?2,d
2
?10
∵等差数列
?
b
n
?
的各项为正,∴
d?0
∴
d?2
∴
T
n
?3n?
19.解:<
br>2
n
?
n?1
?
?2?n
2
?2n
2
b
1
?b
2
?b
3
?log
2
a
1
a
2
a
3
?3
?
a
1
a
2
a
3
?8
,故
a
2<
br>?2
?
b
2
?1
b?3b??1
1
?b
3
?
2
解得
{
1
?
或
{
1
{
b
b??1b?3
bb?
?3
13
33
当
b
1
?3
时,
a
1
?
8
,
?
q?
1
2
a
2
1
1
?
故
a
n
?
8()
n?1
?
2
5?2n
4
a
1
4
a
2
1
?
4
故
a
n
?
4
n?1
?2
2n?3
2
a
1
同理
当
b
1
??1
时,
a
1
?
,
?
q?
?
a
2
?a
1
?3
?
a?a
2
?6
20、由
a
n?1
?a
n
?3n?
?
3
?
?
a?a?3(n?1)
n?1
?
n
将上面各等式相加,得
a
n
?a
1
?3?6?
?
?3(n?1)?a
n
?2?
21、(1)设
?
b
n
?
的公比为q,
?
b
n
?3
n,?3
1
?q
a
a
n?1
3n(n?1)
<
br>2
?3
a
n
?a
n
?a
1
?(n?
1)log
3
q
所以
?
a
n
?
是以
log
3
q
为公差的等差数列
(2)
?
a
8
?a
13
?m
所以由等差数列性质得
a
1
?a
20
?a
8
?a<
br>13
?m
(a
1
?a
20
)?20
?a
1
?a
2
?
?
?a
20??10m
2
a
1
?a
2
???a
20
10m
?b
1
b
2
?
b
20
?3?3
3.1 不等关系和不等式
练习答案
1—4、CCAB
5、[6,10]. 6、<.
7.设租用大卡车x辆,农用车y辆
?
8x?2.5y?100
?
0?x?10
?
?
0?y?20
?
?
?
x?Z,y?Z
3.2一元二次不等式及其解法
练习答案
1. C
2. A
3. B
4. C
5. (2,10)
6.解:设f(x)=x2
+ax+1,则对称轴为x=
-
若
-
-
a
2
a111
?,即a?-1时,则f(x)在〔0,〕上是减函数,应有f()?0?
2222
5
?x?-1
2
a1
若
-
?0
,即a?0时,则f(x)在〔0,〕上是增函数,应有f(0)=1?0恒成立,
22
故a?
0
a1a
a
2
a
2
a
2
1-?0
恒成立,故 若0?
-
?,即-1?a?0,则应有f(
-
)=
-
+1=
222
424
-1?a?0
综上,有-
5
?a
2
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
参考答案:
1. 略
2.
?
?
y?x
?
x?y?1?0
3. 略
4. 略
?
y?2
?
5.
?
x?y?0
?
x?y?0
?
3.3.2简单的线性规划问题答案
课后练习答案
1. C 2. C 3. B 4. 9 5.
?
5
3
6.解:设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.
?x?y?10,
?
0.3x?0.1y?1.8,
?
由题意知
?
x?0,
?
?
?
y?0.
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.
作直线
l
0
:x?0.5y?0
,并作平行于直线
l
0
的一组直线
x?0.5y?z,z?R,
与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且
与直线
x?0.5y?0
的距离最大,这里M点是直线
x?y?10
和
0.3x?0.1y?1.8
的交点.
解方程组
?
?
x?y?10,
得x=4,y=6
?
0.3x?0.1y?1.8,
此时
z?1?4?0.
5?6?7
(万元).
?7?0
?
当x=4,y=6时z取得最大值.
答:投资人用4万元投资甲项目、6万元投资
乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元
的前提下,使可能的盈利最大.
二元一次不等式表示的平面区域
课后练习答案
1. D
2.
D
解
x?0
时,
y?2x?
1
1
?2
x?0
时
y??2(?x)???2
灵活使用基本
x
(?
x)
不等式是成功解(证)题的关键,使用时要注意条件满足“一正、二定、三相等”
3.因为
4x?5?0
,所以首先要“调整”符号。又
(4x?2)?
以对 要进行“配凑”。
1
不是常数,所
4x?5
5
x?,?5?4x?0,
4
111
,即
??(5?4x?)?3??2?3?1.
当且仅当
5?4x?
4x?55?4x4x?5
x=1 时,上式等号成立。故当 下=1
时,y
max
=1
?y?4x?2?
4.解令
ab
=t(t>0) 由 ab= a+b+3
?
2ab?3,
,
解得t
?
3 得
t
2
?2t?3
即
ab
?
3,
故ab
?
9. 所以ab
的取值范围是
?
9,??
?
5. 解把条件变为
325
222225
?x???225?10
,当
x?5
时,
y??
单调递增,而
y?x?
xxxxx
32228
?
在
x?5
时取得最小值。所以
y?x?
在
x?5
时有
y
mi
n
?10?
。
x55
a?b
2
1
6.
解析:由于ab≤()=
24
y?x?
11
(1?a
2
)
(1?b
2
)(1?a)(1?a)(1?b)(1?b)
?
∴(
2
-1)(
2
-1)=
ab
a
2
b
2a
2
b
2
=
1?a?b?ab2?ab22??1??1??9
1
ababab
4
7.
策略:由于不等式两边呈乘积结构,因此可以考虑构造正项同向不等式相乘完成证
明.
证明:∵a、b、c都是正数,a+b+c=1
∴
1a?b?cb?c
2bc
-1=-1=≥>0
aa
a
a
11
2ac2ab
-1≥>0,-1≥>0 bc
bc
同理可得:
∴
(
111
2bc2ac2ab<
br>?1)(?1)(?1)
≥··=8
abc
abc
∴
(111
?1)(?1)(?1)
≥8
abc
评注:抓住不等式两边的项
是和的结构或乘积结构,构造合适的不等式组,再运用不
等式的性质推证出要证的不等式,这种富有创新
的“构造法”证明方法,值得学习和借鉴.
8. 解
设矩形长为x(0
x(2a?x)?
x?(2a?x)
?a
.
2
上
式当且仅当x=2a-x,即x=a时,取“=”.由此可知,当x=a时,S=x(2a-x)有最大值a2
.
答 将铁丝围成正方形时面积最大,最大面积为a
2
.
9.
本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题,应用不等式等基础知识和方法解决
问题的能力.
解:设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m,则 ab=800.
蔬菜的种植面积 S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8 =808-2(a+2b)
?
S
?
808-4
2ab
=648
(m
2
)当且仅当
a=2b, 即a=40,b=20时取等号
答:当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m
时,蔬菜的种植面积最大,最大种植
面积为648m
10.本小题主要考查建立函数关系、不
等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查
综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,
解:(Ⅰ)依题意知汽车从甲
地匀速行驶到乙地所用时间为
故所求函数及其定义域为
sSa
2
S
,全程运输成本为
y?a??bv??S(?bv)
vvvv
a
y?S(?bv),v?(0,c]
v
(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有
a
S(?bv)?2Sab
v
当且仅当
a
a
?bv,
.即
v?
时上式中等号成立
v
b
若
aa
时,全程运输成本y最小,
?c
,则
当
v?
bb
a
?c
,则当
v?(0,c]
时,有
b
若
aa
S(?bv)?S(?bc)
vc
aa
?S[(?)?(bv?bc)]
vc
S
=
(c?v)(a?bcv)
vc
因为c
-v≥0,且a>bc
2
,故有a-bcv≥a-bc
2
>0,
所以
S(
aa
?bv)?S(?bc)
,且仅当v=c时等号成立,
vc
也即当v=c时,全程运输成本y最小.
综上知,为使全程运输成本y最小,当
行驶速度应为v=c
第三章 不等式
测试题答案
一选择题
1A 2A 3D 4B 5C 6D 7C 8A9C
10A 11A 12D
二填空题
ababab
;当
?c时行驶速度应为
v??c
时
bbb
13解:应用结论: .不等式
等价于(1-2x)(x+1)>0,也就是
,所以 ,从而应填 .
14 9
p>
?
?
x?y?3?0
15解析:实数
x,y
满足
?
?
x?2y?5?0
?0
,在坐标系中画出可行域,得
?
x
?
?
y?0
三个交点为A(3,0)、B(5,0)、C(1,
2),则
y?2x
的最大值是0.
y
C
x
O
AB
三、解答题
16.解: 因为x+y=1所以
1
x
?
x?y
x
?1?
y
x
所以
1
y
?
x?y
y
?
x
y<
br>?1
所以
(1?
11
x
)(1?
y
)?(2?
yxyx
x
)(2?
y
)?
5?2(
x
?
y
)?5?4?9
1
x=y=
2时等号成立
17. 解: 原不等式可化为
ax?1?x?a
(a?1)x
?(a?1)
x?a
?0
即
x?a
?0
(1)若a>1时,
x?1
x?a
?0
,
则不等式的解集为{x|x>1或x<-a}
(2)若a<1
则
x?1
x?a
?0
I )-1II) a<-1时,
-a>1原不等式的解集为{x|1
18. 证明:(I)因为<
br>f(0)?0,f(1)?0
,所以
c?0,3a?2b?c?0
.
由条件
a?b?c?0
,消去
b
,得
a?c?0
;
由条件
a?b?c?0
,消去
c
,得
a?b?0
,
2a?b?0
.
故
?2?
b
a
??1
.
且仅当 当
b3ac?b
2
,)
, (II
)抛物线
f(x)?3ax?2bx?c
的顶点坐标为
(?
3a3a
2
在
?2?
b
11b2
??1
的两边乘以
?
,得
???
.
a
333a3
ba
2
?c
2
?ac
?0,
又因为
f(0)?0,f(1)?0,
而
f(?)??
3a3a
所以方程
f(x)?0
在区间
(0,?bb
)
与
(?,1)
内分别有一实根。
3a3a
故方程
f(x)?0
在
(0,1)
内有两个实根.
19. 解: (1) 5≤
401600
n??7
①
100400
704900
n??15
② 13≤
10040031
2
x?x?18.4
即x?+12x—18.4×400≤0又因为x>0所
以x≤80 所
100400
满足①②的n=3
(2)y≤18.4,
以要使煞车距离不超过18.4 米,则行驶的最大速度为80千米小时.
20.
解:设安排生产产品Z、Y的件数分别为x,y,利润总额为S元.由题意得约束条件为
?
x?4y?100
?
2x?3y?125
?
如图,作出可行域.
?
?
3x?y?156
?
?
x?0,
y?0
若市场情况如(I),则目标函数
S?2000x?1000y
作直
线
l
1
:2000x?1000y?0即2x?y?0
.把l
1向右上方平移到l
1
′的位置时,直线经过可行
域上的点C,且与原点距离最大,此时S取得最大值.
解
?
?
2x?3y?125
得c点坐标.x?49,y?9
.此即所求最优解.
?
3x?y?156
若市场情况如(II)则目标函数
S?1000x?30
00y,作直线l
2
:1000x?3000y?0
,即
x?3y?0
,把l
2
向右上方平移至l
2
′的位置时,直线经过可行域上的点B,且与
原点距离最
2x?3y?125
?
x?40
此即所求最优解. 大,此时S取
得最大值,解方程组
?
得B点坐标
?
.
?
x?4y?100
y?15
??
答:若市场情况如(I),应生产Z、Y各49件和9件.
若市场情况如(II),应生产Z、Y各40件和15件.
2x?3y?125
1000x?30
00y?0
j
3x?y?156
x?4y?100
x?4y?100
2000x?1000y?0
数学必修模块5试题(一)答案
一.选择题(本大题共10小题,每题
5分,共50分,每小题给出的4个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
题号
答案
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在
答题卡
的横线上)
11.
46
12.
3?22
13. 5 14.
(28,44) <
br>15.解:在△ABC中,∠BAD=150
o
-60
o
=90
o
,
∴AD=2sin60
o
=
3
,在△ACD中,
AC
2
=(
3
)
2
+1
2
-2×
3
×1×cos150
o
=7,∴AC=
7
.
∴AB=2cos60
o
=1.S
△ABC
=
1
B
2
A
3
A
4
A
5
C
6
A
7
C
8
D
9
B
10
B
13
×1×3×sin60
o
=
3
.
24
2
16题. 解:
(I)证明:因
a
1
,a
2
,a
4
成等比数列,故
a
2
?a
1a
4
又{a
n
}是等差数列,有
a
2
?a1
?d,a
4
?a
1
?3d
.于是
(a
1
?d)
2
?a
1
(a
1
?3d)
即<
br>a
1
2
?2a
1
d?d
2
?a
1<
br>2
?3a
1
d.
化简得
a
1
?d.
(II)解:由条件S
10
=110和S
10
=10a
1
+
10?9
d
,得到10a
1
+45d=110.由(I)
2
a
1
=d,代入上式得
55d=110,故d=2,
?a
n
?a
1
?(n?1)d?2n
.
因此,数列{a
n
}的通项
公式为
a
n
?2n,
n?1,2,3
17题.解:(1)由
a
1<
br>a
5
?2a
3
a
5
?a
2
a
8
?25
得
(a
3
?a
5
)
2
?25
得
a
3
?a
5
?5
因为
a<
br>3
a
5
?4
得
a
3
?4,a
5?1
求得
q?
1
所以
a
n
?2
5
?n
;(2)
b
n
?log
2
a
n
?5?
n
所以
2
S
SS
9n?n
2
S
n
9?n
S
n
??
所以
1
?
2
???
n
最大为
n?8或者9
12n
2n2
18题、解:设这台机器最佳使用年限是n年,则n年的保养、维修、更
换易损零件的总费用
为:
n
2
?3n
0.2?0.3?0.4??
???0.1(n?1)?,
2
n
2
?3nn
2
?7n?总费用为:7?0.2?0.2n??7.2?
,
2020
n
2?7n
7.2?
20
?0.35?(
n
?
7.2
),
?
n
?
7.2
?2
7.2
?1.2,
等号当且
?n年的年平均费用为:y?
20n20
n20n
n7.2
?即n?12时成立.
?
y
min
?0.35?1.2?1.55(万元)
20n
答:这台机器最佳使用年限是12年,年平均费用的最小值为1.55万元.
19题.
解:(1)∵不等式x
2
cosC+4xsinC+6<0的解集是空集,
仅当
?
cosC?0
?
cosC?0
?
cosC?0
?
?
?
即
?
即
?
1
2
??0
cos??2或cosC?
16sinC?24cosC?0
?
?
?
?2
1
??cosC?.
2
∴∠C
的最大值为60°
133
absinC?ab?3.?ab?6.
由余弦定理得
242
c
2
=a
2
+b
2
-2abcos
C=(a+b)
2
-2ab-2abcosC
(2)
?<
br>?C?60
0
,S
?ABC
?
?(a?b)
2
?c
2
?3ab?
12111
.?a?b?.
42
20题.
解:(1)由题意2a
n
=S
n
+1,当n=1时,2a
1
=a
1
+1,∴a
1
=
1,当n≥2时,S
n
=2a
n
-1,S
n
-
1<
br>=2a
n
-
1
-1,两式相减得a
n
=2a
n
-2a
n
-
1
,整理得
---
a
n=2,∴数列{a
n
}是以1为首项,2为公
a
n?1
比的等比
数列,∴a
n
=a
1
·2
n1
=1·2
n1
=2
n1
.
1
n
1111111
2
T
n
??????1??
2
???
n?1
??2?
n?1?2.
1
a
1
a
2
a
n
2
2
22
1?
2
(2)
1?
∵对于
?n?N*
,有T
n
?
m?4m?4
成立,即只须?2,即m?10
33
.∴m的最小值为10.
必修五模块测试(二)答案
题号
答案
1
B
2
C
3
C
4
C
5
A
2
6
D
7
B
8
C
9
A
10
D
11、23
12.1 13. 1,-3 14.
n?n?1
15.216
16.
?0?a?
2
3
或?
2
?a?0
3
17.解:如图所示,
BC
为所求塔高
AD?30,DE?103
,?CAD?
?
,?CDE?2
?
,?CEB?4
?
?CD
?AD?30,CE?DE?103
在△
CED
中,
CE
2
=
DE
+
CD
-2
DE
·
CD·cos2θ
22
?(103)
2
?(103)
2
?3
0
2
?2?103?30cos2
?
?cos2
?
?
sin2
?
?
3
2
?2
?
?30
? 在Rt△
CBD
中,
?BC?30?
1
?15
2
22
BC
CD
18、证: ∵f(a)>f(b),
∴|lga|>|lgb|.∴lga>lgb.∴(lga+lgb)( lga-lgb)>0.
∴lg(ab)
aaa
>0. ∵0bbb
500
19.解:设绿地长边为
x
米,宽为米。 总面积x
lg
S?(x?18)(
10x?
5009000
9000<
br>?10)?680?10x?
?680?210x??1280
当且仅
当
xx
x
900050
即
x?30
时,上式取等号。所以,
绿地的长为30米,宽为米时,绿地和小
x
3
路所占的总面积最小,最小值为1280
平方米。
20.解:(Ⅰ)
a
n?1
?2S
n
,
?S
n?1
?S
n
?2S
n
,
?
S
n?1
?3
.又
S
1
?a
1
?1,
S
n
?
数列
?
S
n
?
是
首项为
1
,公比为
3
的等比数列,
S
n
?3
n?1
(n?N
*
)
.当
n≥2
时,
a
n
?2S
n?1
?23
n?2
?
1, n?1,(Ⅱ)
T
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
?
(n≥2)
?a
n
?
?
n?2
?
?3,n≥2
.
?na
n
,
当
n?1时,
T
1
?1
;当
n≥2
时,
T
n<
br>?1?43
0
?63
1
??2n3
n?2
,…………
①
3T
n
?3?43
1
?63
2
?
12
?2n3
n?1
,………………………②
①?②
得:
?3
n?2
?2T
n
??2?4?2(3?3?
??1?(1?2
n)3
n?1
.
?T
n
?
)?2n3
n?13(1?3
n?2
)
?2?2?2n3
n?1
1?3
1
?
1
?
?
?
n?
?
3
n?1
(n≥2)
.又
T
1
?a
1
?1
也
满足上式,
2
?
?T
1
n
?
2
?
?
?
?
n?
1
?
2
?
?
3n?1
(n?N
*
)
.
2
?